Подготовка к ЕГЭ "Задачи с параметром" (11 класс)

Задачи  с  параметрами  

(10 – 11  классы)  

       Параметры – это те же числа, просто заранее не известные.

1.  Линейные  уравнения  и  неравенства  с  параметрами  

Линейная функция:    - уравнение  прямой с угловым коэффициентом          .  Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси      .   

Линейные  уравнения  с  параметрами

   Уравнение        

Если  , уравнение имеет единственное решение.  

Если    , то уравнение не имеет решений, когда ,   и уравнение имеет бесконечно много решений, когда              .  

Пример 1.  При всех значениях параметра  а  решить  уравнение:  (a² – 4)x = a + 2       

Решение:  Разложим коэффициент при  на множители. .

Если , уравнение имеет единственное решение:  .

Если  , уравнение не имеет решений.  

Если  , то уравнение имеет бесконечно много решений  .

Пример 2.  При всех значениях параметра  а  решить  уравнение:  .

. При этом условии уравнение равносильно следующему:  

.   Проверим принадлежность к ОДЗ: , если  .  Если же , то уравнение не имеет решений.

Пример 3.  При всех значениях параметра  а  решить  уравнение:   

                     |х  + 3| - a|x – 1| = 4.

Решение:  Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:  

. Найденный будет решением, если 

2)      , если  . Найденный  удовлетворяет нужному

неравенству, следовательно,  является решением при  .  Если же   

              , то решением является любой                   .  

3)      , если          . Найденный     не удовлетворяет нужному

неравенству, следовательно,  не является решением при  .  Если же    

           , то решением является любой           . Сформируем  

Ответ:         при  ;     

 является также решением при всех  .  

Пример 4.  Найти все  а ,  при каждом из которых хотя бы одно из решений уравнения   15x – 7a = 2 – 3ax + 6a     меньше  2  .                           Решение:  Найдем решения уравнения при каждом . 

, если  .  Решим неравенство: 

.   

При  уравнение не имеет решений.  

Ответ:   а  (-5 , 4) .   

Линейные  неравенства  с  параметрами

  неравенства      

Пример 1.  Решить неравенство:   

Если                                                                         .  Если  , то  при  решением  является

любой 

Аналогично решите остальные неравенства в рамочке.  

Пример 2.  Для всех значений параметра   а   решить неравенство                

                                

.  Если скобка перед   положительна, т.е. при

.  Если скобка перед   отрицательна, т.е. при  

, то решений нет.  

Пример 3.  Для всех значений параметра   а   решить неравенство                 

                     |х – а| – |x + a| < 2a .   

Решение.   При   имеем неверное неравенство  , т.е. решений нет.   Пусть  , тогда при   оба модуля раскрываются с минусом и получаем  неверное неравенство  , т.е. решений нет.  Если   , то первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом  и получаем  неравенство  , т.е. , т.е., решением является любой  .  Если 

 оба модуля раскрываются с плюсом и получаем  верное неравенство 

решением является любой  . Объединяя оба ответа, получим, что при 

.  

Пусть  , тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа  . Т.о., при  решений нет.  

Ответ.  При   решений нет.  

Замечание.  Решении данной задачи получается быстрее и проще, если использовать геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, как расстояние между точками. 

Тогда выражение в левой части можно интерпретировать, как разность расстояний от точки  х  до точек  а  и  -а .  

Пример 4.  Найти все  а ,  при каждом из которых все решения неравенства    удовлетворяют неравенству   .        

Решение.  Решением неравенства  , а решением

неравенства   является множество 

удовлетворить условию задачи, нужно, чтобы множество А входило в множество В  (). Это условие выполнится тогда и только тогда, когда   

 

Ответ.  .   

Пример 5.  Найти все значения   a ,  при которых неравенство        выполняется  для всех   x   из отрезка  [1, 3] .   

Решение.  Дробь – меньше нуля между корнями, поэтому надо  

выяснить, какой корень больше.   и   

выполнялось  для всех   x   из отрезка  [1, 3], нужно, чт При        и чтобы неравенство выполнялось  для всех   x   из отрезка  [1, 3], нужно, чтобы 

.   

При               (когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае неравенство приобретает

вид :                         .

Ответ.  .  

Пример 6.  При каких значениях параметра   а   неравенство                            справедливо при всех отрицательных значениях   х  ?  

Решение.  Функция   монотонно возрастает, если коэффициент при  неотрицательный, и она монотонно убывает, если коэффициент при  отрицательный.   

. 

Пусть                                                  монотонно не убывает, и условие задачи будет выполнено,

если      

 получим :   

Пусть   . Тогда функция   монотонно убывает, и условие задачи никогда не может быть выполнено.   

Ответ.  .  

2.  Векторы на плоскости   

Пусть два вектора на плоскости заданы своими координатами:  

                                               Модуль (длина) вектора:    .      

Скалярное произведение:      ,        

 где   - угол между векторами.

Условие параллельности двух векторов:  .   Т.е.  

у параллельных векторов координаты пропорциональны.

Условие перпендикулярности двух векторов:  .   Т.е. два вектора 

перпендикулярны тогда и только тогда,  когда их скалярное произведение равно нулю.  

Если вектор задан своими концами  ,  то вектор  .

Задача 1.  Через точку   провести прямую, параллельную вектору  .  

-  текущая точка искомой прямой. Тогда  вектор 

 параллелен  вектору  .  Тогда выписывая условие

параллельности, получим уравнение искомой прямой:   

.   

Переписав в виде         ,     получим уравнение с угловым коэффициентом , проходящей через заданную точку  .

Задача 2.  Через точку   провести прямую, перпендикулярную вектору  . 

Вектор  , перпендикулярный прямой,  называется  нормальным вектором к прямой или нормалью  к прямой.  

-  текущая точка искомой прямой. Тогда  вектор 

 перпендикулярен  вектору  .  Тогда выписывая условие

перпендикулярности, получим уравнение искомой прямой:   

.   

Раскрыв скобки и обозначив число  ,  получим так называемое общее уравнение прямой:       

.

В этом уравнении коэффициенты при   и    являются координатами  нормального вектора прямой.  

Всякая прямая    разбивает плоскость на две полуплоскости, где   с одной стороны прямой и   с другой стороны. При этом точки той  

части  плоскости, куда смотрит вектор , удовлетворяет неравенству  .  Поэтому:  направлении вектора  функция   возрастает, а в направлении вектора   она убывает.

Пример 5.  Написать уравнение прямой, проходящей через точку  параллельно прямой 

.  

Решение.  У параллельных прямых нормальные вектора тоже параллельны, т.е. . 

Согласно задаче 2 получим искомое уравнение:              или      .  

3. Системы  двух  линейных  уравнений  с  параметрами  

   Система  уравнений        

Решениями  системы двух  линейных  уравнений являются точки пересечения двух прямых: 

 .   

 Возможны 3 случая:   

.  В

1.                   Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е.     этом случае система имеет единственное решение.    

  

2.                   Прямые параллельны и не совпадают.  Тогда и их нормальные вектора параллельны, но сдвиги различны,  т.е.       .    

  

В этом случае система решений не имеет .     

3.                   Прямые  совпадают.  Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги совпадают,  т.е.    

.  В этом случае система имеет бесконечно много решений – все точки прямой.      

Пример 1.  При всех значениях  а  и  b  решить систему уравнений   

  .

Решение.  Выразим из первого уравнения      и подставим во второе уравнение. Получим: 

.   

 , то если    .   Если    

 же , то решений нет

Пример 2.  При каком значении  параметра   а   система  уравнений   

                           2(a + 1)x + 2y = 21

                          5(a - 3)x +  y = 13            не имеет решений?      

Решение.  Система не имеет решений, если   .     

Т.е.  .

Ответ.   .

Пример 3.  При всех значениях  а  решить систему уравнений   

Решение.  Система равносильна совокупности двух систем:   

Прямые параллельны , если                                         ^{.   При этом}

прямые не совпадают, поэтому при   

  из второго уравнения и подставляя в первое, получим:    

.    

Пример 4.  Найти все такие значения  а,  что для любого значения  b                                        найдётся  хотя бы  одно  с  такое, что система уравнений  

                          имеет хотя бы одно решение.  

Решение.  Прямые не параллельны, если   

В этом случае система имеет единственное решение при любом  c.    

По условию задачи система должна иметь решение при всех  b.  

Если   то  система принимает вид:                                                             система также имела

решения, нужно, чтобы уравнение                                                       относительно  c  имело хотя

бы одно решение. Т.о., дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е. 

 

Аналогично, если   то  система принимает вид:    Чтобы при     

система также имела решения, нужно, чтобы уравнение    

 относительно  c  имело хотя бы одно решение. Т.о.,

 

дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е.   

 4.  Системы  двух  линейных  неравенств  с  параметрами

Пример 1.   При каких значениях  а  система неравенств

                             не имеет решений?                 

Решение.   Система имеет решения     .  

Ответ:     при     решением будет любой  ;

                   при    решений нет.        

Пример 2.   При каких значениях  а  система неравенств       

          имеет хотя бы одно решение?    

Решение.   При  первое неравенство  не имеет решений. А тогда и вся система  не имеет решений

Пусть   , тогда  

 .                                                                                          т.е.   

рения есть при             и , так как при    выполнено неравенство   ,  то решение запишется в виде               .       

Ответ:     при     решением будет любой  ;

                 при    решений нет.        

Пример 3.   При всех значениях  а  решить систему   

                       

Решение.   Перепишем систему неравенств в виде 

   . Рассмотрим все

возможные случаи

  .  Тогда система неравенств принимает вид 

1)                                                                                                     .   Сравним между собой

 при   выражения в правых частях . Имеем:  всех  .  Поэтому  

  x > (4a+1)/(a+4) .  

²⁾                                                                                                                                                                                                                   .  Тогда первое неравенство не верно.  А значит, и вся система не имеет решений .      .  Тогда система неравенств принимает вид 

³⁾                                                                                                                                                                                                                 .   Сравним между собой выражения

в правых частях . Имеем: 

_{при всех  .  Поэтому}    (4a+1)/(a+4) < x < (2a-3)/(a-1)   .  

⁴⁾                                                                                                                                                                                                                   .  Тогда второе неравенство не верно.  А значит, и вся система не имеет решений .  

  .  Тогда система неравенств принимает вид 

⁵⁾                                                                                                                                                                                                                 .   Сравним между собой

 при  выражения в правых частях . Имеем: 

всех  .  Поэтому   

 x < (2a-3)/(a-1)  .  

Ответ:    x < (2a-3)/(a-1)    при    a < -4  ;  

                 (4a+1)/(a+4) < x < (2a-3)/(a-1)  при  -4 < a < 1  ;   

                  при   и при   решений нет.

Пример 4.   При всех значениях  а  решить систему    

                      

Решение.                                          

При   система  не имеет решений.  

Пусть   , тогда     и эта система не имеет решений.   

Пусть 

.

Ответ.   .