Олимпиадные задания по математике 10-11
класс.
1. При
каких значениях параметра m
уравнение
2. Из вершины
острого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, которая
разделила противоположный катет на отрезки а = 4
см, b = 5
см. Вычислите площадь треугольника.
3. Путь
из села в город таков: сначала 15 км в гору, потом 6
км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной
скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1 ч, обратно 2,5 ч. Какова
скорость велосипедиста в гору и с горы?
4.
Постройте эскиз графика
функции:.
5.
Найдите все значения числового
параметра а, при которых корни уравнения положительны.
6.
М. В. Ломоносов тратил одну
денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он
приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если
цены вырастут еще на 20%?
7. В
равнобедренном треугольнике основание равно 8, боковая сторона 5. Вычислите
радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.
Критерии оценивания.
10 баллов – Получен правильный ответ.
Приведено полное, правильное решение. Все шаги обоснованы и верны.
8 баллов – Получен правильный ответ.
Приведено полное, правильное решение. Один из шагов решение пропущен
или не обоснован.
6 баллов – Получен правильный ответ.
Приведено правильное решение, но не полное. Пропущено несколько шагов решения,
или обоснование приведенного решение не точно (с описками, недочетами).
4 балла – Приведено правильное решение, но
допущена одна вычислительная ошибка, которая привела к не правильному
ответу. Шаги решения приведены.
2 балла – Приведен правильный ответ, без
обоснования, или рассмотрен частный случай.
0
баллов – Решение
не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
Решение.
Задача №1
При каких значениях параметра m
уравнение
ешение.
ОДЗ: х
1-й случай. Если 3m-2=0,
то m
= имеем m +
2 = +2 В этом случае в левой
части преобразованного уравнения будет выражение, отличное от нуля при любом х
из ОДЗ уравнения, а в правой части – нуль. Следовательно, при m
= данное уравнение решений
не имеет, то есть m
=
2-й случай. 3m-2 . Тогда х2
= Так как х≠0, то
полученное уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда Решая это неравенство,
получим -2m.
Так как в первом случае показано, что m = , также удовлетворяет
условию задачи, то получим
Ответ: m∈
[-2; ].
Задача №2.
Из
вершины острого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, которая
разделила противоположный катет на отрезки а = 4см, b = 5см.
Вычислите площадь треугольника.
Решение. прямой
<CAD = <DAB, CD = 4см, DB = 5см.
Катет СB = 4 + 5 =
9.
Используя свойство
биссектрисы угла
треугольника:
теореме
Пифагора AC 2 + CB2 = AB2 ;
AC2
+ 81 = AC2 ;
16AC2 + 16 81 = 25AC2
;
16 ∙ 81= 9 AC2 ;
AC = = 12.
SABC = AC CB = .
Ответ: 54см2
Задача
№3
Путь из села в город таков: сначала 15км в
гору, потом 6км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной
постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1ч, обратно
2,5ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?
Решение.
Пусть в гору велосипедист ехал со
скоростью х км/ч, а с горы - у км/ч. Больше времени заняла
дорога с большим подъемом, поэтому + и b
= и решим систему
уравнений: Она имеет единственное
решение
a
= , b
= . Откуда х = 6, у= 10.
Это означает, что скорость велосипедиста в гору 6
км/ч, а с горы 10 км/ч.
Ответ: 6
км/ч, 10 км/ч.
Задача
4. Постройте эскиз графика функции:.
Решение.
Отсюда
график:
Задача 5. Найдите все значения числового параметра а, при которых
корни уравнения положительны.
Решение. Если (а+1)=0, то уравнение будет линейным, и его корнем
приа=-1 является х=1. Подходит.
Если а?-1, то уравнение будет квадратным. По теореме Виета его корни
положительны тогда и только тогда, когда выполняется
.
С учетом первого случая получаем ответ .
Ответ
Задача 6. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли
на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же
денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?
Решение. Пусть первоначально квас стоил х% от денежки,
а хлеб – (100-х)%. После подорожания цен на 20%, получим следующий
баланс . Отсюда . При двукратном
подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%,
что меньше стоимости денежки.
Ответ. Хватит.
Задача
№7
В равнобедренном треугольнике
основание равно 8, боковая сторона 5. Вычислите радиусы вписанной и описанной
окружностей и расстояние между их центрами.
Решение.
О – центр описанной окружности,
М – центр
вписанной окружности,
АВ = ВС = 5, АС = 8, МD = r, ВО = R.
Найдем площадь и периметр данного
треугольника.
SABC
= ACBD;
BD =
= 3 , SABC
= = 12
p = 1.
R = =;
OM = OB + DM = R BD + r =
Ответ:
; R = 4 OM = 2,5.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.