Открытый урок по математике "Векторы в пространстве"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО УРОКА

по дисциплине «Математика: алгебра, начала математического анализа и геометрия»

на тему: «Векторы в пространстве»

для обучающихся специальности 40.02.02

«Правоохранительная деятельность»

Автор:                     Киселева А.В., преподаватель математических

дисциплин ГБПОУ «ПГК»

Самара, 2016 г.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА МАТЕМАТИКИ

Киселевой Анны Вячеславовны

на тему: «Векторы в пространстве»

для обучающихся 1 курса,

группа ПД-122 специальности 40.02.02 Правоохранительная деятельность

Дата проведения урока: 29.11.2016 г.

Место проведения: 4 корпус, 306 кабинет.

Цели урока:

А. Учебные цели (для обучающихся):

1) формировать у обучающихся общие компетенции: ОК-1-7;

2) развивать качества мышления, умение наблюдать, обобщать, анализировать, совершенствовать пространственное воображение;

3) воспитывать математическую культуру, взаимопомощь, умение слушать товарища, чувство ответственности за коллектив в процессе творческой работы.

Б. Методические цели (для преподавателя):

1) формировать у обучающихся общие компетенции: ОК-1-7;

2) организовать самостоятельную работу учащихся;

3) учить сравнивать, обобщать, анализировать ответы товарищей.

Задачи урока:

А. Учебные задачи (для обучающихся):

1) сформировать умение применять формулы, определения;

2) развивать самостоятельность мышления, ответственность за выполненную работу;

3) воспитывать умение работать в команде, чувство ответственности за работу членов команды, за результат деятельности.

Б. Методические задачи (для преподавателя):    

1) применить активные и интерактивные формы и методы обучения студентов для достижения образовательных результатов;

2) развивать умения обучающихся четко, кратко излагать свои мысли, делать выводы и обобщения, анализировать;

3) способствовать активному усвоению нового учебного материала студентами;

4) воспитывать интерес к учебной дисциплине «математика: алгебра, начала математического анализа и геометрия»,

5) формировать умение объективно оценивать свои знания (чужой ответ) и умение работать в группе;

5) формировать коммуникативную культуру, самостоятельность, способность войти в группу (коллектив) и внести свой вклад.

       Тип урока: урок игра повторения-обобщения

Форма проведения урока:  игра.

Образовательные результаты урока, заявленные во ФГОС СПО:

1.   Знания:

1) представление о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;

2) представление о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления;

3) методы доказательств и алгоритмов решения.

2.   Умения:

применять методы доказательств и алгоритмов решения, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

3.   Общие компетенции:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

Средства обучения:

1) мультимедийный проектор – 1 шт.;

2) экран – 1 шт.;

3) доска для написания маркерами – 1 шт.;

4) персональный компьютер – 11 шт.;

5) комплекс необходимого программного обеспечения;

6) Интернет ресурсы;

7) наглядные материалы и алгоритм решения – 5 шт.;

8) карточки – задания – 3шт.;

9) карточки – домино – 9 шт.

Педагогические технологии, используемые на уроке:

- игровые технологии;

- программированный контроль;

- алгоритмизированного обучения;

- технологии уровневой дифференциации;

- технология индивидуализации обучения;

- развивающего обучения;

- интерактивного обучения;

- работы с алгоритмом;

- работа в малых группах;

- эвристического обучения.

Методы обучения, реализуемые на уроке:  

- метод обобщения знаний;

- игровые методы обучения;

- метод мозгового штурма;

- метод объяснения;

- метод опорного алгоритма;

- метод учебно-творческого самовыражения;

- взаимоконтроль;

- самоконтроль;

Дидактические принципы, реализуемые на уроке: 

- принцип научности;

- принцип систематичности и последовательности;

- принцип связи теории с практикой;

- принцип доступности и посильности в обучении;

- принцип сознательности и активности в обучении;

- принцип прочности усвоения знаний, умений;

- принцип наглядности;

- принцип воспитания;

- принцип самоактуализации;

- принцип индивидуальности;

- принцип выбора;

-принцип творчества и успеха;

-принцип доверия и поддержки.

Приемы педагогической техники, используемые на уроке:

- игра «Морской бой»;

- использование системы наводящих вопросов в случаях неправильных ответов;

- игра «Домино»;

- повторяем с контролем;

- работа с информацией;

- групповое деление студентов;

- использование ассистентов.  

Подходы к обучению, реализуемые на уроке:

- компетентностный;

- психологический;

- рефлексивный;

- деятельностный;

- личностно-ориентированный;

- коммуникативный.

ПЛАН УРОКА

1. Организационный момент – 5 мин.

2. Актуализация опорных знаний –35 мин.

3. Закрепление материала – 35 мин.

4. Рефлексия – 10 мин.

5. Итоги урока – 3 мин.

6. Домашнее задание – 2мин.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Преподаватель. Здравствуйте, уважаемые студенты!

Проверка посещаемости.

Преподаватель. Ребята, сегодня у нас необычный урок. Мы проведём урок – игроманию.

На уроке присутствуют гости: преподаватели колледжа, члены администрации, корреспонденты и кандидаты наук.

В основном на уроке будет работа в малых группах. Не забывайте, что групповая работа – сотрудничество, необходимо уметь слушать и слышать товарища.

Урок мы начнем с задания на концентрацию вашего внимания и развитие периферического зрения.

Таблицы Шульте

Что это такое? Таблица Шульте представляет собой таблицу, в ячейках которой хаотичным образом размещена определенная информация (чаще всего последовательно идущие числа).

     Суть работы: заключается в быстром последовательном нахождении всех чисел, либо других объектов, расположенных в таблице. Концентрируйте взгляд на клетке в центре экрана и одновременно старайтесь увидеть все цифры на поле. Пытайтесь последовательно определить где находятся цифры от 01 до 25 и при этом не убирать взгляд с центральной точки.

Эффект от упражнения: постоянная работа с таблицами Шульте помогает расширить ваше периферийное зрение, для получения так называемого состояния высокой продуктивности, которое осуществляется за счет переключения сознания от критического восприятия возможности эффективно выполнять логичные и последовательные операции.

Преподаватель. Итак, тема сегодняшнего урока повторения-обобщения «Векторы в пространстве». А пока мы с вами должны вспомнить все понятия и формулы, относящиеся к понятию вектора в пространстве.

2. Актуализация опорных знаний.

Преподаватель. Повторять мы будет с вами в форме игры. А поиграем мы с вами сегодня в «Морской бой». (Приложение 1).

         Игра-повторение «Морской бой»

Игровое поле имеет следующий вид:

	а	б	в	г	д	е	ж	з	и
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

На игровом поле, размещены корабли.

Для игры группа делится на 2 команды.

Каждой из команд выбирается название и капитан.

После чего команды поочередно «стреляют» по клеткам игрового поля.

 Как только произойдет первое попадание, команде задается вопрос.

Если участники команды отвечают правильно, то они продолжают игру и зарабатывают очко.

 Если ответ на вопрос неправильный, то происходит переход хода к другой команде.

Игра продолжается до тех пор, пока все "корабли" не окажутся "потопленными" или по истечении времени игры.

Побеждает команда, набравшая большее количество очков.

3. Закрепление материала.

Дифференцированная проверка уровня усвоения пройденной темы.

Группа делится на 3 подгруппы.

1-ая подгруппа: отвечает на вопросы компьютерного теста (на компьютерах).

(Приложение 2).

2-ая подгруппа: решает самостоятельную работу по образцу-алгоритму.

Алгоритм (Приложение 3).

Самостоятельная работа (Приложение 4).

3-ая подгруппа: играет в «Домино»

Преподаватель. Следующее задание проходит в два этапа.

У Вас имеются карточки, которые разделены на две части: в правой части – начало утверждения, а в левой – конец. Их необходимо соединить и получить верное утверждение. (Приложение 5)

Обучающиеся решают и пытаются найти соседнее домино.

Составив цепочку и перевернув карточки, можно увидеть слово «Молодцы!».

4. Итоги урока.

 Продолжите предложения:

1. Сегодня на уроке мне понравилось …

2. Сегодня на уроке я узнал …

3. Сегодня на уроке вызвало затруднение …

4. Если бы я был преподавателем, то бы я сделал …

5. Домашнее задание. Составить кроссворд по разделу «Стереометрия».

Преподаватель: Урок окончен. Всего доброго! До свидания!

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Игра  «Морской бой».

Вопросы и ответы:

1.                 Что такое вектор?

Вектор – это направленный отрезок для которого указано начало и конец.

2.                 Какой вектор называется нулевым?

Нулевым вектором – называется вектор длина которого равна 0,а начало и конец совпадают(точка).

3.                 Что такое модуль (длина, абсолютная величина) вектора?

Неотрицательное число, равное длине отрезка, изображающего вектор.

4.                 Когда два ненулевых вектора называются коллинеарными?

Два вектора называются - коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

5.                 Когда два ненулевых вектора называются сонаправленными?

Два коллинеарных вектора называются – сонаправленными, если они имеют одинаковое направление (их лучи сонаправленны).

6.                 Когда векторы равны?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

7.                 Запишите формулу скалярного произведения.

если    ,  ,  то 

8.                 Запишите формулу нахождения косинуса угла между векторами.

9.                 Запишите необходимое условие коллинеарности двух векторов.

Векторы а и в коллинеарны, если  ,  то есть, координаты векторов пропорциональны.

10.            Запишите пожалуйста необходимое условие перпендикулярности векторов.

Условие:  , т.е. 

11.            Запишите пожалуйста как найти произведение вектора на число?

Пусть , тогда  где k-некоторое число, неравное 0.

12.            Запишите пожалуйста формулу нахождения длины вектора.

Пусть , тогда   

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

----------------------------------------------------------------------------------------------------

компьютерный тест

ПО ТЕМЕ: «ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ»

1.     Если    A(c; d; e),  B(m; n; k), C(x; y; z) – середина отрезка АВ, то:

a)    ; ;

b)   ; ;  - верно

c)    ; ;

2.     Если    a{x; y; z},  c = k·a    (k ≠ 0) ,   то     

a)   

b)   - верно

c)   

3.     Если    d{m; n; k},   то   

a)   

b)  

c)    - верно

4.     Если    a{a; b; c}, b{m; n; k}, f {a–m; b–n; c–k} ,   то   

a)    f = a – b- верно

b)   f = a + b

c)    f = b – a

5.     Если       ,  то   

a)    C(c; d; m)   и  D(a; b; n)

b)   C(a; b; n)  и  D(c; d; m)

c)    C(b; d; n)  и  D(a; c; m) - верно

6.     Если   и  ,  то  

a)   

b)  

c)     -верно

7.     Если    MN{a – b; c – d; m – n },  то   

a)    M(a; c; m)  и  N(b; d; n)

b)   M(a; b; m)  и  N(c; d; n)

c)    M(b; d; n)  и  N(a; c; m) - верно

8.     Если  A(a;b;m) и B(c;d;n) то   

a)    AB {c – a; d – b; n – m }-верно

b)   AB {a – c; b – d; m – n }

c)    AB {a + c; b + d; m + n }

9.     Если    a{r; n; f},    b{p; k; l},  c = a + b,   то   

a) 

b)

c) 

10. Если    A(e;c;r) и B(m;n;t),  то   

a)   

b)  

c)     - верно

11. Если  A(e;p;s), B(m;n;c), ,  то   

a)    A – середина   BC

b)   B – середина   AC

c)    С – середина   AB - верно

12. Если то   

a)    x = a + b + c

b)   x {a²; b²; c²}

c)    x {b; a; c}  - верно

13. Если   и  ,  то  

a) 

b)

c)   

14. Если    x{a; b; c},  y{k ·  a; k  · b; k · c}   и  (k0) ,   то   

a)    y = k ·  x - верно

b)   x = k ·  y

c)    x ·  y = k

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

----------------------------------------------------------------------------------------------------

1.     Задание. Даны точки и  . Найти координаты вектора , 

Алгоритм.  Для того, чтобы найти координаты вектора по заданным координатам точек необходимо: a)     Определить какая точка является началом вектора, а какая концом. b)    Из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора, воспользовавшись  формулой:

Решение.Подставляя заданные координаты, получим:

Ответ. 

2.     Задание. В пространстве заданыточки  и . Найти длину вектора 

Алгоритм.  Для того, чтобы найти длину вектора по заданным координатам точек необходимо: a)     Определить какая точка является началом вектора, а какая концом. b)    Найти координаты вектора, воспользовавшись  формулой: c)     Найти длину вектора подставив координаты полученного вектора в формулу:

Решение. Найдем сначала координаты вектора . Для этого из координат конца вычислим соответствующие координаты начала, получим:

Подставляя в формулу координаты вектора, получим

Ответ. 

3.     Задание. Два вектора заданы своими координатами   ,  . При каких значениях  и  векторы  и будут коллинеарными?

Алгоритм.  Для того чтобы векторы  и  были коллинеарными необходимо, чтобы их координаты были пропорциональными, то есть чтобы выполнялись следующие равенства:. a)     Подставляем соответствующие координатывектора  вместои координаты вектора  вместо в равенство и получаем пропорцию. b)    Решаем пропорцию.

Решение. Подставляя заданные координаты в равенство получим:

А тогда значения неизвестных параметров  и  находим из равенств

Ответ. Векторы  и  будут коллинеарными при  и 

4.     Задание. Заданы два вектора  и  . При каком значении  эти векторы будут перпендикулярны?

Алгоритм. Два вектора  и  будут перпендикулярны тогда, когда их скалярное произведение будет равняться нулю, т.е. a)     Находим скалярное произведение векторов по формуле  подставив соответствующие координаты векторов  и . b)    Приравняем полученное выражение к «0». c)     Решаем уравнение, находим неизвестное.

Решение.Подставим в него заданные координаты векторов, получим:

Из полученного уравнения найдем :

Ответ. Векторы  и  будут перпендикулярны при 

5.     Задание. Найти косинус угла между векторами  и , заданных в пространстве.

Алгоритм. Для нахождения угла между векторами  и  необходимо: a)     Находим скалярное произведение векторов по формуле  подставив соответствующие координаты векторов  и . b)    Находим длину вектора  подставив соответствующие координаты в формулу: . c)     Аналогично находим длину вектора   подставляя в соответствующие координаты вектора . d)    Подставляем полученные данные в формулу нахождения косинуса угла между заданными векторами.

Решение. 

Подставляя координаты векторов  и , получим

Ответ.  

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

----------------------------------------------------------------------------------------------------

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПО ТЕМЕ: «ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ»

Вариант –1

1. Даны координаты точек:  и . Найти координаты вектора .	А) (5;-6;12);             Б) (-5;6;-12); В) (9;10;-2);             Г) (4,5; 5;-1).
2. Даны координаты точек:  и . Найти длину вектора .	А) 3;                         Б) 10; В) ;                 Г) 6.
3. Найдите значения  и , при которых векторы  и  коллинеарны.	А) ;    Б) ; В) ;    Г) .
4. Найдите значение (значения) , при котором векторы  и  перпендикулярны.	А) ;   Б) ; В) ;    Г) .
5. Найдите угол между векторами  и , если ,  и …	А)                         Б) 0,3; В) ;                      Г) 0,5.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПО ТЕМЕ: «ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ»

Вариант –2

1. Даны координаты точек:  и . Найдите координаты вектора .	А) (5;-6;12);             Б) (-5;6;-12); В) (9;10;-2);             Г) (4,5; 5;-1).
2. Даны координаты точек:  и . Найдите длину вектора .	А) 3;                         Б) 10; В) ;                 Г) 6.
3. Найдите значения  и , при которых векторы  и  коллинеарны.	А) ; Б) ; В) ; Г) .
4. Найдите значение (значения) , при котором векторы  и  перпендикулярны.	А) ;   Б) ; В) ;              Г) .
5. Найдите угол между векторами  и , если ,  и .	А)                         Б) 0; В) ;                      Г) 0,5.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПО ТЕМЕ: «ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ»

Вариант –3

1. Даны координаты точек:  и . Найдите координаты вектора .	А) (5;-6;12);               Б) (-5;6;-12); В) (9;10;-2);               Г) (4,5; 5;-1).
2. Даны координаты точек:  и . Найдите длину вектора .	А) 3;                            Б) 10; В) ;                       Г) 5.
3. Найдите значения  и , при которых векторы  и  коллинеарны.	А) ;       Б) ; В) ;       Г) .
4. Найдите значение (значения)  к, при котором векторы перпендикулярны.	А). 2;                           Б). 4; В). 4; 2;                       Г). 0; 6.
5. Найдите угол между векторами  и , если ,  и .	А)                           Б) 0,3; В) ;                      Г) 0,5.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПО ТЕМЕ: «ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ»

Вариант –4

1. Даны координаты точек:  и . Найдите координаты вектора .	А) (9; 13;-17);             Б) (-13;9;-17); В) (17;13;-9);              Г) (-9; -13;17).
2. Даны координаты точек:  и . Найдите длину вектора .	А) 3;                            Б); В) ;                      Г) .
3. Найдите значения  и , при которых векторы  и  коллинеарны.	А) ;        Б) ; В) ;        Г) .
4. Найдите значение (значения)  , при котором векторы  и  перпендикулярны.	А). 2;                           Б). 3,6; В). 2; -3,6                     Г). 3;-2,4.
5. Найдите угол между векторами  и , если ,  и .	А)                          Б) ; В) ;                       Г) 3.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Игра  «Домино».

	Векторы  и  - …
… противоположно-направленные	Равные векторы …
… имеют одинаковые длины и  одинаковое направление	Любая точка пространства – это …
…нулевой вектор	Абсолютная величина вектора …
… это длина отрезка, изображающего вектор	Если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то …
… эти векторы равны	Коллинеарные векторы – это …
… ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.	Нулевой вектор – это …
… вектор, у которого начало совпадает с концом	Для того чтобы определить координаты вектора, необходимо …
… из координат конца вектора вычесть координаты начала