Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Поурочные планы по элементам высшей математики

Поурочные планы по элементам высшей математики


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Элементы линейной алгебры


Тема: «Матрицы и действия над ними»


Цель: Довести до осознания и осмысления понятие матрицы, свойства матрицы.

Мотивация: матрицы - другими словами - это таблицы, таблицы используют везде, на всех уроках (таблицы сравнения, классификации, исторических дат и т д)


I Повторение и актуализация


  1. Натуральные, рациональные, иррациональные числа

  2. Рациональные + иррациональные = действ. числа

  3. действия над действительными числами


hello_html_62d1d51e.gif+ hello_html_m1670aeaa.gif= hello_html_m6eb97826.gif


вычитание, умножение, деление ,возведение в степень, вынос из подкоренного выражения



II Первичное усвоение


Матрица — это таблица прямоугольной формы, заполненная числами или символами, их обозначающими.Обозначают их большими латинскими буквами, а саму таблицу заключают в скобки круглые или квадратные

hello_html_6692a5e9.gif

Ehello_html_4385f7d2.gif = 1 0 D = 1 2 3

0 2 4 5 6


Числа и символы называются элементами матрицы, множество элементов расположенных в одной строке называют строкой матрицы, а в одном столбце — столбцом матрицы.

Если m – строк, и n – столбцов — матрица прямоугольная, если m=n — квадратная.

hello_html_m39dbf4e7.gif

a11 a12 a13

A = a21 a22 a23

a31 a32 a33



где аij , i – номер строки; j- номер столбца


Матрицы А и В равны если они имеют одинаковые размеры и элементы, стоящие на одинаковых местах равны между собой


1)С = A + B – сложение матрицы

2)λА — произведение матрицы

3)умножение матрицы АВ


Если матрица квадратная, то с ней можно связать число называемое определителем матрицы

|А| или детерминантом матрицы det (A)


Переход матрицы А к матрице АT называется транспонированием.


Аhello_html_m4bd6959d.gifhello_html_m3f835946.gif = 0 -2 В = 0 3

3 1 -2 1



При транспонировании строки матрицы А становятся столбцами АТ, а столбцы строками.


Аhello_html_7e2d6702.gif = 3 8 7 АТ = 3 -1 0

-1 2 1 8 2 4

0 4 5 7 1 5


Определитель при транспонировании не меняется |A| = |AT|

  1. Если в матрице определителя содержится две одинаковые строки, то |A| = 0 (или одинаковые столбцы)

  2. Если в матрице содержится строка или столбец состоящий из нулей, то определитель |A| = 0

  3. Если в матрице содержатся две пропорциональные строки или два таких же столбца, то |A| = 0

  4. Матрица А-1 называется обратной по отношению к А, если выполняются равенства

А-1 А = А А-1 = Е, Е — единичная матрица


Еhello_html_m67544060.gif = 1 0 0

0 1 0

0 0 1


обратная матрица единственна


Аhello_html_33cef57d.gif = 2 1 -3

1 -2 2

1 1 3


III Осознание и осмысление


Прорешиваем номера на стр. 51 (№ 1, 2, 3, 5)

Д/з стр. 51 № 5

Пример №1

hello_html_5740dac3.pngД


ана матрица размером 2х2;hello_html_59300210.gif

hello_html_m2e4af784.gif


Что бы вычислить определитель матрицы 2х2 нужно из произведения элементов главной диагонали, вычесть произведение элементов побочной диагонали;

hello_html_70af3ba7.gif

Ответ: -6


Пример №2

hello_html_5740dac3.pngДана матрица размером 3х3;hello_html_59300210.gif

hello_html_23012ecd.gif

Что бы вычислить определитель матрицы 3х3 нужно воспользоваться формулой;

hello_html_238a2b50.gif=

hello_html_a7f41b.gif

hello_html_23012ecd.gifhello_html_1f25e69b.gifhello_html_64671820.gifhello_html_735c1ad1.gifhello_html_7abce179.gifhello_html_m605291ce.gifhello_html_5d570c42.gifhello_html_23012ecd.gif

Подставляем наши значения в формулу;

hello_html_16d5b9ff.gif

hello_html_m4e714519.gif

Ответ: -642


Пример 3. Вычислить 3А+2В, если

hello_html_m1c487b2.png, hello_html_m58c0093c.png.

Решение. Вычислим hello_html_m6d18992c.png, hello_html_m46e63e2.png. Тогда hello_html_m7bfe1e5f.png.



































Тема: «Правило Крамера»


Цель: Довести до осознания и осмысления правило Крамера при решении систем уравнений

Мотивация: как решить систему 3линейных уравнений с 3 неизвестными,можно решить не просто обычным математическим образом, но и с помощью формул



I Повторение и актуализация


  1. что такое матрица

  2. какие бывают матрицы

  3. как найти определитель матрицы

  4. действия над матрицами

  5. как решить систему n уравнений с m неизвестными? m = n


II первичное усвоение



Рассмотрим систему линейных уравнений

hello_html_84fcc03.png                                                                                  (1)

 

Система трех уравнений может быть решена по правилу Крамера, рассмотренному выше для системы двух уравнений.

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных

hello_html_m3e8a6ec5.png.

Назовем его определителем системы. Если D≠0, то система совместна. Далее составим три вспомогательных определителя:

hello_html_5aafcfb7.png,hello_html_5f71ee23.png,hello_html_m6bdc143c.png.

Решение системы (1) находим по формулам:

hello_html_c0f843b.png,hello_html_m38c1f5a0.png,hello_html_651d28e8.png,                               (2)

которые называют формулами Крамера.


III Осознание и осмысление


Решение примеров на стр 52

Д/з № 6 стр 52



Пример 1. Решить систему уравнений hello_html_6ef07200.png

Решение. Вычислим определитель системы.

hello_html_61c54420.pngСистема совместна, так как D≠0.

Вычислим теперь вспомогательные определители:

hello_html_m5fcb0234.png, hello_html_2a822e58.png,hello_html_5ea4e246.png.

Тогда hello_html_10a4f06b.png, hello_html_m5e4b49bb.png, hello_html_mcd0f2e1.png.

Пример 2. Найти матрицу, обратную к матрице hello_html_5fd4930e.png.


Решение. Вычислим hello_html_m54ec6410.png

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А:

hello_html_m4153c024.png, hello_html_248bef3c.png,

 hello_html_407952e5.png,

hello_html_545a14.png, hello_html_7e5f0dc4.png,

 hello_html_384d83a5.png,

hello_html_7c27bd7b.png, hello_html_32568bd2.png,

hello_html_73165190.png.

Имеем hello_html_m5ebf7517.png.








Пример №3

Дана матрица размером 4х4;

hello_html_m189045cd.gif

Решим пример первым способом (по определению - через разложение по строке или столбцу)

Чтобы вычислить определитель матрицы, нужно воспользоваться следующей формулой, в ней рассмотрен пример разложения матрицы по первой строке;

hello_html_m33c7921.gif

hello_html_m171ca5da.gif

  1. Выбираем строку или столбец (любую), лучше всего выбирать строку или столбец, где больше нулей, для удобства вычисления;

В данном случае мы выбираем третью строку, так как в ней присутствует ноль;

hello_html_7b5320ef.gif

  1. Берём первый элемент этой строки (2);

Тhello_html_505003de.gifеперь вычёркиваем третью строку и первый столбец;

hello_html_m39d37c06.gifhello_html_4662a978.gif


Пhello_html_505003de.gifhello_html_4662a978.gifолучаем матрицу 3х3;

hello_html_m7197be18.gif

Согласно формуле, мы умножаем выбранный нами элемент на определитель получившейся матрицы;

hello_html_1f1cbfcd.gif

hello_html_4378da91.gif

hello_html_2348bd9f.gif

  1. Дhello_html_505003de.gifалее делаем всё тоже самое, что и в шаге два, только берём второй элемент данной строки (0) и вычёркиваем третью строку и второй столбец;

hello_html_m642933a5.gifhello_html_4662a978.gif

hello_html_m573e664a.gif

Так как этот элемент равен нулю, то ни чего не нужно считать и так всё ясно;

  1. Тhello_html_505003de.gifеперь берём третий элемент строки (6) и вычёркиваем третью строку и третий столбец;

hello_html_40b4bdfb.gifhello_html_4662a978.gif

Пhello_html_505003de.gifолучаем матрицу 3х3;

hello_html_b8d7d48.gifhello_html_4662a978.gif





Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный нами элемент (6)

hello_html_58c63d.gif

hello_html_68c94033.gif





  1. Бhello_html_505003de.gifерём четвёртый элемент строки (-3) и вычёркиваем третью строку и четвёртый столбец;

hello_html_m7cfb2575.gifhello_html_4662a978.gif

Получаем матрицу 3х3;

hello_html_939942b.gifhello_html_4662a978.gifhello_html_505003de.gif

Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный нами элемент (-3)

hello_html_1520ccd6.gif

hello_html_m1f9f9a8e.gif

hello_html_m6992abc2.gif

  1. Чтобы вычислить определитель исходной матрицы, нужно сложить полученные результаты;

hello_html_m6bfc778d.gif

Ответ: -1926












































Тема «Метод Гаусса и решение систем линейных уравнений»


Цель: довести до осознания и осмысления метод Гаусса при решении систем уравнений

Мотивация: как решить систему 3 линейных уравнений с 4 неизвестными, можно решить

математическим методом



I Повторение и актуализация


  1. Система уравнений. Метод Крамера

  2. Как решать уравнения, если число уравнений не равно числу неизвестных



II Первичное усвоение


hello_html_aee844d.gif3x1 – 5x2 – x3 – 2x4 = 0

8x1 – 6x2 + 3x3 – 7x4 = 0

2x1 + 4x2 + 5x3 – 3x4 = 0


Надо преобразовать эту систему, при преобразовании преобразованная система оказывается эквивалентной исходной и определяется х1 х2 х3 х4




III Осознание и осмысление


Решаем №7 стр 52

Д/з повторить


Прямой ход.








Обратный ход.





-

6





+

3





Прямой ход.





Прямой ход.





Обратный ход.





)

-

2

x3

+

4









Пример №4

Дана матрица размером 4х4;

hello_html_m189045cd.gif

  1. По методу Гаусса - приведение матрицы к треугольному виду (этот способ лучше использовать для решения матриц, размером 4х4 и более).


Опишем решение примера вторым способом (по методу Гаусса - приведение матрицы к треугольному виду)

Суть способа заключается в том, чтобы перед вычислением определителя, привести матрицу к треугольному виду. Если в ходе приведения матрицы к треугольному виду вы умножаете (делите) строку на число, то на это же число нужно будет умножить (разделить) полученный в конце определитель;




Итак, мы привили матрицу к треугольному виду;

hello_html_m3a7d5121.gif

Теперь чтобы вычислить определитель приведённой матрицы, нужно перемножить все элементы, стоящие на главной диагонали;

hello_html_171b7366.gif

Ответ: -1926










































Тема: «Пределы и их свойства»


Цель: Довести до осознания и осмысления вычисление пределов, понятие пределов

Мотивация: пределы функций используются в геометрии, математике, физике


I Повторение и актуализация


  1. решение систем уравнения методом Гаусса

  2. Что такое функция, какие функции вы знаете, свойства функций

  3. А что такое предел функции



II Первичное усвоение


Число А называется пределом функции f(x) при х –> а, если из условия лимит при х стремящимся к бесконечности xn = a (xn a) всегда следует равенство

limf (xn) = A

х –> а





Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если hello_html_m44bf5f28.png существует hello_html_2d3e95b8.png, такое что hello_html_m4ed85878.pngвыполняется hello_html_m394edd23.png.

Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например, hello_html_m4f33085c.png, если все члены существуют.


Основные свойства пределов


Свойства:

  • Если предел последовательности существует, то он единственный.

  • hello_html_m5b8c3b57.png hello_html_6c3af22d.png

  • hello_html_m40a17a6.png (если оба предела существуют)

  • hello_html_58ca9d49.png hello_html_m54c60323.png

  • hello_html_m55cc0823.png (если оба предела существуют)

  • hello_html_745f0354.png (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)


Показываю и рассказываю как решать различные пределы

1)Как решаются пределы, стремящиеся к бесконечности

2)Пределы, решающиеся посредством нахождения дискриминанта

3)1замечательный предел, следствия из него

4)2замечательный предел

Лимит при х стремящимся к бесконечности (1+ hello_html_mcf774d4.gif)x = e


5)Следствие из 2 замечательного предела

Лимит при х стремящимся к бесконечности (1+ hello_html_4ccc8d9b.gif) = ek


6) пределы содержащие иррациональные выражения

7)Со 2 знаменательного предела можно получить еще одно следствие.

Лимит при х стремящимся к бесконечности (1+ hello_html_mcf774d4.gif)x = e

представим у= hello_html_mcf774d4.gifтогда х = hello_html_m1443ca19.gif; при х = y > 0, тогда

Lim(1+y)1/y = e

у –> 0






8)Правило Лопиталя


III Осознание и осмысление



Задача 1. Найти пределы функций:

hello_html_23e5705f.gif

  1. Сначала подставим предельную точку x=2: числитель и знаменатель дроби равны нулю. Значит, мы имеем неопределенность первого типа hello_html_m26fa456d.gif. По теореме Виета или через дискриминант найдем корни квадратичной формы в числителе и разложим ее на линейные множители:

x2-x-2=(x-2)(x+1)

Теперь предел можно записать так:

hello_html_m166d0405.gif

  1. Воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых, а именно,

sin2x~2x

(Это следствие из первого замечательного предела)

hello_html_m543079a6.gif

Решим эту же задачу по правилу Лопиталя. Напомним, что по этому правилу отношение дифференцируемых бесконечно малых можно заменить отношением их производных. Тогда

hello_html_748748d6.gif

  1. Сделаем следующие преобразования:

hello_html_2c40acaf.gif

Обозначим v=x/4 и снова воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых, а именно,

hello_html_3de8e318.gif

(Это второй замечательный предел).

hello_html_3aadc90b.gif


  1. Вычислить предел hello_html_2c6cf792.png

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида hello_html_5e944806.png. Можно было бы подумать, что hello_html_m94a67a9.png, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим hello_html_m61f18daf.png в старшей степени:
hello_html_m1c4e9ac0.jpg
Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим hello_html_m61f18daf.png в старшей степени:
hello_html_m52318718.jpg
Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность hello_html_5e944806.png необходимо разделить числитель и знаменатель на hello_html_m61f18daf.png в старшей степени.

hello_html_1d9219f6.png
Разделим числитель и знаменатель на
 hello_html_6d01c425.png
hello_html_m31e5286a.png

Вот оно как, ответ hello_html_26d5e45a.png, а вовсе не бесконечность.

  1. Найти предел hello_html_6ecf1d24.png
    Снова в числителе и знаменателе находим
     hello_html_m61f18daf.png в старшей степени:
    hello_html_56f875a0.jpg
    Максимальная степень в числителе: 3
    Максимальная степень в знаменателе: 4
    Выбираем
     наибольшее значение, в данном случае четверку.
    Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности
     hello_html_48d556c1.png делим числитель и знаменатель на hello_html_m7e01a8db.png.
    Полное оформление задания может выглядеть так:

hello_html_m7a1de6e.png

Разделим числитель и знаменатель на hello_html_m7e01a8db.png

hello_html_14eed506.png

  1. Найти предел hello_html_m140c3e63.png
    Максимальная степень «икса» в числителе: 2
    Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 (hello_html_m61f18daf.png можно записать как
     hello_html_m571b1fe0.png)
    Для раскрытия неопределенности
     hello_html_48d556c1.png необходимо разделить числитель и знаменатель на hello_html_77527961.png. Чистовой вариант решения может выглядеть так:

hello_html_59682a94.png

Разделим числитель и знаменатель на hello_html_77527961.png

hello_html_m58ec2a1d.png

Под записью hello_html_26b24abb.png подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида hello_html_5e944806.png у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

  1. Решить предел hello_html_m518bfa2e.png
    Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
    hello_html_m109d373d.png 
    В данном случае получена так называемая неопределенность
     hello_html_6ed80684.png.

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида hello_html_6ed80684.png, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.

Итак, решаем наш предел
hello_html_m16aa2afa.png

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
hello_html_m460af121.png
Сначала находим дискриминант:
hello_html_m75d07e84.png
И квадратный корень из него:
 hello_html_4a2bf2da.png.

В случае если дискриминант большой, например 361,  используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

Далее находим корни: 
hello_html_37401938.png
hello_html_m6d5c6bac.png

Таким образом:
hello_html_4954a5e3.png

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель hello_html_40ec1184.png уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

hello_html_m69acdf16.png

Очевидно, что можно сократить на hello_html_5d83a646.png:

hello_html_m5df2ae3f.png

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

hello_html_m653c88ce.png

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

hello_html_m16aa2afa.png

Разложим числитель на множители.
hello_html_m460af121.png
hello_html_m75d07e84.png
hello_html_4a2bf2da.png
hello_html_37401938.png
hello_html_m6d5c6bac.png
hello_html_m21beb1df.png

hello_html_2fd6a4e2.png

  1. Вычислить предел hello_html_12be48ce.png

hello_html_m452bccaf.png

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: hello_html_59a7a756.png
Знаменатель:
hello_html_390a068d.png
hello_html_m77815ab6.png
hello_html_m6cea9893.png
hello_html_m69a0c348.png,
 hello_html_5e97594.png
hello_html_22163ce.png

hello_html_m7404d1bb.png

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.В ходе решения фрагмент типа hello_html_m2c297248.png встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
hello_html_m75c06dfd.png, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно. Продолжаем рассматривать неопределенность вида hello_html_6ed80684.png

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

  1. Найти предел hello_html_m640097e.png

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности hello_html_m75ee3386.png используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: hello_html_m27d067db.png
И смотрим на наш предел:
 hello_html_m2f1d6522.png
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

hello_html_2e4c9ca9.png

  1. Найти предел hello_html_m3ac6f6dc.png

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

hello_html_76249da8.png

Разложим числитель на множители:
hello_html_247efbfb.png
hello_html_65087fb5.png
hello_html_5e872eb0.png
hello_html_m45c24c39.png
hello_html_49b1fdea.png
hello_html_m52d6ccdc.png

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

hello_html_6e00656c.png














































Тема: «Производная..Применение производной к исследованию функций»


Цели урока:

общеобразовательные:

1) закрепить и углубить знания обучающихся о производной и её приложении

к исследованию функций;

2) показать широкий спектр применения производной;

3) формировать умения по применению знаний и способов действий в

изменённых и новых учебных ситуациях;

развивающие:

1)развитие подсознательной активности обучающихся ;

2)формирование учебно – познавательных действий по работе с дополнительной литературой;

3)углубление знаний обучающихся о моделировании процессов действительности с помощью аппарата производной.

воспитательные:

1)формирование у обучающихся понятий о научной организации труда;

2)формирование умений по рецензированию собственных ответов и ответов товарищей.


Мотивация : Исторически понятие производной возникло из практики. Скорость неравномерного движения, плотность неоднородной материальной линии, а также тангенс угла наклона касательной к кривой и другие величины явились прообразом понятия производной. Возникнув из практики, понятие производной получило обобщаемый, абстрактный смысл, что ещё более усилило его прикладное значение. Создание дифференциального исчисления чрезвычайно расширило возможности применения математических методов в естествознании и технике.


1Повторение и актуализация

Давайте вспомним и повторим с вами «Производные и таблицу производных»

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю

Y / = f / (x) = Лимhello_html_57e8ccb7.gif

Δx –> 0


Дифференциалом функции у = f(x) называется главная линейная часть приращения функции f / (x) Δx, которая отличается от приращения Δy на бесконечно малую величину αΔx более высокого порядка малости, чем Δx, и обозначается dy.


dy = f /(x) Δx



Таблица производных

1)Какое значение в математике имеет производная?

Каков механический и геометрический смысл производной?

2)Что такое нули функции?Как определить промежутки возрастания и убывания функции

2)Как находят точки экстремума

3)Для чего и нужно ли определять вторую производную?


II Первичное усвоение

Алгоритм полного исследования функций

1)область определения функции. Вертикальные асимптоты графика

2)Функция четная? Периодическая?

3)Определение первой производной и критических точек

4)Определение промежутков возрастания и убывания функции и точек экстремума - точек минимума и максимума

5)Нахождение значений данной функции в этих точках

6) Определение второй производной и точек перегиба функции

7)Определение наклонных асимптот графика по формулам

к = Lim f(x)/x b=Lim (f(x)-x)) при х стремящемся к бесконечности

8)Построение искомого графика функции по точкам


3)Осознание и осмысление


Задача 1. Исследовать функции и построить графики

hello_html_fb8af99.gif

  1. Рассмотрим сначала функцию

    • область определения – вся числовая прямая: D(y)=R

    • нули – точки, в которых значение функции равно нулю. Очевидно, что один корень x1=2. Разделим (например, уголком) кубическую форму в правой части функции на линейный множитель (x-2) для отыскания еще двух других корней. Получим

x3-6x+4=(x-2)(x2+2x-2)

Квадратичная форма x2+2x-2 (по теореме Виета или через дискриминант) имеет два корня x2=-1-√3, x3=-1+√3. Таким образом,

D0={-1-√3, -1+√3, 2}

  • Очевидно, что это функция общего вида, т.е. не обладает свойством четности

y(x) = y(-x)

или нечетности

y(x) = - y(-x)

  • Функция не является периодической, т.е. не найдется такого Т, что

y(x)=y(x+Т)

  • Особые точки: y(0)=4. Значит, график функции пересекает ось ординат в точке (0,4).

  • Вертикальных асимптот нет, так как функция не имеет точек существенного разрыва (разрыва второго рода) хотя бы с одним односторонним бесконечным пределом. Убедимся, что нет и наклонных асимптот. Действительно, угловой коэффициент асимптоты равен

hello_html_2be8440d.gif

  • Исследуем функцию на монотонность. Для этого вычислим критические точки первого рода, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует. Найдем производную

y=3x2-6

и приравняем нулю:

x2-2=0.

Критические точки: -√2, √2. Они делят область определения на три участка монотонности:

D=(-∞, -√2)U(-√2, √2)U(√2, ∞)


Исследуем направление монотонности с помощью таблицы

Итак, участки монотонности:

(-∞, -√2) – участок возрастания функции

(-√2, √2) – участок убывания функции

(√2, ∞) - участок возрастания функции

  • Из таблицы легко определить точки экстремума. А именно, x=-√2 – точка локального максимума функции, а x=√2 – точка локального минимума функции

  • Исследуем функцию на выпуклость. Для этого вычислим критические точки второго рода, т.е. точки, в которых производная второго порядка равна нулю или не существует. Найдем производную второго порядка

y’’=6x

Приравнивая нулю, получаем одну точку x=0. Она делит область определения функции на два участка:

D=(-∞, 0)U(0, ∞)

Исследуем направление выпуклости с помощью таблицы

Итак, участки выпуклости:

(-∞, 0) – участок выпуклости вверх

(0, ∞) - участок выпуклости вниз

  • Из таблицы легко определить точку перегиба. А именно, x=0 – точка перегиба функции

hello_html_a592273.gif

Задача 2 Рассмотрим теперь функцию hello_html_1df1be6.gif

  • область определения – все точки числовой прямой, за исключением точки x=0: D(y)=R\{0}

  • нули – точки, в которых значение функции равно нулю. Приравнивая нулю числитель, получаем

D0={-2, 2}

  • Очевидно, что это нечетная функция. В самом деле,

hello_html_m28663f2b.gif

Значит, график функции симметричен относительно начала координат.

  • Функция также не является периодической, т.е. не найдется такого Т, что

y(x)=y(x+Т)

  • Особые точки: x=0. Найдем односторонние пределы в этой точке:

hello_html_1c4ab0cb.gif

  • Полученные значения односторонних пределов позволяются сделать вывод, что функция имеет вертикальную асимптоту x=0. Убедимся, что функция имеет и наклонную асимптоту y=kx+b. Действительно,

hello_html_m3446f2a4.gif

Следовательно, y=-x+b. Найдем параметр b.

hello_html_d06a57d.gif

Итак, наклонная асимптота заданной функции такова: y=-x

  • Исследуем функцию на монотонность. Для этого вычислим критические точки первого рода. Найдем производную

hello_html_m69777e09.gif


Критическая точка: 0. Она не входит в область определения функции, но является граничной для нее. Область определения в этом случае естественным образом представляется объединением двух участков монотонности:

D=(-∞,0)U(0, ∞)

Исследуем направление монотонности с помощью таблицы

Итак, участки монотонности:

(-∞, 0) – участок убывания функции

(0, ∞) - участок убывания функции

  • Из таблицы видно, что экстремумов функция не имеет

  • Исследуем функцию на выпуклость. Для этого вычислим критические точки второго рода. Найдем производную второго порядка

hello_html_64269adc.gif


Критическая тока: x=0. Она делит область определения функции на те же два участка:

D=(-∞, 0)U(0, ∞)

Исследуем направление выпуклости с помощью таблицы

Итак, участки выпуклости:

(-∞, 0) – участок выпуклости вверх

(0, ∞) - участок выпуклости вниз

  • Точка x=0 не является точкой перегиба, так как она не входит в область определения функции и в ней не существует производная второго порядка.

Используя полученную информацию, построим график заданной функции


hello_html_m25fc8e1a.png



Задача 3 Найти наибольшее и наименьшее значение функцииhello_html_m4739e106.png на отрезке hello_html_63091a16.png .

Решение. Находим производную функции:

hello_html_me0cdf5a.png

Находим точки, в которых производная равна нулю:

hello_html_16742538.png

Из полученных значений нам надо оставить лишь те, которые принадлежат заданному промежутку hello_html_63091a16.png . Оба значения лежат в этом промежутке.

Находим значения функции в полученных стационарных точках из промежутка и на концах промежутка:

hello_html_m8545cef.png

Таким образом,

hello_html_480851d1.png

Ответ. hello_html_480851d1.png





Тема: «Неопределенный интеграл и методы интегрирования»


Цели:

Образовательная: Сформировать представления об интегральном исчислении, уяснить его суть. Выработать навыки нахождения неопределенного интеграла, умения пользоваться свойствами и методами интегрирования.

Развивающая: Развивать математически грамотную речь, внимание, сознательное восприятие учебного материала.

Воспитательная: Воспитывать познавательную активность, сообразительность и мышление, благодарность к достижению великих математиков в области интегрирования.

Мотивация:

Неопределённый интеграл имеет большое практическое  применение. С его помощью можно вычислить: путь, пройденный точкой, работу переменной силы, силу давления жидкости и газа, координаты центра тяжести, массу стержня.

        Таким образом, интеграл принадлежит к числу математических понятий, происхождение и развитие которых тесно связано с решением прикладных задач.

интегралы используются в физике для решения обратных задач ,по данной производной некоторой функции (скорости ее изменения) находят саму функцию.


I Повторение и актуализация


  1. Производные. Нахождение скоростей и ускорений по заданным уравнениям перемещений

  2. А возможно ли проделать обратную операцию?

3) Связаны ли между собой производные и интегралы



II Первичное усвоение


В физике часто приходится решать задачу обратную дифференцированию т. е. восстанавливать саму функцию

Действие посредством которого по некоторой функции производных находится сама функция, называется интегрированием.

Совокупность первообразных для функции F(x) или дифференциала F(x)dx называется

неопределенным интегралом.



Таблица неопределенных интегралов


Методы интегрирования

1.Непосредственное интегрирование

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы основных интегралов и свойств неопределенных интегралов называют непосредственным интегрированием.

2.Интегрироваание методом замены переменной

3.Интегрирование по частям hello_html_mdc3a463.gif

4.Интегрирование рациональных дробей


3)Осознание и осмысление


Задачи Найти интегралы:

1) hello_html_10da3d71.gif

2) hello_html_m57f5e68e.gif

3) hello_html_383588b4.gif

4) hello_html_42256fbc.gif

Сделаем замену переменной hello_html_m5142b7b0.gif тогда hello_html_m6674fea4.gif

hello_html_m5612226a.gif

5) hello_html_m94557f8.gif

Совершим замену переменной hello_html_75d92b6d.gif

hello_html_5feed5a2.gif

6) hello_html_me5d5fd8.gif

Применяя метод замены переменной

hello_html_4c046022.gifтогда hello_html_bdfceec.gif

hello_html_594027cc.gif

7) hello_html_m77476b0e.gif

Используя замену переменной hello_html_7b937f6.gif тогда hello_html_61a2b584.gif

hello_html_503dc7da.gif

8) hello_html_m64db62a4.gif

Произведем замену переменной hello_html_4bb41592.gif тогда hello_html_m38a1cd56.gif

hello_html_267fd604.gifhello_html_38f7287.gif

9) hello_html_11f889d.gif

Сделаем замену переменной hello_html_m50988225.gif тогда

hello_html_m7d6ee3cc.gif

hello_html_m42d34319.gif

10) hello_html_m6a45989a.gif

Произведем замену переменной hello_html_4527323e.gif тогда

hello_html_m4a3ea2ac.gif

hello_html_265e69d3.gif

11) hello_html_m4e4b3dac.gif

Совершим замену переменной hello_html_m1bec7885.gif тогда hello_html_391eb997.gif

hello_html_23a98a04.gif

12) hello_html_m22c7093f.gif

Применяя метод замены переменной hello_html_m3b6b30e5.gif тогда hello_html_176101e3.gif

hello_html_58622fbe.gif

13) hello_html_m60f300cc.gif

Используя замену переменной hello_html_m3b6b30e5.gif тогда hello_html_176101e3.gif

hello_html_m796198f0.gif

14) hello_html_21ca3248.gif

Сделаем замену переменной hello_html_4b4d9458.gif тогда hello_html_4bfba5aa.gif

hello_html_m2fcc0efc.gif

15) hello_html_5dfca87f.gif

Произведем замену переменной hello_html_m38291f4a.gif тогда hello_html_1edcf186.gif

hello_html_1850d03a.gif

16) hello_html_m5fed3362.gif

Совершим замену переменной hello_html_4664cfc1.gif тогда hello_html_ec305ea.gif

hello_html_m61f9cbd9.gif

17) hello_html_6a6bc94.gif

Применяя метод замены переменной hello_html_60fc5c4.gif тогда hello_html_437f9eaf.gif

hello_html_1de652ab.gif

18) hello_html_40042196.gif

Используя замену переменной hello_html_7e8b6d35.gif тогда hello_html_mbe5b513.gif

hello_html_m2819a625.gif

19) hello_html_m7a0e3843.gif

Сделаем замену переменной hello_html_m38291f4a.gif тогда hello_html_1edcf186.gif

hello_html_73642c45.gif

20) hello_html_m2b3d7dc9.gif

Произведем замену переменной hello_html_m1f667401.gif тогда hello_html_m3ec304d1.gif

hello_html_m145a3b33.gif

21) hello_html_m14df4928.gif

Применим формулу интегрирования по частям, полагая hello_html_m251ba51c.gif

Тогда hello_html_921bf1c.gif

Положим hello_html_mca8414a.gif и перейдем к непосредственному вычислению интеграла:

hello_html_m602a190d.gif

22) hello_html_m586c5838.gif

Выполним интегрирование по частям, полагая hello_html_dcc13cd.gif

Тогда hello_html_m325ab0ce.gif

Вычислим исходный интеграл

hello_html_m5a48a10a.gif

23) hello_html_m124ec1c5.gif

Применим формулу интегрирования по частям, полагая hello_html_mc70baeb.gif

Тогда hello_html_7c768532.gif.

hello_html_m6de28b85.gif

Интеграл hello_html_3f8db056.gif вычислим, применив еще раз формулу интегрирования по частям. Положим hello_html_654f2dc6.gif

Тогда hello_html_m2700e49f.gif.

hello_html_1e7d6dfe.gif

Исходный интеграл

hello_html_5eceba9c.gif

24) hello_html_m3075d149.gif

Применим формулу понижения степени hello_html_m32515e92.gif

hello_html_5bc9309e.gif

=hello_html_m7ec40123.gif

25) hello_html_m4aa1b1a3.gif

Сделаем замену переменной hello_html_54bddd2d.gif тогда hello_html_6fc391cc.gif

hello_html_m6074434c.gif

26) hello_html_40b0551e.gif

Сделаем замену переменной hello_html_m3097ca78.gif, тогда hello_html_m25ba2198.gif

hello_html_m2287194a.gif

27) hello_html_75ac986e.gif

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби

hello_html_m6283730d.gif

Умножим обе части равенства на hello_html_2863893c.gif. Имеем hello_html_m6714cb0f.gif

Пусть hello_html_2dadeae3.gif, тогда hello_html_m6b926cf8.gif. Пусть hello_html_184824af.gif тогда hello_html_3d961c7b.gif.

Следовательно,

hello_html_m6353d0.gif

28) hello_html_2beb69a2.gif

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

hello_html_b3fd9db.gif

Умножим обе части равенства на hello_html_m6bdd5d5d.gif, получим hello_html_a202dcb.gif.

Пусть hello_html_m13dd29f8.gif, тогда hello_html_9c12176.gif.

Для нахождения hello_html_703246fa.gif и hello_html_m573ac35.gif приравняем коэффициенты при степенях hello_html_m64ff92c5.gif и hello_html_46dff828.gif в обеих частях последнего равенства многочленов.

hello_html_521815f2.gif

Получаем hello_html_1f45b76a.gif

Исходный интеграл будет равен


hello_html_fb6b16e.gif+
hello_html_34597b66.gif








































Тема: «Определенный интеграл.Формула Ньютона-Лейбница»


Цели урока:

Образовательная: ознакомить с понятием интеграла и формулой Ньютона-Лейбница; закрепить понятие интеграла и знание формулы Ньютона-Лейбница;

Развивающая: научить применять формулу и понятие интеграла для решения примеров; научить вычислять определенный интеграл;

Воспитательная: способствовать развитию наблюдательности, развитию грамотной устной и письменной математической речи, умения анализировать, сравнивать, делать выводы; прививать интерес к математической науке, формировать умения обучающихся использовать изученный математический и гуманитарный материал в конкретных условиях и новых ситуациях.




Тема урока «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница». Мы познакомимся с понятием интеграла, научимся вычислять определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Сегодня мы работаем на уроке, а великий ученый Ж. Д’Аламбер подталкивает нас к изучению алгебры словами:

«Математика щедра. Она часто дает больше, чем у нее просят».

Д’Аламбер (а полностью его имя звучит так - Аламбер Жан Ле Рон Д' (D'Alembert)) был известным французским математиком, а так же механиком, философом, литератором. Он жил в 18 веке (1717 - 1783). В науке главным его трудом стала «Энциклопедия наук, искусств и ремёсел». В «Энциклопедии» Д’Аламбер поместил важные математические статьи: «Дифференциалы», «Уравнения», «Динамика» и «Геометрия», в которых подробно излагал свою точку зрения на актуальные проблемы науки.

Д’Аламберу принадлежат также работы по вопросам музыкальной теории и музыкальной эстетики: трактат «О свободе музыки», в котором подведены итоги т. н. войны буффонов – борьбы вокруг вопросов оперного искусства, и др.


I Повторение и актуализация


  1. таблица интегралов

  2. интегрирование

  3. методы интегрирования



II Первичное усвоение


При решении задач, если применяется интеграл вида


hello_html_6a21280b.gif..


он называется определенным

hello_html_2b929fe9.gifформула Ньютона-Лейбница


Определенный интеграл можно вычислять

1) методом замены переменной

2) по частямhello_html_488461aa.png



III Осознание и осмысление

Решение примеров

Вычислить определенные интегралы.

1) hello_html_6d36fd60.gif

2) hello_html_67f23d75.gif

3) hello_html_m20fa503e.gif

Применим формулу интегрирования по частям, полагая hello_html_2120617c.gif.

Тогда hello_html_6fb14927.gif.

hello_html_m7a935ce8.gif

4) hello_html_c979bca.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Сделаем замену переменной hello_html_m68f76bcb.gif то hello_html_m11a538ff.gifhello_html_m2cabd097.gif.

hello_html_m6109176a.gif.

.

.

5)Вычислить определенный интеграл
hello_html_45911e84.png

Решение:
hello_html_28137525.png

6)Вычислить определенный интеграл
hello_html_m478212f5.png

Решение:
hello_html_29cf7dea.png

hello_html_7ad57cd0.png

Замена переменной в интеграле

7)Вычислить определенный интеграл
hello_html_12581dfa.png

Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм:  hello_html_22c3b0f0.png. Но есть одна неувязочка, в табличном интеграле под корнем hello_html_6d01c425.png, а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.

Сначала готовим наш интеграл к замене:

hello_html_m2972882e.png

Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена: hello_html_m66eff682.png
Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо:
 hello_html_6bbe4644.png.
Выясняем, во что превратится оставшаяся часть
 hello_html_16bc812c.png подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал hello_html_m692c487e.png:

hello_html_m6d660639.png 

Находим новые переделы интегрирования.Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену hello_html_m66eff682.png и старые пределы интегрирования hello_html_m6a588ad0.png, hello_html_56743725.png.

Сначала подставляем в выражение замены hello_html_m66eff682.png нижний предел интегрирования, то есть, ноль:

hello_html_3ae5fe0.png

Потом подставляем в выражение замены hello_html_m66eff682.png верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:
hello_html_537a311b.png

Продолжаем решение.

hello_html_m29a1069b.png

8)Вычислить определенный интеграл (самостоятельно)
hello_html_4e011ac1.png
Проведем замену переменной: hello_html_25f2fe54.png,
Новые переделы интегрирования:
hello_html_15ea5d05.png
hello_html_m6249d9db.png

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

hello_html_488461aa.png

9)Вычислить определенный интегралhello_html_m7e945d4e.png

Интегрируем по частям:

hello_html_74d915ae.png

hello_html_m12f91ea0.png
Проверяем, правильно мы взяли интеграл

hello_html_m6c6df4d8.png

Применяем формулу Ньютона-Лейбница
hello_html_m769fb49f.png

10)Решить
hello_html_18be16e3.png
Замена: hello_html_78a1848b.png
Новые пределы интегрирования:
hello_html_5f6dd257.png
hello_html_970f273.png

11)Решить
hello_html_m42bc725c.png
Интегрируем по частям:
hello_html_bd2559b.png 
hello_html_5d8b84f7.png























Тема: «Формула Ньютона –Лейбница. Формула для определения площадей фигур, ограниченных линиями. Формулы для определения длины дуги и объема


Цель: довести до осознания и осмысления приемы нахождения площадей, объемов и длин дуг фигур

Мотивация: У людей часто возникают иллюзия, связанная с объемами, которую подметил еще Перельман в книге Занимательная геометрия. Посмотрите на плоскую фигуру в задаче – она вроде бы невелика по площади, а объем тела вращения составляет чуть более 50 кубических единиц, что кажется слишком большим. Кстати, среднестатистический человек за всю свою жизнь выпивает жидкость объемом с комнату площадью 18 квадратных метров, что, наоборот, кажется слишком маленьким объемом.



I Повторение и актуализация


  1. определенный интеграл

  2. как используя определенный интеграл вычислить S, V, L



II Первичное усвоение


1)А)Если функция hello_html_m724608d4.gif непрерывна и неотрицательна на отрезке hello_html_69c9b15c.gif, то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями hello_html_3b6a3701.gif, вычисляется по формуле hello_html_29ee81a9.gif


Б)Если hello_html_5fdcf496.gif и hello_html_4b80aea7.gif непрерывные на отрезке hello_html_69c9b15c.gif функции, причем hello_html_3b178142.gif на этом отрезке, то площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_m60f281e7.gif вычисляется по формулеhello_html_1acd649d.gif

2)Длина дуги гладкой (непрерывно дифференцируемой) кривой hello_html_m742ddba4.gif равна hello_html_516d3cc4.gif

3)А)Если объем тела существует и hello_html_m23c6b60b.gif есть площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox в точке x, то

hello_html_310adbda.gif

Б)) Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции

hello_html_2ecb1554.gif,

где hello_html_m34a546b7.gif - непрерывная функция, равен

hello_html_m692fa73c.gif

В)В более общем случае, объем кольца, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры hello_html_m7dbc029c.gif, где hello_html_m445e2b59.gif - непрерывные неотрицательные функции, равен

hello_html_m2265991a.gif

III Осознание и осмысление


1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

hello_html_2df5439b.gif


hello_html_189faa.gif



Построим заданную фигуру (рис.1) и вычислим

hello_html_46455ea4.gif.

2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_29d16203.gif.

Построим графики заданных функций (рис.2)


hello_html_m74303846.gif


Найдем точки пересечения графиков функций hello_html_62881305.gif и hello_html_2ea5e714.gif: hello_html_m45090d48.gif

hello_html_4605be45.gif

3) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_m4a5bb857.gif

hello_html_5006816e.gif

=hello_html_m2fc18838.gif

4) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной графиками функций hello_html_m6a8ce897.gif

Построим графики функций (рис.3)


hello_html_3827d08b.gif



hello_html_m473940b9.gif, hello_html_m50faf8ec.gif

hello_html_5a22362e.gif.

5) Вычислить площадь, ограниченную линиями:

hello_html_9669f8.gif

Представим на графике указанную площадь. Для этого вычертим параболу hello_html_m1e3119b7.gif и прямую hello_html_2b726f85.gif, а затем выделим фигуру, заключенную между этими геометрическими объектами. Вычисление площади этой фигуры с помощью определенного интеграла потребует знания пределов интегрирования. Это нижняя и верхняя границы проекции фигуры на ось абсцисс. Для нахождения таких границ приравняем правые части заданных уравнений: x2-x+3=7-x. Отсюда x2-4=0. Значит, x1=-2, x2=2.

hello_html_m62510aae.png

Площадь выделенного участка вычислим с помощью определенного интеграла:

hello_html_6f545f86.gif


6)Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями hello_html_1c8d971.png, hello_html_m3b4d3844.png вокруг оси  hello_html_6a0a66a6.png.

Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры.

hello_html_341b48d2.jpg

Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси hello_html_6a0a66a6.png. В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка, которая симметрична относительно оси hello_html_6a0a66a6.png.

Как вычислить объем тела вращения?

Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

hello_html_889543d.png

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:
hello_html_516c9a49.png
Ответ: hello_html_16aa9e90.png

7)Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси hello_html_6a0a66a6.png фигуры, ограниченной линиями hello_html_4b280099.png, hello_html_m3b4d3844.png, hello_html_mdc9b3aa.png

8)Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями hello_html_m7e43ff11.png, hello_html_5bc38235.png, hello_html_m6911b8cd.png и hello_html_m601cd538.png

Решение: Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями hello_html_m7e43ff11.png, hello_html_5bc38235.png, hello_html_m6911b8cd.png, hello_html_m601cd538.png, не забывая при этом, что уравнение hello_html_m6911b8cd.png задает ось hello_html_m5f6db67d.png:

hello_html_m628e51a3.jpg




Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси hello_html_6a0a66a6.png получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами.

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.

Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси hello_html_6a0a66a6.png получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через hello_html_37cc0106.png.

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси hello_html_6a0a66a6.png, то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через hello_html_71f19352.png.

И, очевидно, разность объемов hello_html_m18dfb17a.png – в точности объем нашего «бублика».

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения: 
hello_html_889543d.png

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой hello_html_5bc38235.png, поэтому:
hello_html_783a645.png

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой hello_html_m7e43ff11.png, поэтому:
hello_html_640b96e.png

3) Объем искомого тела вращения: hello_html_4efba172.png

Ответ: hello_html_41bcbf0c.png

9)Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси hello_html_6a0a66a6.png плоской фигуры, ограниченной линиями hello_html_m4406124.png, hello_html_m3d314c3c.png, где hello_html_63e938cc.png.

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что все дела происходят в полосе hello_html_63e938cc.png, иными словами, фактически даны готовые пределы интегрирования.  Правильно начертите графики тригонометрических функций, напомню материал урока

Вычисление объема тела, образованного вращением 
плоской фигуры вокруг оси hello_html_m5f6db67d.png

10)Дана плоская фигура, ограниченная линиями hello_html_1cc773cd.png, hello_html_b88bf82.png, hello_html_1cd1bd9f.png.

1) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.
2) Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси
 hello_html_m5f6db67d.png.

Решение: Задача состоит из двух частей. Начнем с площади.

1) Выполним чертёж:

hello_html_m7fa33777.jpg


Легко заметить, что функция hello_html_1cc773cd.png задает верхнюю ветку параболы, а функция hello_html_b88bf82.png – нижнюю ветку параболы. Перед нами тривиальная парабола, которая «лежит на боку».

Нужная фигура, площадь которой предстоит найти, заштрихована синим цветом.

Как найти площадь фигуры? Причем, площадь фигуры находится как сумма площадей:
– на отрезке
 hello_html_327c12ee.png hello_html_2f2d7e54.png;
– на отрезке
 hello_html_m6410d5dc.png hello_html_m30e0632a.png.

hello_html_5eeb4717.png

Есть более рациональный путь решения: он состоит в переходе к обратным функциям и интегрированию по оси hello_html_m5f6db67d.png.

Как перейти к обратным функциям? Грубо говоря, нужно выразить «икс» через «игрек». Сначала разберемся с параболой:
hello_html_417d958f.png

Этого достаточно, но убедимся, что такую же  функцию можно вывести из нижней ветки:
hello_html_4d54e40.png

Для самопроверки рекомендую устно или на черновике подставить координаты  2-3-х точек параболы в уравнение hello_html_m23d83921.png, они обязательно должны удовлетворять данному уравнению.

С прямой всё проще: hello_html_45bc1ce2.png

Теперь смотрим на ось hello_html_m5f6db67d.png: пожалуйста, периодически наклоняйте голову вправо на 90 градусов по ходу объяснений (это не прикол!). Нужная нам фигура лежит на отрезке hello_html_m2ee2f783.png, который обозначен красным пунктиром. При этом на отрезке hello_html_m2ee2f783.png прямая hello_html_m5fea97f8.png расположена выше параболы hello_html_14a05600.png, а значит, площадь фигуры следует найти по уже знакомой вам формуле: hello_html_35556567.png.

На отрезке hello_html_m2ee2f783.png hello_html_m494ce04a.png, поэтому:
hello_html_6407048b.png

Ответ: hello_html_6e9c5972.png






2) Вычислим объем тела, образованного вращением данной фигуры, вокруг оси hello_html_m5f6db67d.png.

Перерисую чертеж немного в другом оформлении:

hello_html_m578eaa4.jpg


Итак, фигура, заштрихованная синим цветом, вращается вокруг оси hello_html_m5f6db67d.png. В результате получается «зависшая бабочка», которая вертится вокруг своей оси.

Для нахождения объема тела вращения будем интегрировать по оси hello_html_m5f6db67d.png. Сначала нужно перейти к обратным функциям. Это уже сделано и подробно расписано в предыдущем пункте.

Теперь снова наклоняем голову вправо и изучаем нашу фигуру. Очевидно, что объем тела вращения, следует найти как разность объемов.

Вращаем фигуру, обведенную красным цветом, вокруг оси hello_html_m5f6db67d.png, в результате получается усеченный конус. Обозначим этот объем через hello_html_37cc0106.png.

Вращаем фигуру, обведенную зеленым цветом, вокруг оси hello_html_m5f6db67d.png и обозначаем через hello_html_71f19352.png объем полученного тела вращения.

Объем нашей бабочки равен разности объемов hello_html_m18dfb17a.png.

Используем  формулу для нахождения объема тела вращения: 
hello_html_m2551ffb7.png

hello_html_m79a94795.png

Ответ: hello_html_36cce364.pngОднако нехилая бабочка.

11)Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси hello_html_m5f6db67d.png фигуры, ограниченной кривыми hello_html_363c07c7.png и hello_html_6f4878b6.png.

Решение: Выполним чертеж:

hello_html_m3af3b6ac.jpg


Попутно знакомимся с графиками некоторых других функций. Такой вот интересный график чётной функции hello_html_363c07c7.png….

Для цели нахождения объема тела вращения достаточно использовать правую половину фигуры, которую я заштриховал синим цветом. Обе функции являются четными, их графики симметричны относительно оси hello_html_m5f6db67d.png, симметрична и наша фигура. Таким образом, заштрихованная правая часть, вращаясь вокруг оси hello_html_m5f6db67d.png, непременно совпадёт с левой нештрихованной частью.

Перейдем к обратным функциям, то есть, выразим «иксы» через «игреки»:
hello_html_m205df730.png
Обратите внимание, что правой ветке параболы
 hello_html_6f4878b6.png соответствует обратная функция hello_html_4dafcbb2.png. Левой неиспользуемой ветке параболы соответствует обратная функция  hello_html_3037da7e.png. В таких случаях нередко возникают сомнения, какую же функцию выбрать? Сомнения легко, развеиваются, возьмите любую точку правой ветки и подставьте ее координаты в функцию hello_html_4dafcbb2.png. Координаты подошли, значит, функция hello_html_4dafcbb2.png задает именно правую ветку, а не левую.

К слову, та же история и с функций hello_html_m24322901.png. Чайнику, не всегда бывает сразу понятно, какую обратную функцию выбрать: hello_html_5d6bff33.png или hello_html_65913678.png. В действительности я и сам всегда страхуюсь, подставляя в найденную обратную функцию пару точек графика.

Теперь наклоняем голову вправо и замечаем следующую вещь:

на отрезке hello_html_327c12ee.png над осью hello_html_m5f6db67d.png расположен график функции hello_html_4dafcbb2.png;
– на отрезке
 hello_html_4f7a5237.png над осью hello_html_m5f6db67d.png расположен график функции hello_html_5d6bff33.png;

Логично предположить, что объем тела вращения нужно искать уже как сумму объемов тел вращений!

Используем формулу:
hello_html_m2551ffb7.png

В данном случае:
hello_html_14bbee83.png

Ответ: hello_html_m7ad3da1c.png


Пример 2:  Выполним чертеж:
hello_html_m2ea7367b.png
Объем тела вращения:
hello_html_m2a18d2bb.png
Ответ: hello_html_18b6bf3c.png

Пример 4:  Выполним чертеж:
hello_html_m748a06da.png
Объем тела вращения вычислим как разность объемов при помощи формулы:
hello_html_28c922e4.png
В данном случае:
hello_html_51a7496d.png
Ответ: hello_html_17e910b8.png


Пример 6: 
1) Выполним чертёж:
hello_html_7b319ca8.jpg
Перейдем к обратной функции:
hello_html_71b22141.png
На отрезке hello_html_m7ab9db2a.png hello_html_m70be6b1.png, поэтому:
hello_html_m17609bb9.png
Ответ: hello_html_487e7343.png

2) Вычислим объем тела, образованного вращением данной фигуры, вокруг оси hello_html_m5f6db67d.png.
Объем тела вращения найдем как разность объемов тел вращения при помощи формулы hello_html_m2551ffb7.png:
hello_html_m16dac4c5.png
Ответ: hello_html_m228bb4d.png







Тема : «Дифференциальные уравнения»


Цель: довести до осознания и осмысления решение дифференциальных уравнений

Мотивация: Используются в теоретической механике, во всех разделах физики и техники


I Повторение и актуализация


1) что такое дифференциальные уравнения

Что значит решить дифференциальное уравнение

2) Какие бывают дифференциальные уравнения



II Первичное усвоение


Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные или дифференциалы этих функций


Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция

y = f (x) которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.


Общим решением дифференциального уравнения 1 порядка y\ = f (x, y) в области D называется функция y = φ(x, c) ,обладающая следующими свойствами:

  1. является решением при всех действительных значениях С

  2. для любого начального условия y0) = y0. Такого , что (х0 у0) принадлежащего D существует единственное значение С = С0 ,при котором у = φ (x, C0) удовлетворяет заданному начальному условию


Всякое решение у = φ (x, C0) получающееся из общего у = φ(x, C) при конкретном С = С0 называется частным решением.


Задача в которой требуется найти частное решение у\ = f (x, y), удовлетворяющее начальному условию y (x0) = y0 называется задачей Коши

1)Уравнения с разделяющимися переменными

2)Однородные обыкновенные дифференциальные уравнения 1 порядка

3)Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 1 порядка

4)Уравнения Бернулли

5) Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2 порядка


III Осознание и осмысление

Пример 1:  Найдем общее решение. Разделяем переменные:
hello_html_m692921b1.png
hello_html_m680aa1c5.png
Интегрируем:
hello_html_m423803c5.png
hello_html_1fc5b477.png
hello_html_6e305e99.png
Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:
hello_html_m2a359118.png
hello_html_m14f96ba1.png

hello_html_188a1c2d.png
Выражаем функцию в явном виде, используя hello_html_m27a503e9.png.
Общее решение: hello_html_m304373c3.png

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию hello_html_67a036ed.png.
Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»:
hello_html_m7716c4d5.png.
Способ второй:
hello_html_198355c4.png
Подставляем найденное значение константы hello_html_7451b0b2.png в общее решение.
Ответ: частное решение: hello_html_2385aff.png

Проверка: Проверяем, действительно ли выполняется начальное условие:
hello_html_2f8f038b.png, да, начальное условие hello_html_67a036ed.png выполнено.
Проверяем, удовлетворяет ли вообще частное решение hello_html_2385aff.png дифференциальному уравнению. Сначала находим производную:
hello_html_7192b610.pngПодставим полученное частное решение hello_html_794b5e9d.png и найденную производную hello_html_m7502e915.png в исходное уравнение hello_html_25827739.png:
hello_html_m1bbf0607.png
Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Пример 2:  Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
hello_html_38582681.png
hello_html_a3cd8c8.png
hello_html_m71511a1e.png
hello_html_5f9533f7.png
Ответ: общий интеграл: hello_html_m39918b9e.png

Примечание: тут можно получить и общее решение:
hello_html_m3cf9a4d2.png


Пример 3:  Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
 hello_html_m1bd0f84b.png
hello_html_5f6325e8.png
hello_html_5f65af66.png
Интегрируем:
hello_html_m8249e5d.png
hello_html_m36231e5.png
Общий интеграл: hello_html_m23464cda.png
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию hello_html_5605e593.png. Подставляем в общее решение hello_html_m3d716516.png и hello_html_m3b4d3844.png:
hello_html_m4be8d821.png
Ответ: Частный интеграл: hello_html_73e3948e.png


Пример 4:  Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
hello_html_m741c16bb.png
Левую часть интегрируем по частям:
hello_html_154eaead.png 
В интеграле правой части проведем замену:
hello_html_3d324b85.png
Таким образом:
hello_html_31a04f75.png
hello_html_m270cd9ed.png
(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов, но она настолько простая, что подбор коэффициентов можно выполнить и устно)
hello_html_16069555.png
Обратная замена: hello_html_1d7f0cb7.png
hello_html_m4ff33846.png
hello_html_m25597fb6.png
hello_html_m6cefde26.png
Ответ: общий интеграл: hello_html_7ded9bc7.png

Пример 5:  Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
hello_html_7c559843.png
hello_html_348296f1.png
hello_html_eecee89.png
hello_html_mb2e89f6.png
hello_html_358c0f59.png
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
hello_html_6f292ce2.png
hello_html_d3beb48.png
hello_html_m2f4ece5e.png
Примечание: Интеграл hello_html_381f452d.png можно было также найти методом выделения полного квадрата.
hello_html_9f60441.png
hello_html_m35da0ec6.png
hello_html_m6afc19e8.png
hello_html_m51848ac0.png
hello_html_353d5545.png
Ответ: общее решение: hello_html_m243ab9e9.png Пример 1

Пример 6 Решить дифференциальное уравнение hello_html_22e88b7e.png

hello_html_mbc0a423.png

hello_html_m23ced6c4.png

hello_html_3ca75c56.png

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:
hello_html_513617b.png
То есть,
 вместо записи hello_html_513617b.png обычно пишут hello_html_39653ecf.png.

hello_html_m24703e61.png

Теперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать с обеих частей:
hello_html_1b152f46.png Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Множество функций hello_html_6b9a26dd.png является общим решением дифференциального уравнения hello_html_22e88b7e.png.

Придавая константе hello_html_40ce398e.png различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Любая из функций hello_html_3ae17c09.png, hello_html_m5def7997.png, hello_html_40e1540d.png и т.д. будет удовлетворять дифференциальному уравнению hello_html_22e88b7e.png. hello_html_m63921506.png

Подставляем наше решениеhello_html_1b152f46.png и найденную производную hello_html_m1985b44b.png в исходное уравнение hello_html_22e88b7e.png:
hello_html_m545fae36.png
hello_html_3008ed5.png – получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Иными словами, общее решение hello_html_1b152f46.png удовлетворяет уравнению hello_html_22e88b7e.png.

Пример 7 Найти частное решение дифференциального уравнения hello_html_m751295db.png, удовлетворяющее начальному условию hello_html_2cce728e.png

По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.Переписываем производную в нужном виде:
hello_html_1d67bc3.png

hello_html_m4de7758a.png

Интегрируем уравнение:
hello_html_50a7932e.png
hello_html_27a7c625.png
hello_html_5c3964b3.pngили hello_html_2a8314df.png

Итак, общее решение: hello_html_mbdb3237.png.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию hello_html_2cce728e.png. Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:
hello_html_m1cf44ee3.png
hello_html_m98c72e8.png
hello_html_7beca670.png
То есть,
 hello_html_m3d717cac.png

Стандартная версия оформления:
hello_html_mb89e930.png

В общее решение hello_html_5b9744ef.png подставляем найденное значение константы hello_html_m3d717cac.png:
hello_html_f57a9cd.png – это и есть нужное нам частное решение.

hello_html_m3c370763.png – да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.

Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение hello_html_f57a9cd.png и находим производную:
hello_html_m69a67e04.png

Подставляем hello_html_731d5c41.png и hello_html_m364f4398.png в исходное уравнение hello_html_m751295db.png:

hello_html_m1141de1b.png
hello_html_mb303ef2.png – получено верное равенство.

Вывод: частное решение найдено правильно.

Пример 8 Решить дифференциальное уравнение hello_html_50c14147.png

hello_html_m383dca63.png

hello_html_f5794af.png

hello_html_m76ba0d22.png

hello_html_m6823c957.png

 hello_html_22e81db7.png
hello_html_397171e5.png
hello_html_m6cfbffda.png

Решение распишу очень подробно:
hello_html_m1d87c32d.png
hello_html_770c229.png
hello_html_7e61452c.png

Упаковка завершена, убираем логарифмы:
hello_html_522bfbfc.pngОтвет: общий интеграл: hello_html_33478784.png

Дифференцируем ответ:
hello_html_5ed5cbd3.png

Умножаем оба слагаемых на hello_html_m1f2219f3.png:
hello_html_m4fee2b8a.png

И делим на hello_html_1a681bed.png:
hello_html_38aea3d3.png

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение hello_html_50c14147.png, значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 9 Найти частное решение дифференциального уравнения hello_html_m5008bfd4.png, удовлетворяющее начальному условию hello_html_m31ba6a4c.png. Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы hello_html_m698e9b6f.png и hello_html_m75812b69.png, а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:
hello_html_644f45df.png

Интегрируем уравнение:
hello_html_m6ddc0329.png


hello_html_34e1c8ce.png
hello_html_m6b94ae56.png

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы:
hello_html_m7a065152.png

(Надеюсь, всем понятно преобразование hello_html_m3148c217.png, такие вещи надо бы уже знать)

Итак, общее решение:
hello_html_m75c31c4.png

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию hello_html_m31ba6a4c.png. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:
hello_html_413a5c98.png

Более привычное оформление: hello_html_19d4a3af.png

Подставляем найденное значение константы hello_html_7451b0b2.png в общее решение.

Ответ: частное решение: hello_html_6b6d8830.png

Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие hello_html_m31ba6a4c.png:
hello_html_m6e66277a.png – всё гуд.

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение hello_html_6b6d8830.png дифференциальному уравнению. Находим производную:
hello_html_4dd57488.png

Смотрим на исходное уравнение: hello_html_m5008bfd4.png – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной  выразить дифференциал hello_html_m698e9b6f.png:
hello_html_3f7d39fb.png
Подставим найденное частное решение
 hello_html_6b6d8830.png и полученный дифференциал hello_html_64e28d6a.png в исходное уравнение hello_html_m5008bfd4.png: 
hello_html_m4b9613.png
Используем основное логарифмическое тождество
 hello_html_4d4e02a8.png:
hello_html_5f157de.png
Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения hello_html_m5008bfd4.png выразим производную, для этого разделим все штуки на hello_html_m75812b69.png:
hello_html_75174eb3.png

И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение hello_html_6b6d8830.png и найденную производную hello_html_26e7c8a8.png. В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.

Пример 10 Решить дифференциальное уравнение hello_html_m5cbb45ef.png. Выполнить проверку.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
hello_html_m1d4cc7fc.png

Интегрируем:
hello_html_53174c56.png
Константу
 hello_html_40ce398e.png тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.

Ответ: общий интеграл: hello_html_m4a2b091.png

Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию):
hello_html_m5024851b.png
Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на
 hello_html_2793178d.png:
hello_html_m32457512.png
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 11 Найти частное решение ДУ.(Самостоятельно)
hello_html_12718db2.png hello_html_5605e593.png

Пример 12 Решить дифференциальное уравнение hello_html_7fdec4e2.png. Ответ представить в виде общего интеграла hello_html_m59905b78.png.

Пример 13 Найти частное решение дифференциального уравнения hello_html_25827739.png, удовлетворяющее начальному условию hello_html_67a036ed.png. Выполнить проверку.



Тема : Комплексные числа

Цели:

Образовательные:

ввести понятие комплексных чисел, обучить математическим приемам и действиям над комплексными числами, научить записывать комплексные числа в алгебраической, показательной и тригонометрической формах

Воспитательные: способствовать формированию познавательного интереса к обучению, научного мировоззрения; создать условия для проявления самостоятельности, настойчивости.

Развивающие: способствовать развитию исследовательских способностей, умения видеть проблему, анализировать ситуацию, находить пути решения проблемы; способствовать развитию коммуникативных способностей, навыков взаимодействия; способствовать развитию активности, инициативности

Мотивация :Без чисел невозможна наша жизнь. Число-основное понятие математики, результат различного рода измерений, количество предметов


1Повторение и актуализация

1.Какие числа вы знаете и как они связаны друг с другом?

2.Доводилось ли вам слышать про мнимые изображения в физике, про мнимые числа?

3.Что же из себя представляют комплексные числа, ответим изучив тему


2.Первичное усвоение

hello_html_4cefca26.jpg

Натуральные N (целые положительные, не включая 0)

Целые Z (0 и отрицательные числа)

Поле целых чисел Z = N + Z

Рациональные Q (дробные)

Иррациональные I (число Архимеда π; число Непера е)

Действительные числа R = Q+ I

Мнимые числа М = n i(n-действительное число, i=√-1, i2= -1)

Комплексные числа К= m+n i


В алгебре комплексные числа получаются при решении квадратных уравнений. Комплексные числа

К1= m+n i К2= m-n i называются сопряженными.


Формы комплексных чисел

1.алгебраическая К= m+n i

2.тригонометрическая К= R(cos φ + i sin φ), R=√ m2+n2 ,sin φ= n/R, cos φ=m/R

3.показательная К= Re


Действия над комплексными числами

1.сложение

2.вычитание

3.умножение

4.деление

5.возведение в степень

6.извлечение из корня


3.Осознание и осмысление


    1. Кто ввел в математику комплексные числа? (Гаусс).

    2. 2Чему равен квадрат мнимой единицы?

    3. Можем ли мы любое действительное число назвать мнимым? Как это представить?


4 Решите уравнение x2 – 4x + 5 = 0.

Решение. D = – 4 < 0, hello_html_53e241a0.gifуравнение имеет мнимые корни:   2+i, 2-i

5. Решите уравнение x2 – 4x + 13 = 0.

Решение. D = – 36 < 0, hello_html_7ee8a881.gifуравнение имеет мнимые корни:   2+3i, 2-3i


6.Сложить комплексные числа, вычесть, умножить, разделить, изобразить на плоскости

К1 = 5 + 5i К2= - 2 – 2i

7 . Изобразить на плоскости, и записать в тригонометрической и показательной формах

К1 = -3 + 4i К2= 23i

8.Возвести в степень (в квадрат и в куб)

К1 = -7 + 5i

8.Извлечь из корня квадратного

К2= 62i


57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 01.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров11
Номер материала ДБ-309152
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх