Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

• 1 слайд

  ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ
  тетраэдра и параллелепипеда
  Цель урока:
  научиться строить сечения тетраэдра и параллелепипеда плоскостью.
  

• 2 слайд

  L
  MN ∩ (ABC) = L
  D
  A
  B
  C
  M
  N
  K
  P
  E
  KP ∩ (DBC) = E
  

• 3 слайд

  M
  H
  P
  M
  N
  K
  X
  Прямая KX – след секущей плоскости
  на плоскости основания.
  К
  D
  Прямая KD – след секущей плоскости на плоскости основания.
  

• 4 слайд

  α
  Секущей плоскостью многогранника называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.
  А
  В
  С
  D
  M
  N
  K
  

• 5 слайд

  Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.
  

• 6 слайд

  Виды сечений тетраэдра
  Сечение - треугольник
  Сечение - четырехугольник
  

• 7 слайд

  Виды сечений параллелепипеда
  Сечение - треугольник
  Сечение - четырехугольник
  Сечение - пятиугольник
  Сечение - шестиугольник
  

• 8 слайд

  Найдите ошибки
  A
  B
  C
  m
  AB ∩ m = C
  Рис. 1
  A
  B
  C
  D
  M
  N
  K
  MN ∩ BA = K
  Рис. 2
  

• 9 слайд

  Найдите ошибки
  Рис. 3
  Рис. 4
  

• 10 слайд

  Задача №1: Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки M,N,K.
  M
  K
  N
  

• 11 слайд

  Решение задачи №1
  M
  K
  N
  

• 12 слайд

  D
  A
  B
  C
  M
  N
  K
  Задача №2. Дан тетраэдр DABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK, если M, N, K соответственно принадлежат ребрам DC, DA, AB.
  

• 13 слайд

  D
  A
  B
  C
  M
  N
  K
  X
  P
  Решение задачи №2
  1. MN ∩ AC = X
  2. XK ∩ BC = P
  3. NK, MP
  4. KNMP – искомое сечение
  

• 14 слайд

  Задача №3: Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки M,N,K.
  M
  K
  N
  

• 15 слайд

  M
  K
  N
  L
  KNML - искомое сечение
  

• 16 слайд

  Задача № 4 Постройте сечение тетраэдра DABC плоскостью MNK, если M и N –середины ребер AB и BC, K принадлежит ребру DC.
  D
  C
  B
  A
  M
  K
  N
  

• 17 слайд

  D
  C
  B
  A
  M
  K
  N
  L
  1. MN
  2. NK
  3. LK II MN
  4. ML
  5. MNKL – искомое сечение
  

• 18 слайд

  Задача №5: Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью MNK.
  B
  А1
  В1
  С1
  D1
  A
  C
  D
  M
  N
  K
  

• 19 слайд

  B
  А1
  В1
  С1
  D1
  A
  C
  D
  M
  N
  K
  L
  

• 20 слайд

  Задача №6
  Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью PTO, если P, T,O принадлежат соответственно ребрам АА1, ВВ1, СС1.
  B
  А1
  В1
  С1
  D1
  A
  C
  D
  P
  T
  O
  

• 21 слайд

  M
  А1
  В1
  С1
  D1
  A
  C
  D
  P
  T
  O
  B
  N
  L
  F
  TO ∩ BC = M
  TP ∩ AB = N
  NM ∩ AD = L
  NM ∩ CD = F
  PL, FO
  PTOFL – искомое сечение
  

• 22 слайд

  Задача №7: Постройте сечение параллелепипеда плоскостью KMN.
  B
  А1
  В1
  С1
  D1
  A
  C
  D
  K
  N
  M
  

• 23 слайд

  B
  А1
  В1
  С1
  D1
  A
  C
  D
  K
  N
  M
  Q
  P
  E
  F
  MN ∩ DA = Q
  QK ∩ AA1 = P
  PM
  KF II MN
  FE II PM
  NE
  MPKFEN – искомое сечение
  

• 24 слайд

  Итог урока:
  «Мне понравился (не понравился) урок, потому что…»
  
  «Сегодня на уроке я научился….»
  
  «Мне хочется, чтобы….»
  
  «В этот урок я добавил(а) бы …»
  
  

• 25 слайд

  Спасибо за урок!!!
  Задание на дом:
  п.14 №105, 106.
  (Дополнительное задание к № 105 на карточке)
  

Разработка урока

по теме «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда» в 10 «А» классе

Цель урока:

научить строить сечения тетраэдра и параллелепипеда плоскостью;

формировать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

развивать навыки самостоятельной деятельности у обучающихся, умения работать в группе.

Оборудование: проектор, интерактивная доска, раздаточный материал.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы и приемы, используемые на уроке: наглядный, практический, проблемно-поисковый, групповой, элементы исследовательской деятельности.

I. Организационный момент.

Учитель сообщает тему и цель урока (слайд №1).

II. Актуализация знаний.

Учитель: Выполняя домашнее задание вам нужно было найти точки встречи прямых и плоскостей, след секущей плоскости на плоскости грани многогранника. Прокомментируйте, что для этого необходимо сделать.

(Обучающиеся комментируют домашнее задание (слайды №2-3).

Учитель: Чтобы перейти к изучению новой темы, давайте повторим теоретический материал, ответив на вопросы:

1.      Что называется секущей плоскостью (слайд №4)? (Обучающиеся дают определение.)

2.      Что называется сечением многогранника (слайд №5)?(Формулируется определение.)

3.      Что необходимо сделать для того, чтобы построить сечение многогранника плоскостью?

Построение сечения сводится к построению линий пересечения секущей плоскости и плоскостей граней многогранника.)

4.      Обязательно ли секущая плоскость должна пересечь плоскости всех граней многогранника?

Учитель: Давайте проведем небольшое исследование и ответим на вопрос: «Какая фигура может получиться в сечении тетраэдра или параллелепипеда плоскостью?»

(Обучающиеся, работая в группах, ищут ответ на поставленный вопрос.)

(Через несколько минут они формулируют свои предположения, и идет демонстрация слайдов 6 – 7.)

Учитель: Давайте  повторим правила, о которых необходимо помнить при построении сечений многогранника (обучающиеся вспоминают и формулируют нужные аксиомы, теоремы, свойства):

ü  Если две точки принадлежат секущей плоскости и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через данные точки, будет являться следом секущей плоскости на плоскости грани.

ü  Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой.

ü  При пересечении двух параллельных плоскостей секущей плоскостью получаются параллельные прямые.

ü  Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекают третью плоскость по прямым, параллельным между собой.

ü  Если у  секущей плоскости и плоскостей двух пересекающихся граней есть общая точка,  то она лежит на прямой, содержащей общее ребро данных граней.

Учитель: Найдите ошибки на данных чертежах, обоснуйте свое утверждение (слайды8-9).

Учитель: Итак, ребята, мы подготовили теоретическую базу, чтобы научиться строить сечения многогранников плоскостью, в частности сечения тетраэдра и параллелепипеда. Большую часть заданий вы будете выполнять самостоятельно, работая в группах, поэтому у каждого из вас есть рабочие листы с заготовками чертежей многогранников, на которых вы будете строить сечения. При необходимости, вы можете обращаться за консультацией к учителю или старшему в группе.

Итак, вашему вниманию предлагается первое задание: (слайд №10) постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки M,N,K. (В сечении получается треугольник, проверка - слайд №11.)

Учитель: Рассмотрим вторую задачу: Дан тетраэдр DABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью  MNK, если MDC, NAD, K AB. (Слайд №12)

(Провести решение задачи вместе с классом, комментируя построение.)

(Задача №3 –  самостоятельная работа в группах (слайд №14).  Проверка - слайд № 15.)

Задача №4: Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK, где M и N – середины ребер AB и BC (слайд № 16). (Проверка на слайде №17.)

Учитель: Переходим к следующей части урока. Рассмотрим задачи на построение сечений параллелепипеда плоскостью. Мы выяснили, что в сечении параллелепипеда плоскостью может получиться треугольник, четырехугольник, пятиугольник или шестиугольник. Правила построения сечений те же. Предлагаю перейти к следующей задаче, которую вы решите самостоятельно.

(Демонстрируется слайд №18)

Задача №5

Постройте сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁  плоскостью MNK, если M AA₁, NBB₁, KCC₁. (Проверка на слайде № 19).

Задача № 6: ( Слайд № 20) Постройте сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью PTO, если P, T,O принадлежат соответственно ребрам АА₁, ВВ₁, СС₁.

(Решение обсуждается, учащиеся строят сечение на индивидуальных листах и записывают ход построения (слайд № 21).)

1.      TO ∩ BC = M

2.      TP ∩ AB = N

3.      NM ∩ AD = L

4.      NM ∩ CD = F

5.      PL, FO

6.      PTOFL – искомое сечение.

Задача №7: (слайд № 22) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью KMN, если KA₁D₁, N, M AB.

Решение: (слайд № 23)

1.      MN∩AD=Q;

2.      QK∩AA₁=P;

3.      PM;

4.      NE II PK; KF II MN;

5.      FE.

MPKFEN –искомое сечение.

Творческие задания (карточки по вариантам):

1.  В правильной треугольной пирамиде SАВС через вершину С и середину ребра SА проведите сечение пирамиды, параллельное SB. На ребре АВ  взята точка F так,  что АF:FВ=3:1.  Через точку F и середину   ребра    SС    проведена   прямая.    Будет   ли    эта   прямая параллельна плоскости сечения?

2.  АВ₁С - сечение прямоугольного параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D_1. Через точки Е, F, К, которые являются соответственно серединами    ребер    DD₁,    А₁D₁,    D₁C₁    проведено    второе сечение. Докажите,   что  треугольники  ЕFК  и  АВ₁C  подобны,   и установите какие углы этих треугольников равны между собой.

Итог урока: Итак, мы познакомились с правилами построения сечений тетраэдра и параллелепипеда, рассмотрели виды сечений, решали простейшие задачи на построение сечений. На следующем уроке мы продолжим изучение темы, рассмотрим более сложные задачи.

А теперь подведем итог урока, ответив на наши традиционные вопросы (слайд № 24):

«Мне понравился (не понравился) урок, потому что….»

«Сегодня на уроке я научился….»

«Мне хочется, чтобы….»

«В этот урок я добавил(а) бы …»

(Выставление оценок за урок.)

Задание на дом: п.14 №105, 106. (слайд № 25)

Дополнительное задание к №105: Найдите отношение, в котором плоскость MNK делит ребро AB, если CN : ND = 2:1, BM = MD и точка K – середина медианы AL треугольника ABC.

(Закончить выполнение творческого задания.)

Краткое описание документа:

Данная разработка содержит конспект урока по геометрии для 10 класса по теме "Построение сечений многогранников" и презентацию к нему.

Данная тема всегда вызывает трудности у обучающихся, это связано с низким уровнем развития пространственного воображения у детей.

Презентация позволяет более наглядно показать правила построения сечений, какие виды сечений могут иметь тетраэдр и параллелепипед, какие ошибки чаще всего допускают при выполнении построения сечений. В ходе урока некоторые задачи разбираются вместе. После самостоятельного выполнения построений обучающимися, учитель демонстрирует готовое решение для проверки. в тех задачах, где возможны различные способы построения сечений, рассматриваются все варианты.