Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Поурочные планы по теории вероятностей
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Поурочные планы по теории вероятностей

библиотека
материалов

Основы теории вероятностей и математической статистики


Тема №1: События и их классификация лассическое статистическое определения вероятностей событий.


Тип: Изучение нового материала

Цель: довести осознания и осмысления понятия события и определения вероятностей события.

Мотивация: есть пословица: «Не было бы счастья, да несчастье помогло».Как можно трактовать эту пословицу,или пословицу «Авось повезет, был беден в одночасье стал богат!»

I Повторение и актуализация

  1. Назовите основные понятия математики и физики

  2. Какие есть основные понятия в теории вероятностей?



II Изучения нового материала

Первое понятия в теории вероятностей- это событие.

Событие – это результат произведённого или могущего быть произведённым испытания


События делятся:

  1. достоверные- если в результате данного испытания оно обязательно произойдёт.

  2. невозможные- если в результате данного испытания оно произойти не может.

  3. случайные -если в результате данного события они могут произойти или не произойти.


Достоверное = извлечение шара белого из урны содержащего белые шары


Невозможные = извлечение чёрного шара из урны содержащей белые шары


Случайные = попадания в цель из орудия при выстреле


Задачей теории вероятности является установление закономерностей многократно наблюдаемых (явлений) при одних и тех же условиях случайных событий


Виды случайных событий

1) Hесовместные – если появление одного из них исключает возможность появления другого события.

В урне чёрные и белые шары. Вытаскиваем один шар. Событие А – белый, событие В – чёрный, оба события несовместимы.


2) Cовместные – если появление одного из них не исключает возможность появления другого.

Бросаются два куба. Событие А – выпадение 6; Событие В – выпадение 6 на втором кубе. События А и В совместные.

Классическое определения вероятности: Вероятностью события А называется отношение числа благопрепятствующих этому событию исходов к общему числу всех простых попарно несовместных, единственно возможных и равновероятных исходов испытания


возможны случаи:

1) m = n, P(A)=1

2) m = 0, P(A)=0

3) m ≠ n, m ≠ 0 0 < P (A) < 1


Статистическое определение вероятности: за приближенное значение вероятности события принимается его частота в серии из достаточно большого числа наблюдений.



III Осознание и осмысление


1) Игральный кубик подбросили 1 раз; какая вероятность выпадения 6?

n = 6, m = 1 P (A)= hello_html_324645d0.gif


2) В урне 3 белых, 7 черных шаров. Случайным образом вынули 1 шар, какова вероятность что он белый?

n = 10, m = 3 P (A) =hello_html_6e55ba0c.gif


3) Таня забыла последнюю цифру телефона и набрала наугад; какова вероятность что она попала к своей знакомой?

n = 10, m = 1 P (A) =hello_html_2223a5ac.gif


3) Для новогодней лотереи отпечатано1500 из них 120 выигрышных; какова вероятность что купленный билет выигрышный?

P (A) =hello_html_5b5dd1b6.gif


стр 310 N B – 34 решить

N B – 35 решить

N B – 36 решить

N B – 38 решить

N B – 40 решить

N B – 41 решить


Д/з N B – 47 прочитать




















Комбинаторика. Выборки элементов


Тема №1: Общие правила комбинаторики.

Выборки элементов , свойства числа сочетаний


Цель: довести осознания и осмысления основные понятия комбинаторики

Мотивация: Какими способами можно расставлять приборы между гостями, уроки, делать перестановки(использование этих знаний в дизайне столов, интерьеров, комнат итд)


I Повторение и актуализация

1) События и их классификация

2) Определения классическое и статистическое

3) Применение при расчетах определения



II Первичное усвоение

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям можно составить из элементов, принадлежих данному множеству.


Выборки

hello_html_2d9a9a13.gifhello_html_m6600091e.gif



Размещения

упорядоченные

Сочетания

неупорядоченные


Число размещений из n элементов по m элементов вычисляется по формуле:

Пример1.По футболу 16 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?

Ответ: А316=16 15 14=3360

Пример2. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами могут быть распределены уроки в один день?

Ответ:А510=10 9 8 7 6=30240


Если размещение из n элементов взяты по n, то такие размещения называются перестановками

Пример3.За столом 12 лиц и 12 приборов. Сколькими способами можно разместить 12 лиц?

Ответ: Р12=12!=479001600

Если из всех размещений, которые можно составить из n элементов по m отобрать только те, которые одно от другого отличается одним элементом ,то получим сочетания.

hello_html_1fae5014.gif

Свойства числа сочетаний


III Осознание и осмысление


Пример 1. Пусть даны цифры: 7; 8; 9; 4; 5; 6. Определить сколько двузначных чисел можно составить из этих цифр.

Решение. Если цифры могут повторяться, то количество двузначных чисел будет hello_html_40766b18.png. Если цифры не повторяются, то hello_html_7d50b720.png.

Пример 2. На библиотечной полке стоят 30 книг, причем 27 - книги разных авторов и еще 3 книги автора. Сколькими способами можно расставить эти книги так, чтобы книги одного автора стояли рядом друг с другом?

Решение. Временно объединим три книги одного автора в один объект, всего получим 28 объектов - 27 книг и 1 объект из трех книг. Для них число перестановок будет hello_html_m21602253.png. Теперь три книги переставим между собой hello_html_5861182b.png способами. По правилу произведения получаем, что число способов расставить книги нужным образом равно: hello_html_m7d54c1a1.png



Пример 3. Учитель хочет назначить 3 студентов для уборки класс из учеников. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Так как порядок учеников не важен, используем формулу для числа сочетаний (выбор любых 3 элементов из 27): hello_html_6f933d2d.png


Д\З стр 244 решить №194-198


















Тема: Сумма событий. Произведение событий.


Тип: Изучение нового материала


Цель: довести осознания и осмысления основные понятия суммы и произведения событий

Мотивация: «Вся жизнь-игра..» - почему мы всегда соглашаемся с этим?


I Осознание и осмысление

1) что такое выборка

2) формула размещений

3) формула сочетаний

4) свойства числа сочетаний



II Изучение нового материала

Суммой А+В событий А и В называется событие, состояние в появлении либо события А, либо события В, либо обоих этих событий вместе

Теорема 1
Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.

Р (А+В) = Р (А) + Р (В)



Сумме вероятностей противоположных событий равно единице.

Р(А) + Р (А-) = 1



Пример 1.В урне содержится 10 красных,15 синих и 5 белых шаров. Какова вероятность того, что вынутый шар не белый

Событие А - вынутый шар не белый

Событие В - вынутый шар красный

Событие С - вынутый шар синий

1 способ

Р(А)=10/30+15/30=25/30=5/6

2 способ

Р(А)=m/n=10+15/10+15+5=25/30=5/6

3 способ

Р(А)=1-Р(А-)=1-5/30=25/30=5/6


Произведением АВ двух событий АиВ называется событие состоящее в появлении и события А и события В

Р(АВ)=Р(А) РА(В)=Р(В) РВ(А);


где РВ(А)-условная вероятность события В по отношению к событию А

Пример2

В урне 7белых и 3 черных шара, подряд извлекают два шара. Какова вероятность что оба черные

1способ

Р(АВ)=Р(А) РА(В)=3/10 2/9=1/15

2способ

Р(А)=С23 210=3/45=1/15


III Осознание и осмысление


Пример 1. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика, 
hello_html_m1f7e8506.png;

hello_html_4096376c.png - вынули черный шар из первого ящика, 
hello_html_m6500aec8.png;

В – белый шар из второго ящика, 
hello_html_m335113fc.png;

hello_html_d0035a1.png - черный шар из второго ящика, 
hello_html_43d4b730.png.

Нам нужно, чтобы произошло одно из событий hello_html_70c3b9a0.png или hello_html_6cf5f88c.png. По теореме об умножении вероятностей
hello_html_37a5abe8.pnghello_html_34f08016.png
Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет 
hello_html_7795ee5e.png.

Пример 2 . Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойного промаха, в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.

Решение.

Пусть А – попадание первого стрелка, hello_html_3002d44.png;

В – попадание второго стрелка, hello_html_6e1ad53e.png.

Тогда hello_html_1d69dee1.png - промах первого, hello_html_m52e0b767.png;

hello_html_m649a45d6.png - промах второго, hello_html_19d16c2a.png.

Найдем нужные вероятности.

а) АВ – двойное попадание, hello_html_15eec75.png

б) hello_html_1d69dee1.pnghello_html_m649a45d6.png – двойной промах, hello_html_2c903313.png.

в) А+В – хотя бы одно попадание,

hello_html_114d2967.png.

г) hello_html_m1ca9c25f.png – одно попадание,

hello_html_m47927b3a.png.

Пример 3. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

Решение.

А – формула содержится в первом справочнике;

В – формула содержится во втором справочнике;

С – формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

1. hello_html_m7ebc09d7.png

2. hello_html_m7ad9a52a.png.

3. hello_html_645ce5af.png


Д/Зстр 269 №1,2,3 решить





















Тема: Формула Бернулли


Тип: Изучение нового материала

Цель: довести осознания и осмысления основные формулу Бернулли и научить применять ее при решении задач

Мотивация: Можно ли предсказать сколько раз из 10 подбрасываний монеты выпадет решка?


I Повторение и актуализация

1) Вероятность события

2) Теорема о сумме вероятностей о сумме вероятностей

3) что это за формула Бернулли



II Изучение нового материала

Определить вероятность того, что в результате n одинаковых независимых испытаний событие А наступит m-раз, если в каждом из этих испытаний данное событие наступает с вероятностью P (A) = P


Ответ дает формула Бернулли

Pn (m) = hello_html_m48d4bf9e.gif q= 1 – p


Пример 0.Игральный кубик бросается 3 раза. Найти вероятность что шестерка появится 1)2раза 2)3раза 3)менее 2раз 4)не более 2раз 5)хотя бы один раз6)ни разу

Решение: n=3, р=1/6, q=1-1/6=5/6

1)Р3(2)=С23 р2 q1=5/72

2) Р3(3)=С33 р3q0=1/216

3) Р3(<2)= Р3(0) + Р3(1)= С03 р0q3+ С13 р1q2=25/27

4) Р3(<=2)= Р3(0) + Р3(1) + Р3(2) = С03 р0q3+ С13 р1q2 + С23 р2q1=215/216

5)Р(А)=1 - Р(А-)=1-Р3(0)=1- С03 р0q3=91/216

6)Р3(0)= С03 р0q3=125/216



III Осознание и осмысление


Решить задачу стр. 283-284

Пример1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события hello_html_m3ab768b5.png (попадание первого орудия), hello_html_760378aa.png (попадание второго орудия) и hello_html_m1e7c3300.png (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям hello_html_m3ab768b5.pnghello_html_760378aa.png и hello_html_m1e7c3300.png (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:

hello_html_m5bc68f61.pnghello_html_753dacf6.pnghello_html_m58e00d10.png

Искомая вероятность hello_html_m7b437056.png.

Пример2. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).

Решение. События "машина работает" и "машина не работает" (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: hello_html_2206b729.png

Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна hello_html_m10e3205.png

Искомая вероятность hello_html_578f4c70.png

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Пример3. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение. Обозначим через А событие "при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз". События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула hello_html_72a7b18d.png.

Приняв во внимание, что, по условию, hello_html_m48a059fd.png (следовательно, hello_html_37140d71.png), получим

hello_html_3ee3654b.png

Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:

hello_html_ma16666d.png

Итак, hello_html_713c0baf.png, т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

Пример 4. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
hello_html_2d39cb64.pnghello_html_m6dcf2921.png
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна 
hello_html_6e926f9e.png.

Пример 5. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение. Вероятность рождения девочки 
hello_html_m5dfbf9a9.png, тогда hello_html_m5a42dcd9.png.

Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

hello_html_m5111b552.pnghello_html_19288be.png,

hello_html_m45520427.pnghello_html_3f53f010.png.

Следовательно, искомая вероятность

hello_html_m33280316.png.

Пример 6. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.

Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность hello_html_7b00f106.png, тогда hello_html_md6d07af.png. Отсюда по формуле Бернулли находим
hello_html_m6de8f3e0.png.

Пример7. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:

hello_html_m1a0be5c6.png

Д/З Стр 283-284 прочитать





Тема: Поток событий, асимптотическая формула Пуассона


Тип: Изучение нового материала

Цель: довести осознания и осмысления понятие потока событий и научить пользоваться асимптотической формулой Пуассона

Мотивация: можно ли вычислить hello_html_md88f161.pngс помощью формулы Бернулли?


I Повторение и актуализация

1) формула Бернулли

2) что же такое поток событий и что показывает асимптотическая формула Пуассона?



II Изучение нового материала

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, hello_html_md88f161.png вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

среднее число появлений события в n испытаниях.


Эта формула дает удовлетворительное приближение для hello_html_28a8c61b.png и hello_html_m2f547257.png. При больших hello_html_647b46c4.png рекомендуется применять формулы Лапласа. Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

Потоком событий называют последовательность событий, происходящих в случайный момент времени

Интенсивностью потока λ называют среднее число событий появляющихся в единицу времени


Пример 1 Среднее число заказов такси в минуту равно 3.Найти вероятность что за 2 минуты поступит 4 заказа

Р2(4)=64 е-6/4!=0,135


Пример2.Завод отправил 500 изделий. Вероятность повреждения в пути 0,002.Найти вероятность, что будет повреждено 3 изделия

n =500 р=0,002 λ=hello_html_647b46c4.png =1

Р500(3)=13 е-1/3!=0,061



III Осознание и осмысление


Пример 1. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. По условию дано: hello_html_mac356e9.png.

Искомая вероятность

hello_html_m54c91a1d.png

Пример2. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Решение. По условию дано: hello_html_m16cb6e78.png.

По теореме сложения вероятностей

hello_html_m48a88815.png

Пример3. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение. По условию дано: hello_html_4180df69.png.

Получаем:

hello_html_13ea10e4.png


Д/З стр 290 №11 решить


























Тема: Локальная и интегральная теоремы Лапласа


Тип: Изучение нового материала

Цель: довести осознания и осмысления локальную теорему Лапласа

Мотивация: на жизненные вопросы такие, как , сколько должно быть мест ,чтобы туристы могли одновременно пообедать с вероятностью 0,9,отвечает теорема Лапласа


I Повторение и актуализация

1) формула Бернулли

2) формула Пуассона

3) А если число повторных испытаний большое , что же делать?

Р400(80)=С80400 (0,2) 80 (0,8) 320


II Изучение нового материала

Подобных сложностей можно избежать, используя локальную теорему Лапласа

Пусть в каждом из hello_html_1cead6f1.png независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью hello_html_m17c478c4.pnghello_html_23d6085.png (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через hello_html_m2b2eface.png вероятность ровно hello_html_m256ddab7.png появлений события А в hello_html_1cead6f1.png испытаниях. кроме того, пусть hello_html_m3525feff.png– вероятность того, что число появлений события А находится между hello_html_4b8a7c51.png и hello_html_m55980513.png.

Локальная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

hello_html_m540f7898.png где hello_html_m54d1a0c2.png - функция Гаусса


Интегральная теорема Лапласа.


Интегральная теорема Лапласа позволяет получить ответ на вопрос определения вероятности того, что интересующее нас событие появится не менее k1 и не более k2 раз.



Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

P(n; k1, k2)hello_html_2c8aa260.png где hello_html_m5305826b.png- функция Лапласа

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:

а) hello_html_2f37df24.png

б) при больших hello_html_m61f18daf.png верно hello_html_m3de1d558.png.

hello_html_m21c8843a.gifhello_html_24e06699.gif

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при hello_html_m25d04194.png. Причем чем ближе значения hello_html_m61d373da.png к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).



III Осознание и осмысление

Пример 1. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

Решение. По условию hello_html_m655454bb.png, откудаhello_html_m68763750.png

По таблицам найдем hello_html_1edd71b.png.

Искомая вероятность равна: hello_html_7d2d71fb.png

Пример 2. В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятности событий:

В – наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий;

С – число бракованных изделий в коробке не превосходит 20

Решение. Изготовление детали – это испытание, в котором может появиться событие А – изделие бракованное – с вероятностью hello_html_30f7b11f.png. Находим hello_html_m6a856c38.png. Можно применять формулы Лапласа:

hello_html_6440dabf.png

hello_html_2eda52a6.png

Приблизительно 9,5% всех коробок содержат 13 бракованных изделий и в 92% коробок число бракованных не превосходит 20.

Пример 3. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы c вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?

Решение. Будем считать, что событие hello_html_14edf60.png произошло, если турист пообедал у заинтересованного владельца. По условию задачи hello_html_m2f3e4ac9.pnghello_html_6a88fc32.png. Нас интересует такое наименьшее число посетителей hello_html_m71d3e194.png, что вероятность одновременного прихода не менее чем hello_html_m71d3e194.png туристов из числа hello_html_6a88fc32.png с вероятностью успеха hello_html_m2407be8d.pngприблизительно равна вероятности переполнения ресторана, т.е. hello_html_m6cdb8fa8.png.

Таким образом, нас интересует такое наименьшее число hello_html_m71d3e194.png, что hello_html_m3d52b8fa.png. Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.

В нашем случае: hello_html_m71d3e194.png­– неизвестно, hello_html_m13559834.pnghello_html_49a18632.pnghello_html_21b477cb.png. Тогда

hello_html_2d9eb51d.png

hello_html_36a31227.png

Используя таблицы для функции hello_html_384edc56.png, находим, hello_html_57b611e5.png, и, значит, hello_html_c7aa649.png. Следовательно, в ресторане должно быть 62 места.



















Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 01.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров321
Номер материала ДБ-309162
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх