Отношение площадей треугольников, имеющих равный угол

Конспект урока по геометрии в 8-м классе

 "Отношение площадей треугольников, имеющих равный угол"

Булаева Валентина Егоровна,  учитель математики

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

• Образовательные:

1. сформулировать и доказать теорему об отношении площадей треугольников, имеющих один равный угол;
2. рассмотреть применение теоремы при решении задач на нахождение площадей многоугольников;
3. продолжить формирование умений и навыков решения задач на нахождение площадей многоугольников.

• Развивающие цели:

1. развивать интуицию, умения анализировать условие задачи, логически мыслить, обобщать полученные результаты;
2. развивать навыки правильной математической речи.

• Воспитательные:

1. воспитывать аккуратность при выполнении чертежей и оформлении решения задач;
2. воспитывать самостоятельность и самоконтроль.

Оборудование для урока:

1. мультимедийный проектор;
2. компьютер с программой просмотра презентаций;
3. рабочие тетради к учебнику Атанасяна у всех учащихся.

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщается тема урока, формулируются его цели.

II. Актуализация знаний учащихся.

1. Устный опрос (фронтальная работа с классом).

Ответьте на вопросы:

– Какие фигуры называются равносоставленными?

– Как называются фигуры, имеющие равную площадь?

– Верно ли, что равные фигуры имеют равные площади?

– Верно ли, что равносоставленные фигуры имеют равные площади?

– Верно ли, что разные фигуры имеют равные площади?

– В треугольнике АВС АВ = 3АС. Чему равно отношение высот треугольника, проведенных из вершин В и С?

– Катеты прямоугольного треугольника 6 см и 8 см. Длина гипотенузы 10 см. Вычислите высоту, проведенную к гипотенузе.

– Дана трапеция АВСD с основаниями АВ и СD. Докажите, что:

а) треугольники АВD и ВАС имеют равные площади;

б) треугольники АОD и ВОС имеют равные площади;

В треугольнике АВС проведена медиана ВD. Во сколько раз площадь треугольника АВD меньше площади треугольника АВС? Объясните.

2. Проверка домашнего задания.

Задача № 40 рабочей тетради. Один учащийся читает решение по своей тетради, остальные обсуждают и проверяют.

На рисунке точка М делит сторону АС треугольника ABC в отношении AM : МС = 2:3. Площадь треугольника ABC равна 180 см². Найдите площадь треугольника AВM.

Решение.

Треугольники ABM и ABC имеют общую высоту BD, поэтому их площади относятся как основания АМ и МС. Так как по условию AM : МС = 2 : 3, то AM : АС = 2 : 5 и

Ответ. 72 см².

Далее проверяется дополнительная задача. Ее решение предлагается воспроизвести одному из учащихся, справившихся с этой задачей.

Точка Е – середина стороны АВ треугольника АВС, а точки М и Н делят сторону ВС на три равные части, ВМ = МН = НС. Найти площадь треугольника ЕМН, если площадь треугольника АВС равна S.

Решение:

Высоты треугольников ВСЕ и АВС равны, тогда 

Высоты треугольников BEM, MEH, CEH равны, их площади относятся так же, как

ВМ : МН : СН, т.к. ВМ = МН = СН, то S_BEM = S_MEH = S_CEH =

III. Изучение нового материала.

1. Постановка проблемной задачи.

Рассмотрим решение следующей задачи рабочей тетради № 41.

Площади каких треугольников рассматриваются? Можно ли применить к решению задачи общую формулу площади треугольника или отношение площадей треугольников с равными высотами?

Есть ли у рассматриваемых треугольников равные элементы?

Итак, наша цель – выяснить, как связаны площади треугольников, имеющих по равному углу.

2. Формулирование и доказательство теоремы.

Теорема: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.

3. Анализируем условие теоремы.

– Сформулируйте что дано в данной теореме: сколько треугольников рассматривается, какое условие накладывается на них?

Записываем условие теоремы:

 

– Сформулируйте заключение данной теоремы.

– Что называется отношением двух величин?

– О каких отношениях идет речь в теореме?

– Произведения каких сторон треугольников будем рассматривать, учитывая, что А = А₁?

Записываем заключение теоремы:

Доказательство:

Наложим один треугольник на другой так, чтобы равные углы А и А₁ совпали, сторона А₁В₁ лежала на луче АВ, а сторона А₁С₁ на луче АС.

Рассмотрим два треугольника

– Что общего у этих треугольников?

– Чему равно отношение площадей треугольника с равными высотами?

– 

– Запишите соответствующее равенство:

Рассмотрим другие два треугольника

– Что общего у этих треугольников?

– Чему равно отношение площадей треугольника с равными высотами?

– Запишите соответствующее равенство:

Перемножим равенства (1) и (2):

IV. Закрепление изученного материала.

1. Устное решение задач по готовым чертежам.

2. Решение задач с записью в тетради.

№ 3. Площадь одного равностороннего треугольника в 3 раза больше, чем площадь другого равностороннего треугольника. Найдите сторону второго треугольника, если сторона первого равна 1.

№ 4. М – середина АВ. МВ = 4 см, АК = 4 см, АС = 12 см. Найти S_BCKМ, если S_AMK = 16 см².

 

V. Итог урока.

Подытожить, что изучали на данном уроке, оценить работу учащихся

VI. Домашнее задание.

п. 52, № 41 рабочей тетради, № 479 учебника.