Один из способов доказательства первого признака подобия треугольников в рамках учебника «Геометрия 7- 9» А.В. Погорелова для 8 класса

Один из способов доказательства первого признака подобия треугольников в рамках учебника «Геометрия 7- 9» А.В. Погорелова для 8 класса

 Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.  I этап. Пусть у  и  имеются два равных угла: и. По теореме о сумме углов треугольника: . Таким образом, мы получили, что ,  и . Для доказательства подобия осталось установить, что .

II этап. Положим, что  является наибольшим в . Это мы можем сделать всегда, обозначив вершину наибольшего угла треугольника буквой С. Правда, может оказаться, либо , тогда для определённости мы всё равно выбираем .

Опустим из вершины С высоту СМ. Тогда  разбивается на  и . Они прямоугольные, так как , поскольку СМ является высотой.

Так как , то  является наибольшим в . Опустим из вершины  высоту . Тогда  разбивается на  и . Они прямоугольные, так как , поскольку  является высотой.

Почему мы опускали высоту из вершины наибольшего угла? А потому, что только в этом случае высота будет находится внутри треугольника, а не снаружи, и, следовательно, будет разбивать треугольник на два прямоугольных.

III этап. Рассмотрим  и . По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

 и    и

Заметим, что . Из теоремы о сумме углов треугольника заключаем, что

По теореме — косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения треугольника и его линейных размеров – получаем

Рассмотрим  и . По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

 и            и

Заметим, что . Из теоремы о сумме углов треугольника заключаем, что

  По той же теореме получаем

IV этап. В итоге получаем четыре равенства

1)3)

2)4)

Перемножим левые и правые части равенств 1) и 2) соответственно

т. е.  Разделим обе части на : Умножим теперь обе части этого равенства на :т. е.

Умножив обе части равенств 3) на  и 4) на  соответственно, получим равенства и   Отсюда следует, что  и  Складывая левые и правые части этих равенств почленно, получим . Так как   и , тогда , и следовательно,

Таким образом, . Что и требовалось доказать.

Краткое описание документа:

В рамках подготовки "олимпиадников" приходиться сообщать теоретические сведения будущих классов, однако, не всегда удаётся подобрать адекватную данному году доказательную базу. Эта работа демонстрирует тот факт, что весьма эффективный первый признак подобия треугольников можно обосновать в рамках теорем 7-8 классов, правда доказательство довольно громоздко.