Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Олимпиадные задачи по математике с решениями 9-11 класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Олимпиадные задачи по математике с решениями 9-11 класс

библиотека
материалов

13

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БЛОК


1. Решите относительно х уравнение: hello_html_m4c40816f.gif, где hello_html_m44909c10.gif

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем левую часть уравнения, сгруппировав и разложив на множители:

hello_html_192fc42f.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m4fd3358b.gifhello_html_39bcdcee.gif

hello_html_m24552fcc.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m31cd4001.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_37d1f711.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m52434d8a.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m717659fe.gif

ОТВЕТ: hello_html_m69cea424.gif


2. Решите в натуральных числах неравенство: hello_html_mbd45bc.gif>hello_html_m4fde8e49.gif

РЕШЕНИЕ:

Найдем сумму арифметической прогрессии из х слагаемых, используя формулу:

hello_html_2f6e3ffe.gif: 2 + 4 + 6 + ….+ 2х = 2·(1 + 2 + 3 + … + х) = hello_html_40fac1ec.gif = х2 + х

Неравенство примет вид: hello_html_6c466315.gif>hello_html_m4fde8e49.gif,

т.к. основание 0,3 < 1, имеем hello_html_1617bf1e.gif< 72

hello_html_39bcdcee.gifhello_html_3a41a2a3.gif< 0 hello_html_39bcdcee.gifhello_html_m6653f02.gif< 0.

Откуда получаем, что hello_html_69ea272a.gif.

hello_html_239652fe.png

Перечислим натуральные числа, попадающие в указанный интервал: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.

ОТВЕТ:hello_html_555a90e3.gif


3. Докажите тождество: hello_html_d054d5c.gif, hello_html_1ca7439c.gif

РЕШЕНИЕ:

Выполним для удобства простейшие преобразования: hello_html_m1c0b446e.gif arcsin x = hello_html_m31fa93ac.gif

а) При х = 0 имеем верное равенство: hello_html_m7f910f2f.gif arcsin 0 = hello_html_m5d49dac0.gif hello_html_39bcdcee.gifhello_html_m22d2c8f7.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_457cab3.gif;

б) При hello_html_20b219c4.gif 0 <hello_html_m20843242.gif< hello_html_m31fa93ac.gif и 0 < arcsin x < hello_html_m31fa93ac.gif.

Докажем равенство hello_html_m171c9e3a.gif arcsin x = hello_html_m31fa93ac.gif геометрически.

Пусть hello_html_2e85d6ba.gifАВС – прямоугольный и АВ = 1, ВС = х, BD – биссектриса. Тогда по теореме Пифагора АС = hello_html_m1334bb17.gif. Пусть hello_html_7707454f.gifА = hello_html_2e28ff68.gif, а hello_html_7707454f.gifВ =hello_html_m154a5599.gif. Очевидно, что 2hello_html_m154a5599.gif +hello_html_2e28ff68.gif = hello_html_m31fa93ac.gif.

hello_html_m170bb1c.png

По свойству биссектрисы имеем hello_html_63c5914a.gif.

По свойству производных пропорций hello_html_59016237.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m13fa027e.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_7a0da0cf.gif= hello_html_m21934a30.gif = hello_html_m37b784a.gif= hello_html_m4ba136b9.gif

По определению hello_html_26cea009.gif hello_html_39bcdcee.gifarcsin x = hello_html_2e28ff68.gif, а hello_html_m6f55cfee.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_mb816b4e.gif.

И т.к. hello_html_m74a41cb6.gif hello_html_39bcdcee.gifhello_html_m171c9e3a.gif arcsin x = hello_html_m31fa93ac.gif. Что и требовалось доказать.

в) При hello_html_m743cbb27.gif hello_html_m31fa93ac.gif<hello_html_m67918a6d.gif< hello_html_1bfc1af9.gif и -hello_html_m31fa93ac.gif< arcsin x < 0

Преобразуем тождество: hello_html_1d2c766c.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m3a5597fe.gif. Заметим, что hello_html_m4055fc6e.gif< hello_html_48c09999.gif<hello_html_1bfc1af9.gif. При hello_html_m743cbb27.gif, если равны косинусы данных углов, то будут равны и углы. Поэтому докажем равенство hello_html_m5f3ad1a0.gif, из которого будет следовать и равенство углов hello_html_m3a5597fe.gif.

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой hello_html_m1ccfb3c3.gif справедливой при данных значениях х, и формулой приведения hello_html_m5d3560ab.gif: hello_html_6fa7dde5.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_238b2ac5.gif= sin(arcsin x).

По определению арксинусов и hello_html_m743cbb27.gif имеем: hello_html_m8cc539b.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m511925da.gif. Что и требовалось доказать.

Итак, тождествоhello_html_1ac1e6c7.gif доказано для всех hello_html_m7777b103.gif








4. Боковую сторону трапеции с основаниями 15 и 2015 разделили на 1000 равных частей. Через каждую точку деления провели прямые, параллельные основаниям. Найдите длины всех параллельных отрезков, заключенных между боковыми сторонами трапеции.

hello_html_26d14e18.png


Дано: A1BCD1 – трапеция, ВС ║ A1D1,

ВС = 15, A1D1 = 2015.

А1А2 = А2А3 = …= А999А1000;

A2D2 ║ A3D3 ║ … ║ A1000D1000


Найти: A2D2, A3D3,…, A1000D1000


РЕШЕНИЕ:

1) Проведем ВЕ1 ║СD1.

ВСD1Е1, ВСD2Е2, ВСD3Е1, …., ВСD1000Е1000 - параллелограммы по определению.

D1Е1= D2Е2= D3Е3 = … = D1000Е1000 =15, А1Е1 = 2000

2)hello_html_m53d4ecad.gifТреугольники А1ВЕ1, А2ВЕ2, А3ВЕ3, …, А1000ВЕ1000- подобны по равным углам.

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_14b3348b.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_meec83d3.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m4cf5d264.gifhello_html_39bcdcee.gif

hello_html_m200fd9a7.gif(см. чертеж)

Аналогично, hello_html_m78872554.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m70193427.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m7a6910ca.gifhello_html_39bcdcee.gif

hello_html_3cab7314.gif(см. чертеж) и т.д.

hello_html_33e7191d.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_7135e4de.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m126d69ee.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m6491d947.gif

(см. чертеж).

Итак, длины 999 искомых отрезков составляют арифметическую прогрессию с первым членом 17 и разностью 2.

ОТВЕТ: 17, 19, 21, …., 2011, 2013.


5. Найти все значения параметра а, при которых система hello_html_m1be7dfb3.gif

имеет только одно решение в вещественных числах.

РЕШЕНИЕ:

1 способ. Заметим, что если данной система будет удовлетворять пара чисел (в; с), то ей будет удовлетворять и пара чисел (– в; с) в силу ее четности относительно переменной х.

Поэтому данная система может иметь единственное решение вида (0; с) в вещественных числах. Но если х = 0, то из второго уравнения системы у = hello_html_m6573e5f8.gif.

Итак, у нас всего два варианта (0; 1) и (0; 1).

а) Найдем, при каких значениях параметра а система имеет решение (0; 1).

hello_html_3f50e27f.gifhello_html_39bcdcee.gifа = 1

Докажем, что при а = 1 система не имеет других решений, кроме (0; 1).

hello_html_m42b7fe52.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_6ea263bb.gif

Докажем, что первое уравнений системы имеет единственный вещественный корень х = 0.

Поскольку уравнение четно, относительно переменной х, то достаточно доказать,

что уравнение hello_html_m5fe2b897.gifимеет единственный корень х = 0, при hello_html_3f12efe4.gifhello_html_m3e4e7cf0.gif. Заметим, что 2х hello_html_m78774d40.gif1, а hello_html_32c305fd.gifт.к. hello_html_m77f86c36.gif, hello_html_5a99073f.gif, при hello_html_mf6cd53d.gif. Т.е. уравнение hello_html_m3e4e7cf0.gif имеет решение

при hello_html_298e065a.gif, а, значит, х =0 – единственное решение первой системы данной совокупности, при этом вторая система решений не имеет. Это означает, что система уравнений hello_html_m42b7fe52.gifимеет единственное решение (0;1), т.е. значение параметра

а = 1 удовлетворяет заданному условию.


б) Найдем, при каких значениях параметра а система имеет решение (0; 1).

hello_html_m42723799.gifhello_html_39bcdcee.gifа = 3

Исследуем систему при а = 3 hello_html_2d9579b7.gif

Заметим, что данная система имеет как минимум 2 решения

(0; 1) hello_html_74c74fea.gif и (1;0) hello_html_2c66feb9.gif

т.е. значение параметра а = 3 не удовлетворяет условию задачи.


2 способ. Выразим из второго уравнения у и подставить в первое: hello_html_m3fa2cbc7.gif

а) hello_html_m6dbbbf0c.gif, получили четное относительно х уравнение. Известно, что это уравнение может иметь нечетное количество нулей, только если один из этих нулей х = 0.

Пусть х = 0, подставим во второе уравнение нашей системы, тогда hello_html_m4731e619.gif. Подставляем найденные у в первое уравнение системы: hello_html_690d27b5.gif, т.е. hello_html_77625977.gifа = 3 или а = 1. Теперь проверим, будет ли при этих параметрах не просто нечетное количество нулей, а один единственный.

В случае а = 3 получаем hello_html_e193e03.gif. При у = 0, из второго уравнения системы получаем hello_html_m3c462158.gif, подставим в первое уравнение: hello_html_1ba081e0.gif, т.е. 3 = 3. Получили ещё 2 корня, а значит это значение параметра нам не подходит.

Если а = 1 получаем hello_html_22d024fc.gif.

Если hello_html_m35993e27.gif, то hello_html_707204bf.gifhello_html_2e5482f1.gif. Если корней не будет при hello_html_58f3b50f.gif, то в силу четности функции их не будет и при hello_html_4e47c90b.gif.

При hello_html_58f3b50f.gif функция hello_html_m6b1d79b1.gif монотонно возрастает. Проверим возрастание функции hello_html_m222468b4.gifв правой части при помощи производной:

hello_html_476cd731.gif

hello_html_f09f242.gif.

ВГруппа 13 рассматриваемый полуинтервал hello_html_58f3b50f.gif входит только значение hello_html_m1f93c8a4.gif. Причем видим, что в нём достигается максимум функции. Наибольшее значение равно hello_html_1e95ae30.gif и оно меньше, чем значение левой части в этой же точке (hello_html_m3f98dc8.gif).

А значит, других корней кроме х = 0 нет.

б) Если hello_html_5da1ff00.gif, аналогично рассуждая, находим производную:

hello_html_70f61ae2.gif

hello_html_23bedf78.gifГруппа 1 - единственная критическая точка. Т.е. обе функции на hello_html_58f3b50f.gif возрастают, но у левой функции область значения в этом полуинтервале от 0 до 1, а у правой от 1 до 3, поэтому эти функции не пересекутся.

А значит, других корней кроме х = 0 нет.

ОТВЕТ: а = 1


6. В правильной четырехугольной пирамиде ABCDS точка S – вершина. Через середины ребер AB, AD, CS проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

hello_html_1d6d938f.png

Дано: SABCD – правильная четырехугольная пирамида. G, F, L – середины ребер AD, AB,

CS – соответственно.

РЕШЕНИЕ:

а) Построим сечение.

GFhello_html_m5a255bc4.gifBC= M, GFhello_html_m5a255bc4.gifDC=N, MLhello_html_m5a255bc4.gifSB=Q, NLhello_html_m5a255bc4.gifSD=P. GFQLP – искомое сечение.

б) Найдем SQ:QB. Для этого спроецируем все вершины пирамиды на некоторую координатную прямую ОZ, пересекающую плоскость сечения и с началом координат в этой плоскости.

Тогда координаты проекций точек, лежащих в плоскости сечения, будут равны 0.

ZG = ZF = ZQ = ZL = ZP = 0. Пусть ZA = 1, тогда ZB = ZD = –1. hello_html_136e31a1.gif hello_html_1b730b13.gifZB – ZA = ZC – ZD hello_html_1b730b13.gif –2 = ZC +1 hello_html_1b730b13.gif ZC = –3 hello_html_1b730b13.gif ZS = 3. Отсюда имеем, SO : OB =SP : PD = 3 : 1.

в) Найдем какую часть составляет объем многогранника SAFQLPG от объема данной пирамиды. Для этого разобьем многогранник на 4 тетраэдра SAGF, SGFQ, SGQP и SPQL.

hello_html_m2367fffc.png

Сравним объемы этих тетраэдров с объемом пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой из школьного курса: объемы тетраэдров с общим трехгранным углом относятся как произведение длин ребер, исходящих из вершины трехгранного угла. (Аналог теоремы об отношении площадей треугольников с общим углом).

hello_html_73cf7090.gif, т.к. VSADB= hello_html_75f0f200.gif (площади оснований пирамид относятся как 1 : 2, высота пирамид общая) hello_html_1b730b13.gifVAGSF = hello_html_m6e0726ae.gif;

hello_html_480fb4a1.gif; hello_html_m3da1c1d8.gif (площади оснований пирамид относятся как 1 : 8, высота пирамид общая) hello_html_1b730b13.gifhello_html_m3c3f6b02.gif;

hello_html_288381ac.gif;hello_html_6939a5d9.gif(площади оснований пирамид относятся как 1 : 4, высота пирамид общая) hello_html_1b730b13.gifhello_html_m744d7600.gif;

hello_html_m7a74420f.gif;hello_html_m39a0ae21.gif(площади оснований пирамид относятся как 1 : 2, высота пирамид общая) hello_html_1b730b13.gifhello_html_679868ac.gif;

Итак, VSAFQLPG = hello_html_474ba9bb.gif = hello_html_75f0f200.gif, т.е. сечение разбивает объем пирамиды в отношении 1 : 1.

Заметим, что при решении данной задачи не использовались линейные размеры пирамиды и ее правильность. Решение не изменится, если в основании будет лежать параллелограмм, а высота пирамиды не будет проектироваться в точку пресечения диагоналей.

ОТВЕТ: 1 : 1

7. Незнайка хочет забраться на крышу своего дома по приставной лестнице. В чулане лежит много лестниц, но у большинства из них не хватает ступенек. По лестницам, у которых отсутствуют две ступеньки подряд, Незнайка забраться не может. Все его лестницы изначально были с N ступенями. У всех лестниц четко определен верх и низ. Причём нет одинаковых лестниц, и все возможные лестницы, имеются в наличии. Какова вероятность, что Незнайка сможет забраться на крышу по случайно выбранной лестнице.

РЕШЕНИЕ:

По классическому определению вероятности: hello_html_m652aefc9.gif, где

n – общее количество всех возможных лестниц;

m – количество лестниц по которым Незнайка сможет забраться на крышу (те, у которых нет отсутствующих двух подряд ступенек).

Найдем сначала n.

Обозначим за 1 – ступенька есть, 0 – ступенька отсутствует.

Тогда лестницы превращаются в некоторую последовательность из 0 и 1. Изначально на каждой лестнице было по N ступенек, причём каждая ступенька может принимать только два значения: 0 или 1 (есть или отсутствует), даже крайние hello_html_m263755c9.gif всех возможных вариантов лестниц будет hello_html_6a1d48f8.gifhello_html_23f230c4.gif (по правилу произведения).

Получили, что nhello_html_23f230c4.gif. Найдём теперь m.

Сколько может быть таких последовательностей из 0 и 1, чтобы не было двух нулей подряд?

Пусть таких последовательностей hello_html_m46a58922.gif, тогда hello_html_m1ab73247.gif (0 или 1), hello_html_m39d428a9.gif, т.к. вариант 00 нам не подходит.

Рассмотрим теперь последовательность длины N:

hello_html_m7dc56318.gif

hello_html_m7dc56318.gif

hello_html_663f3b24.gif

hello_html_m7dc56318.gif

1

1) Если последняя цифра в этой последовательности 1 (т.е. ступенька есть), то перед ней может быть любая последовательность из 0 и 1, удовлетворяющая условию, что нет двух подряд нулей.

Левая фигурная скобка 1

N-1


ТЛевая фигурная скобка 16аких вариантов последовательностей будет hello_html_3cba82dd.gif (из hello_html_m46a58922.gif убрали последнюю ступеньку).

hello_html_m7dc56318.gif

hello_html_m7dc56318.gif

hello_html_663f3b24.gif

1

0

2) Если последняя цифра в этой последовательности 0 (т.е. ступенька отсутствует), то перед ней может быть только 1, т.к. не должно быть двух подряд нулей. А перед этой 1 опять может быть любая последовательность из 0 и 1, удовлетворяющая условию, что нет двух подряд нулей.

N-2



Таких вариантов последовательностей будет hello_html_25d2ca03.gif (из hello_html_m46a58922.gifубрали две последних ступеньки).

А всё вместе – это все возможные последовательности длины N. Тогда по правилу суммы:

hello_html_m361d432e.gif, а это известный ряд чисел Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …), начиная с N + 2. hello_html_m263755c9.gifhello_html_m2bdb61d4.gif, т.е. hello_html_m767cf3c.gif.

Тогда искомая вероятность hello_html_28126f1c.gif.

Итак, получили, что если N = 1, то hello_html_m2f15aa6.gif. Для N = 2, hello_html_f523956.gif.

Для hello_html_m64808ddb.gif,hello_html_28126f1c.gif.

Проверим для примера формулу вероятности для N = 3.

hello_html_11dbc514.gif, hello_html_m4cad101e.gifhello_html_m263755c9.gifhello_html_6ab5e953.gif.

Действительно: всего вариантов лестниц будет n = 8 (111, 011, 101, 110, 010, 001, 100, 000), причем подходят Незнайке только 5 из них (последние 3 не подходят, т.к. содержат 00 подряд), т.е. m = 5. hello_html_m263755c9.gifhello_html_m7612f0af.gif.

ОТВЕТ: Если N = 1, то hello_html_3d4cadd2.gif. Для N = 2, hello_html_5ed5a298.gif, а для hello_html_m64808ddb.gif,hello_html_a62cfd2.gif.


8. Игральную кость подбросили 12 раз. Что больше – вероятность того, что каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 выпадет ровно 2 раза или вероятность того, что на всех 12 костях будут только четные числа.

РЕШЕНИЕ:

Вычислим сначала вероятность того, что на всех 12 костях будут только четные числа.

При одном бросании кости количество всех возможных исходов n = 6 (выпала 1 или 2, 3, 4, 5, 6). Благоприятными для наступления нашего события будут только 3 исхода: выпала 2, 4 или 6, т.е. m = 3. По классическому определению вероятности находим, что вероятность выпадения четной цифры при одном броске hello_html_m257d7c9c.gif. При 12 бросках, т.к. это независимые испытания, вероятность того, что на всех костях будут только четные числа hello_html_195fee1.gif.

Найдём теперь вероятность того, что каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 выпадет ровно по 2 раза.


Количество всех возможных исходов при 12 бросках: n = 612.

При этом благоприятными для нас исходами будут (т.е. каждая из цифр выпадет ровно по 2 раза): m = 6·6·5·5·4·4·3·3·2·2·1·1 = (6!)2, т.к. события независимые, то порядок выпадения цифр не имеет значения.

Тогда по классическому определению вероятности находим, что hello_html_m1408c392.gif.

Сравним эти вероятности: hello_html_m6b22e514.gif и hello_html_37482915.gif.

6! = 6·5·4·3·2·1 = 720 = 36·20 = 62·20

hello_html_213d84d5.gif, hello_html_m5afda4b5.gif. Сравним числа hello_html_585be20b.gif и hello_html_m293cdc43.gif.

Умножим оба числа на 24hello_html_m263755c9.gifhello_html_m7450b156.gif и hello_html_m3c5d5dc9.gif.

hello_html_a5a908e.gif и hello_html_m5a80d7b2.gif; hello_html_4f611df9.gif hello_html_2b47c38e.gif.

Получили, что вероятность выпадения на всех 12 костях четных цифр больше (хоть и не намного), чем вероятность того, что каждая из цифр выпадет ровно по 2 раза.

ОТВЕТ: вероятность того, что на всех 12 костях будут только четные числа больше.


9. Имеется неограниченное количество одинаковых кирпичей в форме прямоугольного параллелепипеда. Кирпичи кладутся друг на друга с некоторым сдвигом так, чтобы они не падали. Какой длины «крышу» можно таким образом получить?

РЕШЕНИЕ:

Положим первый кирпич длиной L, на него второй так, чтобы центр тяжести верхнего кирпича попал точно на ребро нижнего, т.е. со сдвигом на hello_html_m21c1f858.gif. У получившейся системы снова ищем центр тяжести, его проекция тоже должна попасть не ребро уже следующего кирпича hello_html_1b730b13.gifтретий кирпич ложим со сдвигом hello_html_72d2d763.gif относительно второго. И так далее, т.е. по индукции hello_html_m3267a1e9.gif кирпич можно сдвинуть относительно k-го на hello_html_60791998.gif.

Получаем последовательность hello_html_4c939d7e.gif Т.е. hello_html_7381989.gif.

Пусть xn – смещение центра масс стопки из n кирпичей относительно центра кирпича, на котором эта стопка лежит, тогда: 

hello_html_400684f5.gif;
hello_html_m6adc9525.gif; 
hello_html_3ccffc6c.gif; и т.д. 

Получили, что смещение самого верхнего кирпича относительно самого нижнего (сумма всех ak) – это частичная сумма гармонического ряда. Известно, что он расходится.

Система hello_html_394711e3.gifдостигает максимума в вершине, где все неравенства превращаются в равенства. А, значит, по лесенке можно забраться бесконечно далеко.

ОТВЕТ: крышу можно сделать как угодно длинной.


МЕТОДИЧЕСКИЙ БЛОК


10. В hello_html_cd3c748.gifhello_html_m5155152a.gif=300, АС = 2, АМ и СN –высоты hello_html_cd3c748.gif. Найти длину MN.

hello_html_m5d6fadd7.png

Ошибки: В условии задачи сказано, что АМ и СN –высоты hello_html_cd3c748.gif, а на предложенном Вами чертеже высоты АN и СМ. В дальнейшем решение задачи выполнено по чертежу. Если же рассматривать решение в соответствие с условием, то hello_html_m24cbd4a6.gifи hello_html_m2ff83cf2.gif- вырожденные, а не прямоугольные. Рассматривать нужно прямоугольные hello_html_m717aef99.gif: hello_html_mf86171b.gifи hello_html_4bd82c88.gif: hello_html_m2deb1c20.gif.

Далее, в решении сказано, что треугольники подобны по 2 признаку. Но классически подобие по пропорциональности 2-х сторон и общему углу, считается 1 признаком подобия. Поэтому при доказательстве подобия лучше указывать не номер признака, а равные углы или (и) пропорциональность сторон. В остальном решение, приведенное для чертежа, верно и для случая, если один из углов А или С – тупой или прямой.

hello_html_391ea639.png

hello_html_6bd1a5f8.png

hello_html_m73499b11.png

Обычно, ошибки допускаются, в решении обратной к данной задаче, когда даны длины АС и MN, а найти надо hello_html_5c375e5.gif, который может оказаться тупым.

Ученики приходят к выводу:hello_html_785716c9.gif, вместо правильного hello_html_6540a0da.gif. Тем самым теряя второе значение hello_html_5c375e5.gif.

11. Решить уравнение: (х2 +2х–5)2 + 2(х2 +2х–5) – 5 = х

1 способ. Группировка. Учит искусственным приемам группировки, введению новой переменной, упрощающей преобразования, развивает интуицию, аккуратность и упорство в преобразованиях. Место применения: факультативные занятия в 8 классе.

(х2 +2х+1–6)2 + 2(х2 +2х+1–6) – 4 = х+1hello_html_39bcdcee.gif((х+1)2–6)2 + 2((х+1)2–6) – 4 = х+1.

Пусть х + 1 = у. Уравнение примет вид: (у2 – 6)2 + 2(у2 – 6) – 4 = у

hello_html_39bcdcee.gifу4 – 12у2 + 36 + 2у2 – 12 – 4 = у hello_html_39bcdcee.gifу4 – 10у2у + 20 = 0hello_html_39bcdcee.gif

у4 + у3 – 4у2у3у2 + 4у– 5у2 – 5у + 20 = 0hello_html_39bcdcee.gifу2(у2 + у – 4) – у(у2 + у – 4) –5(у2 + у – 4) = 0 hello_html_39bcdcee.gif

(у2 + у – 4)( у2у – 5) = 0hello_html_39bcdcee.gifhello_html_m4613a5e.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m4cee5741.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_5731860b.gif

ОТВЕТ: hello_html_146da728.gif; hello_html_m5c2708fd.gif

2 способ. Изменение роли переменной и числа. Место применения: факультативные занятия в 8 классе. Учит решать уравнения высших степеней, сведением к квадратным. Полезно, когда не находится нужное разложение на множители. Также полезно для развития навыков выделения полного квадрата.

(х2 + 2х – 5)2 + 2(х2 + 2х – 5) – 5 = хhello_html_39bcdcee.gif(х2 + 2х – 5)2 + 2(х2 + 2х – 5) +1 – 6 = хhello_html_39bcdcee.gif

(х2 + 2х – 5 + 1)2 = х + 1 + 5hello_html_39bcdcee.gif((х + 1)2 – 5) = (х + 1) + 5.

Пусть х + 1 = у. Уравнение примет вид: (у2 – 5)2 = у + 5. Пусть а = 5.

Уравнение примет вид: у4 – 10у2 + а2 = у + а. Это уравнение квадратное относительно а.

а2 – (2у2 + 1)а + у4у = 0; D = (2у2 + 1)2 – 4(у4у) = 4у4 + 4у2 + 1 – 4у4 + 4у = (2у + 1)2;

hello_html_m63893386.gif; hello_html_m3cfd1468.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_3303d2e1.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m4613a5e.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m4cee5741.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_5731860b.gif

ОТВЕТ: hello_html_146da728.gif; hello_html_m5c2708fd.gif

12. Разобьем задачу на 2 этапа: доказательство и вычисления .

1 способ

hello_html_51811897.png

Дано: АВСА1В1С1 –правильная треугольная призма. L, K –середины ребер АВ и А1С1 соответственно.

О- точка пересечения диагоналей грани ВВ1С1С.

Доказать: пл-ть(LKO)hello_html_m3369453f.gifпл-ти (ВВ1С1С)

Доказательство: MN ║РLKQAA1.

Пл-ть (LPKQ)hello_html_m5a255bc4.gifпл-ть (AA1MN) = DRMN.

S – середина DR(из равенства треугольников DSK и LRS. Shello_html_m289d78ff.gifпл-ти (LKO), т.к. hello_html_m289d78ff.gifотрезку LK.

OShello_html_m5a255bc4.gifАА1 в точке U – середине АА1.

Отрезок UO лежит в плоскости сечения и является перпендикуляром к плоскости (ВВ1С1С) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. UOANhello_html_m3369453f.gifBC и ВВ1hello_html_m3369453f.gif ANUO. Плоскость сечения (LKO)проходит через UO, являющимся перпендикуляром к плоскости (ВВ1С1С). Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей плоскости (LKO) и (ВВ1С1С) перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Данный способ доказательства применяется при решении задач на доказательство перпендикулярности прямой и плоскости и перпендикулярности плоскостей и связи между параллельностью и перпендикулярностью в 10 классе. Заметим, что построение сечения не требуется, достаточно доказать принадлежность перпендикуляра одной из плоскостей.

Вычисление:

hello_html_148ad8c8.png

Поскольку доказано, что секущая плоскость проходит через UOANhello_html_1b730b13.gif UO║ пл-ти (АВС) по признаку параллельности прямой и плоскости. Т.к. секущая плоскость проходит через прямую, параллельную основаниям призмы, то она пересекает основания по прямым LH и KG параллельным UO. Следовательно, GHhello_html_m289d78ff.gifсекущей плоскости. LHhello_html_m3369453f.gifпл-ти ВВ1С1С. LH- линия пересечения секущей плоскости и плоскости основания.

Следовательно hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m4d140563.gif - линейный угол между секущей плоскостью и плоскостью основания. Очевидно, что ВН = 0,5 ВN= 0,25 ВС = С1G.

Угол найдем из следующей планиметрической задачи.

hello_html_m5d4bc968.gif

hello_html_477b40e9.gif, где h – длина бокового ребра, а – длина ребра основания.

ОТВЕТ: hello_html_m7c53c7d.gif, где h – длина бокового ребра,

а – длина ребра основания.


hello_html_m686d245f.png

Данный способ применяется при отработке теорем, связанных с параллельностью в пространстве, а также полезен при повторении планиметрии. Само сечение при этом не строится, а строятся только следы секущей плоскости.

2 способ

hello_html_m139a8b44.png

Доказательство: Построим сечение, используя уже доказанный факт принадлежности точки U –середины ребра АА1 данному сечению. UKhello_html_m5a255bc4.gifCC1=S1, ULhello_html_m5a255bc4.gif CC1=S2, S1S2 hello_html_m5a255bc4.gifB1C1=G,

S1S2 hello_html_m5a255bc4.gifBC=H. LUKGH – искомое сечение.

hello_html_1168e7da.gif как прямоугольные, с равными катетами AL=LB=A1K=KC1 и равными острыми углами.

Отсюда следует ВS2=C1S1 = 0,5АА1 и соответственно равенство треугольников BHS2 и S1C1G –прямоугольных по катету и острому углу.

Далее, hello_html_2e85d6ba.gifGS1C1 подобен hello_html_2e85d6ba.gifHS1C с коэффициентом подобия hello_html_m19e8bb17.gif. Тогда GC1=BH=x, HC =3x, МС1=2х. hello_html_2e85d6ba.gifC1KS подобен hello_html_2e85d6ba.gifС1А1М . Тогда KG║А1Мhello_html_m3369453f.gif пл-ти (ВВ1С1С). Док-во приведено в 1 способе. Пл-ть ( LUKGH) проходит через KGhello_html_m3369453f.gif пл-ти (ВВ1С1С). По признаку перпендикулярности плоскостей пл-ть ( LUKGH) hello_html_m3369453f.gif пл-ти (ВВ1С1С), что и требовалось доказать.

Данный способ доказательства применяется при решении задач на доказательство перпендикулярности прямой и плоскости и перпендикулярности плоскостей и связи между параллельностью и перпендикулярностью в 10 классе. Разница с 1 способом в том, что построено сечение.

Вычисление: LH – линия пересечения секущей плоскости и плоскости основания.

KGLH hello_html_m3369453f.gif пл-ти (ВВ1С1С). hello_html_7707454f.gifS1HC – линейный угол угла между плоскостями по определению. hello_html_m3f8c356.gif. Откуда угол между плоскостью основания и секущей плоскостью равен арктангенсу отношения удвоенной длины бокового ребра к длине ребра основания.

ОТВЕТ: hello_html_767bc76e.gif, где h – длина бокового ребра, а – длина ребра основания.

Этот способ применяется при изучении темы Построение и вычисление угла между плоскостями в 10 классе.

3 способ

hello_html_211cc1ac.png

Пусть АА1 : АВ = h . Поместим призму в декартову систему координат так, чтобы плоскость основания совпала с плоскостью ХОУ, начало координат с точкой N. Тогда координаты точек, через которые проходит сечение, будут иметь координаты, указанные на чертеже.

Нормальный вектор пл-ти (ВВ1С1С) будет иметь координаты hello_html_3525b136.gif(0; 1; 0).

Найдем координаты нормального вектора

пл –ти (LOK).

Для этого составим уравнение этой плоскости:

ах + ву + сz + d =0.

hello_html_m2e0f448b.gifсложим 2 и 3 уравнения и подставим с из 1 уравнения

hello_html_39bcdcee.gifhello_html_3070c587.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_11d29773.gif

Итак, нормальный вектор пл –ти (LOK) hello_html_m3acc6d53.gifhello_html_4593d304.gif.

Найдем скалярное произведение векторов hello_html_3e021ffb.gif(0; 1; 0) и hello_html_m3acc6d53.gifhello_html_4593d304.gif.

hello_html_m251d5bf3.gif. Откуда следует, чтоhello_html_3cfdeec.gif. Из перпендикулярности нормальных векторов следует перпендикулярность плоскостей, что и требовалось доказать.

Вычисление:

Угол между секущей плоскостью и плоскостью основания с нормальным вектором hello_html_8edbd0d.gif(0; 0; 1) вычислим с помощь скалярного произведения.

hello_html_m660ca5b9.gif=hello_html_4325a257.gif= hello_html_6e9dc091.gif=hello_html_397596ff.gifhello_html_1b730b13.gifугол между секущей плоскостью и плоскостью основания равен hello_html_m1493fa9b.gif, где h – отношение высоты призмы к длине ребра основания.

Данный метод, как универсальный, рассматривается при изучении темы Декартовы координаты в пространстве в 11 классе. В базовом курсе математики уравнение плоскости не вводится. Поэтому данный метод рассматривается в рамках факультативных занятий. В классах математического профиля данный метод рассматривается в 11 классе. Полезно знакомить с этим методом на курсах подготовки к ЕГЭ.

ОТВЕТ: hello_html_27965006.gif, где h – отношение высоты призмы к длине ребра основания.


Решение конкурсных задач МФ УдГУ для учителей математики, участник antropo4ka.

Автор
Дата добавления 20.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров3608
Номер материала ДВ-175026
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх