Поурочные планы по теории вероятностей

Основы теории вероятностей и математической статистики

Тема №1: События  и их классификация .Классическое статистическое определения вероятностей событий.

 
Тип: Изучение нового материала

Цель: довести осознания и осмысления понятия события и определения вероятностей события.

Мотивация: есть пословица: «Не было бы счастья, да несчастье помогло».Как можно трактовать эту пословицу,или пословицу «Авось повезет, был беден в одночасье стал богат!»

I Повторение и актуализация

1)      Назовите основные понятия математики и физики

2)      Какие есть основные понятия в теории вероятностей?

II Изучения нового материала

Первое понятия в теории вероятностей- это событие.

Событие – это результат произведённого или могущего быть произведённым испытания

События делятся:

1)      достоверные- если в результате данного испытания оно обязательно произойдёт.

2)      невозможные- если в результате данного испытания оно произойти не может.

3)      случайные -если в результате данного события они могут произойти или не произойти.

Достоверное = извлечение шара белого из урны содержащего белые шары

Невозможные = извлечение чёрного шара из урны содержащей белые шары

Случайные = попадания в цель из орудия при выстреле

Задачей теории вероятности является установление закономерностей многократно наблюдаемых (явлений) при одних и тех же условиях случайных событий

Виды случайных событий

1) Hесовместные – если появление одного из них исключает возможность появления другого события.

В урне чёрные и белые шары. Вытаскиваем один шар. Событие А – белый, событие В – чёрный, оба события несовместимы.

2) Cовместные – если появление одного из них не исключает возможность появления другого.

Бросаются два куба. Событие А – выпадение 6; Событие В – выпадение 6 на  втором кубе. События А и В совместные.

 Классическое определения вероятности: Вероятностью события А называется отношение числа благопрепятствующих этому событию исходов к общему числу всех простых попарно несовместных, единственно возможных и равновероятных исходов испытания

P(A)=m/n

  возможны  случаи:

1) m = n,                     P(A)=1

2) m = 0,                     P(A)=0

3) m ≠ n,                     m ≠ 0              0 < P (A) < 1

Статистическое определение вероятности: за приближенное значение вероятности события принимается его частота в серии из достаточно большого числа наблюдений.

III Осознание и осмысление

1) Игральный кубик подбросили 1 раз; какая вероятность выпадения 6?

n = 6,               m = 1              P (A)=

2) В урне 3 белых, 7 черных шаров. Случайным образом вынули 1 шар, какова вероятность что он белый?

n = 10,             m = 3              P (A) =

3)  Таня забыла последнюю цифру телефона и набрала наугад; какова вероятность что она попала к своей знакомой?

n = 10,             m = 1              P (A) =

3) Для новогодней лотереи отпечатано1500 из них 120 выигрышных; какова вероятность что купленный билет выигрышный?

P (A) =

стр      310      N   B – 34 решить

                        N   B – 35 решить

                        N   B – 36 решить

                        N   B – 38 решить

                        N   B – 40 решить

                        N   B – 41 решить

Д/з N   B – 47 прочитать

Комбинаторика. Выборки элементов

Тема №1: Общие правила комбинаторики.

Выборки элементов , свойства числа сочетаний

Цель: довести осознания и осмысления основные понятия комбинаторики

Мотивация: Какими способами можно расставлять приборы между гостями, уроки, делать перестановки(использование этих знаний в дизайне столов, интерьеров, комнат итд)

I Повторение и актуализация

1) События и их классификация

2) Определения классическое и статистическое

3) Применение при расчетах определения

II Первичное усвоение

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных  тем или иным условиям можно составить из элементов, принадлежих данному множеству.

Выборки                   

 

Размещения упорядоченные

Сочетания неупорядоченные

Число размещений из n элементов по m элементов вычисляется по формуле:

Пример1.По футболу 16 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?

Ответ: А³₁₆=16 15 14=3360

Пример2. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами могут быть распределены уроки в один день?

Ответ:А⁵₁₀=10 9 8 7 6=30240

Если размещение из n элементов взяты по n, то такие размещения называются перестановками

Пример3.За столом 12 лиц и 12 приборов. Сколькими способами можно разместить 12 лиц?

Ответ: Р₁₂=12!=479001600

Если из всех размещений, которые можно составить из n элементов по m отобрать только те, которые одно от другого отличается одним элементом ,то получим сочетания.

                                                         Свойства числа сочетаний

III Осознание и осмысление

Пример 1. Пусть даны цифры: 7; 8; 9; 4; 5; 6. Определить сколько двузначных чисел можно составить из этих цифр.

Решение. Если цифры могут повторяться, то количество двузначных чисел будет . Если цифры не повторяются, то .

Пример 2. На библиотечной полке стоят 30 книг, причем 27 - книги разных авторов и еще 3 книги автора. Сколькими способами можно расставить эти книги так, чтобы книги одного автора стояли рядом друг с другом?

Решение. Временно объединим три книги одного автора в один объект, всего получим 28 объектов - 27 книг и 1 объект из трех книг. Для них число перестановок будет . Теперь три книги переставим между собой  способами. По правилу произведения получаем, что число способов расставить книги нужным образом равно: 

Пример 3. Учитель хочет назначить 3 студентов для уборки класс из учеников. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Так как порядок учеников не важен, используем формулу для числа сочетаний (выбор любых 3 элементов из 27): 

Д\З стр 244 решить №194-198

                                          Тема:  Сумма событий. Произведение событий.

Тип: Изучение нового материала

Цель: довести осознания и осмысления основные понятия суммы и произведения событий

Мотивация:  «Вся жизнь-игра..» - почему мы всегда соглашаемся с этим?

I Осознание и осмысление

1) что такое выборка

2) формула размещений

3) формула сочетаний

4) свойства  числа сочетаний

II Изучение нового материала

Суммой А+В событий А и В называется событие, состояние в появлении либо события А, либо события В, либо обоих этих событий вместе

Теорема 1
Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.

Р (А+В) = Р (А) + Р (В)

Сумме вероятностей противоположных событий равно единице.

Р(А) + Р (А-) = 1

Пример 1.В урне содержится 10 красных,15 синих и 5 белых шаров. Какова вероятность того, что вынутый шар не белый

Событие А - вынутый шар не белый

Событие В - вынутый шар красный

Событие С - вынутый шар синий

1 способ

Р(А)=10/30+15/30=25/30=5/6

2 способ

Р(А)=m/n=10+15/10+15+5=25/30=5/6

3 способ

Р(А)=1-Р(А^-)=1-5/30=25/30=5/6

Произведением АВ двух событий АиВ называется событие состоящее в появлении  и события А и события В

Р(АВ)=Р(А) РА(В)=Р(В) РВ(А);

  где Р_В(А)-условная вероятность события В по отношению к событию А

Пример2

В урне 7белых и 3 черных шара, подряд извлекают два шара. Какова вероятность что оба черные

1способ

Р(АВ)=Р(А) Р_А(В)=3/10 2/9=1/15

2способ

Р(А)=С²₃ /С²₁₀=3/45=1/15

III Осознание и осмысление

Пример 1. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика, 
;

 - вынули черный шар из первого ящика, 
;

В – белый шар из второго ящика, 
;

 - черный шар из второго ящика, 
.

Нам нужно, чтобы произошло одно из событий  или . По теореме об умножении вероятностей
, . 
Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет 
.

Пример 2 . Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойного промаха, в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.

Решение.

Пусть А – попадание первого стрелка, ;

В – попадание второго стрелка, .

Тогда  - промах первого, ;

 - промах второго, .

Найдем нужные вероятности.

а) АВ – двойное попадание, 

б)  – двойной промах, .

в) А+В – хотя бы одно попадание,

.

г)  – одно попадание,

.

Пример 3. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

Решение.

А – формула содержится в первом справочнике;

В – формула содержится во втором справочнике;

С – формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

1. 

2. .

3. 

Д/Зстр 269 №1,2,3 решить

Тема: Формула Бернулли

Тип: Изучение нового материала

Цель: довести осознания и осмысления основные формулу Бернулли и научить применять ее при решении задач

Мотивация: Можно ли предсказать сколько раз из 10 подбрасываний монеты выпадет решка?

I Повторение и актуализация

1) Вероятность события

2) Теорема о сумме вероятностей о сумме вероятностей

3) что это за формула Бернулли

II Изучение нового материала

Определить вероятность того, что в результате n одинаковых независимых испытаний событие А наступит m-раз, если в каждом из этих испытаний данное событие наступает с вероятностью P (A) = P

Ответ дает формула Бернулли

Pn (m) = q= 1 – p

Пример 0.Игральный кубик бросается 3 раза. Найти вероятность что шестерка появится 1)2раза 2)3раза 3)менее 2раз 4)не более 2раз 5)хотя бы один раз6)ни разу

Решение: n=3, р=1/6, q=1-1/6=5/6

1)Р₃(2)=С²₃ р² q¹=5/72

2) Р₃(3)=С³₃ р³q⁰=1/216

3) Р₃(<2)= Р₃(0) + Р₃(1)= С⁰₃ р⁰q³+ С¹₃ р¹q²=25/27

4) Р₃(<=2)= Р₃(0) + Р₃(1) + Р₃(2) = С⁰₃ р⁰q³+ С¹₃ р¹q² + С²₃ р²q¹=215/216

5)Р(А)=1 - Р(А^-)=1-Р₃(0)=1- С⁰₃ р⁰q³=91/216

6)Р₃(0)= С⁰₃ р⁰q³=125/216

III Осознание и осмысление

Решить задачу стр. 283-284

Пример1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события  (попадание первого орудия),  (попадание второго орудия) и  (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям ,  и  (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:

, , 

Искомая вероятность .

Пример2. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).

Решение. События "машина работает" и "машина не работает" (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: 

Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна 

Искомая вероятность 

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Пример3. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение. Обозначим через А событие "при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз". События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула .

Приняв во внимание, что, по условию,  (следовательно, ), получим

Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:

Итак, , т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

Пример 4. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
, . 
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна 
.

Пример 5. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение. Вероятность рождения девочки 
, тогда .

Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

, ,

, .

Следовательно, искомая вероятность

.

Пример 6. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.

Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность , тогда . Отсюда по формуле Бернулли находим
.

Пример7. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:

Д/З Стр 283-284 прочитать

Тема: Поток событий, асимптотическая формула Пуассона

Тип: Изучение нового материала

Цель: довести осознания и осмысления понятие потока событий и научить пользоваться асимптотической формулой Пуассона

Мотивация: можно ли вычислить с помощью формулы Бернулли?

I Повторение и актуализация

1) формула Бернулли

2) что же такое поток событий и что показывает асимптотическая формула Пуассона?

II Изучение нового материала

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например,  вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

– среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для  и . При больших  рекомендуется применять формулы Лапласа. Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

Потоком  событий называют последовательность событий, происходящих в случайный момент времени

Интенсивностью потока  λ называют среднее число событий появляющихся в единицу времени

Пример 1 Среднее число заказов такси в минуту равно 3.Найти вероятность что за 2 минуты поступит 4 заказа

Р₂(4)=6⁴ е^-6/4!=0,135

Пример2.Завод отправил 500 изделий. Вероятность повреждения в пути 0,002.Найти вероятность, что будет повреждено 3 изделия

n =500          р=0,002           λ= =1

Р₅₀₀(3)=1³  е^-1/3!=0,061

III Осознание и осмысление

Пример 1. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. По условию дано: .

Искомая вероятность

Пример2. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Решение. По условию дано: .

По теореме сложения вероятностей

Пример3. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение. По условию дано: .

Получаем:

Д/З стр 290 №11 решить

Тема: Локальная и интегральная теоремы  Лапласа

Тип: Изучение нового материала

Цель: довести осознания и осмысления локальную теорему Лапласа

Мотивация: на жизненные вопросы такие, как , сколько должно быть мест ,чтобы туристы могли одновременно пообедать с вероятностью 0,9,отвечает теорема Лапласа

I Повторение и актуализация

1) формула Бернулли

2) формула Пуассона

3) А если число повторных испытаний большое , что же делать?

Р₄₀₀(80)=С⁸⁰₄₀₀ (0,2) ⁸⁰  (0,8) ³²⁰

II Изучение нового материала

Подобных сложностей можно избежать, используя локальную теорему Лапласа

Пусть в каждом из  независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью ,  (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через  вероятность ровно  появлений события А в  испытаниях. кроме того, пусть – вероятность того, что число появлений события А находится между  и .

Локальная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

 где  - функция Гаусса

Интегральная теорема Лапласа.

Интегральная теорема Лапласа позволяет получить ответ на вопрос определения вероятности того, что интересующее нас событие появится не менее k₁ и не более k₂ раз.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

P(n; k1, k2) где - функция Лапласа

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:

а) 

б) при больших  верно .

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при . Причем чем ближе значения  к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).

III Осознание и осмысление

Пример 1. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

Решение. По условию , откуда

По таблицам найдем .

Искомая вероятность равна: 

Пример 2. В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятности событий:

В – наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий;

С – число бракованных изделий в коробке не превосходит 20

Решение. Изготовление детали – это испытание, в котором может появиться событие А – изделие бракованное – с вероятностью . Находим . Можно применять формулы Лапласа:

Приблизительно 9,5% всех коробок содержат 13 бракованных изделий и в 92% коробок число бракованных не превосходит 20.

Пример 3. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы c вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?

Решение. Будем считать, что событие  произошло, если турист пообедал у заинтересованного владельца. По условию задачи , . Нас интересует такое наименьшее число посетителей , что вероятность одновременного прихода не менее чем  туристов из числа  с вероятностью успеха приблизительно равна вероятности переполнения ресторана, т.е. .

Таким образом, нас интересует такое наименьшее число , что . Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.

В нашем случае: ­– неизвестно, , , . Тогда

Используя таблицы для функции , находим, , и, значит, . Следовательно, в ресторане должно быть 62 места.