Подробный разбор темы теорема Пифагора

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Описать методику работы с одной из теорем курса планиметрии, указанных ниже

Основные этапы работы с теоремой

1.            Мотивация изучения теоремы и раскрытие ее содержания (усмотрение геометрического факта и формулировки теоремы).

2.            Работа над структурой теоремы.

3.            Построение чертежа и краткая запись содержания теоремы.

4.            Поиск доказательства, доказательство и его запись.

5.            Закрепление теоремы.

6.            Применение теоремы

                   Теорема Пифагора

1. Теорема Пифагора –самая главная теорема геометрии. Из нее или с ее помощью можно вывести большинство терем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойство равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: .

Если взять нам треугольник, да притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы мы всегда легко найдем.
Катеты в квадрат возводим, сумму степеней находим – 
И таким простым путем к результату мы придем.

2. Условная форма теоремы может быть эффективно использована и для того, чтобы дать ответ на вопрос: «О свойстве или о признаке идет речь в теореме?» На этот вопрос легко ответить, если теорему сформулировать в условной форме. Если окажется, что рассматриваемое понятие находится в условии теоремы, то теорема выражает свойство этого понятия, если же понятие находится в заключении теоремы, то она выражает признак. теорема Пифагора: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Переформулировав теорему из категоричной формы в условную, будем иметь: «Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Поскольку понятие «прямоугольный треугольник» находится в условии теоремы, то она выражает собой свойство этого понятия.

3.

.

                                                                                                        с

                                        а

b

4. Доказательства теоремы можно разделить на три группы:

 

Аддитивные                    Метод достроения                   Метод вычитания

Основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе: а)Доказательство Эйнштейна и др.

К квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.

Метод разложения

                                                                                            Алгебраический  метод

                                                                                             Векторный метод

                                                                                              Метод подобия

Геометрическое доказательство

Дано: треугольник АВС – прямоугольный треугольник.

Доказать: ВС² = АС² + АВ²

       В

                                                                                                                                                                                                                                                                   

                                                                 Е                       

                                                                                                                                         

                                                                                                                                                                                                                                                    

                                                                                          

                                                                                          

     А                            С                                         D                                           

                                                    

Рис. 4

                                            Доказательство:

I. Дополнительное построение:

1) Построим отрезок CD  равный отрезку АВ прямоугольного треугольника АВС на продолжении катета АС;

2) Опустим перпендикуляр ED к отрезку AD равный отрезку АС прямоугольного треугольника АВС,  DE ┴ AD;

3) Соединим точки В и Е и получим прямоугольную трапецию.

II. Площадь трапеции АВЕD равна сумме площадей трёх её треугольников (    АВС,    CDE,    ВСЕ)

Треугольники АВС, CDE  являются равными, так как все стороны и углы этих треугольников равны. Площадь треугольника АВС = АВ*АС,  площади треугольников АВС и CDE = 2 АВ*АС.

Треугольник ВСЕ – прямоугольный равнобедренный, так как ВС = СЕ (по построению). S_ВСЕ = ВС²/2

S_ABED  =  S_ABC + S_CDE + S_BCE

S_ABED  =  2 S_ABC + S_BCE

S_ABED  =  (2 АВ*АС)/2 + ВС² / 2

1) S_ABED = АВ*АС+ ВС² / 2

Фигура ABED является прямоугольной трапецией, значит, её площадь равна:

«Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту». [1]

 2)S_ABED= (ED +АВ) *AD /2

Приравняем равенства 1) и 2) и получим:

АВ*АС+ ВС² /2 = (ED +АВ) *AD /2

Заменим ADна АС + CD:

АВ*АС+ ВС² /2 = (ED +АВ)(АС + CD) /2  

Заменим  (ED +АВ)(АС + CD) на (АС + АВ)², так как ED = АС, АВ =   CD, поэтому выражение (ED +АВ)(АС + CD) равно:

(ED +АВ)(АС + CD) = (АС + АВ)²

АВ*АС+ ВС² /2 = (АС + АВ)² /2

АВ*АС+ ВС² /2 = (АС² + 2 АС*АВ + АВ²) /2

АВ*АС+ ВС² /2 = АС² /2  + 2 АС*АВ /2 + АВ² /2

АВ*АС+ ВС² /2 = АС² /2 + АС*АВ + АВ² /2

ВС² /2 = АС² /2 + АВ² /2                

Умножим  ВС² /2 = АС² /2 + АВ² /2  на 2

2 ВС² /2 = 2 АС² /2 + 2 АВ² /2 Сократим все двойки этого выражения:

                2 ВС² /2 = 2 АС² /2 + 2 АВ² /2. ВС² = АС²+ АВ².

(Геометрия: Учеб.для 7 – 9 кл. общеобразоват.  учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 1996. – С. 123.)

Доказательство Хоукинса

Приведу еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличаетсяот предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать.

•         Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

•         SCAA'=b²/2

•         SCBB'=a²/2

•         SA'AB'B=(a²+b²)/2

•         Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому

•         SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2

•         Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:

•         a²+b²=c²

Теорема доказана

Доказательство Перигаля.

На этом рисунке видим так называемое "колесо с лопастями"; это доказательство нашел Перигаль. Через центр O квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.

Доказательство Эвклида.

Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника.

Приведём другое доказательство теоремы Пифагора, основанное не на вычислении площадей, а на непосредственном их сравнении между собой.

Доказательство Эвклида Это доказательство было приведено Эвклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Эвклидом. Доказательство Эвклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал".На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.

                    

В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD РFBC = d + РABC = РABD Но SABD = 1/2 S BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC=1\2S ABFH (BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC, имеем SBJLD=SABFH. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ,доказывается, что SJCEL=SACKG. Итак, SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED, Что и требовалось доказать.

Древнекитайское доказательство  

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе

                        

      a² + 2ab +b² = c² + 2ab

                                 a² +b² = c²     

                              

Доказательство  Дж. Гардфилда (1882 г.)

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.

                                                  Площадь рассматриваемой трапеции  находится как        произведение полусуммы  оснований на высоту

                                                   S =  

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

S =

 Приравнивая данные выражения, получаем:

     или      с² = a² + b²

Старейшее доказательство

(содержится в одном из произведений Бхаскары).

                                                      

Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а,

АЕ = b);

Пусть СКВЕ = а, DLCK, AMDL

 ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

 значит KL = LM = ME = EK = a-b.

  .                                                                                                      

Доказательство древних индусов 

                            а)                                                                   б)

Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные,  т.е.     с² = а² + b².

Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не  записывали его, а сопровождали лишь одним словом:

Смотри!

Применение теоремы Пифагора.

Задачи теоретические современные

1.  Периметр ромба 68 см., а одна из его диагоналей равна 30 см. Найдите длину другой диагонали ромба.

2.     Гипотенуза КР прямоугольного треугольника КМР равна  см., а катет МР равен 4 см. Найдите медиану РС.

3.     На сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты, причем

         S₁-S₂=112 см², а S₃=400 см². Найдите периметр треугольника.

4.     Дан треугольник АВС, угол С=90⁰, CD  AB, AC=15 см., AD=9 см.

    Найдите АВ.

Задачи  практические старинные

5.     Для крепления мачты нужно установить

     4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

---