Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Олимпиадные задания по математике

Олимпиадные задания по математике

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Олимпиадные задания по математике 10-11 класс.

  1. При каких значениях параметра m уравнение hello_html_m17e5f93d.gif

  2. Из вершины острого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, которая разделила противоположный катет на отрезки а = 4 см, b = 5 см. Вычислите площадь треугольника.

  3. Путь из села в город таков: сначала 15 км в гору, потом 6 км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1 ч, обратно 2,5 ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?

  4. Постройте эскиз графика функции:hello_html_m52474d54.png.

  5. Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения hello_html_364b60d5.pngположительны.

  6. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

  7. В равнобедренном треугольнике основание равно 8, боковая сторона 5. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

Критерии оценивания.

10 баллов – Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Все шаги обоснованы и верны.

8 баллов – Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Один из шагов решение пропущен или не обоснован.

6 баллов – Получен правильный ответ. Приведено правильное решение, но не полное. Пропущено несколько шагов решения, или обоснование приведенного решение не точно (с описками, недочетами).

4 балла – Приведено правильное решение, но допущена одна вычислительная ошибка, которая привела к не правильному ответу. Шаги решения приведены.

2 балла – Приведен правильный ответ, без обоснования, или рассмотрен частный случай.

0 баллов – Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.



Решение.

Задача №1

При каких значениях параметра m уравнение hello_html_m4702d066.gif

hello_html_m4d975a30.gifешение.

ОДЗ: хhello_html_3762f679.gif

1-й случай. Если 3m-2=0, то m = hello_html_m5c543d63.gif имеем m + 2 = hello_html_m3d7734e1.gif+2hello_html_678774ac.gif В этом случае в левой части преобразованного уравнения будет выражение, отличное от нуля при любом х из ОДЗ уравнения, а в правой части – нуль. Следовательно, при m = hello_html_m6c9e3c37.gifданное уравнение решений не имеет, то есть m = hello_html_1dde14af.gif

2-й случай. 3m-2 hello_html_8495c66.gif. Тогда х2 = hello_html_3330b061.gifТак как х≠0, то полученное уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда hello_html_m5f2d2098.gif Решая это неравенство, получим -2hello_html_6621d787.gifmhello_html_m650badb6.gif.

Так как в первом случае показано, что m = hello_html_m3d7734e1.gif, также удовлетворяет условию задачи, то получим hello_html_m6cb98720.gif

Ответ: m [-2; hello_html_m3d7734e1.gif].

Задача №2.

И

AF

з вершины острого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, которая разделила противоположный катет на отрезки а = 4см, b = 5см. Вычислите площадь треугольника.

РПрямоугольный треугольник 7Прямая соединительная линия 12ешение.hello_html_62006067.gif прямой

см, DB = 5см.

Катет СB = 4 + 5 = 9hello_html_m2638215.gif. Используя свойство

биссектрисы угла треугольника:

hello_html_448e869e.gif

hello_html_m1c99789d.gifтеореме Пифагора AC 2 + CB2 = AB2 ;

A

C

D

B

C2 + 81 =hello_html_m212ec7a8.gif AC2 ; 16AC2 + 16hello_html_79369db9.gif 81 = 25AC2 ;

16 ∙ 81= 9 AC2 ; AC = hello_html_528f336e.gif = 12hello_html_m2638215.gif.

SABC = hello_html_m1722f874.gif AC hello_html_47278024.gif CB = hello_html_m1722f874.gif hello_html_60c138d2.gif.

Ответ: 54см2

Задача №3

Путь из села в город таков: сначала 15км в гору, потом 6км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1ч, обратно 2,5ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?

Решение.

Пусть в гору велосипедист ехал со скоростью х км/ч, а с горы - у км/ч. Больше времени заняла дорога с большим подъемом, поэтому hello_html_f2b93c9.gif+hello_html_4d2bed86.gif и b =hello_html_6170de76.gif и решим систему уравнений:hello_html_4d5bafe7.gif Она имеет единственное решение

a = hello_html_m56c92d0a.gif, b = hello_html_13bd3ad4.gif. Откуда х = 6, у= 10. Это означает, что скорость велосипедиста в гору 6 км/ч, а с горы 10 км/ч.

Ответ: 6 км/ч, 10 км/ч.

Задача 4. Постройте эскиз графика функции:hello_html_m52474d54.png.


Решение.
hello_html_m71392c67.png

Отсюда график:


hello_html_m7d530abe.png



Задача 5. Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения hello_html_364b60d5.pngположительны.


Решение. Если (а+1)=0, то уравнение будет линейным, и его корнем приа=-1 является х=1. Подходит.
Если
а?-1, то уравнение будет квадратным. По теореме Виета его корни положительны тогда и только тогда, когда выполняется

hello_html_1e446b32.png.
С учетом первого случая получаем ответ
hello_html_m2b4116aa.png.

Ответ hello_html_m2b4116aa.png


Задача 6. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?


Решение. Пусть первоначально квас стоил х% от денежки, а хлеб – (100-х)%. После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс hello_html_m187ceeff.png. Отсюда hello_html_m633a959b.png. При двукратном подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше стоимости денежки.

Ответ. Хватит.


Задача №7

В равнобедренном треугольнике основание равно 8, боковая сторона 5. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

Р

C

ешение.

ООвал 14Прямая соединительная линия 20Прямая соединительная линия 21

B

– центр описанной окружности,

МПрямая соединительная линия 15Прямая соединительная линия 17Прямая соединительная линия 18

M

Прямая соединительная линия 288 – центр вписанной окружности,

АПрямая соединительная линия 22

D

D

В = ВС = 5, АС = 8, МD = r, ВО = R.

Найдем площадь и периметр данного

O

треугольника. SABC = hello_html_m1722f874.gif AChello_html_47278024.gifBD;

A

BD = hello_html_m32e30030.gif = 3 , SABC = hello_html_m1722f874.gif hello_html_4d526f4.gif = 12

p = hello_html_1565b9ed.gif1hello_html_m4ccea8f3.gif.

R = hello_html_403d0e03.gif =hello_html_65915899.gif;

OM = OBhello_html_m4a8f3182.gif + DM = R hello_html_47278024.gif BD + r = hello_html_783c559.gif

Ответ: hello_html_47d47ead.gif; R = 4hello_html_1d2aac09.gif OM = 2,5.



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 16.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров22
Номер материала ДБ-356820
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх