Открытый урок на тему: "Логарифмдік теңсіздіктерді шешу"

 

Рахатова Нигара Нишанбаевна

«Айнабұлақ» негізгі орта мектебінің математика пәні мұғалімі

ОҚО, Шымкент қаласы, Сайрам ауданы

Сабақтың тақырыбы: Логарифмдік теңсіздіктерді шешу

Сабақтың мақсаты:Білімділігі: оқушының білім, білік дағдыларын дамыту.

Дамытушылығы:  Оқушылардың тез ойлау қабілеттерін арттыру, теориялық білімін практикада қолдана білу дағдысын қалыптастыру.  

Тәрбиелігі: Бірлесіп жұмыс істеуге, сыйластыққа, жауапкершілікке, ұйымшылдыққа тәрбиелеу.

Сабақтың түрі: практикалық  жарыс сабағы

Сабақтың көрнекілігі: тест тапсырмалары, деңгейлік тапсырмалар, бағалау парағы, слайдтар.

Сабақтың жоспары:

1. Ұйымдастыру (оқушыларды түгендеу,  топқа бөлу, топ жетекшісін сайлау, бағалау парағын тарату). 

2. Сабақ тапсырмаларымен таныстыру.

1-тапсырма:  үй тапсырмасы бойынша қайталау сұрақтарын сұрау-

2-тапсырма: сәйкестікті тап (логарифмнің қасиеттері)

3-тапсырмаЖаңа сабақ

4-тапсырма:  кім жылдам?

5-тапсырма: оқулықпен жұмыс-

6-тапсырма: тест

3. Бағалау парағы бойынша сабақты қорытындылау: топ жетекшілеріне сөз беру, оқушыларды бағалау

4. Үйге тапсырма беру

Сабақтың жүрісі:

1-тапсырма бойынша оқушыларға  10 сұрақ беріледі (әр сұрақтың жауабы-1 ұпай):

1.     Қандай функцияны логарифмдік функция деп атайды?

у= (a>0, a≠1) түрінде берілген функцияны негізі  а болатын логарифмдік функция деп атайды.

2.     Логарифмдік функцияның анықталу облысы.

Барлық оң сандар жиыны R_+, яғни   D()=(0; +∞).

3.   Логарифмдік функцияның мәндерінің облысы.

Барлық нақты сандар жиыны R,  яғни (-∞; +∞).

4.     Логарифмдік функция қай жағдайда өспелі және кемімелі болады?

Егер a>1 болса, онда у= логарифмдік функциясы өспелі болады,  егер 0<a<1 болса, онда у= логарифмдік функциясы кемімелі болады.

5.     Қандай теңдеу логарифмдік теңдеу деп аталады?

 Айнымалысы логарифм белгісінің ішінде болатын теңдеу логарифмдік теңдеу деп аталады.

2-тапсырма. Сәйкестікті тап (тақтада ілулі тұрған формулаларды сәйкестендіру):

Логарифмдердің негізгі қасиеттері

Енді логарифмдердің негізгі қасиеттерін атап өтелік. Кез келген а>0, (а≠1) және b, с  оң сандары үшін

1°. log_al=0;                                       2°.log_ea=l;

3°. log_ab∙c=log_ab+log_ac;                    4°. log, - = log_a b - log_a c;

5°. log, b^m = mlog_a b, m R;        6°. log _аⁿ    b log_a b,n   R,n ≠ 0;

7°. log, b = log_a c  b = c;         8°. log_a

3-тапсырма.Жаңа сабақ

Логарифмдік  теңсіздіктерді  шешуде  керекті  мәнге  ие  болғандығы  себепті  логарифмик   функциялардың  төмендегі  қасиеттерін  ерекше  айтып өтеміз.

     а)  логарифмик  функцияның  негізі  1  ден  үлкен  болғанда  1  ден  үлкен  әр  қандай  нақты  санның  логарифмі  оң,  0  мен  1  аралығындағы  санның  логарифмі  болса  теріс  болады,  яғни   a  >  1  болғанда  x  >  1  болса,    және  0  <  x  <  1  болса,    болады.    және    болса,    болады.

     б)  Негізі  0  мен  1  арасында  болғанда  1  ден  үлкен  санның  логарифмі  теріс,  0  мен  1  арасындағы  санның  лорарифмі  оң  болады,  яғни    болғанда,    болса,    және    болса,    болады.

 в)  Негізі  1  ден  үлкен  болғанда  үлкен  санға   үлкен  логарифм  сәйкес  келеді,  яғни  a  >  1  болсын    болса,    болады.

     г)  Негізі  1  ден  кіші  ( бірдей )   болған  екі  логарифмнен  үлкен  санға  кіші  логарифм   сәйкес  келеді,  яғни    және    болса,    болады.

     а,  б  қасиеттер  логарифмдердің  таңбаларын  анықтау,  в, г  қасиеттер  логарифмдерді  салыстыру   қасиеттері  деп  үйрету  пайдалы.

     Бұл  қасиеттерді  логарифмдік  теңсіздіктерді  шешуге  қолдану  бойынша  оқушыларда  көнігу  және  білімді  тереңдету,  мысалы,  келесі  сияқты  мысалдарды  шешу  арқылы  жүзеге  асыру  мүмкін.

     Осы

        сандардың  таңбасын  анықтау.

         - а) қасиетіне  қарай

         - б) қасиетіне  қарай

        - а) қасиетіне  қарай

           - б) қасиетіне  қарай

     Мысалдары  көрейік

     124 – мысал.   теңсіздікті  шешіңіз.  Көпшілік  оқушылар  бұл  теңсіздікті  мынандай  шешеді:

      бірақ                        болғандығы  үшін  теңсіздік  шешімге  ие  емес,  деп  жауап  жазады.

     Біз  берілген  теңсіздікті  келесідей  шешуді  үйретуді  ұсынамыз.  Берілген  теңсіздіктің  ( АО ) : ( - ∞ ; + ∞ );  өйткені   :  а)  қасиетіне  қарай.  ,  демек,  берілген  теңсіздік  шешімге  ие  емес.

4-тапсырма. Кім жылдамесеп беріледі,  әр топтан дұрыс  шығарған  оқушыларға1 ұпайдан қосылып отырады

1Теңсіздікті шешіңіз:     Жауабы:

2. Теңсіздікті шешіңіз:     Жауабы:  

3. Теңсіздікті шешіңіз:             Жауабы:

4. Теңсіздікті шешіңіз:      Жауабы:

5. Теңсіздікті шешіңіз:  Жауабы:

6. Теңсіздікті шешіңіз:    Жауабы:

7.     Теңсіздікті шешіңіз: log_х(х²-2х+2) = 1   Жауабы: х =2.

8.     Теңсіздікті шешіңіз:    Жауабы:

5-тапсырма. Оқулықпен жұмыс:

1-топ:№533 (а,ә).  

2-топ: №534 (а,ә).

3-топ: №536 (а,ә).

6-тапсырма. Тест есептері  бойынша білім  деңгейін тексеру:

1. Теңдеуді шешініз: 76000 – Х = 6000

 А) 700000

 В) 70000

 С) 7000

 D)700

 2. Есептеңіз: 497+ С=5300

 А) 5497

 В) 4973

 С) 3953

 D)4803

 3. Есептеңіз: 14307:3

 А) 7102

 В) 5609

 С) 4769

 D) 8779

 4. Есептеңіз: 40070кг • 6

А) 320400кг

 В) 224200кг

 С) 404200кг

 D)240420кг

5. Төртбұрышты бөлменің ұзындығы 6 см, ал ені Х см екені белгілі болса оның ауданын есептеніз.

А) 5Х

 В) 12Х

 С) 3Х

 D)6Х

1. Теңдеуді шешініз: Х – 560 : 7 = 20000

А) 20180

 В) 20080

 С) 23180

 D) 23080

 2. Ыңғайлы жолмен есептеңіз: 150х(2х9)

 А) 2700

 В) 2200

 С) 1570

 D)2730

3. Асханаға 300кг күріш және одан 3 есе аз қант алып келді. Асханаға канша килограмм қант алып келді?

 А) 200

 В) 150

 С) 100

 D) 300

4. Құлынның салмағы 28 кг, бұл үйректің салмағынан 7 есе үлкен. Үйректің салмағы неше?

 А) 3кг

 В) 7кг

 С) 4кг

 D) 5кг

5. Мектепте 30 мұғалім және 450 оқушы. Мұғалімдердің саны оқушылардан нешеге аз?

А) 350

 В) 420

 С) 300

 D)480

1 Есептеңіз: (747+156):3+346

А) 674

 В) 747

 С) 647

 D)947

 2. Есептеуді орындаңыз: (138:3+111)+6х7

 А) 619

 В) 791

 С) 199

 D) 339

 3. Есептеңіз: 189:9-75:25

А) 18

 В) 15

 С) 17

 D) 19

 4. Шеберханада 7 қоянбөрік және 7 тымақ тікті. Әр қоянбөрікке 2 теріден, ал тымаққа 4еуден жұмсалды. Жалпы қанша тері жұмсалды?

 А) 72

 В) 42

 С) 13

 D)31

5. Өрнектің мәнін табыныз: 17619 • 5 + 6120 • 3

 А) 11645

 В) 106455

 С) 17654

 D) 176455

3. Бағалау парағы бойынша сабақты қорытындылау: топ жетекшілеріне сөз беру, оқушыларды бағалау.

4. Үйге тапсырма беру: № 536 – 537

Бағалау парағы  1-топ

Оқушының аты-жөні

 

Сабақ барысы	+
Ұйымдастыру кезеңі
Өткен сабақты пысықтау
Сәйкесін тап
Жаңа сабақ
Кім жылдам
Оқулықпен жұмыс
тест

Сынып: 5 «Б»

Сабақтың тақырыбы:    Жай бөлшектерді қосу және азайту

Сабақтың мақсаты:

      1. Білімділігі: Жай бөлшектерді қосу ұғымымен таныстыру, бөлімдері бірдей және әртүрлі  бөлшектерді қосуды үйрету.

      2. Дамытушылық:оқушылардың шығармашылық қабілетін, логикалық ойлау қабілетін, белсенділігін арттыру, шапшаңдығын дамыту, өз бетімен жұмыс істеп, талаптануын арттыру.

        3.Тәрбиелік:білім алуға, еңбек етуге, жауапкершілікке, бірін-бірі сыйлауға, уақытты тиымды пайдалануға, ізденімпаздыққа тәрбиелеу, болашаққа көзқарасын қалыптастыру..

        Сабақ түрі: Ашық сабақ

       Сабақтың көрнекілігі:сөзжұмбақ,карточкалар.

Оқытудың әдісі: Түсіндіру.

Ұйымдастыру кезеңі

а) Сәлемдесу,        

ә) оқушыларды түгендеу,

 б) оқушылардың назарын сабаққа аудару

 в) сабақтың мақсатымен таныстыру

Үй тапсырмасын тексеру:№975

Сабақтың барысы

 

Жаңа тақырыпты түсіндіру.

1. Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосқанда олардың алымдарын қосып, алым етіп, ал сол бөлімнің өзін қалдыру керек.
2. Бұл бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу ережесі

1-мысал:айырмасының мәнін табайық

3. Бөлімдері бірдей бөлшектерді азайтқанда азайғыштың алымынан азайтқыштың алымын азайтып,алым етіп жазып,сол бөлімнің өзін қалдыру керек.

4. Бөлімдері әр түрлі бөлшектерді қосу және азайту үшін

            а) бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру керек

           б) бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу және азайту ережесі бойынша қосужәне азайту амалын орындау керек.

2-мысал

3-мысал

 

Теңге алу

   (Кітаппен жұмыс)      №980

 ‘‘квадрат’’тобы(1,2)

 “ұшбұрыш”тобы(3,4)

 “төртбұрыш”тобы(5,6)

Қыз қуу       №98

‘‘квадрат’’тобы(1,2,)

 “ұшбұрыш”тобы(3,4,)

 “төртбұрыш”тобы(5,,6,)

Сергіту сәті (Жаттығу жұмысы)

Көкпар    (Тест жұмысы)

1.Дұрыс бөлшекті тап?

А)       Б)      В)              Г)

2.Бұрыс бөлшекті тап:

А)        Б)      В)             Г)

3.Есепте:    

А)         Б)        В)        Г)

4.3:14   бөліндісін бөлшек түрінде жаз:

А)        Б)           В)         Г)

5.   бөлшегін бөлінді түрінде жаз:

А)13:37        Б)13*37         В)37:13          Г)13+37

 Тест жауаптары:

1-Г

2-Б

3-Г

4-В

5-А

Сабақты бекіту кезеңі:

1. Бөлімдері бірдей бөлшектер қалай қосылады?

2. Бөлімдері әр түрлі бөлшектер қалай қосылады?

Бағалау.

Сыныпта белсенді қатысып отырған оқушылар бағаланады.

Үйге тапсырма:  №985

Санның логарифмі және оның қасиеттері

 Логарифмнің анықтамасы

а^х =Ь, (а>0, а1) теңдеуін қарастырайық. Бұл теңдеудің тубірі у-а^х көрсеткіштік функциясы графигі мен у=b түзуінің қиылысу нүктелерінің абсциссасына тең (46,47-суреттер). Осы суреттерден, егер b >0 болса, онда

у = а^х функциясы графигі мен у= b  түзуі бір нүктеде қиылысатынын, ал егер  b≤0 болса, онда у-а^х функциясы графигі мен у=b_х түзуі қиылыспайтынын көреміз. Олай болса, b>0 болған жағдайда a^х=b теңдеуінің жалғыз түбірі бар (х=с), ал b≤0 болса, онда бұл теңдеудің түбірі жоқ. Сонымен b>0 болғанда а^х = b теңдеуінің түбірін негізі а-ға тең болатын b санының логарифмі деп атайды.

Анықтама. Берілген оң санның берілген негіздегі логарифмі деп осы негіздің  берілген санға тең дәреже көрсеткішін айтады, яғни b>0 санының a (а>0, а≠1) негізіндегі логарифмі деп

                             а^с=һ   (1)

теңдігін қанағаттандыратын с санын айтады. Оны былай белгілейді: log_аb және бұл «негізі а бойынша логарифм b» деп немесе негізі а-ға тең логарифм b» деп оқылады.

Сонымен анықтама бойынша (1) теңдіктен

                               b =      (2)

теңдігін аламыз. (2) теңдікті логарифмдердің негізгі теңбе-теңдігі деп

атайды.

1-мысал. 1) log₃81;  2) log₂0,125 өрнектерінің мәнін табу керек.

Шешуі.1) 81=3⁴, онда аньщтама бойьшіпа log₃81=4;

              2)    олай болса, log₂0,125=8. 8

1-сурет          2-сурет

 Логарифмдердің негізгі қасиеттері

Енді логарифмдердің негізгі қасиеттерін атап өтелік. Кез келген а>0, (а≠1) және b, с  оң сандары үшін

1°. log_al=0;                 2°.log_ea=l;

3°. log_ab∙c=log_ab+log_ac;                    4°. log, - = log_a b - log_a c;

5°. log, b^m = mlog_a b, m R;        6°. log _аⁿ    b log_a b,n   R,n ≠ 0;

7°. log, b = log_a c  b = c;    8°. log_a

теңдікітері  орындалады.

Дәлелдеу. 1° және 2°-қасиеттердің дәлелдеуі анықтамадан шығады.

3°-қасиет. Айталық, log_а b=и, log_ac=u болсын. Онда (2) теңдік бойынша  

                      b=а^u   c=a^v           (3)

теңдіктерін аламыз. (3) теңдіктерден  b∙с=а^u+v болатынын көреміз. Осыдан логарифм анықтамасы бойынша

       log_abc=u+v=log_аb+log_аc теңдігін аламыз.

4°-қасиет. (3) теңдіктен  теңдігі шығады. Онда анықтама бойынша     

                log_a=-u-v = log_ab-log_ac с теңдігін аламыз.

5°-қасиет. Егер log_ab=u болса, онда b=а^u. Осыдан b^m=а^mu теңдігі мен логарифм анықтамасын қолдана отырып,

      log_ab^m=m∙u=mlog_аb теңдігін аламыз.

6°-қасиет. (2) теңдік бойынша

        

Олай болса,

       

7°-қасиет. Негізгі теңбе-теңдік бойынша a^logab = b, a^logаc = с. Осыдан         b=с  . Ал негіздері бірдей дәрежелер тең болуы үшін олардың дәреже көрсеткіштері тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни

log_а b = log_a с. Сонымен  b =с  log_a b = log_a с.

8°.   теңдігін негізі с бойынша логарифм  дейміз. Сонда        log_а b∙ log_с а  = log_c b. Осыдан  

2-мысал. а) log₂ 16;   ә) log 27;    б) log₄2  өрнегінің мәнін табу керек.

Шешуі:        а) log₂l6=log₂2⁴=4∙log₂2=4;

                      ә) log27 = log3³ =-31og₃3=-3;

                      б) log₄2= log 2log₂ 2

Мұнда біз 2°, 5° және 6°-қасиеттерді қолдандық.

3-мысал. log_a27=b деп алып,   өрнегінің мәнін анықтайық.

Шешуі. 

Осыдан  

Жауабы:

4-мысал.   теңбе-теңдігін дәлелдеу керек.

Дәлелдеу.    

 Логарифмдік теңдеулер

Қарапайым логарифмдік теңдеу log_a х = b түрінде жазылады. Бұл теңдеудің келесі түрдегі бір ғана шешімі бар: х = а^ь.

1-мысал

log₃ (х² + 4х + 4) = 2 тендеуін шешейік.

Берілген теңдеудің шешімі

х² + 4х + 4 = 3²

шартын қанағаттандыратын барлық х-тің мәндері болып табылады.

Онда келесі квадрат тендеуді шешеміз:

                   х²+4х-5 = 0.

1 және -5 сандары бұл теңдеудің түбірлері және алғашқы тендеудің шешімдері болыап табылады. Логарифмдік теңдеу көбінесе

log_a f(х) = log_а g(x), (a > 0, a ≠ 1) түрінде кездеседі. Мұндай теңдеулерді шешу үшін:

1)  f(^x) ⁼ g(^x) теңдеуін шеігіу керек;

2)  табылған түбірлер ішінен f(x) > 0 және g(x) > 0

теңсіздіктерін қанағаттандыратындарын іріктеп алу керек (логарифмдік функция тек оң сандар жиынында ғана анықталған).

Логарифмдік тендеулерді шешудің негізгі екі әдісі бар:

1) берілген тендеуді log_a f(x) = log_а g(x) түріне, содан

кейін оны f(x) = g(x) түбіне түрлендіру әдісі;

2) жада айнымалыны енгізу әдісі.    

5-мысал

log₃(4x.+ 2) = log₃(x -1) тендеуін шешейік.

Берілген теңдеудің шешімін табу үшін келесі жүйені шешу қажет:

4х + 2 = х -1,

 4х + 2 > 0,

 х-1 > 0.

х  -1 саны жүйедегі теңдеу түбірі болып табылады.

болғанда, бірінші теңсіздік орындалады. Сонымен қатар болғандықтан, табылған түбір берілген теңсіздікті қанағаттандырмайдьі. Бұл түбір екінші теңсіздікті қанағаттандыратынын тексерудің қажеті жоқ.

Жауабы: берілген тендеудің түбірлері жоқ.

Логарифмдік теңдеулерді шешу кезінде логарифмнің келесі қасиеттері көбірек қолданылады:

1) көбейтіндінің логарифмі көбейткіштер логарифмдерінің қосындысына тең:

log_a(pq) = log_ap+log_aq;

2) бөлшектің логарифмі бөлшек алымының логарифмінен бөлімінің логарифмін азайтқанға тең:

                                     

3)   дәреже логарифмі дәреже көрсеткішін негіздің логарифміне көбейткенге тең:

log_a р^q = q log_a p.

6-мысал

lg(x - 9) + lg(2x -1) = 2 тендеуін шешейік.

Логарифмдер қосындысы х-9 жәңе 2х-1 өрнектерінің көбейтіндісін логарифмдеу арқылы алынған:

lg(x - 9) + lg(2x -1) - lg ((х - 9)(2х -1)) Берілген теңдеуді шешу үшін логарифмдер анықтамасын пайдаланамыз:

                             

Осы табылған түбірлер берілген тендеудің шешімдері бола ала ма, жоқ па, осыны анықтау үшін келесі теңсіздіктер жүйесін шешеміз:

х-9>0,

2х-1>0.

Демек х > 9 және х > 0,5 теңсіздіктерінің қатар орындалуы қажет. Бұл жүйенің шешімі х > 9 теңсіздігі болып табылады. Осы шартты тек қана х = 13 түбірі қанағаттандырацы.

Жауабы: х- 13.

Логарифмдік теңдеулерді шешу кезінде көбінесе бір негізден екінші бір негізге ауысуға тура келеді:

7-мысал

log _x 2 - log₄ x +1  = 0 теңдеуін шешейік.  

Теңдеуді шешпес бұрын бірдей бір негізге ауысу қажет. Біздің теңдеуімізде бұрыннан қатысып тұрған 4 санын жаңа негіз етіп алсақ, бұл теңдеудің шешілуін жеңілдете түседі.

     

Онда келесі түрдегі теңдеуді аламыз:
                

Тендеуге қатысып тұрған бөлшектерден құтылу үшін теңдеудің екі жағын 6 санына көбейтеміз:

       

Осы теңдеулерді шешсек

       

Жауабы: