Подготовка ЕГЭ геометрические задачи

6. Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение.

Сторона квадрата вдвое больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому AВ = Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. Поэтому

Ответ: 44.

7. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

 

Решeние:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда

 Ответ: 2.

8. Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон.

Решение.

Пусть большая из двух оставшихся сторон имеет длину x, тогда длина четвертой стороны равна В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. В этом случае периметр четырехугольника вдвое больше суммы длин противоположных сторон, а значит, стороны длиной x и 13 − x, как и стороны длиной 5 и 6, не могут быть противоположными и являются смежными.

Итак, напротив большей из первой пары смежных сторон с длинами x и 13 − x лежит меньшая из второй пары смежных сторон с длинами 5 и 6. Поскольку суммы длин противоположных сторон равны, имеем:

Ответ: 7.

9.  Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение.

Найдем радиус вписанной окружности из формулы площади треугольника:

.

Периметр треугольника P=5+5+6=16, а площадь равна

и радиус вписанной окружности:

.

Ответ: 1,5.

10. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение.

Для нахождения площади треугольника ABC, воспользуемся формулой Герона:

Далее по формуле

Ответ: 25.

11. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Решение.

Высота трапеции где KO и OH — высоты равнобедренных треугольников DOC и AOB. По теореме Пифагора:

Тогда

Ответ: 7.

12. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Больший из оставшихся углов лежит напротив меньшего из указанных в условии. Поэтому он равен 180° − 58° = 122°.

Ответ: 122.

13. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30°. Найдите сторону AB этого треугольника.

Решение.

По теореме синусов:

Ответ: 3.

14. Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах

Решение.

По теореме синусов

тогда

Ответ: 30.

15. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен Найдите сторону этого треугольника.

Решение.

Треугольник ABC правильный, значит, все его углы равны 60°. Тогда

Ответ: 3.

18. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4 : 2 : 3 : 6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть дуга AB равна 4x, тогда

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно,

Ответ: 60.

19. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение.

вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит,

Ответ: 110.

20. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение.

Из точки C хорда АВ видна под углом АCВ. Пусть большая часть окружности равна 7x, тогда меньшая равна 5x.

Значит, меньшая дуга окружности равна 150°, а большая — 210°. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит, опирающийся на большую дугу угол АCВ равен 105°.

Ответ: 105.

21. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Решение.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен полуразности большего и меньшего оснований. Поэтому он равен (3 − 2):2 = 0,5.

Ответ: 0,5.

23. Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение.

Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,

Ответ: 9.

27. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

Решение.

Треугольники и равнобедренные, так как и Следовательно, средняя линия равна

Ответ: 12.