Олимпиадные задания по математике "Умные задачи"

Олимпиадные задачи по математике «Умные задачи»

Задача 1 | 20 баллов

Хозяйка испекла для гостей пирог. К ней может прийти либо 10, либо 11 человек. На какое наименьшее число кусков ей нужно заранее разрезать пирог так, чтобы его можно было поделить поровну как между 10, так и между 11 гостями?

Задача 2 | 20 баллов

Корабль плывет по реке с постоянной скоростью. По палубе ходит пассажир, его скорость постоянна относительно корабля. От кормы к носу пассажир идет со скоростью V1 = 11,4 м/с относительно берега. Обратно он идет со скоростью V2 = 8,6 м/с относительно берега. Длина палубы L = 70 м. Пассажир прошел один раз от кормы к носу и обратно. Какое расстояние (в метрах) относительно берега проплыл за это время корабль?

Задача 3 | 20 баллов

Эспрессо представляет собой крепкий кофейный напиток, в котором, согласно традиционному рецепту, на 25 мл воды приходится 5 г кофе. Чтобы приготовить порцию другого кофейного напитка — латте, — необходимо вспенить 90 г молока и прилить к нему тонкой струйкой 30 г эспрессо. Определите массовую долю кофе в порции латте, в которую добавили 10 г сахара. Ответ (в %) округлите до целого числа.

Задача 4 | 10 баллов

На ленте напечатаны цифры. Над лентой находится некий исполнитель, который может выполнять 2 команды:

(←) – передвинуться на одну цифру влево;

(+) – изменить цифру, над которой он находится в данный момент, по правилу: 1 изменяется на 2; 2 – на 3; 3 – на 4; 4 – на 5; 5 – на 6; 6 – на 7; 7 – на 8; 8 – на 9; 9 – на 0; 0 – на 1. На ленте напечатано  число 2307, исполнитель находится над цифрой 7. Как увеличить число на 93 за минимальное количество команд?

Укажите ответ:

 3 раза выполнить команду (+), выполнить команду (?), 10 раз выполнить команду (+)
 93 раза выполнить команду (+)
 3 раза выполнить команду (+), выполнить команду (←), 9 раз выполнить команду (+), выполнить команду (←), выполнить команду (+)
 3 раза выполнить команду (+), 2 раза выполнить команду (?), выполнить команду (+)

Задача 5 | 10 баллов

Отметьте основные отличия биологического вида «Человек разумный» от других представителей царства животных:

Укажите ответы:

 наличие укороченного периода эмбриогенеза и продолжительной физиологической зависимости потомства от взрослых
 наличие речи
 наличие крупного, хорошо развитого мозга
 наличие абстрактного мышления
 социальное поведение

Задача 6 | 10 баллов

На карте с масштабом 1:10000000 длина объекта равна 12,5 миллиметров. Какая реальная длина этого объекта в километрах.