Ответы по олимпиаде по математике в 11 классе.Школьный этап

                         Ответы и решения школьного этапа  Олимпиады                                                                                 по математике   в 11 классе 2016-2017учебный год                                     (составила Постникова О.Н.)

     Олимпиада состоит из 6 заданий. Каждая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог подводится по сумме баллов, набранных участником. Максимальный балл-42. Учащийся набравший не менее 22 баллов считается призером олимпиады, победитель выбирается из числа призеров с наибольшим количеством баллов.

1.     .Сколько острых углов в 2016 тупоугольных треугольниках? 

Ответ.4026.

Решение. Так как в тупоугольном треугольнике один угол тупой, а два других - острые,  то в 2016 тупоугольных треугольниках 2*2016=4032 острых угла.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
7	Верное решение
3	Правильный ответ, без пояснения как получился
0	Неверный ответ

2. На какое наибольшее число натуральных  слагаемых можно разложить число 96 так, чтобы все слагаемые были больше 1 и попарно взаимно просты?  

 Ответ: на  семь слагаемых.

Решение. Приведём пример разбиения числа 96 на семь слагаемых:

9 6 = 2 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 41.Если слагаемых больше, то среди них не менее восьми нечётных ( если их семь, то сумма нечётна). Заменим каждое из них на наименьший простой сомножитель. При этом сумма не увеличится, и все слагаемые будут различны.  Но сумма  восьми  наименьших нечётных  простых  чисел равна 98.  

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
7	Получен правильный ответ, дано разложение на 7 слагаемых
0	Неверный ответ

3. Во сколько раз число А меньше числа В?

           

                                                   

Ответ. В 4 раза

Решение.

Значит, число А в 4 раза меньше числа В.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
7	Верное решение
6-5	Верное решение, неверно записан ответ
4	Верный ход решения, но  допущена  ошибка при вычислении в ходе решения
0	Решение неверное или решение отсутствует

4. Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было    четыре, а других попаданий и промахов не было?

Ответ. в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Решение.

     Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
7	Полное верное обоснованное решение
6-5	Решение верное, содержит незначительные пробелы в обоснованиях, дан правильный ответ
1	Записан правильный ответ, без решения
0	Решение неверное ,ответ неверный

5. Механические часы показывают время 7 часов 20 минут. Найдите угол между часовой и минутной стрелкой.

Ответ. 100 градусов.

Решение .

За 1 час минутная стрелка проходит полный круг 360 градусов, а часовая -  в 12 раз меньше, т.е. 30градусов. Поэтому в 7 часов минутная стрелка                      повернется 20/60*360=120градусов, а часовая на угол, в 12 раз меньше, т.е. 10градусов. Следовательно, в 7часов 20 минут угол между стрелками будет равен

 210+19-120=100градусов.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
7	Полное верное решение
6-7	Верное решение, имеются небольшие недочеты не влияющие на решение
4	Верное решение и в конце неверный ответ
1	Разумные соображения, не приведшие к правильному решению
0	Решение неверное или решение отсутствует

6. Бизнесмен Петров купил акции и через год продал их по номинальной стоимости, получив вместе с прибылью сумму 201600 р. Сколько акций было куплено, если прибыль составляет 12 от стоимости акции и равна 240 р.?

Ответ. 90 акций

Решение.Прибыль составила 12 % от стоимости акций и равна 240:
Составим пропорцию:
12% - 240 рублей
100% - х рублей
х=240*100:12=2000 рублей (стоимость одной акции)
201600:(2000+240)=201600:2240=90 акций.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
7	Полное верное решение
5	Приведено верное решение, но по каким-либо причинам дан неверный ответ
4	Верный ход решения, но  допущена  ошибка при вычислении в ходе решения
1	Разумные соображения, не приведшие к правильному решению
0	Решение неверное или решение отсутствует