Оригами - это математика

МКУ «Районное управление образованием»

Администрация МО «Кабанский район»

МБОУ «Селенгинская средняя общеобразовательная школа № 2»

Оригами – это математика?

Выполнил: ученик 8А класса  Жалнина Дарья,

                                                 Научный руководитель: Мальцева Ирина Викторовна,

                                                  учитель математики I  квалификационной категории

.

2014 г

К читателю.

Обратите внимание на использование оригамских методов решения задач, поскольку это искусство также знакомит учащихся со всеми геометрическими объектами и, главное, облегчает освоение курса. Ведь главной целью  занятий оригами является всестороннее развитие геометрического мышления и формирование геометрических знаний средствами оригами, которые помогают преодолеть трудности, и позволяют учащимся «войти в пространство».

Немного из истории

Оригами - это японское искусство складывания бумаги, образовано от японского oru (складывать) и kami (бумага). Оригами - одно из самых доступных искусств, ведь для того, чтобы сложить фигурку требуется лишь листок бумаги. Стандартная бумага для оригами должна быть тонкой, прочной и должна хорошо держать складки. Обычно она с одной стороны белая, а с другой - цветная и имеет форму квадрата со стороной 15 см.

Родиной оригами является Япония. Объясняется это тем, что в этой стране процесс складывания удачно иллюстрировал некоторые мировоззренческие идеи философии Дзен. Немаловажным оказалось также сходство звучания японских слов "бумага" и "Бог" - "ками". Таким образом, у японцев возникала связь между религиозным ритуалом и складыванием фигурок из бумаги. Один из ритуалов с их использованием состоял в изготовлении небольших бумажных коробочек Санбо. В них помещали кусочки рыбы и овощей, которые предназначались в дар богам.

В периоды Камакура (1185-1333) и Муромати (1333-1573) оригами выходит за пределы храмов и достигает императорского двора. Аристократия и придворные должны были обладать определенными навыками и в искусстве складывания. В зажиточных семьях родители нанимали учителей оригамистов для преподавания искусства бумажной пластики. Записки, сложенные в форме бабочки, журавля, цветка или абстрактной геометрической фигуры, были символом дружбы или доброго пожелания для любимого человека. Различные знатные семьи использовали фигурки оригами как герб и печать. В период Адзути Момояма (1573-1603) и Эдо (1603-1867) оригами из церемониального искусства превратилось в популярный способ времяпровождения.

Сам термин оригами возник и закрепился только в 1880 году, когда данное искусство стало частью аристократического общества и вошло в число обязательных для японских семей. Япония, создавшая оригамную «азбуку», официально стала родиной оригами. Она задала некую классическую основу, от которой отталкивались остальные покорители искусства создания бумажных шедевров. Появление авторских моделей и начало развития оригами, как направления современного искусства, связывают с именем знаменитого японского мастера Акиры Йошизавы. Во второй половине двадцатого века он уже активно пользуется придуманной им системой записи процесса складывания и извлекает из хорошо известных базовых форм множество новых моделей.

Но нельзя сказать, что искусство оригами развивалось только в Японии. Например, в Испании  под руководством Мигуеля Уманумо, образовалась «испанская школа», в которой были разработаны доселе фигурки. В 1937 году в Лондоне выходит в свет книга Маргарет Кембелл "Изготовление бумажных игрушек", в которой впервые упоминаются три традиционные на Востоке базовые формы - "водяная бомбочка", "птица" и "лягушка". В 1946 году схема складывания классического японского журавлика публикуется в одном из английских детских ежегодных журналов.

Фокусник Роберт Харбин (1909-1978) всерьез увлекается оригами и собирает любую информацию на эту тему. Он знакомится не только со всеми классическими работами, но и с изобретениями Акиры Йошизавы, который к этому времени уже стал известным японским оригамистом. В результате в 1955 году на телевизионном канале "Jigsaw" Харбин делает регулярную программу по оригами "Мистеры Левая и Правая Рука", а в 1956 г. он выпускает в свет книгу, полностью посвященную оригами. В июне 1965 г. в Англии в свет начинает выходить "Оригамский листок", а 22 апреля 1967 г. создается общественная организация - Английское Общество Оригами (British Origami Society - BOS), в этом году BOS исполнилось 43 года. В конце шестидесятых годов образовываются центры оригами в США, в Англии, в Турине и Флоренции, во Франции, в Нидерландах и Бельгии, Испанского центра оригами в Барселоне.

Не обошло стороной оригами и Россию, но сначала этот вид искусства был освоен детьми. Первым об оригами узнал юный наследник престола Николая II от учителя английского языка Чарльза Сиднея Гиббса, филолога из Кембриджа. Любовью к технике оригами отличался и великий русский писатель Лев Николаевич Толстой. Министерство иностранных дел Японии отправляет известного мастера-оригамиста  Акиру Йошизаву, который к тому времени создал учебное пособие по оригами, в Европу, возложив на него почетную миссию: посредством оригами добиваться мира и дружбы со всеми странами. И вот в 1978 Йошизава с целой серией знаков передавал свои наработки россиянинам, он повсюду пропагандировал искусство оригами и его неограниченные возможности. Мощный толчок развитию отечественного оригами дает создание в 1989 и 1991 гг. двух общественных организаций - Московского и Петербургского центров оригами. В октябре 1995 года выходит в свет, одобренное Министерством образования Российской Федерации, первое издание учебника для начальной школы: "Уроки оригами в школе и дома". В марте 1996 г. в Петербурге проходит Первая Всероссийская конференция "Оригами и педагогика", материалы которой издаются отдельным сборником. Число отечественных изобретений, зарегистрированных в базе данных Петербургского центра оригами в 1998 г. превышает первую тысячу. Многие из этих работ вызывают должное восхищение у зарубежных оригамистов. В 1998 году в США издательство St. Martin Press выпускает книгу "Russian Origami", в которой представлены лучшие работы в технике складывания, изобретенные в России. В настоящее время организуются и олимпиады по оригами, что еще раз подтверждает значимость занятия оригами.

Таким образом, хотя на протяжении веков искусство делать фигурки из бумажного листа развивалось у каждого народа по-своему, но Япония навсегда остается неоспоримым лидером в области оригами. Ведь именно она подарила миру это искусство.

Оригаметрия.

Оригаметрия - это новая наука на стыке двух: оригами и геометрии. Геометрия - это и метод познания мира, и образ мышления, и язык, широко применяемый в жизни, и в частности в строительстве. Оригами - это вид творчества, вид искусства,  столь же древний, как и геометрия. И их взаимосвязь дает новый простор в развитии этих наук.

Оригаметрия - это оригинальный подход к решению геометрических задач.

Основные понятия оригаметрии: точка; линия сгиба; квадратный лист бумаги. Основные отношения: линия сгиба проходит через точку; точка принадлежит линии сгиба. В основе оригаметрии, как и любой науки лежат аксиомы, которые предложил живущий в Италии японский математик Хумиани Хузита.

Сопоставление решения  задач на построение спомощью циркуля, линейки и оригаметрии

Аксиомы циркуля и линейки:

Аксиомы ориганометрии:

1. построение отрезка по его концам. 2. построение луча с началом в данной точке, проходящего через другую данную точку. 3. построение прямой, проходящей через данные две точки. 4. построение окружности по центру и по радиусу. 5. построение точки пересечения двух прямых. 6. построение точки пересечения двух окружностей. 7. построение точки пересечения прямой и окружности 8. построение точки, принадлежащей построенной фигуре, и точки, не принадлежащей построенной фигуре.

1. Существует единственный сгиб, проходящий через две данные точки. 2. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки. 3. Существует сгиб, совмещающий две данные прямые. 4. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой. 5. Существует сгиб, проходящий через данную точку и помещающий другую данную точку на данную прямую. 6. Существует сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных пересекающихся прямых.

 Данная система аксиом удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к системам аксиом, а именно, она является независимой, непротиворечивой и полной. Система аксиом 1 – 5 эквивалентна системе аксиом конструктивной геометрии, где в качестве основного инструмента используется чертёжный угольник. Отсюда следует, что методами оригами, то есть только перегибанием листа бумаги, возможно, решить любые задачи на построение, разрешимые при помощи чертёжного угольника, а значит, разрешимые и при помощи классических инструментов - циркуля и линейки. Аксиома О6 не может быть решена методами конструктивной геометрии, так как построения, проводимые в этой аксиоме, сводятся к решению кубического уравнения, не имеющего рациональных корней. Возможности построения при помощи перегибания квадратного листа бумаги намного больше, чем при использовании классических чертёжных инструментов. В оригаметрии считается:

1.     Роль прямых будут играть края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании.

2.     Роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов

Из чего же состоит любая оригамская задача?

1.     Из постановки задачи.

2.     Из оригамского решения, проверки или способа построения.

3.     Из математического обоснования, то есть доказательства того, что в результате действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

Оригаметрия - область очень молодая, и, наверное, поэтому мы пока не видели ни соответствующих программ, ни учебников, которые давали бы матери­ал с помощью оригаметрии. Поэтому нашей задачей является изучение органического включения оригами в курс математики, в частности использование приемов сгибания бумаги для решения геометрической задачи.

Простые базовые формы

Треугольник	Книга	Дверь	Воздушный змей
Средние базовые формы
Блин	Рыба	Двойной треугольник	Двойной квадрат

Видя эти формы  мы понимаем, что на занятиях по математике при помощи оригами можно повторить следующие понятия: горизонтальные, вертикальные, наклонные линии; сложение квадрат разными способами, смежные стороны, диагональ; квадраты; все виды  треугольников.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИГАМЕТРИИ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

 Основные условные обозначения

«Великий квадрат не имеет пределов».

Попробуй простую фигурку сложить,

И вмиг увлечёт интересное дело.

                    А.Е. Гайдаенко

Деление прямого угла

        Откладывание угла в 30 или 60 градусов не представляет проблем. Достаточно построить на стороне квадрата равносторонний треугольник. Для этого сначала разделим квадрат вертикальной складкой на два равных прямоугольника. Затем проведем складку, которая переносит угол квадрата на отмеченную линию.

Угол в 15 градусов теперь можно получить деля полученные углы в 60 и 30 градусов пополам.

Деление листа бумаги

         Деление листа бумаги на две части не представляет сложности, поскольку реализуется просто складыванием базовой формы книжка. Перейдем к более сложной задаче деления квадратного листа на три части.

        Эта задача уже не столь проста. Для ее решения нам потребуется теорема Хага. Сложим угол квадрата к середине противоположной стороны. В таком случае точка пересечения другой стороны, противоположной этому углу и стороны, прилегающей к нему делит сторону в отношении один к двум. Таким образом, с помощью только складок мы нашли треть стороны квадрата.

 Следующая задача - деление стороны квадрата на четыре равные части. Для этого достаточно их поделить пополам, а затем, каждую из половинок снова пополам. Именно так происходит, когда мы складываем базовую форму дверь.

          Как легко догадаться, деление квадрата на пять частей с помощью складывания представляем собой гораздо более сложную задачу. Ее решение изображено на рисунке.

          Для того чтобы разделить сторону квадрата на шесть частей, нам достаточно разделить ее на три части, как было показано ранее. А, затем, каждую из частей разделить пополам.

Поделить квадрат на восемь равных частей совсем просто. Для этого достаточно поделить его на четыре равные части, а затем, каждую из них разделить еще пополам.

 Можно заметить, что особые сложности вызывает деление квадрата на количество частей, являющееся простым числом. Приступим к делению стороны на семь одинаковых частей. Для этого сначала разделим квадрат на пять равных частей, а затем, сделаем действие, изображенное на картинке.

Для деления на девять равных частей можно предложить следующий способ.

Он заключается в том, чтобы разделить сначала на три равные части, а потом повторить деление на три для маленького квадрата. Однако этот способ плох тем, что при его применении на практике трудно будет соблюсти достаточную точность, поскольку погрешности, совершенные на разных этапах, складываются.

Правильные многоугольники и способы их изготовления из квадрата с помощью оригаметрии

Треугольник

Пятиугольник

Шестиугольник

Восьмиугольник

Практика и изучение оригаметрии касаются некоторых областей математики. Например, проблема плоского изгиба (возможно ли образец складки согнуть в двумерную модель) была объектом серьёзного математического исследования.

Проблема твёрдого оригами имеет некоторое практическое значение. Она формулируется так: если мы заменим бумагу листом металла и будем использовать стержни вместо линий складок, то сможем ли мы получить соответствующую модель? Примером решения этой проблемы являются твёрдые сгибы Миуры, используемые для развёртывания массивов солнечных батарей для космических спутников.

Тема: «Плоскость. Прямая. Луч»

Задача 1. Разделите отрезок на две равные части, на четыре равные части, на восемь равных частей. (В качестве отрезка рассматривается край прямоугольного или квадратного листа).

Задача 2. На сколько частей делят плоскость три прямые? Рассмотрите различные варианты расположения прямых на плоскости.

Тема: «Площадь. Формула площади прямоугольника».

Задача 1:

·       Придумайте, как из листа прямоугольной формы изготовить лист квадратной формы?

 

                                                                              1 способ

                            

 

                                                                 2 способ

                                                                              

·       Возьмите квадратный лист бумаги (далее квадрат) и перегните его, соединив вершины А и С

          А                          В

                                             АС – диагональ квадрата АВСD

D                           С

·       Найдите середины сторон AD и BC – точки M и N. Перегните квадрат, соединив эти точки.

    А                          В

    М                         N          MN – средняя линия квадрата АВСD

    D                           С

·       Сколько диагоналей и средних линий можно провести в квадрате? (две)

·       Что можно сказать о длине средней линии квадрата? (равна стороне квадрата)

·       Каким свойством обладает диагональ квадрата? Средняя линия? (делит квадрат на две равные фигуры)

·       Перегните квадрат по диагоналям, попробуйте доказать, что полученные при этом треугольники равны (совпадают при наложении)

·       Какими свойствами обладают эти треугольники? (прямоугольные, равнобедренные)

Задача 2: Возьмите прямоугольный лист бумаги и соедините его противоположные вершины.

Будут ли равны получившиеся треугольники? Почему?

Что можно сказать о площадях этих треугольников?

Как можно вычислить площадь каждого?

Какие измерения нужно провести, чтобы найти площади треугольников и прямоугольника?

Задача 3: Четыре сестры решили заняться цветоводством. На дачном участке бабушка отгородила им квадратный участок земли и сказала разделить его на четыре части равной площади, чтобы никому не было обидно. Сели сестры на крылечко, взяли каждая в руки бумажный квадрат и стали решать бабушкину задачу. Каждая придумала свой вариант раздела участка. А сколько вариантов придумаете вы?

1.    2.      3.   4.    

 5.    6.   7.        8. 

Описание работы: 1.Возьмите квадрат размером 20´20 см 2.Согните квадрат по диагоналям, согните вершины квадрата к его центру 3.Переверните работу 4.Согните вершины квадрата к его центру 5.Сгибайте одновременно по всем указанным линиям 6.Проверьте результат и поверните фигурку «вверх ногами» 7. Раскройте четыре кармана 8.Засуньте в них четыре пальца одной руки 9.Ловушка готова.

Доказательство теорем:

Тема: Сумма углов треугольника

Теорема: сумма углов треугольника равна 180⁰.

1) Проведем сгиб через одну из вершин треугольника, перпендикулярно противоположной стороне (высоту треугольника).

2) Совместим вершины треугольника с точкой у основания высоты треугольника.

3) Получаем, что углы 1, 2 и 3 треугольника совпали при наложении с развернутым углом, следовательно, сумма углов равна 180 градусов.

Тема: Параллельные прямые.

Теорема 2. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

1) Доказательство. Возьмем лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие углы- углы 1 и 2.

2) Совместим вершины накрест лежащих  углов- точки А и В.

3)Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, угол 1 равен углу 2. Значит, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Тема: Прямоугольный треугольник.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰.

Согните треугольник по средним линиям.  Острые углы без    наложений             составляют  прямой угол, который равен 90⁰.

 

Строго учащиеся докажут эти теоремы в 7 классе, но наглядные модели уже сейчас заставят запомнить их надолго!

 Задачи на построение :

1.     Разделите прямой угол пополам.

2.     Разделите прямой угол на четыре равные части.

3.     *Разделите прямой угол на три равные части.

* - задача повышенной сложности

Решение к задаче №3

1.     Наметьте сгиб, делящий верхнюю сторону квадрата пополам.

2.     Совместите вершину правого нижнего угла квадрата с некоторой точкой намеченной линии сгиба.

3.     Перегните левую верхнюю часть фигурки и вернитесь в исходное положение квадрата.

4.     Проверьте результат. Вершина левого нижнего угла квадрата линиями сгиба разделена на три равных угла.

 Задачи на вычисление:

1.Возьмите квадратный лист бумаги АВСD. Согните его по диагонали. Согните к диагонали две смежные стороны квадрата, выходящие из вершины А.

         А                              В

                                               H

               D            M             С

           Вычислите углы          АВН,       АНC,      АНМ

2.Возьмите квадратный лист бумаги АВСD. Повторите действия первой задачи. Согните к диагонали две смежные стороны, выходящие из вершины D.

         А                             В

F

                К                            Н

               D            M              C

Вычислите углы       AFC, углы четырехугольника AFCE.

Возьмите квадратный лист бумаги АВСD. Наметьте сгиб, делящий верхнюю сторону квадрата пополам. Совместите вершину правого нижнего угла квадрата с некоторой точкой намеченной линии сгиба. Совместите вершину левого нижнего угла квадрата с той же точкой намеченной линии сгиба.

    1.                               2.    3.  4.

             А                               В

             М                               Р

	К

 

    5.      D                                C      

              Вычислите углы треугольников MDC, DKC, DKM

Тема: «Окружность и правильные многоугольники»

     Задача 1: С помощью перегибаний найти центр вырезанного из бумаги круга.

1.     2.      3.      4.

     Задача 2: С помощью перегибаний разделите круг на четыре равные части, на восемь равных частей. (Точки на окружности будут являться вершинами соответственно квадрата и правильного восьмиугольника).

     Задача 3:  С помощью перегибаний разделите круг на три равные части, шесть равных частей.

                 А                                 А                                  А                                      А

О

                                                                                                                C                                     С

O

О

О

О

                              2.                                3.                              D        4.                    D

                  В                                В                                     В           D                         

Описание работы:

О

                            E                     1. Согните круг пополам

                                            C   2. Перегните пополам так, чтобы точки А и В     совпали

     5.         F                           D                          О- центр окружности

                             B                  3. Перегните так, чтобы линия сгиба проходила через точку А,    а точка О совпала с некоторой точкой на дуге окружности. Обозначим эту точку С

1.     Линиями сгиба отметим на дуге точки С и D. Развернем. Получившиеся с левой стороны «засечки» обозначим соответственно точками Е и F

2.     Точки A,D и F делят окружность на три равные части (Ð АОD = 120⁰)

3.     Точки А, С, D, В, F, E делят окружность на шесть равных частей

     Задача 4: С помощью перегибаний получите из квадрата правильный шестиугольник, правильный треугольник. (Правильный шестиугольник учащиеся получают вместе с учителем, повторяя его действия).

        

         

         

        

Задача 5: С помощью перегибаний правильного шестиугольника установите свойство его стороны, и вычислите величины углов.

Задача 6: Как можно вычислить площадь правильного шестиугольника? Произведите необходимые измерения и найдите эту площадь.

Тема: «Симметрия»

Представление о симметричных точках и фигурах можно сформировать через рассмотрение различных картинок и орнаментов,  определение особенностей расположения точек или элементов фигуры. Затем построить точки и ввести соответствующие термины. Далее, используя определения, учащиеся должны установить, являются ли две точки симметричными относительно некоторой точки или прямой.

При изучении центральной симметрии с помощью оригами можно решить задачи:

Задача 1: С помощью перегибаний найдите центр симметрии квадрата.

Задача 2: С помощью перегибаний найдите центр симметрии прямоугольника.

Задача 3: С помощью перегибаний найдите центр симметрии круга.

Задача 4: С помощью перегибаний найдите центр симметрии правильного шестиугольника.

Задача 5: Есть ли центр симметрии у равностороннего треугольника?

В конце урока предложить учащимся собрать орнамент, имеющий центр симметрии.

(автор – Татьяна Юрьевна Погребняк. Россия)

1.   2.     3.    4.

5.    6.        

Описание работы:

1.     Начните с базовой формы «двойной треугольник». Порядок её изготовления смотри ниже, в схеме бабочки.

2.     Спереди и сзади раскройте и расплющите по намеченным линиям два «кармана».

3.     Проверьте результат и сделайте восемь таких модулей.

4.     Схема соединения двух модулей (два острых уголка совпадают с двумя прямыми).

5.     Соедините так три модуля и зафиксируйте их. Для этого в центре получившейся конструкции загните назад в «карман» все слои бумаги, кроме последнего.

6.     Аналогично соедините все остальные модули.

Если работа выполняется группой учащихся, то она занимает немного времени.

При знакомстве с осевой симметрией можно выполнить ряд практических задач.

Задача1: Каждый ученик берет лист бумаги, изображает на нем цветным карандашом или мелком фигуру, затем проводит прямую и перегибает по ней лист так, чтобы получился отпечаток фигуры. В результате получаются фигуры симметричные, относительно прямой.

Вопрос: Можно ли назвать их симметричными?

Ответ: Да. Т.к. если перегнем лист бумаги по прямой, то фигуры совпадут, значит они симметричны относительно этой прямой.

Вопрос: Можно ли назвать их равными?

Ответ: Да. Т.к. совпали при наложении.

Задача 2: По заготовленным схемам предложить учащимся сложить модель бабочки.

Доказать, что бабочка – симметричная фигура относительно прямой. (Учащиеся перегибают изготовленную бабочку и видят, что линия сгиба делит фигуру на две части, которые совпадают. Линия сгиба – ось симметрии)

  1.2.            3.          4.

           5.      6.                                  7.                                    8.

       Описание работы:

1. Перегните квадрат по диагоналям. Переверните.

2. Перегните пополам, совмещая верхнюю и нижнюю стороны.

3. Надавите снизу на центр квадрата. Вогните боковые треугольники, складывая их пополам. При этом верхняя часть квадрата согнется на другую сторону.

4. Перелистните фигурку, меняя местами уголки

5. Базовая форма «Двойной треугольник»

6. Положив заготовку средним углом вниз, верхние углы отогните вниз к среднему и поверните фигуру обратной стороной.

7. Нижний угол (средний) загните вверх так, чтобы он выступал от края горизонтальной части, раскройте и расплющите два маленьких кармана по бокам

                                            8. Приклейте усики 

                                              Задача 3: Укажите на плакате

                                  фигуры, симметричные относительно прямой а.

                                  Задача 4: Раскрасьте левую часть бабочки,       нанесите на правую часть  симметричный рисунок

                                             Задача 5: Измерьте длины отрезков, симметричных относительно прямой а.  Сделайте вывод.

Задача 6:  Есть ли у бабочки ещё ось симметрии? Есть ли у неё центр симметрии?

Задача 7: Найдите в слове БАБОЧКА буквы, имеющие вертикальную ось симметрии, горизонтальную, найдите буквы, у которых есть и вертикальная и горизонтальная оси симметрии. Есть ли в этом слове центрально симметричные буквы?

В качестве домашнего задания предложите учащимся найти другую схему изготовления бабочки, изготовить её по этой схеме, нанести на готовую бабочку симметричный рисунок.

Задания занимательного характера

Задача №1.  Из квадрата сложить рубашки. Сложите базовую форму "Дверь". Что с ней надо сделать, чтобы получилась рубашка, у которой рукава с одной стороны белые, а с другой цветные (рис. 2а и 2б). Возьмите другой квадрат и сложите рубашку,  чтобы у ней был белый воротничок, а посередине щелка (рис. 3а).  Если справились, нарисуйте в пустом квадратике (рис. 3б) как будет выглядеть эта фигура сзади. Как сложить рубашку , у которой рукава цветные с двух сторон, находятся они наверху, а сама рубашка раскрывается снизу (рис. 4а и 4б).

        
  

Задание №2. Сложить из квадратов, окрашенных с одной стороны, фигурки с рисунков № 5 - 10.

Задание № 3. «Поймай зебру» (автор задачи -  Девид Митчелл, Англия)    Для выполнения этого задания возьмите четыре квадраты с белой стороной. И выполните задание на рисунке 11. Это легко. А теперь задание с рисунка 12 - это тоже не сложно. А теперь возьмите третий квадрат и попробуйте сложить зебру из четырех полос - цветная, белая, цветная и снова белая как на рисунке 13. Это уже не так просто! Пропорции получившегося прямоугольника могут быть любыми. Учтите, что через любую полоску могут проходить дополнительные складки. Важно, чтобы ее лицевая поверхность смотрелась как зебра. Если справились - возьмите четвертый квадрат и попробуйте сложить зебру из пяти полос - трех цветных и двух белых как на рисунке 14. Условия задачи прежние.
А может вы придумаете прямоугольник с шестью полосками - тогда вы будете первым в мире кто до этого додумался.

Заключение

Оригами и математика, словно две сестры, которые не терпят неточности и поспешности. Само оригами дает полет фантазии, а математика эту фантазию облачает в платье науки.

Литература.    

1.     Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.     Кадомцев и др.] – М.: Просвещение, 2008. – 384 с,: ил.

2.     Оригами. Волшебный мир бумаги / А.В. Щеглова. – Ростов н/Д : Владис, 2009. – 640 с.

3.     «Задачи по геометрии решаемые методами оригами» Белим С.Н Москва, издательство    «Аким» 1998г

4.     «Оригами и геометрия», Афонькин С.Ю., Капитонова И.В. Чебоксары 1993г

5.     «Оригами в геометрии», Чиканцева Н.И. Москва 1996г

6.     Уроки оригами в школе и дома. Афонькин С.Ю.  М.: Аким, 1996.

Ресурсы интернета

1.     http://origamis.ru

2.     http://www.vlasta-idea.ru

3.     http://bebi.lv

4.     http://origami.in.ua/uk/node/50

5.     http://www.tehkafedra.sch901.edusite.ru/p22aa1.html

6.     http://www.youryoga.org/article/old/origami.htm

7.     http://bozhoklv.ucoz.ru/blog/zanimatelnoe_origami/2010-01-22-4

8.     http://bozhoklv.ucoz.ru/blog/iz_kvadrata_treugolnik_13022010_g/2010-02-13-7

9.     http://www.loveorigami.info/forum/viewtopic.php?f=33&t=253

10. http://sch139.5ballov.ru/doo

Оглавление.

1. К читалию__________________________________________1стр

2. Немного истории____________________________________1 стр

3. Оригаметрия_______________________________________4 стр

4. Сопоставление решения  задач на построение с помощью циркуля, линейки и оригаметрии_______________________________________5 стр

5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИГАМЕТРИИ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ_8 стр

a)     Деление прямого угла___________________________10 стр

b)    Деление листа бумаги___________________________ 11 стр

c)     Правильные многоугольники и способы их изготовления из квадрата с помощью оригаметрии______________13 стр

d)    Тема: Плоскость. Прямая. Луч.___________________17 стр

e)     Тема: Формула площади прямоугольника_________ 17 стр

f)      Доказательство теорем.

·        Тема: Сумма углов треугольника.

·        Тема: Параллельные прямые.

·        Тема: прямоугольный треугольник.

g)    Задачи на вычисления.___________________________23 стр

h)    Тема: окружность и правильные многоугольники.__24 стр

i)       Задания занимательного характера________________29 стр

6. Заключение._______________________________________31 стр

• 1 слайд

  Оригами – это математика?
  

• 2 слайд

  Чтобы познать искусство оригами
  И лучше геометрию постичь,
  К фантазии и знаниям прибавь ты
  Огромное желание творить!
  
  

• 3 слайд

  Оригами -одно из традиционных японских искусств, а также излюбленное развлечение японцев всех возрастов –малыши и пожилые люди с удовольствием складывают оригами в свободное время.
  Целью данной работы является доказательство того, что искусство оригами можно применять для доказательства теорем и для решения задач по геометрии.
  
  

• 4 слайд

  Оригами (само слово «оригами» состоит из двух японских иероглифов
  Oru Kami
  Складывание Бумага
  
  
  
  
  (что переводится «сложенная бумага») — древнее искусство складывания фигурок из бумаги.
  
  

• 5 слайд

  Оригами в геометрии
  Оригами используется в геометрии -для доказательства теорем и решения задач.
  Решение задач с помощью оригаметрии –способ необычный и интересный, так как многие понятия школьного курса геометрии просто и наглядно объясняются демонстрацией оригами.
  

• 6 слайд

  Оригаметрия –область очень молодая, и пока не существует ни соответствующих программ, ни учебников, которые давали бы подобный материал систематически. Вместе с тем многие понятия курса геометрии в школе гораздо проще и нагляднее объясняются с помощью оригаметрии.
  

• 7 слайд

  Аксиомы оригаметрии.
  Для построения теории используется система аксиом. Действительно, аксиомы оригаметрии существуют! Их предложил живущий в Италии японский математик Хумиани Хузита.
  
  

• 8 слайд

  Таких аксиом, с его точки зрения, всего шесть.
  Аксиома 1.
  Существует единственный сгиб, проходящий через две данных точки.
  
  
  
  
  
  

• 9 слайд

  Аксиома 2. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки.
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 10 слайд

  Аксиома 3.
  Существует единственный сгиб, совмещающий две данные прямые.
  
  
  
  
  
  
  16
  

• 11 слайд

  Аксиома 4. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой.
  
  
  
  
  
  
  

• 12 слайд

  Аксиома 5. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и помещающий другую данную точку на данную прямую.
  
  
  
  
  
  
  

• 13 слайд

  Аксиома 6. Существует единственный сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных пересекающихся прямых.
  
  
  
  
  
  
  

• 14 слайд

  
  
  
  В 2002 году японский оригамист Коширо Хатори обнаружил сгиб, который не описан в аксиомах Х. Хузита.
  Аксиома 7. Для двух данных прямых и точки существует линия сгиба. Перпендикулярная первой прямой и помещающая данную точку на вторую прямую.
  
  

• 15 слайд

  Задача. Методом оригами разделить один из углов квадрата на три равных угла.
  

• 16 слайд

  Оригамское решение
  

• 17 слайд

  Математическое обоснование
  Используя чертеж рис. 5, можно записать:
  ΔВАС – равносторонний, значит
  <АВС=60º.
  <ОВА=90º-60º=30º, <ABN=30º, <ОВА=<ABN=<NBC=30º.
  

• 18 слайд

  Доказательство теорем с помощью оригами.
  Теорема 1.Сумма углов треугольника равна 180º.
  Доказательство. Возьмем лист бумаги, имеющий форму произвольного треугольника.
  
  
  

• 19 слайд

  1) Проведем сгиб через одну из вершин треугольника, перпендикулярно противоположной стороне (высоту треугольника).
  
  
  
  
  
  
  2) Совместим вершины треугольника с точкой у основания высоты треугольника.
  
  
  
  
  22
  

• 20 слайд

  3)Получаем, что углы 1, 2 и 3 треугольника совпали при наложении с развернутым углом, следовательно, сумма углов равна 180º.
  
  
  
  
  
  23
  

• 21 слайд

  Теорема 2. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.
  1) Доказательство. Возьмем лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие углы- углы 1 и 2.
  
  
  
  
  
  24
  

• 22 слайд

  2) Совместим вершины накрест лежащих углов- точки А и В.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 23 слайд

  
  3)Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, угол 1 равен углу 2. Значит, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.
  

• 24 слайд

  
  
  
  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!
  

Оглавление.

Введение ______________________________________________________________________2

Немного истории _______________________________________________________________3

Оригаметрия ___________________________________________________________________4

Использование оригаметрии в курсе геометрии______________________________________6

Заключение ___________________________________________________________________10

Литература____________________________________________________________________10

Введение:                                                               Чтобы познать искусство оригами
И лучше геометрию постичь,
К фантазии и знаниям прибавь ты
Огромное желание творить!

Для меня и моих одноклассников геометрия, и задачи по геометрии всегда вызывали и вызывают затруднения. Почему?  Потому-то не всегда удается представить наглядно доказательство теоремы, увидеть и правильно построить чертеж. Доказательства некоторых теорем настолько сложные, что сначала приходилось вырезать модели фигур из бумаги, накладывать их друг на друга, сгибать, перегибать, чтобы понять доказательство теоремы и ли решение задачи. А когда учитель по математике доказала теорему о сумме углов треугольника, перегнув всего три раза произвольной треугольник, то оказалось, что теорема – это очень просто. Японская пословица гласит: расскажи мне - я услышу, покажи мне – я запомню, дай мне сделать самому- я пойму!

В процессе поиска подобных решений, мы задумались над проблемой влияния занятий оригами на процесс освоения геометрического материала. Оказалось, что есть наука, соединяющая две области оригами и геометрию. Это оригаметрия. Оригаметрия - область очень молодая, и, наверное, поэтому мы пока не видели ни соответствующих программ, ни учебников, которые давали бы матери­ал с помощью оригаметрии. Поэтому нашей задачей является изучение органического включения оригами в курс математики, в частности использование приемов сгибания бумаги для решения геометрической задачи.

Итак, возникла гипотеза, что применение техники оригами на уроках  математики и геометрии помогает легче усвоить этот предмет.

Цель: доказать, что искусство оригами можно применять для доказательства теорем и для решения задач по геометрии.

Задачи:

1.Ознакомиться с литературой по данной теме.

2.Определить роль оригами в изучении курса геометрии.

3.Подобрать материал по использованию оригами на уроках геометрии.

4.Составить сборник задач, которые можно решить оригамским методом

Методы исследования: анализ литературы по теме, синтез, обобщение и аналогия, как организация практической деятельности по овладению оригамским методом решения задачи.

 Практическую значимость исследовательской работы видим в овладение оригамским методом решения задач в процессе изучения геометрии.

1.      Немного из истории

Оригами - это японское искусство складывания бумаги, образовано от японского oru (складывать) и kami (бумага). Оригами - одно из самых доступных искусств, ведь для того, чтобы сложить фигурку требуется лишь листок бумаги. Родиной оригами является Япония. Объясняется это тем, что в этой стране процесс складывания удачно иллюстрировал некоторые мировоззренческие идеи философии Дзен. Немаловажным оказалось также сходство звучания японских слов "бумага" и "Бог" - "ками". Таким образом, у японцев возникала связь между религиозным ритуалом и складыванием фигурок из бумаги. В периоды Камакура (1185-1333) и Муромати (1333-1573) оригами выходит за пределы храмов и достигает императорского двора. Аристократия и придворные должны были обладать определенными навыками и в искусстве складывания. Записки, сложенные в форме бабочки, журавля, цветка или абстрактной геометрической фигуры, были символом дружбы или доброго пожелания для любимого человека. Различные знатные семьи использовали фигурки оригами как герб и печать. Сам термин оригами возник и закрепился только в 1880 году, когда данное искусство стало частью аристократического общества и вошло в число обязательных для японских семей. Япония, создавшая оригамную «азбуку», официально стала родиной оригами. Она задала некую классическую основу, от которой отталкивались остальные покорители искусства создания бумажных шедевров. Появление авторских моделей и начало развития оригами, как направления современного искусства, связывают с именем знаменитого японского мастера Акиры Йошизавы. Во второй половине двадцатого века он уже активно пользуется придуманной им системой записи процесса складывания и извлекает из хорошо известных базовых форм множество новых моделей. Но нельзя сказать, что искусство оригами развивалось только в Японии.

Не обошло стороной оригами и Россию, но сначала этот вид искусства был освоен детьми. Первым об оригами узнал юный наследник престола Николая II от учителя английского языка Чарльза Сиднея Гиббса, филолога из Кембриджа. Любовью к технике оригами отличался и великий русский писатель Лев Николаевич Толстой. Министерство иностранных дел Японии отправляет известного мастера-оригамиста  Акиру Йошизаву в Европу, возложив на него почетную миссию: посредством оригами добиваться мира и дружбы со всеми странами. Мощный толчок развитию отечественного оригами дает создание в 1989 и 1991 гг. двух общественных организаций - Московского и Петербургского центров оригами. В октябре 1995 года выходит в свет, одобренное Министерством образования Российской Федерации, первое издание учебника для начальной школы: "Уроки оригами в школе и дома". В марте 1996 г. в Петербурге проходит Первая Всероссийская конференция "Оригами и педагогика", материалы которой издаются отдельным сборником. Число отечественных изобретений, зарегистрированных в базе данных Петербургского центра оригами в 1998 г. превышает тысячу. Многие из этих работ вызывают должное восхищение у зарубежных оригамистов. В настоящее время организуются и олимпиады по оригами, что еще раз подтверждает значимость занятия оригами.

2. Оригаметрия.

Оригаметрия - это новая наука на стыке двух: оригами и геометрии. Геометрия - это и метод познания мира, и образ мышления, и язык, широко применяемый в жизни, и в частности в строительстве. Оригами - это вид творчества, вид искусства,  столь же древний, как и геометрия. И их взаимосвязь дает новый простор в развитии этих наук. Оригаметрия - это оригинальный подход к решению геометрических задач. Основные понятия оригаметрии: точка; линия сгиба; квадратный лист бумаги. Основные отношения: линия сгиба проходит через точку; точка принадлежит линии сгиба. В основе оригаметрии, как и любой науки лежат аксиомы, которые предложил живущий в Италии японский математик Хумиани Хузита. Их шесть: 

 Аксиома 1. Существует единственный сгиб, проходящий через две данные точки.

Аксиома 2. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки.

Аксиома 3. Существует сгиб,  совмещающий две данные прямые.

Аксиома 4. Существует единственный сгиб, проходящий через  данную точку и перпендикулярный данной прямой.

Аксиома 5. Существует  сгиб, проходящий через  данную точку и  помещающий другую данную точку на данную прямую.

Аксиома 6. Существует  сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных  пересекающихся.  

В 2002 году японский оригамист Коширо Хатори обнаружил сгиб, который не описан в аксиомах Х. Хузита.

Аксиома 7. Для двух данных прямых и точки существует линия сгиба. Перпендикулярная первой прямой и помещающая данную точку на вторую прямую.

Данная система аксиом удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к системам аксиом, а именно, она является независимой, непротиворечивой и полной. Система аксиом 1 – 5 эквивалентна системе аксиом конструктивной геометрии, где в качестве основного инструмента используется чертёжный угольник. Отсюда следует, что методами оригами, то есть только перегибанием листа бумаги, возможно решить любые задачи на построение, разрешимые при помощи чертёжного угольника, а значит, разрешимые и при помощи классических инструментов - циркуля и линейки. Аксиома 6 не может быть решена методами конструктивной геометрии, так как построения, проводимые в этой аксиоме, сводятся к решению кубического уравнения, не имеющего рациональных корней. Возможности построения при помощи перегибания квадратного листа бумаги намного больше, чем при использовании классических чертёжных инструментов.

Использование оригаметрии в курсе геометрии.

С помощью оригами есть возможность показать, что математика не сухая наука, а красота и гармония.

Если в прошлом математика применялась в довольно ограниченном числе областей жизни человека, будучи, следовательно, необходимой сравнительно небольшому числу специалистов, то в современную эпоху математика проникла во все те области, в которых практикуется рациональное мышление, и этот процесс, находящийся в постоянном развитии, требует соответствующей математической подготовки.

Простые базовые формы

Треугольник	Книга	Дверь	Воздушный змей
Средние базовые формы
Блин	Рыба	Двойной треугольник	Двойной квадрат

Видя эти формы  мы понимаем, что на занятиях по математике при помощи оригами можно повторить следующие понятия: горизонтальные, вертикальные, наклонные линии; сложение квадрат разными способами, смежные стороны, диагональ; квадраты; все виды  треугольников.

Оригами - идеальная дидактическая игра, развивающая фантазию и изобретательность, логику и пространственное мышление, воображение и интеллект. Пространственная трансформация плоского листа позволяет легко осваивать сложные математические понятия, решать задачи по геометрии в форме игры.

При решении задач с помощью методов оригами роль прямых играют края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании, а роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов.

Любая оригамская задача состоит:

1. Из постановки задачи.

2. Из оригамского решения, проверки или способа построения.

 3. Из математического обоснования, то есть доказательства того, что в результате действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

Для примера решим несложную задачу.

Задача. Методом оригами разделить один из углов квадрата на три равных угла. [С. Н. Белим  Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: изд. «Аким», 1998г., 66с.]

При решении данной задачи методом оригами необходимо знание некоторых условных обозначений, принятых в оригами. Они приводятся в следующей таблице:

	Линия сгиба "долиной", "на себя"
	Стрелка сгиба "долиной", "на себя"
	Совместить отмеченные точки
	Согнуть и разогнуть

Оригамское решение

 

1. Наметьте сгиб, делящий верхнюю сторону квадрата пополам.
2. Совместите вершину правого нижнего угла квадрата с некоторой точкой намеченной линии сгиба.
3. Перегните левую верхнюю часть фигурки и вернитесь в исходное положение квадрата.
4. Проверьте результат. Вершина левого нижнего угла квадрата линиями сгиба разделена на три равных угла.

Математическое обоснование

Используя чертеж рис. 5, можно записать:

     ВАС – равносторонний, значит  АВС=60⁰.

 ОВА=90⁰-60⁰=30⁰,  ABN=30⁰,   ОВА= ABN= NBC=30⁰.

 Итак, данным методом мы разделили угол квадрата на три равные части. Продолжением данной задачи является задача построения равностороннего треугольника в квадрате.

   Деление листа бумаги на 5частей

   Деление стороны квадрата на четыре равные части. Для              этого достаточно их поделить пополам, а затем, каждую из половинок снова пополам. Именно так происходит, когда мы складываем базовую форму дверь.

Как легко догадаться, деление квадрата на пять частей с помощью складывания представляет собой гораздо более сложную задачу. Ее решение изображено на рисунке. Попробуйте сами доказать, что таким образом мы действительно разделим квадрат именно на пять частей.  Технику оригами можно применить и при изучении следующих теорем: о сумме углов треугольника и сумме острых углов прямоугольного треугольника.  Причем, вторую теорему учащиеся смогут и доказать!

Теорема 1: сумма углов треугольника равна 180⁰.

1) Проведем сгиб через одну из вершин треугольника, перпендикулярно противоположной стороне (высоту треугольника).

2) Совместим вершины треугольника с точкой у основания высоты треугольника.

3) Получаем, что углы 1, 2 и 3 треугольника совпали при наложении с развернутым углом, следовательно, сумма углов равна 180 градусов.

         Теорема 2. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

1) Доказательство. Возьмем лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие углы- углы 1 и 2.

2) Совместим вершины накрест лежащих  углов- точки А и В.

3) Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, угол 1 равен углу 2. Значит, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

 Можно не только доказывать, но и решать задачи, используя оригамский метод решения.

( Приложение)

Заключение

      Заключение

В ходе исследовательской деятельности мы ознакомились с историей развития оригами, задачами, которые можно решить, используя оригамский метод. Изучая возможности использования оригами на уроках математики мы познакомились с оригаметрией. Мы узнали, что задачи на построение с помощью циркуля и линейки можно решать и оригамским методом.

 На основании всех данных исследования я сделала  вывод,  что искусство оригами можно применять для доказательства теорем и для решения задач по геометрии.

Мы   приобрели бесценный опыт по работе с перегибанием бумаги для решения некоторых геометрических задач.

 Результатом  исследования- стал сборник задач, которые можно решить оригамским способом. В задачнике мы знакомим читателя с историей возникновения оригами, оригаметрией. Сопоставляем аксиоматики задач на построение с помощью циркуля и линейки и оригаметрии. Также подобрали задачи и распределили их по темам. Сборник позволяет рассмотреть уже решенные задачи, самостоятельно решить подобные задачи по следующим темам. Это деление прямого угла, деление листа бумаги, правильные многоугольники и способы их изготовления из квадрата, плоскость, прямая, луч.  Рассмотрены доказательства теорем по темам: сумма углов треугольника, параллельные прямые,  прямоугольный треугольник. Также есть задачи занимательного характера.

Оригами и математика, словно две сестры, которые не терпят неточности и поспешности. Само оригами дает полет фантазии, а математика эту фантазию облачает в платье науки. Надеюсь, что данное учебное пособие будут не только помогать ученикам разбираться в геометрии, но и учителям доступно и наглядно объяснять этот трудный, но интересный предмет.

Литература

1.      Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.     Кадомцев и др.] – М.: Просвещение, 2008. – 384 с,: ил.

2.      Оригами. Волшебный мир бумаги / А.В. Щеглова. – Ростов н/Д : Владис, 2009. – 640 с.

3. «Задачи по геометрии решаемые методами оригами» Белим С.Н Москва, издательство    «Аким» 1998г
4. «Оригами и геометрия», Афонькин С.Ю., Капитонова И.В. Чебоксары 1993г
5. «Оригами в геометрии», Чиканцева Н.И. Москва 1996г
6. Уроки оригами в школе и дома. Афонькин С.Ю.  М.: Аким, 1996.

Ресурсы интернета

2.       http://origamis.ru

3.      http://www.vlasta-idea.ru

4.      http://bebi.lv

5.                 http://origami.in.ua/uk/node/50

6.      http://www.tehkafedra.sch901.edusite.ru/p22aa1.html

7.      http://www.youryoga.org/article/old/origami.htm

8.      http://bozhoklv.ucoz.ru/blog/zanimatelnoe_origami/2010-01-22-4

9.      http://bozhoklv.ucoz.ru/blog/iz_kvadrata_treugolnik_13022010_g/2010-02-13-7

10.  http://www.loveorigami.info/forum/viewtopic.php?f=33&t=253

11.  http://sch139.5ballov.ru/doo