Олимпиадные задания по математике

Олимпиада МИФ 2015

7 класс

1.      От записанной карандашом задачи сохранился лишь следующий текст: «Произведение… последовательных… двухзначных чисел равно 12075. Найти сомножители» (многоточие означают неразборчивые слова). Восстановить текст задачи и решить её.(5б)

2.      Сумма 4-х натуральных чисел равна 279. Может ли их произведение оказаться равным 721? (Ответ обосновать).(5б)

3.      В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, равным 37 см, внешний угол при вершине В равен 60⁰. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ.(5б)

8 класс

1.      Петя написал на доске 10 целых чисел. Затем он нашел произведение каждой пары чисел, написанных на доске. Ровно 15 из этих произведений оказались отрицательными. Сколько нулей среди 10 написанных на доске чисел? (5б)

2.      Числа x, y удовлетворяют равенству: -6x=2xy-- Найти x+y.  (5б)

3.      Биссектриса BP угла B в треугольнике АВС делит сторону АС в отношении 1:2 (АР: РС=1:2). Какой угол образует эта биссектриса с медианной, проведенной из вершины А?  (5б)

9 класс

1.      Сосчитайте .­  (4б.)

2.   Найти 20 знаков после запятой в числе (5-)²⁰

(6б.)

3.      Поверхность пруда имеет форму квадрата. В вершинах его растут 4 дуба. (A, B, C, D). Хотят вдвое увеличить площадь труда, но так, чтобы новый труд сохранения форму квадрата и чтобы все 4 дуба остались на своих местах. Как это сделать? (5б.)

10 класс

1.      Функция f(х) такова, что для всех х верно 3 f(х)+ f(-х)=+2х. (4б.)

2.   Доказать, что числа( , и  составляют геометрическую прогрессию. (5б.)

3.      Доказать, что сумма медиан треугольника меньше его периметра и больше трех четвертей периметра? (6б.)

11 класс

1.      В результате опроса учеников школы выяснилось, что равно 68% учеников знают год рождения А.С. Пушкина, равно  учеников умеют доказывать теорему Пифагора, равно  учеников любят ходить в кино и равно 512 учеников читали книгу ДЖ.К. Роулинг «Гарри Поттер и философский камень». Найти минимально возможное количество учеников в этой школе.(5б)

2.   Решить систему . (6б)

3.      Карлсон, заполнил конический фужер лимонадом и отнес половину по высоте (считая от поверхности жидкости до вершины конуса), а 2-ую половину допил Малыш. Во сколько раз Карлсон выпил лимонаду больше чем Малыш? (4б)