Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Статьи / Олимпиадные задания по математике
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Олимпиадные задания по математике

библиотека
материалов

Олимпиадные задания по математике 10-11 класс.

  1. При каких значениях параметра m уравнение hello_html_m17e5f93d.gif

  2. Из вершины острого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, которая разделила противоположный катет на отрезки а = 4 см, b = 5 см. Вычислите площадь треугольника.

  3. Путь из села в город таков: сначала 15 км в гору, потом 6 км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1 ч, обратно 2,5 ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?

  4. Постройте эскиз графика функции:hello_html_m52474d54.png.

  5. Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения hello_html_364b60d5.pngположительны.

  6. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

  7. В равнобедренном треугольнике основание равно 8, боковая сторона 5. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

Критерии оценивания.

10 баллов – Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Все шаги обоснованы и верны.

8 баллов – Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Один из шагов решение пропущен или не обоснован.

6 баллов – Получен правильный ответ. Приведено правильное решение, но не полное. Пропущено несколько шагов решения, или обоснование приведенного решение не точно (с описками, недочетами).

4 балла – Приведено правильное решение, но допущена одна вычислительная ошибка, которая привела к не правильному ответу. Шаги решения приведены.

2 балла – Приведен правильный ответ, без обоснования, или рассмотрен частный случай.

0 баллов – Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.



Решение.

Задача №1

При каких значениях параметра m уравнение hello_html_m4702d066.gif

hello_html_m4d975a30.gifешение.

ОДЗ: хhello_html_3762f679.gif

1-й случай. Если 3m-2=0, то m = hello_html_m5c543d63.gif имеем m + 2 = hello_html_m3d7734e1.gif+2hello_html_678774ac.gif В этом случае в левой части преобразованного уравнения будет выражение, отличное от нуля при любом х из ОДЗ уравнения, а в правой части – нуль. Следовательно, при m = hello_html_m6c9e3c37.gifданное уравнение решений не имеет, то есть m = hello_html_1dde14af.gif

2-й случай. 3m-2 hello_html_8495c66.gif. Тогда х2 = hello_html_3330b061.gifТак как х≠0, то полученное уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда hello_html_m5f2d2098.gif Решая это неравенство, получим -2hello_html_6621d787.gifmhello_html_m650badb6.gif.

Так как в первом случае показано, что m = hello_html_m3d7734e1.gif, также удовлетворяет условию задачи, то получим hello_html_m6cb98720.gif

Ответ: m [-2; hello_html_m3d7734e1.gif].

Задача №2.

И

AF

з вершины острого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, которая разделила противоположный катет на отрезки а = 4см, b = 5см. Вычислите площадь треугольника.

РПрямоугольный треугольник 7Прямая соединительная линия 12ешение.hello_html_62006067.gif прямой

см, DB = 5см.

Катет СB = 4 + 5 = 9hello_html_m2638215.gif. Используя свойство

биссектрисы угла треугольника:

hello_html_448e869e.gif

hello_html_m1c99789d.gifтеореме Пифагора AC 2 + CB2 = AB2 ;

A

C

D

B

C2 + 81 =hello_html_m212ec7a8.gif AC2 ; 16AC2 + 16hello_html_79369db9.gif 81 = 25AC2 ;

16 ∙ 81= 9 AC2 ; AC = hello_html_528f336e.gif = 12hello_html_m2638215.gif.

SABC = hello_html_m1722f874.gif AC hello_html_47278024.gif CB = hello_html_m1722f874.gif hello_html_60c138d2.gif.

Ответ: 54см2

Задача №3

Путь из села в город таков: сначала 15км в гору, потом 6км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1ч, обратно 2,5ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?

Решение.

Пусть в гору велосипедист ехал со скоростью х км/ч, а с горы - у км/ч. Больше времени заняла дорога с большим подъемом, поэтому hello_html_f2b93c9.gif+hello_html_4d2bed86.gif и b =hello_html_6170de76.gif и решим систему уравнений:hello_html_4d5bafe7.gif Она имеет единственное решение

a = hello_html_m56c92d0a.gif, b = hello_html_13bd3ad4.gif. Откуда х = 6, у= 10. Это означает, что скорость велосипедиста в гору 6 км/ч, а с горы 10 км/ч.

Ответ: 6 км/ч, 10 км/ч.

Задача 4. Постройте эскиз графика функции:hello_html_m52474d54.png.


Решение.
hello_html_m71392c67.png

Отсюда график:


hello_html_m7d530abe.png



Задача 5. Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения hello_html_364b60d5.pngположительны.


Решение. Если (а+1)=0, то уравнение будет линейным, и его корнем приа=-1 является х=1. Подходит.
Если
а?-1, то уравнение будет квадратным. По теореме Виета его корни положительны тогда и только тогда, когда выполняется

hello_html_1e446b32.png.
С учетом первого случая получаем ответ
hello_html_m2b4116aa.png.

Ответ hello_html_m2b4116aa.png


Задача 6. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?


Решение. Пусть первоначально квас стоил х% от денежки, а хлеб – (100-х)%. После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс hello_html_m187ceeff.png. Отсюда hello_html_m633a959b.png. При двукратном подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше стоимости денежки.

Ответ. Хватит.


Задача №7

В равнобедренном треугольнике основание равно 8, боковая сторона 5. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

Р

C

ешение.

ООвал 14Прямая соединительная линия 20Прямая соединительная линия 21

B

– центр описанной окружности,

МПрямая соединительная линия 15Прямая соединительная линия 17Прямая соединительная линия 18

M

Прямая соединительная линия 288 – центр вписанной окружности,

АПрямая соединительная линия 22

D

D

В = ВС = 5, АС = 8, МD = r, ВО = R.

Найдем площадь и периметр данного

O

треугольника. SABC = hello_html_m1722f874.gif AChello_html_47278024.gifBD;

A

BD = hello_html_m32e30030.gif = 3 , SABC = hello_html_m1722f874.gif hello_html_4d526f4.gif = 12

p = hello_html_1565b9ed.gif1hello_html_m4ccea8f3.gif.

R = hello_html_403d0e03.gif =hello_html_65915899.gif;

OM = OBhello_html_m4a8f3182.gif + DM = R hello_html_47278024.gif BD + r = hello_html_783c559.gif

Ответ: hello_html_47d47ead.gif; R = 4hello_html_1d2aac09.gif OM = 2,5.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 16.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров70
Номер материала ДБ-356820
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх