Подготовка к ГВЭ 11

11А 7

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из 12 заданий, из которых 9 заданий базового уровня сложности с кратким ответом, 1 задание повышенного уровня сложности с кратким ответом и 2 задания повышенного уровня сложности с развёрнутым ответом.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–10 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

При выполнении заданий 11 и 12 требуется записать полное решение и ответ.

Все бланки заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, или капиллярной, или перьевой ручки.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

Часть 1

Ответом к заданиям 1–10 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответ в поле ответа в тексте работы.

1

Летом килограмм клубники стоит 75 рублей. Маша купила 1 кг 200 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна была получить с 100 рублей?

Ответ: ___________________________

2

Пачка сливочного масла стоит 95 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 10%. Сколько рублей стоит пачка масла для пенсионера?

Ответ: ___________________________

3

Найдите корень уравнения .

Ответ: ___________________________

4

В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 5 из них встречается вопрос по теме "Производная". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме "Производная".

Ответ: ___________________________

5

На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 4 по 19 апреля 2002 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода цена нефти на момент закрытия торгов была больше 25,5 долларов США за баррель.

Ответ: ___________________________

6

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

А)

1)

Б)

2)

В)

3)

Г)

4)

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

А

Б

В

Г

7

В треугольнике проведена биссектриса , угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Ответ: ___________________________

8

Колесо имеет 36 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину наименьшего угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Ответ: ___________________________

9

На рисунке изображены график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции  в точке .

Ответ: ___________________________

10

Моторная лодка прошла против течения реки 165 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 13 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: ___________________________

Часть 2

Для записи решения заданий 11 и 12 и ответов к ним используйте дополнительный лист. Запишите сначала номер задания, а затем чётко и разборчиво решение и ответ.

11

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни уравнения на промежутке .

12

В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 2. Высота призмы равна 3. Точка - середина ребра , точка - середина ребра . Через точки и проведено сечение призмы параллельно ребру .

а) Докажите, что сечение – прямоугольник.

б) Найдите площадь сечения.

Система оценивания экзаменационной работы по математике

Ответы к заданиям 1–10

Каждое из заданий 1–10 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается 1 баллом.

№ задания

Ответ

1

10

2

85,5

3

-2

4

0,75

5

4

6

4231

7

95

8

10

9

0,5

10

2

Решения и критерии оценивания заданий 11 и 12

Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий 11 и 12, зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.

При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

11

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни уравнения на промежутке .

Решение. а) Преобразуем уравнение:

;

;

или ;

; ; , .

б) Используя тригонометрическую окружность, отберём корни, лежащие на промежутке . Получим: , , , .

Ответ:

а) ; ; , .

б) , , , .

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а или пункте б,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения уравнения и отбора корней

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

12

В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 2. Высота призмы равна 3. Точка - середина ребра , точка - середина ребра . Через точки и проведено сечение призмы параллельно ребру .

а) Докажите, что сечение – прямоугольник.

б) Найдите площадь сечения.

Решение:

а) Искомое сечение пересекает грани и по прямым и соответственно, параллельным ребру . Обозначим точки пересечения сечения с ребрами и буквами и (см.рис.). Отрезки и параллельны и равны друг другу. Следовательно, четырехугольник – параллелограмм. Прямая перпендикулярна плоскости , поэтому прямая перпендикулярна . Следовательно, у параллелограмма прямые углы, а значит, – прямоугольник.

б) – середина , а – середина . Значит, – средняя линия треугольника и поэтому . . Поэтому площадь сечения равна .

Ответ: б) 3.

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б

2

Выполнен только один из пунктов а и б

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

11А 8

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из 12 заданий, из которых 9 заданий базового уровня сложности с кратким ответом, 1 задание повышенного уровня сложности с кратким ответом и 2 задания повышенного уровня сложности с развёрнутым ответом.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–10 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

При выполнении заданий 11 и 12 требуется записать полное решение и ответ.

Все бланки заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, или капиллярной, или перьевой ручки.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

Часть 1

Ответом к заданиям 1–10 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответ в поле ответа в тексте работы.

1

Летом килограмм клубники стоит 60 рублей. Маша купила 2 кг 300 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна была получить с 200 рублей?

Ответ: ___________________________

2

Пачка сливочного масла стоит 77 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 10%. Сколько рублей стоит пачка масла для пенсионера?

Ответ: ___________________________

3

Найдите корень уравнения .

Ответ: ___________________________

4

В сборнике билетов по философии всего 25 билетов, в 7 из них встречается вопрос по теме "Онтология". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме "Онтология".

Ответ: ___________________________

5

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода осадков не выпадало.

Ответ: ___________________________

6

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

А)

1)

Б)

2)

В)

3)

Г)

4) и

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой

А

Б

В

Г

7

В треугольнике проведена биссектриса , угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Ответ: ___________________________

8

Колесо имеет 24 спицы. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину наименьшего угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Ответ: ___________________________

9

На рисунке изображены график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции  в точке .

Ответ: ___________________________

Моторная лодка прошла против течения реки 252 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 16 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: ___________________________

10

Часть 2

Для записи решения заданий 11 и 12 и ответов к ним используйте дополнительный лист. Запишите сначала номер задания, а затем чётко и разборчиво решение и ответ.

11

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни уравнения на промежутке .

12

В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 9. Высота призмы равна 4. Точка - середина ребра , точка - середина ребра . Через точки и проведено сечение призмы параллельно ребру .

а) Докажите, что сечение – прямоугольник.

б) Найдите площадь сечения.

Система оценивания экзаменационной работы по математике

Ответы к заданиям 1–10

Каждое из заданий 1–10 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается 1 баллом.

№ задания

Ответ

1

62

2

69,3

3

-5

4

0,72

5

4

6

4132

7

89

8

15

9

0,5

10

2

Решения и критерии оценивания заданий 11 и 12

Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий 11 и 12, зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.

При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

11

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни уравнения на промежутке .

Решение. а) Преобразуем уравнение:

;

;

или ;

; ; , .

б) Используя тригонометрическую окружность, отберём корни, лежащие на промежутке . Получим: , , , .

Ответ:

а) ; ; , .

б) , , , .

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а или пункте б,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения уравнения и отбора корней

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

12

В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 9. Высота призмы равна 4. Точка - середина ребра , точка - середина ребра . Через точки и проведено сечение призмы параллельно ребру .

а) Докажите, что сечение – прямоугольник.

б) Найдите площадь сечения.

Решение:

а) Искомое сечение пересекает грани и по прямым и соответственно, параллельным ребру . Обозначим точки пересечения сечения с ребрами и буквами и (см.рис.). Отрезки и параллельны и равны друг другу. Следовательно, четырехугольник – параллелограмм. Прямая перпендикулярна плоскости , поэтому прямая перпендикулярна . Следовательно, у параллелограмма прямые углы, а значит, – прямоугольник.

б) – середина , а – середина . Значит, – средняя линия треугольника и поэтому . . Поэтому площадь сечения равна .

Ответ: б) 18.

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б

2

Выполнен только один из пунктов а и б

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

11А 8

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из 12 заданий, из которых 9 заданий базового уровня сложности с кратким ответом, 1 задание повышенного уровня сложности с кратким ответом и 2 задания повышенного уровня сложности с развёрнутым ответом.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–10 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

При выполнении заданий 11 и 12 требуется записать полное решение и ответ.

Все бланки заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, или капиллярной, или перьевой ручки.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

Часть 1

Ответом к заданиям 1–10 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответ в поле ответа в тексте работы.

1

Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Маша купила 3 кг 200 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна была получить с 300 рублей?

Ответ: ___________________________

2

Пачка сливочного масла стоит 86 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 15%. Сколько рублей стоит пачка масла для пенсионера?

Ответ: ___________________________

3

Найдите корень уравнения .

Ответ: ___________________________

4

В сборнике билетов по биологии всего 60 билетов, в 15 из них встречается вопрос по теме "Членистоногие". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме "Членистоногие".

Ответ: ___________________________

5

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Элисте с 7 по 18 декабря 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода осадков не выпадало.

Ответ: ___________________________

6

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

А)

1) и

Б)

2)

В)

3)

Г)

4) и

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

А

Б

В

Г

7

В треугольнике проведена биссектриса , угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Ответ: ___________________________

8

Колесо имеет 18 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину наименьшего угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Ответ: ___________________________

9

На рисунке изображены график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции  в точке .

Ответ: ___________________________

Моторная лодка прошла против течения реки 99 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: ___________________________

10

Часть 2

Для записи решения заданий 11 и 12 и ответов к ним используйте дополнительный лист. Запишите сначала номер задания, а затем чётко и разборчиво решение и ответ.

11

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни уравнения на промежутке .

12

В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 7. Высота призмы равна 8. Точка - середина ребра , точка - середина ребра . Через точки и проведено сечение призмы параллельно ребру .

а) Докажите, что сечение – прямоугольник.

б) Найдите площадь сечения.

Система оценивания экзаменационной работы по математике

Ответы к заданиям 1–10

Каждое из заданий 1–10 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается 1 баллом.

№ задания

Ответ

1

44

2

73,1

3

3

4

0,75

5

3

6

2314

7

124

8

20

9

0,5

10

1

Решения и критерии оценивания заданий 11 и 12

Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий 11 и 12, зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.

При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

11

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни уравнения на промежутке .

Решение. а) Преобразуем уравнение:

;

;

или ;

; ; , .

б) Используя тригонометрическую окружность, отберём корни, лежащие на промежутке . Получим: , , , .

Ответ:

а) ; ; , .

б) , , , .

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а или пункте б,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения уравнения и отбора корней

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

12

В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 7. Высота призмы равна 8. Точка - середина ребра , точка - середина ребра . Через точки и проведено сечение призмы параллельно ребру .

а) Докажите, что сечение – прямоугольник.

б) Найдите площадь сечения.

Решение:

а) Искомое сечение пересекает грани и по прямым и соответственно, параллельным ребру . Обозначим точки пересечения сечения с ребрами и буквами и (см.рис.). Отрезки и параллельны и равны друг другу. Следовательно, четырехугольник – параллелограмм. Прямая перпендикулярна плоскости , поэтому прямая перпендикулярна . Следовательно, у параллелограмма прямые углы, а значит, – прямоугольник.

б) – середина , а – середина . Значит, – средняя линия треугольника и поэтому . . Поэтому площадь сечения равна .

Ответ: б) 28.

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б

2

Выполнен только один из пунктов а и б

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

11А 8

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из 12 заданий, из которых 9 заданий базового уровня сложности с кратким ответом, 1 задание повышенного уровня сложности с кратким ответом и 2 задания повышенного уровня сложности с развёрнутым ответом.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–10 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

При выполнении заданий 11 и 12 требуется записать полное решение и ответ.

Все бланки заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, или капиллярной, или перьевой ручки.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

Часть 1

Ответом к заданиям 1–10 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответ в поле ответа в тексте работы.

1

Летом килограмм клубники стоит 60 рублей. Маша купила 1 кг 250 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна была получить с 100 рублей?

Ответ: ___________________________

2

Пачка сливочного масла стоит 38 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 10%. Сколько рублей стоит пачка масла для пенсионера?

Ответ: ___________________________

3

Найдите корень уравнения .

Ответ: ___________________________

4

В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 18 из них встречается вопрос по теме "Александр Второй". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме "Александр Второй".

Ответ: ___________________________

5

На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 17 по 31 августа 2004 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода цена нефти на момент закрытия торгов была больше 43 долларов США за баррель.

Ответ: ___________________________

6

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

А)

1)

Б)

2) или

В)

3)

Г)

4) или

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

А

Б

В

Г

7

В треугольнике проведена биссектриса , угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Ответ: ___________________________

8

Колесо имеет 12 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину наименьшего угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Ответ: ___________________________

9

На рисунке изображены график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции  в точке .

Ответ: ___________________________

Моторная лодка прошла против течения реки 187 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 14 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: ___________________________

10

Часть 2

Для записи решения заданий 11 и 12 и ответов к ним используйте дополнительный лист. Запишите сначала номер задания, а затем чётко и разборчиво решение и ответ.

11

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни уравнения на промежутке .

12

В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 4. Высота призмы равна 2. Точка - середина ребра , точка - середина ребра . Через точки и проведено сечение призмы параллельно ребру .

а) Докажите, что сечение – прямоугольник.

б) Найдите площадь сечения.

Система оценивания экзаменационной работы по математике

Ответы к заданиям 1–10

Каждое из заданий 1–10 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается 1 баллом.

№ задания

Ответ

1

25

2

34,2

3

4

4

0,64

5

5

6

3124

7

62

8

30

9

0,5

10

3

Решения и критерии оценивания заданий 11 и 12

Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий 11 и 12, зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.

При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

11

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни уравнения на промежутке .

Решение. а) Преобразуем уравнение:

;

;

или ;

; ; , .

б) Используя тригонометрическую окружность, отберём корни, лежащие на промежутке . Получим: , , , .

Ответ:

а) ; ; , .

б) , , , .

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а или пункте б,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения уравнения и отбора корней

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

12

В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 4. Высота призмы равна 2. Точка - середина ребра , точка - середина ребра . Через точки и проведено сечение призмы параллельно ребру .

а) Докажите, что сечение – прямоугольник.

б) Найдите площадь сечения.

Решение:

а) Искомое сечение пересекает грани и по прямым и соответственно, параллельным ребру . Обозначим точки пересечения сечения с ребрами и буквами и (см.рис.). Отрезки и параллельны и равны друг другу. Следовательно, четырехугольник – параллелограмм. Прямая перпендикулярна плоскости , поэтому прямая перпендикулярна . Следовательно, у параллелограмма прямые углы, а значит, – прямоугольник.

б) – середина , а – середина . Значит, – средняя линия треугольника и поэтому . . Поэтому площадь сечения равна .

Ответ: б) 4.

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б

2

Выполнен только один из пунктов а и б

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2