Пособие для учителей математики на подготовку учащихся старшей школы к решению задачи С2 ЕГЭ

Расстояние между прямыми в пространстве.

Определение.

Расстоянием между двумя непересекающимися прямыми в пространстве называется длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно воспользоваться одним из приведенных ниже способов:

1. Построить общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых (отрезок с концами на этих прямых и перпендикулярный обеим) и найти его длину.

2. Построить плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию от какой-нибудь точки второй прямой до построенной плоскости.

3. Заключить данные прямые в параллельные плоскости, проходящие через данные скрещивающиеся прямые, и найти расстояние между этими плоскостями.

4. Построить плоскость, перпендикулярную одной из данных прямых, и построить на этой плоскости ортогональную проекцию второй прямой.

Призмы.

Устно

1.В единичном кубе найдите расстояние между прямыми и

Возможное решение: так как плоскость , содержащая , параллельна , то расстояние между прямыми и равно .

2. В единичном кубе найдите расстояние между прямыми и

3. В кубе , ребра которого равны , найдите расстояние между прямыми и Ответ: 2

4. В кубе , ребра которого равны , найдите расстояние между прямыми и

Ответ:1

Работа в тетради

1. В единичном кубе найдите расстояние между прямыми и

Решение.

Плоскость , содержащая , параллельна . Поэтому из любой точки прямой опускаем перпендикуляр на плоскость , находим расстояние .

1. - равносторонний треугольник со стороной .

2.

3.- прямоугольный: . Ответ:

2. В единичном кубе найдите расстояние между прямыми и

Решение.

Плоскость , содержащая прямую , параллельна .

Продолжите построение: от любой точки прямой построить перпендикуляр на плоскость и найти его.

Докажите, что ответ: .

3. В единичном кубе найдите расстояние между прямыми и

Проведите решение самостоятельно и докажите, что ответ: .

4.В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и .

Покажите, что ответ:

5. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и .

Решение.

Плоскость , содержащая прямую , параллельна прямой . Значит, искомое расстояние между прямыми и равно расстоянию между прямой и плоскостью . Точка - середина . . - искомое расстояние.

Вычисления проведите самостоятельно. Ответ:

6.В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и

Ответ:

7. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и

Ответ:

8. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и

Ответ:

9. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и

Решение.

Ответ: 1

10. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и

Ответ: 1,5

Домашнее задание.

1.В единичном кубе найдите расстояние между прямыми и

Ответ:

2. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и .Ответ:

3.В единичном кубе найдите расстояние между прямыми и

Ответ:

Пирамиды.

Устно

1. В , ребра которого равны , найдите расстояние между прямыми и

Решение.

Ответ: 1

2.В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и

Ответ: 1

3.В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны , найдите расстояние между прямыми и

Ответ: 3

Работа в тетради

1.В единичном тетраэдре найдите расстояние между прямыми и

Решение.

Точка - середина ребра . Плоскость .

- равнобедренный с основанием . Так как точка - середина , то .

- общий перпендикуляр к и .

, .Ответ:

2.В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и .

Решение.

Объясните, почему - искомое расстояние и найдите его.

Ответ: 0,5

3. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и .

Решение.

Почему - искомое расстояние?

Вычислите его самостоятельно.

Ответ:

4.В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми и .

Решение.

Прокомментируйте чертеж и вычислите расстояние.

Ответ:

5. В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми и .

Решение.

Решите самостоятельно

Ответ:

Домашнее задание.

1. В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми и .

Ответ:

2.В пирамиде известны длины ребер: , . Найдите расстояние между прямыми и .Ответ:

3.В тетраэдре известно, что . Найдите расстояние между прямыми и .Ответ:

4.Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна , высота пирамиды . Точки - середины ребер и соответственно. Найдите расстояние между прямыми и Ответ:

Самостоятельная работа

Вариант 1

В правильном тетраэдре с ребром 1 точки и - середины ребер соответственно и , точка - центр основания . Найдите расстояние между прямыми и .Ответ:

Вариант 2

В правильном тетраэдре с ребром 1 точки и - середины ребер соответственно и , точка - центр основания . Найдите расстояние между прямыми и .Ответ:

Вариант 3

Дан единичный куб . - середина ребра . Найдите расстояние между прямыми и Ответ:

Вариант 4

Дан единичный куб . - середина ребра . Найдите расстояние между прямыми и Ответ:

Вариант 5

Дан единичный куб . - середина ребра . Найдите расстояние между прямыми и Ответ:

Вариант 6

Дан единичный куб . - середина ребра . Найдите расстояние между прямыми и Ответ:

Векторный метод решения.

1. Дан единичный куб . Найти расстояние между диагональю куба и диагональю грани .

Введем прямоугольную систему координат.

Пусть - общий перпендикуляр скрещивающихся прямых и .

Искомое расстояние - .

Пусть , тогда

Вектор и , поэтому имеем

Первое условие системы:

Второе условие системы:

2. Дан единичный куб . - середина ребра . Найти расстояние между прямыми и .

Решение.

- искомое расстояние

;

; ;

.

3. Дан единичный куб . - середина ребра . Найти расстояние между прямыми и .Ответ:0

Расстояние от точки до плоскости.

Определение.

Расстоянием от точки до плоскости, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость.

Расстояние от точки до плоскости равно расстоянию до плоскости от произвольной точки , лежащей на прямой , которая проходит через точку и параллельна плоскости .

Призмы.

Устно

1. В кубе , ребра которого равны , найдите расстояние от точки до плоскости

2. В кубе , ребра которого равны , найдите расстояние от точки до плоскости

3.В правильной треугольной призме , все ребра которой равны , найдите расстояние от точки до плоскости

Работа в тетради

1. В единичном кубе найдите расстояние от точки до плоскости .

Решение.

Объясните по чертежу, почему - искомое расстояние от точки до плоскости ?

- прямоугольный, .

, .

Ответ:

2. В единичном кубе найдите расстояние от точки до плоскости

Решение.

Проведите решение с помощью чертежа.

Ответ:

3. В единичном кубе найдите расстояние от точки до плоскости

Решение.

Сделайте чертеж.

Объясните, как использовать следующую формулу:

Ответ:

4. В единичном кубе найдите расстояние от точки до плоскости

Решите самостоятельно.

Ответ:

5.В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до плоскости

Решение.

- искомое расстояние от точки до плоскости ,

- высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного .

Объясните, почему и ?

Ответ:

6. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до плоскости

Решение.

Прокомментируйте чертеж и докажите, что - искомое расстояние.

Найдите .

7. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до плоскости

Решение.

Самостоятельно сделайте чертеж и докажите, что ответ в данной задаче совпадает с ответом в задаче 6.

Домашнее задание.

1. В единичном кубе найти расстояние от точки до плоскости .

Замечание: Так как , то , поэтому искомое расстояние равно расстоянию от произвольной точки прямой до плоскости , например от центра квадрата .Ответ:

2.Ребро куба равно . Найдите расстояние от вершины до плоскости .Ответ:1

3.В кубе , ребро которого равно 4, точки и - середины ребер и соответственно, а точка расположена на ребре так, что . Найдите расстояние от точки до плоскости треугольника .Ответ:

Занятие 2

Устно

1. В кубе , ребра которого равны , найдите расстояние от точки до плоскости

2.В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны , найдите расстояние от точки до плоскости

3. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны , найдите расстояние от точки до плоскости

Работа в тетради

1. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до плоскости

Решение.

Сделайте чертеж, покажите искомое расстояние.Прокомментируйте формулу:

Ответ:

2. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до плоскости

Решение

Искомое расстояние . Объясните почему?

Проведите вычисления.

Ответ:

3. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до плоскости

Решение.

Продолжите решение по готовому чертежу.

Ответ:

4. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до плоскости

Решение проведите самостоятельно.

Ответ:

5. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до плоскости

Решение.

Работаем в . Пусть - высота из точки на сторону .

Прокомментируйте формулу .

Подставьте числовые значения и вычислите.

Ответ:

6. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до плоскости

Решите самостоятельно.

Ответ:

Домашнее задание

1.- куб. Точка лежит на ребре и делит его на отрезки и . Найдите расстояние от точки до каждой из плоскостей: ; ; ; . Ответ: 3,5,8,8.

2. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до плоскости

Ответ:

3. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до плоскости

Ответ:

Занятие 3

Пирамиды

Устно

1.В единичном тетраэдре точка - середина ребра . Найдите расстояние от точки до плоскости .

2.В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны , найдите расстояние от точки до плоскости .

3. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны , найдите расстояние от точки до плоскости .

4. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны , точка - середина ребра . Найдите расстояние от точки до плоскости .

Работа в тетради

1.В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до плоскости

Решение.

Прокомментируйте чертеж и проведите вычисления.

Ответ:

2. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, точка - середина ребра . Найдите расстояние от точки до плоскости

Решение.

Прокомментируйте чертеж и проведите вычисления.

Ответ: 0,5

3.В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки до плоскости

Решение

- искомое расстояние от точки до плоскости . Объясните почему.

Найдите его

Ответ:

4.В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки до плоскости

Решение

, , .

. Прокомментируйте решение.

5. В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки до плоскости

Решение.

Ответ: . Объясните почему.

6. В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки до плоскости

Решение.

Искомое расстояние - . Объясните почему?

Рассматриваем .

, , . Прокомментируйте.

Найдите

Ответ: .

7. В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки до плоскости

Решите самостоятельно.

Ответ:

Домашнее задание.

1. В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки до плоскости

Ответ:

2.В единичном тетраэдре найдите расстояние от точки до плоскости .Ответ:

3.В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной , сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины до грани .Ответ: 2,4.

4.В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 4, найти расстояние от середины ребра до плоскости грани .Ответ: .

Подготовка к самостоятельной работе.

1.Дан правильный тетраэдр с ребром . Найдите расстояние от вершины до плоскости .Ответ:2

2.Ребро пирамиды перпендикулярно плоскости основания . Найдите расстояние от вершины до плоскости, проходящей через середины ребер и , если .Ответ:2

3.В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12 см. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани, если двугранный угол при ребре основания равен 60⁰.Ответ:3

4.В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания , боковое ребро Найдите расстояние от вершины до плоскости Ответ:

5. В правильной четырехугольной призме . Стороны основания которой равны 3, а боковые ребра равны 4, на боковом ребре взята точка так, что . Найдите расстояние от точки до плоскости .Ответ:

Самостоятельная работа.

Вариант 1

В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки до плоскости

Вариант2

В единичном кубе найдите расстояние от точки до плоскости

Вариант 3

В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, на1дите расстояние от точки до плоскости

Вариант 4

В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки до плоскости

Вариант 5

В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, на1дите расстояние от точки до плоскости

Вариант 6

В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, точка - середина ребра . Найдите расстояние от точки до плоскости

Ответы: 1.2. 3.4. 5.6. 0,5

Метод координат

Расстояние от точки до плоскости можно вычислить по формуле

,

где а плоскость задана уравнением .

1.В единичном кубе найти расстояние от точки до плоскости

В; ; ; ;

; или

По формуле находим расстояние от точки до плоскости :

2. В кубе его диагонали и пересекаются в точке . Найдите расстояние от точки до плоскости , если ребро куба равно 6.

;

; ;

3.- правильная четырехугольная пирамида. Ребро основания пирамиды равно 6, а ее высота равна 4. Найдите расстояние от вершины до плоскости .Ответ: 4,8

Расстояние от точки до прямой

Определение. Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Призмы

Устно

1.В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до прямой

2. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны , найдите расстояние от точки до прямой

3. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны , найдите расстояние от точки до прямой

4. В кубе , все ребра которого равны , найдите расстояние от точки до прямой

5. В кубе , все ребра которого равны , найдите расстояние от точки до прямой

6. В кубе , все ребра которого равны , найдите расстояние от точки до прямой

Работа в тетради.

1. В кубе , все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки до прямой

Решение.

- прямоугольный. Объясните почему?

Проведем , - искомое расстояние.

, тогда по теореме Пифагора .

Используя формулы площади треугольника, имеем .

.

Объясните, почему в следующих двух задачах, ответ такой же .

2. В кубе , все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки до прямой

3. В кубе , все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки до прямой

4.В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до прямой .

Решение.

- равнобедренный. Почему?

Искомое расстояние, это длина перпендикуляра из точки на боковую сторону .

Чтобы найти , используем формулу площади треугольника.

; .

5.В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой .

Решение.

Так как , то - равнобедренная трапеция.

Искомое расстояние, есть высота равнобедренной трапеции, например .

Объясните, почему и ?

Вам поможет чертеж равнобедренной трапеции .

Тогда, .

Ответ:

6. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой .

Ответ: . Объясните почему.

7. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой .

Решение.

- разносторонний, как найти высоту на сторону ?

Проговорите алгоритм решения и вычислите .

Ответ:

Домашнее задание.

1. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой . Ответ: .

2. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой . Ответ:

Пирамиды.

Устно

1.В тетраэдре , все ребра которого равны , найдите расстояние от точки

до прямой

2.В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны , найдите расстояние от точки до прямой

3. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны , найдите расстояние от точки до прямой

4. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны , найдите расстояние от точки до прямой

5. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны , найдите расстояние от точки до прямой

Работа в тетради

1. В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки до прямой .

Решение.

Рассмотрим равнобедренный треугольник

Почему ? Из какого треугольника получается данная длина? На основании какой теоремы?

Тогда

Ответ:

2. В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки до прямой .

Решите самостоятельно.

Ответ:

3. В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки до прямой .

Решение.

Рассмотрим .

Нужно найти высоту , опущенную на сторону . Каким образом?

Проверьте ответ: .

4.В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки до прямой , где - середина ребра .

Решение.

Рассматриваем .

Искомое расстояние от точки до прямой равно высоте .

Находим все три стороны этого треугольника.

Объясните, почему , .

Тогда по теореме Пифагора находим

Ответ:

5.В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания , высота пирамиды . Найти расстояние от середины ребра до прямой , где точки и середины ребер и соответственно.

Решение.

- трапеция. Докажите данный факт.

- искомое расстояние.

, , , . Объясните почему?

Используя формулу площади и вычислив высоту трапеции, получаем:

Подготовка к самостоятельной работе

1.В правильной шестиугольной призме , стороны основания которой равны 5, а боковые ребра равны 11, найдите расстояние от точки до прямой .Ответ: 14

2.Основание прямой призмы ромб , в котором . Боковое ребро . Найти расстояние от точки до .Ответ: 8

3.В правильной треугольной призме сторона основания , а боковое ребро . Найдите расстояние от точки до прямой .Ответ:

4.В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания , а боковое ребро . Найдите расстояние от точки до прямой .Ответ:

Самостоятельная работа

Вариант 1

В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до прямой .

Вариант 2

В кубе , все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки до прямой

Вариант 3

В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до прямой .

Вариант 4

В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до прямой

Вариант 5

В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до прямой .

Вариант 6

В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до прямой .

Ответы 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Метод координат

Проще всего использовать для единичного куба.

1.В единичном кубе найти расстояние от точки до прямой , где и - середины соответственно ребер и .

Решение.

Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке . Найдем координаты точек .Тогда ,

,

Применяем теорему косинусов в для угла :

; ;

; Тогда

Искомое расстояние от точки до прямой ;.

2.В единичном кубе найдите расстояние от точки до прямой .

Ответ:

Угол между плоскостями в пространстве.

Определение1. Двугранным углом в пространстве называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.

Определение 2. Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный лучами с вершиной на граничной прямой, стороны которого лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны граничной прямой.

Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Определение 3. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Куб

Устно

1. В кубе найдите угол между плоскостями и .

2. В кубе найдите угол между плоскостями и .

3. В кубе найдите угол между плоскостями и .

4. В правильной шестиугольной призме найдите угол между плоскостями и

Работа в тетради

1. В кубе найдите тангенс угла между плоскостями и .

Решение.

Искомый угол . Объясните почему? .

Далее три задачи разбираем устно, рисуя линейные углы на чертежах.

2. В кубе найдите тангенс угла между плоскостями и .

3. В кубе найдите тангенс угла между плоскостями и .

4. В кубе найдите тангенс угла между плоскостями и .

Ответы: .

Почему ответы в этих трех задачах одинаковые.

Далее, работа в тетради.

5. В кубе найдите тангенс угла между плоскостями и .

Ответ: .

6. В кубе найдите косинус угла между плоскостями и .

Решение.

.

Каково положение точки О?

Рассматриваем .

Находим все стороны этого треугольника.

По теореме косинусов по трем сторонам находим .

Ответ:

7. В кубе точки и - середины ребер соответственно и . Найдите тангенс угла между плоскостями и .

Решение.

Прокомментируйте чертеж.

Искомый угол?

Какой ?

Вычислите искомый угол?

Ответ:

Домашнее задание:

1. В кубе найдите косинус угла между плоскостями и .

Ответ:

2. В кубе найдите угол между плоскостями и .

Ответ: 60

3. В кубе точки и - середины ребер соответственно и . Найдите тангенс угла между плоскостями и . Ответ:

Призмы

Устно

1. В правильной шестиугольной призме найдите угол между плоскостями и

2. В правильной шестиугольной призме найдите угол между плоскостями и

3. В правильной шестиугольной призме найдите угол между плоскостями и

4. В правильной шестиугольной призме найдите угол между плоскостями и

Работа в тетради

1. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями и .

Покажите линейный угол двугранного угла. Сделайте чертеж.

В каком прямоугольном треугольнике работаем?

Проведите необходимые вычисления.

Ответ: .

2. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями и .

Решение.

Искомый угол .

Ответ:

3. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и .

Решение.

Искомый угол . Как получена точка ?

Как найти отрезок ?

Объясните, почему .

Ответ: 2

4. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и .

Решение.

Почему линейным углом данного двугранного угла есть угол ? Докажите.

Ответ45

5. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями и .

Решение.

Почему искомый угол ?

Как найти отрезок ?

Почему ?

Почему - равносторонний?

Ответ:60

6.В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями и .

Постройте линейный угол двугранного угла и решите самостоятельно.

Ответ:

7.В правильной четырехугольной призме стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 4. На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и .

Решение.

Из подобия треугольников и находим .

Ответ:

Домашнее задание.

1.Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2, а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания призмы. Ответ: 30⁰

2.В правильной треугольной призме стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка - середина ребра . Найдите угол между плоскостями и . Ответ:

3. В правильной четырехугольной призме стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 4. На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и . Ответ:

4.В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, точки - середины ребер соответственно и . Найдите тангенс угла между плоскостями и Ответ:

Пирамида.

Устно

1. В правильном тетраэдре точка - середина ребра . Найдите угол между плоскостями и .(90⁰)

2.В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, точка - середина . Найдите угол между плоскостями и . (30⁰)

3. В правильной шестиугольной пирамиде найдите угол между плоскостями и (30⁰)

4. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями и .(60⁰)

Работа в тетради

1. В тетраэдре , все ребра которого равны 1, найдите косинус угла между плоскостями и .

Решение.

Каково положение точки ?

Искомый угол .

Рассматриваем прямоугольный треугольник .

Ответ:

2. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями и .

Решение.

Продолжите решение.

Ответ: .

3. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями и .

Решение.

Искомый угол .

Используем теорему косинусов в .

Ответ:

4. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями и .

5. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найдите косинус двугранного угла, образованного гранями и .

Решение.

Искомый угол .

Как его будем искать?

Ответы к задачам 4 и 5: и .

6.В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями и .

Решение.

Как построили точку ?

Искомый угол .

1. Рассматриваем . Он равносторонний. Почему? - высота в равностороннем треугольнике со стороной 1. Значит, . Почему? Распишите подробнее.

2. Рассмотрим

Тогда по теореме Пифагора в : .

3. .

7. В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями и .

Решение.

Искомый угол . Найдем его по теореме косинусов из треугольника .

Чему равен отрезок ?

Почему можно рассмотреть ?

Ответ: 0,6

8.В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями и .

Ответ: -0,6

9.В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями и .

Ответ:

Домашнее задание.

1.В правильной четырехугольной пирамиде с основанием сторона основания равна , а боковое ребро равно 10. Найдите угол между плоскостями и , где точка делит ребро так, что Ответ:

2.Основанием прямой треугольной призмы является треугольник , в котором , а один из углов равен 60⁰. На ребре отмечена точка так, что Найдите тангенс угла между плоскостями и , если расстояние между прямыми и равно . Ответ:4

3.В прямоугольном параллелепипеде известны ребра . Найдите угол между плоскостями и .Ответ:

Метод координат

1. Нахождение угла между нормалями данных плоскостей.

Задачу о нахождении угла между плоскостями и , заданными уравнениями и соответственно, удобнее свести к задаче о нахождении угла между векторами их нормалей и , используя формулу

Пример

1.В кубе найти угол между плоскостями и .

;; ;; ;

; Ответ:

2. В правильной пирамиде (М – вершина) высота и сторона основания равны 4. Точка - середина ребра . Плоскость проходит через середину ребра перпендикулярно прямой . Найти угол между: а) плоскостью и плоскостью основания; б) плоскостью и прямой .

Решение.

Так как , то - нормаль к плоскости , - нормаль к плоскости .

;

Ответ:

3. В единичном кубе найти угол между плоскостями и , где точки и - середины ребер и соответственно.

;; ;; ;

; ; Ответ: 60⁰

4.Дан куб . Найти угол между плоскостями и , где точки - центр грани , - середина ребра , - середина ребра , точка - делит ребро в отношении .

Проведите решение самостоятельно.

; ; ; Ответ:

Подготовка к самостоятельной работе

1. В правильной четырехугольной призме стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 4. На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и .Ответ: .

2.В правильной треугольной пирамиде сторона основания , а боковое ребро . Найдите угол между плоскостями и . Ответ: 90⁰

3.Основание пирамиды - равнобедренный треугольник , в котором Ребро перпендикулярно плоскости основания и равно 20. Найдите тангенс двугранного угла при ребре .Ответ: 4

Самостоятельная работа по данной теме.

Вариант 1

В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями и .

Вариант 2

В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями и .

Вариант 3

В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями и

Вариант 4

В кубе найдите тангенс угла между плоскостями и

Вариант 5

В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, точка - середина ребра . Найдите угол между плоскостями и

Вариант 6

В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями и

Ответы: 1.2. 3. 4. 5. 6.

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и проекцией этой прямой на плоскость.

Устно

1. В кубе найдите угол между прямой и плоскостью (30⁰)

2. В кубе найдите угол между прямой и плоскостью (30⁰)

3. В кубе найдите угол между прямой и плоскостью (90⁰)

4. В кубе найдите угол между прямой и плоскостью (45⁰)

Работа в тетради

1. В кубе найдите синус угла между прямой и плоскостью

Ответ:

2. В кубе найдите косинус угла между прямой и плоскостью

Решение.

Общая точка плоскости и прямой – точка …

Значит, из точки … опускаем перпендикуляр на плоскость

Рассматриваем …

Косинус угла в прямоугольном треугольнике есть отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Прилежащий катет равен …

Гипотенуза равна …

Ответ:

3. В кубе найдите тангенс угла между прямой и плоскостью

Решение

, - искомый.

Объясните, почему

3. В кубе найдите тангенс угла между прямой и плоскостью

Ответ:

3. В кубе найдите синус угла между прямой и плоскостью

Решение.

Будем искать угол между прямой и плоскостью , так как .

Искомый угол - , точка .- точка пересечения диагоналей квадрата.

Треугольник - прямоугольный.

. Объясните, почему так.

6. В кубе найдите синус угла между прямой и плоскостью

Решение.

Покажите треугольник, в котором будем находить угол.

Можно использовать теорему косинусов для нахождения косинуса угла, а синус угла можно найти по основному тригонометрическому тождеству.

Проверьте ответ: .

7. В кубе точка - середина ребра . Найдите синус угла между прямой и плоскостью

Решение.

Прокомментируйте чертеж.

Искомый угол - …?

Прокомментируйте:

Домашнее задание.

1. В кубе найдите синус угла между прямой и плоскостью .

Ответ:

2. В кубе найдите синус угла между прямой и плоскостью .

Ответ:

3. В кубе точка - середина ребра . Найдите синус угла между прямой и плоскостью

Ответ:

Призмы.

Устно

1. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1,найдите тангенс угла между прямой и плоскостью (0,5)

2. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1,найдите угол между прямой и плоскостью (60⁰)

3.В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой и плоскостью (45⁰)

4. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1,найдите угол между прямой и плоскостью (60⁰)

Работа в тетради

1. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой и плоскостью .

Решение.

Объясните расположение точки ?

Треугольник - прямоугольный. Искомый угол .

Найдите и .

Проверьте ответ: .

2. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, точка - середина ребра .Найдите тангенс угла между прямой и плоскостью .

Ответ:

3. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой и плоскостью .

Ответ:

4.В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, точка - середина ребра . Найдите синус угла между прямой и плоскостью

Решение.

Прокомментируйте чертеж.

Искомый угол …?

Выполните вычисления.

Ответ:

5.В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой и плоскостью .

Решение.

Искомый угол . Почему?

6.В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой и плоскостью .

Решение.

Искомый угол . Почему?

Почему - прямоугольный?

. Поясните.

7. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой и плоскостью .

Решение.

Проведите решение самостоятельно.

Ответ:

Домашнее задание.

1. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой и плоскостью . Ответ: .

2. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой и плоскостью . Ответ:

3. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, точка - середина ребра . Найдите синус угла между прямой и плоскостью .

Ответ:

Пирамиды.

Устно

1.В тетраэдре , все ребра которого равны 1, точка - середина ребра . Найдите угол между прямой и плоскостью (90⁰)

2. В тетраэдре , все ребра которого равны 1, точка - середина ребра . Найдите угол между прямой и плоскостью (30⁰)

3.В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой и плоскостью (45⁰)

4. В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, - высота. Найдите тангенс угла между прямой и плоскостью .(0,5)

Работа в тетради

1.В правильном тетраэдре найдите косинус угла между прямой и плоскостью .

Решение.

Искомый угол . Почему?

Найдем по теореме косинусов.

Ответ: .

2. В правильном тетраэдре точка - середина ребра . Найдите косинус угла между прямой и плоскостью .

Подсказка: рассматриваем треугольник .

Ответ:

3.В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой и плоскостью .

Решение.

Искомый угол . Почему?

Используем теорему косинусов в треугольнике

Ответ: .

4. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, точка - середина ребра . Найдите косинус угла между прямой и плоскостью .

Решение.

Искомый угол . Почему?

Далее предложите способ решения.

Ответ:

5. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, - высота. Найдите синус угла между прямой и плоскостью .

Ответ:

6.В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямой и плоскостью .

Решение.

Искомый угол . Почему?

Объясните, почему ; .

.

7.В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра , . Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и .

Решение.

Пусть и - середины ребер и соответственно. Так как пирамида правильная, то ,

, ; ; Ответ:

Домашнее задание:

1. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой и плоскостью . Ответ:

2. В правильном тетраэдре точка - точка пересечения медиан треугольника . Найдите синус угла между прямой и плоскостью . Ответ: .

3.В правильной треугольной пирамиде с основанием сторона основания равна , а боковое ребро равно 10. Найдите угол между плоскостью и прямой , где точка - середина ребра а точка делит ребро так, что

Ответ:

4. В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра , . Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и . Ответ:

Метод координат.

Угол между прямой и плоскостью можно вычислить по формуле , где - вектор нормали плоскости , а вектор - направляющий вектор прямой .

1.В единичном кубе найти угол между прямой и плоскостью , проходящей через точки , где точка - середина ребра , а точка лежит на ребре , так, что .

Решение.

; ; - направляющий вектор прямой

или

Тогда вектор нормали ;

Ответ:

2.В правильной шестиугольной призме , ребра которой равны 1, найти угол между прямой и плоскостью

Решение

, тогда . Составим уравнение плоскости

; :

,

; Ответ:

Векторный метод

3.В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой , где - середина апофемы грани , и плоскостью .

Решение.

Вектор - вектор нормали плоскости

Пусть , где ,

;

; Ответ: .

Подготовка к самостоятельной работе.

1.В правильной треугольной пирамиде сторона основания , а боковое ребро Найдите угол между прямой и плоскостью .

Ответ: .

2. В правильной треугольной призме сторона основания , а боковое ребро . Найдите угол между прямой и плоскостью .Ответ:

3.В кубе найдите угол между прямой и плоскостью .Ответ: .

4.В прямоугольном параллелепипеде , у которого найдите тангенс угла между плоскостью и прямой , проходящей через середины ребер и Ответ:

5.В кубе точка - середина , точка - середина , точка - середина , - точка пересечения диагоналей квадрата . Заполните таблицу.

Прямая и плоскость

Величина угла

1

и

2

и

3

и

4

и

5

и

6

и

7

и

8

и

9

и

10

и

11

и

12

и

Ответ:

Прямая и плоскость

Величина угла

1

и

45⁰

2

и

45⁰

3

и

45⁰

4

и

0⁰

5

и

6

и

90⁰

7

и

8

и

9

и

30⁰

10

и

11

и

12

и

6.- точка пересечения медиан правильного треугольника . - перпендикуляр к плоскости ; - середина - точка пересечения медиан треугольника . Заполните таблицу.

Прямая и плоскость

Измеряемый плоский угол

Величина угла

1

и

2

и

3

и

4

и

5

и

6

и

7

и

8

и

9

и

10

и

11

и

12

и

Ответ:

Прямая и плоскость

Измеряемый плоский угол

Величина угла

1

и

2

и

3

и

-

90⁰

4

и

30⁰

5

и

60⁰

6

и

30⁰

7

и

60⁰

8

и

-

90⁰

9

и

10

и

11

и

-

90⁰

12

и

30⁰

Самостоятельная работа

Вариант 1

В кубе найдите синус угла между прямой и плоскостью

Вариант 2

В правильном тетраэдре точка - середина ребра . Найдите синус угла между прямой и плоскостью

Вариант 3

В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой и плоскостью .

Вариант 4

В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой и плоскостью .

Вариант 5

В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой и плоскостью .

Вариант 6

В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой и плоскостью .

Ответы: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 60

Угол между прямыми в пространстве.

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

Теорема о трех перпендикулярах. Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной. Справедливо и обратное утверждение. Сформулируйте его. Сделайте чертежи, иллюстрирующие прямую и обратную теорему о трех перпендикулярах.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающим прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Призмы

Устно

1. В кубе найдите угол между прямыми и

2. В кубе найдите угол между прямыми и

3. В кубе найдите угол между прямыми и

4. В кубе найдите угол между прямыми и

5. В кубе найдите угол между прямыми и

Работа в тетради

1. В кубе найдите косинус угла между прямыми и

Решение.

Рассматриваем . Почему?

В , искомый угол .

. Объясните, почему диагональ куба равна .

2. В кубе найдите тангенс угла между прямыми и

Например, рассмотрим . Он прямоугольный. Почему? Покажите на чертеже прямой угол.

Ответ:

3. В кубе найдите косинус угла между прямыми и .

Решение.

Как найти угол между диагоналями прямоугольника?

Используем теорему косинусов в .

Ответ:

4. В кубе точки и - середины ребер соответственно и . Найдите косинус угла между прямыми и .

Решение.

Почему мы рассматриваем ?

Искомый угол?

Прокомментируйте теорему косинусов в :

Ответ: 0,8

5.В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и .

Решение.

Прямая , значит рассматриваем .

Объясните, почему ?

Искомый угол .

По теореме косинусов найдите косинус этого угла.

Ответ:

6. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и .

Решение.

По построению

Искомый угол , который находим из

1.

Как найти ?

По теореме косинусов в :

Проверьте, что

2. :

Ответ:

Домашнее задание.

1. В кубе точки и - середины ребер соответственно и . Найдите косинус угла между прямыми и .

Ответ:

2. В кубе точка - середина ребра . Найдите косинус угла между прямыми и .

Ответ:

3. - куб. Точки - середины ребер и соответственно; - точка пересечения диагоналей грани .

Заполните таблицу расположения прямых и углов между ними.

Прямые

Расположение

Угол между прямыми

1

и

2

и

3

и

4

и

5

и

6

и

Ответ:

Прямые

Расположение

Угол между прямыми

1

и

скрещиваются

90⁰

2

и

пересекаются

3

и

параллельны

0⁰

4

и

скрещиваются

60⁰

5

и

пресекаются

6

и

скрещиваются

30⁰

Призма

Устно

1.В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, точка - середина ребра . Найдите угол между прямыми и .

2.В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, точка - середина ребра . Найдите угол между прямыми и .

3. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, точка - середина ребра . Найдите угол между прямыми и .

4.В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямыми и

Работа в тетради

1.В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, точки - середины ребер соответственно и . Найдите косинус угла между прямыми и

Решение.

Прокомментируйте чертеж. Искомый угол?

;

Продолжите решение

Ответ: 0,7

2.В правильной шестиугольной призме , основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми и

Решение.

Объясните, почему искомый угол ?

Объясните длины отрезков на чертеже.

Найдите искомый угол.

3. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и

Решение

; Искомый угол ; Ответ:

4. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, точки и - середины ребер соответственно и . Найдите косинус угла между прямыми и .

Решение.

Искомый угол -

Примените теорему косинусов в

Ответ: 0,9

5. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, точка - середина ребра . Найдите косинус угла между прямыми и .

Решение.

Прокомментируйте чертеж. Искомый угол -…

. Почему?

Продолжите вычисления для нахождения искомогоугла.

Ответ:

Домашнее задание.

1. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, точка - середина ребра соответственно . Найдите косинус угла между прямыми и

Ответ:

2. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, точка - середина ребра . Найдите косинус угла между прямыми и .

Ответ:

3.В кубе точка - середина , точка - середина , точка - середина , - точка пересечения диагоналей квадрата . Заполните таблицу.

Прямые

Расположение

Угол между прямыми

1

и

2

и

3

и

4

и

5

и

Ответ:

Прямые

Расположение

Угол между прямыми

1

и

Скрещиваются

2

и

Скрещиваются

90⁰

3

и

Скрещиваются

4

и

Скрещиваются

30⁰

5

и

Скрещиваются

90⁰

Пирамиды.

Устно

1.В правильном тетраэдре найдите угол между прямыми и

2. В правильном тетраэдре точки и - середины ребер соответственно и . Найдите угол между прямыми и

3. В правильном тетраэдре точки ,и - середины ребер соответственно ,, . Найдите угол

4.В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, точки и - середины ребер соответственно и . Найдите угол между прямыми и .

Работа в тетради

1.В правильном тетраэдре точка - середина ребра . Найдите косинус угла между прямыми и .

Решение.

Проведем , - средняя линия .

Тогда искомый угол .

Объясните, почему и , а .

Распишите теорему косинусов в .

Ответ:

2.В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми и .

Решение.

1.Объясните, почему искомый угол ?

2. Почему ?

3.Находим искомый угол, используя теорему косинусов в .

Ответ:

3.В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, точки - середины ребер соответственно и . Найдите косинус угла между прямыми и .

Решение.

Прокомментируйте построение искомого угла

- прямоугольный:

Примените теорему косинусов в

Ответ:

4. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, точки - середины ребер соответственно и . Найдите косинус угла между прямыми и .

Решение.

Объясните, почему искомый угол - ?

Как его найти?

Ответ:

5.Ребра и пирамиды равны 24 см и 10 см. Расстояние между серединами ребер и равно 13 см. Найдите угол между прямыми и .Ответ: 90⁰

6.Угол между боковыми ребрами правильной четырехугольной пирамиды, не лежащими в одной грани, равен 120⁰. Найти плоский угол при вершине пирамиды. Ответ:

Домашнее задание.

1.В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, точки - середины ребер и . Найти косинус угла между прямыми и .Ответ:

2. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, точка - середина ребра . Найти косинус угла между прямыми и .Ответ:

3. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и Ответ: 0,75

4. В правильной шестиугольной призме , длина стороны основания равна 3,а длина бокового ребра равна 2. Найдите угол между прямыми и .

Ответ:

Подготовка к самостоятельной работе

1. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания , а боковое ребро . Найдите угол между прямыми и . Ответ: 30⁰

2. В правильной четырехугольной призме сторона основания , а боковое ребро . Найдите угол между прямыми и . Ответ:

Самостоятельная работа

Вариант 1

В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и

Вариант 2

В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и

Вариант 3

В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми и .

Вариант 4

В кубе найдите угол между прямыми и

Вариант 5

В кубе найдите угол между прямыми и

Вариант 6

В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и

Ответы: 1.2. 3. 4. 90 5. 60 6.

Метод координат

При нахождении угла между прямыми и используют формулу , где векторы и параллельны прямым и .

1.В единичном кубе найти угол между прямыми и , где и - точки, расположенные на ребрах и так, что .

Решение

;; ; ;

2.В правильной шестиугольной призме , ребра которой равны 1, найти угол между прямыми и .

Решение.

,

;

Векторный метод

3. В кубе найти угол между прямыми и , где - середины ребер и соответственно.

Решение.

Введем единичные вектора:

;

Данное пособие предназначено для учителей математики и ориентировано на подготовку учащихся старшей школы к решению задачи С2 ЕГЭ по математике. Оно содержит более 200 задач, решение которых способствует выработке вычислительных навыков, развивает пространственные представления учащихся. Все задачи сопровождаются рисунками. Даны ответы ко всем задачам. Учебный материал представлен в виде тематической рабочей тетради для учащихся.

В данном пособии содержится множество тематических задач для отработки каждого элемента содержания (углы и расстояния в пространстве) С2 ЕГЭ по математике. Задачи устного счета, уровня В, как правило одношаговые, на непосредственное применение теорем, свойств или формул. Они носят подготовительный характер и направлены на повторение геометрического материала, необходимого для решения более трудных задач. Отметим, что таких задач в учебниках геометрии не очень много, и данное пособие восполняет этот пробел. Задачи для письменного решения в тетради – задачи повышенной трудности уровня С2, решение которых может включать в себя дополнительные построения, составление и решение уравнений с неизвестными величинами. Задача данной тематической рабочей тетради – выработать алгоритмы решения таких задач. Поэтому в пособии есть подсказки разной формы. Часто решение сопровождается готовым рисунком, помогающим лучше понять условие задачи, представить соответствующую геометрическую ситуацию, или предлагается следовать уже намеченному плану решения, или предлагается формула для нахождения неизвестного элемента и т.д. В каждой теме присутствуют задачи для домашнего самостоятельного решения и самостоятельная работа на шесть вариантов.

Отметим, что лучшим способом подготовки к ЕГЭ по геометрии являются систематические занятия по учебнику геометрии. Данное пособие не заменяет учебника. Оно может быть использовано в качестве дополнительного сборника задач при изучении геометрии в 10-11 классах, а также при организации обобщающего повторения или самостоятельных занятиях геометрией.