Поурочные планы по элементам высшей математики

Элементы линейной алгебры

Тема: «Матрицы и действия над ними»

Цель: Довести до осознания и осмысления понятие матрицы, свойства матрицы.

Мотивация: матрицы - другими словами - это таблицы, таблицы используют везде, на всех уроках (таблицы сравнения, классификации, исторических дат и т д)

I Повторение и актуализация

1) Натуральные, рациональные, иррациональные числа

2) Рациональные + иррациональные = действ. числа

3) действия над действительными числами

+ =

вычитание, умножение, деление ,возведение в степень, вынос из подкоренного выражения

II Первичное усвоение

Матрица — это таблица прямоугольной формы, заполненная числами или символами, их обозначающими.Обозначают их большими латинскими буквами, а саму таблицу заключают в скобки круглые или квадратные

E = 1 0 D = 1 2 3

0 2 4 5 6

Числа и символы называются элементами матрицы, множество элементов расположенных в одной строке называют строкой матрицы, а в одном столбце — столбцом матрицы.

Если m – строк, и n – столбцов — матрица прямоугольная, если m=n — квадратная.

a₁₁ a₁₂ a₁₃

A = a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃

где а_ij, i – номер строки; j- номер столбца

Матрицы А и В равны если они имеют одинаковые размеры и элементы, стоящие на одинаковых местах равны между собой

1)С = A + B – сложение матрицы

2)λА — произведение матрицы

3)умножение матрицы АВ

Если матрица квадратная, то с ней можно связать число называемое определителем матрицы

|А| или детерминантом матрицы det (A)

Переход матрицы А к матрице А^Tназывается транспонированием.

А = 0 -2 В = 0 3

3 1 -2 1

При транспонировании строки матрицы А становятся столбцами А^Т, а столбцы строками.

А = 3 8 7 А^Т= 3 -1 0

-1 2 1 8 2 4

0 4 5 7 1 5

Определитель при транспонировании не меняется |A| = |A^T|

1) Если в матрице определителя содержится две одинаковые строки, то |A| = 0 (или одинаковые столбцы)

2) Если в матрице содержится строка или столбец состоящий из нулей, то определитель |A| = 0

3) Если в матрице содержатся две пропорциональные строки или два таких же столбца, то |A| = 0

4) Матрица А^-1 называется обратной по отношению к А, если выполняются равенства

А^-1 А = А А^-1 = Е, Е — единичная матрица

Е = 1 0 0

0 1 0

0 0 1

обратная матрица единственна

А = 2 1 -3

1 -2 2

1 1 3

III Осознание и осмысление

Прорешиваем номера на стр. 51 (№ 1, 2, 3, 5)

Д/з стр. 51 № 5

Пример №1

Дана матрица размером 2х2;

Что бы вычислить определитель матрицы 2х2 нужно из произведения элементов главной диагонали, вычесть произведение элементов побочной диагонали;

Ответ: -6

Пример №2

Дана матрица размером 3х3;

Что бы вычислить определитель матрицы 3х3 нужно воспользоваться формулой;

Подставляем наши значения в формулу;

Ответ: -642

Пример 3. Вычислить 3А+2В, если

, .

Решение. Вычислим , . Тогда .

Тема: «Правило Крамера»

Цель: Довести до осознания и осмысления правило Крамера при решении систем уравнений

Мотивация: как решить систему 3линейных уравнений с 3 неизвестными,можно решить не просто обычным математическим образом, но и с помощью формул

I Повторение и актуализация

1) что такое матрица

2) какие бывают матрицы

3) как найти определитель матрицы

4) действия над матрицами

5) как решить систему n уравнений с m неизвестными? m = n

II первичное усвоение

Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений

(1)

Система трех уравнений может быть решена по правилу Крамера, рассмотренному выше для системы двух уравнений.

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных

Назовем его определителем системы. Если D≠0, то система совместна. Далее составим три вспомогательных определителя:

,,.

Решение системы (1) находим по формулам:

,,, (2)

которые называют формулами Крамера.

III Осознание и осмысление

Решение примеров на стр 52

Д/з № 6 стр 52

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Вычислим определитель системы.

Система совместна, так как D≠0.

Вычислим теперь вспомогательные определители:

, ,.

Тогда , , .

Пример 2. Найти матрицу, обратную к матрице .

Решение. Вычислим

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А:

, ,

Имеем .

Пример №3

Дана матрица размером 4х4;

Решим пример первым способом (по определению - через разложение по строке или столбцу)

Чтобы вычислить определитель матрицы, нужно воспользоваться следующей формулой, в ней рассмотрен пример разложения матрицы по первой строке;

1. Выбираем строку или столбец (любую), лучше всего выбирать строку или столбец, где больше нулей, для удобства вычисления;

В данном случае мы выбираем третью строку, так как в ней присутствует ноль;

2. Берём первый элемент этой строки (2);

Теперь вычёркиваем третью строку и первый столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Согласно формуле, мы умножаем выбранный нами элемент на определитель получившейся матрицы;

3. Далее делаем всё тоже самое, что и в шаге два, только берём второй элемент данной строки (0) и вычёркиваем третью строку и второй столбец;

Так как этот элемент равен нулю, то ни чего не нужно считать и так всё ясно;

4. Теперь берём третий элемент строки (6) и вычёркиваем третью строку и третий столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный нами элемент (6)

5. Берём четвёртый элемент строки (-3) и вычёркиваем третью строку и четвёртый столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный нами элемент (-3)

6. Чтобы вычислить определитель исходной матрицы, нужно сложить полученные результаты;

Ответ: -1926

Тема «Метод Гаусса и решение систем линейных уравнений»

Цель: довести до осознания и осмысления метод Гаусса при решении систем уравнений

Мотивация: как решить систему 3 линейных уравнений с 4 неизвестными, можно решить

математическим методом

I Повторение и актуализация

1) Система уравнений. Метод Крамера

2) Как решать уравнения, если число уравнений не равно числу неизвестных

II Первичное усвоение

3x₁ – 5x₂ – x₃ – 2x₄ = 0

8x₁ – 6x₂ + 3x₃ – 7x₄ = 0

2x₁ + 4x₂ + 5x₃ – 3x₄ = 0

Надо преобразовать эту систему, при преобразовании преобразованная система оказывается эквивалентной исходной и определяется х₁ х₂ х₃ х₄

III Осознание и осмысление

Решаем №7 стр 52

Д/з повторить

1)Решим систему уравнений(система имеет одно решение)

x₁

x₂

x₃

x₁

x₂

x₃

x₁

x₃

Прямой ход.

 Исключим переменную x₁ из всех уравнений, за исключением первого.

Поменяем местами уравнения 1 и 3 (порядок уравнений в системе не имеет значения).

x₁

x₃

x₁

x₂

x₃

x₁

x₂

x₃

Из уравнения 2 вычитаем уравнение 1, умноженное на 3.

	x₁			+		x₃	=		3
			x₂	-	5	x₃	=	-	6
2	x₁	+	x₂		-	x₃	=		2

Из уравнения 3 вычитаем уравнение 1, умноженное на 2.

x₁		+		x₃	=		3
	x₂	-	5	x₃	=	-	6
	x₂	-	3	x₃	=	-	4

 Исключим переменную x₂ из последнего уравнения.

Из уравнения 3 вычитаем уравнение 2.

x₁		+		x₃	=		3
	x₂	-	5	x₃	=	-	6
			2	x₃	=		2

Обратный ход.

 Рассмотрим уравнение 3 последней получившейся системы.

x₃

 Рассмотрим уравнение 2 последней получившейся системы.

x₂

x₃

Из данного уравнения найдем значение переменной x₂.

x₂

x₃

Подставим, ранее найденное, значение переменной x₃.

x₂

5 *

x₂

 Рассмотрим уравнение 1 последней получившейся системы.

x₁

x₃

Из данного уравнения найдем значение переменной x₁.

x₁

x₃

Подставим, ранее найденное, значение переменной x₃.

x₁

Ответ :

x₁

x₂

x₃

2)Решим систему уравнений (система не имеет решения)

x₁

x₂

x₃

x₁

x₂

x₃

x₂

x₃

Прямой ход.

 Исключим переменную x₁ из всех уравнений, за исключением первого.

К уравнению 2 прибавим уравнение 1.

x₁

x₂

x₃

x₂

x₃

x₂

x₃

 Исключим переменную x₂ из последнего уравнения.

Из уравнения 3 вычитаем уравнение 2.

x₁	+	2	x₂		-	x₃	=		6
		4	x₂	+		x₃	=		11
						0	=	-	1

Последнее уравнение системы не имеет решения, т.е. наша система не имеет решения.

3)Решим систему уравнений(система имеет множество решений)

	x₁	+	2	x₂	+	2	x₃	=		4
2	x₁		-	x₂	+	3	x₃	=		1
3	x₁	-	4	x₂	+	4	x₃	=	-	2

Прямой ход.

 Исключим переменную x₁ из всех уравнений, за исключением первого.

Из уравнения 2 вычитаем уравнение 1, умноженное на 2.

	x₁	+	2	x₂	+	2	x₃	=		4
		-	5	x₂		-	x₃	=	-	7
3	x₁	-	4	x₂	+	4	x₃	=	-	2

Из уравнения 3 вычитаем уравнение 1, умноженное на 3.

x₁	+	2	x₂	+	2	x₃	=		4
	-	5	x₂		-	x₃	=	-	7
	-	10	x₂	-	2	x₃	=	-	14

 Исключим переменную x₂ из последнего уравнения.

Из уравнения 3 вычитаем уравнение 2, умноженное на 2.

			x₁	+	2	x₂	+	2	x₃	=		4
				-	5	x₂		-	x₃	=	-	7

Обратный ход.

 Рассмотрим уравнение 2 последней получившейся системы.

x₂

x₃

Из данного уравнения найдем значение переменной x₂.

x₂

x₃

x₂

1/5

x₃

7/5

 Рассмотрим уравнение 1 последней получившейся системы.

x₁

x₂

x₃

Из данного уравнения найдем значение переменной x₁.

x₁

x₂

x₃

Подставим, ранее найденное, значение переменной x₂.

x₁

2 * (

1/5

x₃

7/5

)

x₃

x₁

8/5

x₃

6/5

Ответ :

x₁

8/5

x₃

6/5

x₂

1/5

x₃

7/5

x₃ - свободная переменная

Выбрав для свободной переменной произвольное значение, Вы можете получить частное решение данной системы.

Как Вы понимаете, в данном случае, система имеет бесконечное множество решений.

Запишем ответ в десятичных дробях.

x₁

1.6

x₃

1.2

x₂

0.2

x₃

1.4

Пример №4

Дана матрица размером 4х4;

1. По методу Гаусса - приведение матрицы к треугольному виду (этот способ лучше использовать для решения матриц, размером 4х4 и более).

Опишем решение примера вторым способом (по методу Гаусса - приведение матрицы к треугольному виду)

Суть способа заключается в том, чтобы перед вычислением определителя, привести матрицу к треугольному виду. Если в ходе приведения матрицы к треугольному виду вы умножаете (делите) строку на число, то на это же число нужно будет умножить (разделить) полученный в конце определитель;

Итак, мы привили матрицу к треугольному виду;

Теперь чтобы вычислить определитель приведённой матрицы, нужно перемножить все элементы, стоящие на главной диагонали;

Ответ: -1926

Тема: «Пределы и их свойства»

Цель: Довести до осознания и осмысления вычисление пределов, понятие пределов

Мотивация: пределы функций используются в геометрии, математике, физике

I Повторение и актуализация

1) решение систем уравнения методом Гаусса

2) Что такое функция, какие функции вы знаете, свойства функций

3) А что такое предел функции

II Первичное усвоение

Число А называется пределом функции f(x) при х –> а, если из условия лимит при х стремящимся к бесконечности x_n = a (x_n ≠ a) всегда следует равенство

limf (xn) = A

х –> а

Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если $\forall \epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ , такое что $\forall x, 0 < |x-a| <\delta$ выполняется $|f(x) - b| < \epsilon$ .

Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например, $\lim_{x\to x_0} (f(x)+ g(x))= \lim_{x\to x_0} f(x)+ \lim_{x\to x_0} g(x)$ , если все члены существуют.

Основные свойства пределов

Свойства:

· Если предел последовательности существует, то он единственный.

· $\lim c = c$

· $\lim (x_n + y_n) = \lim x_n + \lim y_n$ (если оба предела существуют)

· $\lim (q x_n) = q \lim x_n$

· $\lim (x_n y_n) = \lim x_n \lim y_n$ (если оба предела существуют)

· $\lim (x_n / y_n) = \lim x_n / \lim y_n$ (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)

Показываю и рассказываю как решать различные пределы

1)Как решаются пределы, стремящиеся к бесконечности

2)Пределы, решающиеся посредством нахождения дискриминанта

3)1замечательный предел, следствия из него

4)2замечательный предел

Лимит при х стремящимся к бесконечности (1+ )^x= e

5)Следствие из 2 замечательного предела

Лимит при х стремящимся к бесконечности (1+ ) = e^k

6) пределы содержащие иррациональные выражения

7)Со 2 знаменательного предела можно получить еще одно следствие.

Лимит при х стремящимся к бесконечности (1+ )^x= e

представим у= тогда х = ; при х = ∞ y –> 0, тогда

Lim(1+y)^1/y= e

у –> 0

8)Правило Лопиталя

III Осознание и осмысление

Задача 1. Найти пределы функций:

1) Сначала подставим предельную точку x=2: числитель и знаменатель дроби равны нулю. Значит, мы имеем неопределенность первого типа . По теореме Виета или через дискриминант найдем корни квадратичной формы в числителе и разложим ее на линейные множители:

x²-x-2=(x-2)(x+1)

Теперь предел можно записать так:

2) Воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых, а именно,

sin2x~2x

(Это следствие из первого замечательного предела)

Решим эту же задачу по правилу Лопиталя. Напомним, что по этому правилу отношение дифференцируемых бесконечно малых можно заменить отношением их производных. Тогда

3) Сделаем следующие преобразования:

Обозначим v=x/4 и снова воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых, а именно,

(Это второй замечательный предел).

4) Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на

Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.

5)       Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим  в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности  делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

6) Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

7) Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

В данном случае получена так называемая неопределенность .

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.

Итак, решаем наш предел

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .

В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

Далее находим корни:

Таким образом:

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим числитель на множители.

8) Вычислить предел

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:
Знаменатель:

,

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно. Продолжаем рассматривать неопределенность вида

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

9) Найти предел

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов:
И смотрим на наш предел:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

10) Найти предел

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Разложим числитель на множители:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Тема: «Производная..Применение производной к исследованию функций»

Цели урока:

общеобразовательные:

1) закрепить и углубить знания обучающихся о производной и её приложении

к исследованию функций;

2) показать широкий спектр применения производной;

3) формировать умения по применению знаний и способов действий в

изменённых и новых учебных ситуациях;

развивающие:

1)развитие подсознательной активности обучающихся ;

2)формирование учебно – познавательных действий по работе с дополнительной литературой;

3)углубление знаний обучающихся о моделировании процессов действительности с помощью аппарата производной.

воспитательные:

1)формирование у обучающихся понятий о научной организации труда;

2)формирование умений по рецензированию собственных ответов и ответов товарищей.

Мотивация : Исторически понятие производной возникло из практики. Скорость неравномерного движения, плотность неоднородной материальной линии, а также тангенс угла наклона касательной к кривой и другие величины явились прообразом понятия производной. Возникнув из практики, понятие производной получило обобщаемый, абстрактный смысл, что ещё более усилило его прикладное значение. Создание дифференциального исчисления чрезвычайно расширило возможности применения математических методов в естествознании и технике.

1Повторение и актуализация

Давайте вспомним и повторим с вами «Производные и таблицу производных»

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю

Y ^/ = f ^/ (x) = Лим

Δx –> 0

Дифференциалом функции у = f(x) называется главная линейная часть приращения функции f ^/(x) Δx, которая отличается от приращения Δy на бесконечно малую величину αΔx более высокого порядка малости, чем Δx, и обозначается dy.

dy = f ^/(x) Δx

Таблица производных

(С) ^/	0
(х) ^/	1
(Сх) ^/	С
(Х ⁿ) ^/	nx ^n-1
(Sin x) ^/	Cos x
(Cos x) ^/	-Sin x
(e^x) ^/	e^x
(a^x) ^/	a^xln a
(ln x) ^/	1 / x
(log_a x) ^/	1 / x ln a
(Sin (kx+b)) ^/	k cos (kx+b)
(cos (kx+b)) ^/	-k sin(kx+b)
(tg x) ^/	1 / cos²x
(ctg x) ^/	-1 / sin²x
((kx+b)^p) ^/	pk (kx+b)^p-1
(1/x) ^/	-1 / x²
(U+V) ^/	(U ^/+ V ^/)
(U V) ^/	U ^/V + U V^/
(U/V)^/	U ^/V -U V^// V²
(kx+b)^/	k
(arcsin x)^/	1 / √1-x²
(arccos x)^/	-1 / √1-x²
(arctg x)^/	1 / 1+x²
(arcctg x)^/	-1 / 1+x²

1)Какое значение в математике имеет производная?

Каков механический и геометрический смысл производной?

2)Что такое нули функции?Как определить промежутки возрастания и убывания функции

2)Как находят точки экстремума

3)Для чего и нужно ли определять вторую производную?

II Первичное усвоение

Алгоритм полного исследования функций

1)область определения функции. Вертикальные асимптоты графика

2)Функция четная? Периодическая?

3)Определение первой производной и критических точек

4)Определение промежутков возрастания и убывания функции и точек экстремума - точек минимума и максимума

5)Нахождение значений данной функции в этих точках

6) Определение второй производной и точек перегиба функции

7)Определение наклонных асимптот графика по формулам

к = Lim f(x)/x b=Lim (f(x)-x)) при х стремящемся к бесконечности

8)Построение искомого графика функции по точкам

3)Осознание и осмысление

Задача 1. Исследовать функции и построить графики

1) Рассмотрим сначала функцию

· область определения – вся числовая прямая: D(y)=R

· нули – точки, в которых значение функции равно нулю. Очевидно, что один корень x₁=2. Разделим (например, уголком) кубическую форму в правой части функции на линейный множитель (x-2) для отыскания еще двух других корней. Получим

x³-6x+4=(x-2)(x²+2x-2)

Квадратичная форма x²+2x-2 (по теореме Виета или через дискриминант) имеет два корня x₂=-1-√3, x₃=-1+√3. Таким образом,

D₀={-1-√3, -1+√3, 2}

· Очевидно, что это функция общего вида, т.е. не обладает свойством четности

y(x) = y(-x)

или нечетности

y(x) = - y(-x)

· Функция не является периодической, т.е. не найдется такого Т, что

y(x)=y(x+Т)

· Особые точки: y(0)=4. Значит, график функции пересекает ось ординат в точке (0,4).

· Вертикальных асимптот нет, так как функция не имеет точек существенного разрыва (разрыва второго рода) хотя бы с одним односторонним бесконечным пределом. Убедимся, что нет и наклонных асимптот. Действительно, угловой коэффициент асимптоты равен

· Исследуем функцию на монотонность. Для этого вычислим критические точки первого рода, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует. Найдем производную

y^’=3x²-6

и приравняем нулю:

x²-2=0.

Критические точки: -√2, √2. Они делят область определения на три участка монотонности:

D=(-∞, -√2)U(-√2, √2)U(√2, ∞)

Исследуем направление монотонности с помощью таблицы

x	(-∞, -√2)	(-√2, √2)	(√2, ∞)
y^’	+	-	+
y	↑	↓	↑

Итак, участки монотонности:

(-∞, -√2) – участок возрастания функции

(-√2, √2) – участок убывания функции

(√2, ∞) - участок возрастания функции

· Из таблицы легко определить точки экстремума. А именно, x=-√2 – точка локального максимума функции, а x=√2 – точка локального минимума функции

· Исследуем функцию на выпуклость. Для этого вычислим критические точки второго рода, т.е. точки, в которых производная второго порядка равна нулю или не существует. Найдем производную второго порядка

y^’’=6x

Приравнивая нулю, получаем одну точку x=0. Она делит область определения функции на два участка:

D=(-∞, 0)U(0, ∞)

Исследуем направление выпуклости с помощью таблицы

x	(-∞, 0)	(0, ∞)
y^’’	-	+
y	∩	U

Итак, участки выпуклости:

(-∞, 0) – участок выпуклости вверх

(0, ∞) - участок выпуклости вниз

· Из таблицы легко определить точку перегиба. А именно, x=0 – точка перегиба функции

Задача 2 Рассмотрим теперь функцию

· область определения – все точки числовой прямой, за исключением точки x=0: D(y)=R\{0}

· нули – точки, в которых значение функции равно нулю. Приравнивая нулю числитель, получаем

D₀={-2, 2}

· Очевидно, что это нечетная функция. В самом деле,

Значит, график функции симметричен относительно начала координат.

· Функция также не является периодической, т.е. не найдется такого Т, что

y(x)=y(x+Т)

· Особые точки: x=0. Найдем односторонние пределы в этой точке:

· Полученные значения односторонних пределов позволяются сделать вывод, что функция имеет вертикальную асимптоту x=0. Убедимся, что функция имеет и наклонную асимптоту y=kx+b. Действительно,

Следовательно, y=-x+b. Найдем параметр b.

Итак, наклонная асимптота заданной функции такова: y=-x

· Исследуем функцию на монотонность. Для этого вычислим критические точки первого рода. Найдем производную

Критическая точка: 0. Она не входит в область определения функции, но является граничной для нее. Область определения в этом случае естественным образом представляется объединением двух участков монотонности:

D=(-∞,0)U(0, ∞)

Исследуем направление монотонности с помощью таблицы

x	(-∞, 0)	(0, ∞)
y^’	-	-
y	↓	↓

Итак, участки монотонности:

(-∞, 0) – участок убывания функции

(0, ∞) - участок убывания функции

· Из таблицы видно, что экстремумов функция не имеет

· Исследуем функцию на выпуклость. Для этого вычислим критические точки второго рода. Найдем производную второго порядка

Критическая тока: x=0. Она делит область определения функции на те же два участка:

D=(-∞, 0)U(0, ∞)

Исследуем направление выпуклости с помощью таблицы

x	(-∞, 0)	(0, ∞)
y^’’	-	+
y	∩	U

Итак, участки выпуклости:

(-∞, 0) – участок выпуклости вверх

(0, ∞) - участок выпуклости вниз

· Точка x=0 не является точкой перегиба, так как она не входит в область определения функции и в ней не существует производная второго порядка.

Используя полученную информацию, построим график заданной функции

Задача 3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение. Находим производную функции:

Находим точки, в которых производная равна нулю:

Из полученных значений нам надо оставить лишь те, которые принадлежат заданному промежутку . Оба значения лежат в этом промежутке.

Находим значения функции в полученных стационарных точках из промежутка и на концах промежутка:

Таким образом,

Ответ.

Тема: «Неопределенный интеграл и методы интегрирования»

Цели:

Образовательная: Сформировать представления об интегральном исчислении, уяснить его суть. Выработать навыки нахождения неопределенного интеграла, умения пользоваться свойствами и методами интегрирования.

Развивающая: Развивать математически грамотную речь, внимание, сознательное восприятие учебного материала.

Воспитательная: Воспитывать познавательную активность, сообразительность и мышление, благодарность к достижению великих математиков в области интегрирования.

Мотивация:

Неопределённый интеграл имеет большое практическое применение. С его помощью можно вычислить: путь, пройденный точкой, работу переменной силы, силу давления жидкости и газа, координаты центра тяжести, массу стержня.

Таким образом, интеграл принадлежит к числу математических понятий, происхождение и развитие которых тесно связано с решением прикладных задач.

интегралы используются в физике для решения обратных задач ,по данной производной некоторой функции (скорости ее изменения) находят саму функцию.

I Повторение и актуализация

1) Производные. Нахождение скоростей и ускорений по заданным уравнениям перемещений

2) А возможно ли проделать обратную операцию?

3) Связаны ли между собой производные и интегралы

II Первичное усвоение

В физике часто приходится решать задачу обратную дифференцированию т. е. восстанавливать саму функцию

Действие посредством которого по некоторой функции производных находится сама функция, называется интегрированием.

Совокупность первообразных для функции F(x) или дифференциала F(x)dx называется

неопределенным интегралом.

Таблица неопределенных интегралов

∫dx	(x) + C
∫kdx	(kx) + C
∫x^mdx	(x^m+1 /m+1 ) +C
∫dx /x	(lnx) + C
∫dx /√x	(2√x ) + C
∫ √x dx	(2/3x√x) + C
∫dx /x²	(-1 / x) + C
∫dx /(x+a)	(ln(x+a)) + C
∫e ^xdx	(e ^x)+ C
∫a^xdx	(a^x/ ln a ) + C
∫cos x dx	(sin x) + C
∫sin x dx	(-cos x ) + C
∫cos kx dx	(sin kx/k) + C
∫sin kx dx	(-cos kx/k) + C
∫ dx / cos² x	(tg x) + C
∫ dx / sin² x	(-ctg x) + C
∫ tgx dx	(-ln cosx) + C
∫ ctgx dx	(ln sinx) + C
∫e ^kxdx	(e ^kx /k) + C
∫ dx / √1-x²	(arcsin x) + C
∫ dx / 1+x²	(arctg x) + C
∫ dx / -√1-x²	(arccos x) + C
∫ dx /-( 1+x²)	(arcctg x) + C

Методы интегрирования

1.Непосредственное интегрирование

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы основных интегралов и свойств неопределенных интегралов называют непосредственным интегрированием.

2.Интегрироваание методом замены переменной

3.Интегрирование по частям

4.Интегрирование рациональных дробей

3)Осознание и осмысление

Задачи Найти интегралы:

Сделаем замену переменной тогда

Совершим замену переменной

Применяя метод замены переменной

тогда

Используя замену переменной тогда

Произведем замену переменной тогда

Сделаем замену переменной тогда

10)

Произведем замену переменной тогда

11)

Совершим замену переменной тогда

12)

Применяя метод замены переменной тогда

13)

Используя замену переменной тогда

14)

Сделаем замену переменной тогда

15)

Произведем замену переменной тогда

16)

Совершим замену переменной тогда

17)

Применяя метод замены переменной тогда

18)

Используя замену переменной тогда

19)

Сделаем замену переменной тогда

20)

Произведем замену переменной тогда

21)

Применим формулу интегрирования по частям, полагая

Тогда

Положим и перейдем к непосредственному вычислению интеграла:

22)

Выполним интегрирование по частям, полагая

Тогда

Вычислим исходный интеграл

23)

Применим формулу интегрирования по частям, полагая

Тогда .

Интеграл вычислим, применив еще раз формулу интегрирования по частям. Положим

Тогда .

Исходный интеграл

24)

Применим формулу понижения степени

25)

Сделаем замену переменной тогда

26)

Сделаем замену переменной , тогда

27)

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби

Умножим обе части равенства на . Имеем

Пусть , тогда . Пусть тогда .

Следовательно,

28)

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Умножим обе части равенства на , получим .

Пусть , тогда .

Для нахождения и приравняем коэффициенты при степенях и в обеих частях последнего равенства многочленов.

Получаем

Исходный интеграл будет равен

Тема: «Определенный интеграл.Формула Ньютона-Лейбница»

Цели урока:

Образовательная: ознакомить с понятием интеграла и формулой Ньютона-Лейбница; закрепить понятие интеграла и знание формулы Ньютона-Лейбница;

Развивающая: научить применять формулу и понятие интеграла для решения примеров; научить вычислять определенный интеграл;

Воспитательная: способствовать развитию наблюдательности, развитию грамотной устной и письменной математической речи, умения анализировать, сравнивать, делать выводы; прививать интерес к математической науке, формировать умения обучающихся использовать изученный математический и гуманитарный материал в конкретных условиях и новых ситуациях.

Тема урока «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница». Мы познакомимся с понятием интеграла, научимся вычислять определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Сегодня мы работаем на уроке, а великий ученый Ж. Д’Аламбер подталкивает нас к изучению алгебры словами:

«Математика щедра. Она часто дает больше, чем у нее просят».

Д’Аламбер (а полностью его имя звучит так - Аламбер Жан Ле Рон Д' (D'Alembert)) был известным французским математиком, а так же механиком, философом, литератором. Он жил в 18 веке (1717 - 1783). В науке главным его трудом стала «Энциклопедия наук, искусств и ремёсел». В «Энциклопедии» Д’Аламбер поместил важные математические статьи: «Дифференциалы», «Уравнения», «Динамика» и «Геометрия», в которых подробно излагал свою точку зрения на актуальные проблемы науки.

Д’Аламберу принадлежат также работы по вопросам музыкальной теории и музыкальной эстетики: трактат «О свободе музыки», в котором подведены итоги т. н. войны буффонов – борьбы вокруг вопросов оперного искусства, и др.

I Повторение и актуализация

1) таблица интегралов

2) интегрирование

3) методы интегрирования

II Первичное усвоение

При решении задач, если применяется интеграл вида

он называется определенным

формула Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл можно вычислять

1) методом замены переменной

2) по частям

II I Осознание и осмысление

Решение примеров

Вычислить определенные интегралы.

Применим формулу интегрирования по частям, полагая .

Тогда .

Сделаем замену переменной то .

5)Вычислить определенный интеграл

Решение:

6)Вычислить определенный интеграл

Решение:

Замена переменной в интеграле

7)Вычислить определенный интеграл

Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм: . Но есть одна неувязочка, в табличном интеграле под корнем , а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.

Сначала готовим наш интеграл к замене:

Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена:
Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: .
Выясняем, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал :

Находим новые переделы интегрирования.Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену и старые пределы интегрирования , .

Сначала подставляем в выражение замены нижний предел интегрирования, то есть, ноль:

Потом подставляем в выражение замены верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:

Продолжаем решение.

8)Вычислить определенный интеграл (самостоятельно)

Проведем замену переменной: ,
Новые переделы интегрирования:

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

9)Вычислить определенный интеграл

Интегрируем по частям:

Проверяем, правильно мы взяли интеграл

Применяем формулу Ньютона-Лейбница

10)Решить

Замена:
Новые пределы интегрирования:

11)Решить

Интегрируем по частям:

Тема: «Формула Ньютона –Лейбница. Формула для определения площадей фигур, ограниченных линиями. Формулы для определения длины дуги и объема

Цель: довести до осознания и осмысления приемы нахождения площадей, объемов и длин дуг фигур

Мотивация: У людей часто возникают иллюзия, связанная с объемами, которую подметил еще Перельман в книге Занимательная геометрия. Посмотрите на плоскую фигуру в задаче – она вроде бы невелика по площади, а объем тела вращения составляет чуть более 50 кубических единиц, что кажется слишком большим. Кстати, среднестатистический человек за всю свою жизнь выпивает жидкость объемом с комнату площадью 18 квадратных метров, что, наоборот, кажется слишком маленьким объемом.

I Повторение и актуализация

1) определенный интеграл

2) как используя определенный интеграл вычислить S, V, L

II Первичное усвоение

1)А)Если функция непрерывна и неотрицательна на отрезке , то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями , вычисляется по формуле

Б)Если и непрерывные на отрезке функции, причем на этом отрезке, то площадь фигуры, ограниченной линиями вычисляется по формуле

2)Длина дуги гладкой (непрерывно дифференцируемой) кривой равна

3)А)Если объем тела существует и есть площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox в точке x, то

Б)) Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции

где - непрерывная функция, равен

В)В более общем случае, объем кольца, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры , где - непрерывные неотрицательные функции, равен

II I Осознание и осмысление

1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Построим заданную фигуру (рис.1) и вычислим

2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций .

Построим графики заданных функций (рис.2)

Найдем точки пересечения графиков функций и :

3) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной графиками функций

4) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной графиками функций

Построим графики функций (рис.3)

5) Вычислить площадь, ограниченную линиями:

Представим на графике указанную площадь. Для этого вычертим параболу и прямую , а затем выделим фигуру, заключенную между этими геометрическими объектами. Вычисление площади этой фигуры с помощью определенного интеграла потребует знания пределов интегрирования. Это нижняя и верхняя границы проекции фигуры на ось абсцисс. Для нахождения таких границ приравняем правые части заданных уравнений: x²-x+3=7-x. Отсюда x²-4=0. Значит, x₁=-2, x₂=2.

Площадь выделенного участка вычислим с помощью определенного интеграла:

6)Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси .

Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры.

Объем тела, образованного вращением плоской фигуры, вокруг оси OX

Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси . В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка, которая симметрична относительно оси .

Как вычислить объем тела вращения?

Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:
Ответ:

7)Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , ,

8)Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями , , и

Решение: Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями , , , , не забывая при этом, что уравнение задает ось :

Объем тела вращения как разность объемов тел вращений

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами.

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.

Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через .

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через .

И, очевидно, разность объемов – в точности объем нашего «бублика».

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

3) Объем искомого тела вращения:

Ответ:

9)Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси плоской фигуры, ограниченной линиями , , где .

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что все дела происходят в полосе , иными словами, фактически даны готовые пределы интегрирования. Правильно начертите графики тригонометрических функций, напомню материал урока

Вычисление объема тела, образованного вращением
плоской фигуры вокруг оси

10)Дана плоская фигура, ограниченная линиями , , .

1) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.
2) Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси .

Решение: Задача состоит из двух частей. Начнем с площади.

1) Выполним чертёж:

Объем тела, образованного вращением плоской фигуры, вокруг оси ординат OY

Легко заметить, что функция задает верхнюю ветку параболы, а функция – нижнюю ветку параболы. Перед нами тривиальная парабола, которая «лежит на боку».

Нужная фигура, площадь которой предстоит найти, заштрихована синим цветом.

Как найти площадь фигуры? Причем, площадь фигуры находится как сумма площадей:
– на отрезке ;
– на отрезке .

Есть более рациональный путь решения: он состоит в переходе к обратным функциям и интегрированию по оси .

Как перейти к обратным функциям? Грубо говоря, нужно выразить «икс» через «игрек». Сначала разберемся с параболой:

Этого достаточно, но убедимся, что такую же функцию можно вывести из нижней ветки:

Для самопроверки рекомендую устно или на черновике подставить координаты 2-3-х точек параболы в уравнение , они обязательно должны удовлетворять данному уравнению.

С прямой всё проще:

Теперь смотрим на ось : пожалуйста, периодически наклоняйте голову вправо на 90 градусов по ходу объяснений (это не прикол!). Нужная нам фигура лежит на отрезке , который обозначен красным пунктиром. При этом на отрезке прямая расположена выше параболы , а значит, площадь фигуры следует найти по уже знакомой вам формуле: .

На отрезке , поэтому:

Ответ:

2) Вычислим объем тела, образованного вращением данной фигуры, вокруг оси .

Перерисую чертеж немного в другом оформлении:

Из одного объема тела вращения вычитаем другой объем тела вращения

Итак, фигура, заштрихованная синим цветом, вращается вокруг оси . В результате получается «зависшая бабочка», которая вертится вокруг своей оси.

Для нахождения объема тела вращения будем интегрировать по оси . Сначала нужно перейти к обратным функциям. Это уже сделано и подробно расписано в предыдущем пункте.

Теперь снова наклоняем голову вправо и изучаем нашу фигуру. Очевидно, что объем тела вращения, следует найти как разность объемов.

Вращаем фигуру, обведенную красным цветом, вокруг оси , в результате получается усеченный конус. Обозначим этот объем через .

Вращаем фигуру, обведенную зеленым цветом, вокруг оси и обозначаем через объем полученного тела вращения.

Объем нашей бабочки равен разности объемов .

Используем формулу для нахождения объема тела вращения:

Ответ: Однако нехилая бабочка.

11)Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривыми и .

Решение: Выполним чертеж:

Попутно знакомимся с графиками некоторых других функций. Такой вот интересный график чётной функции ….

Для цели нахождения объема тела вращения достаточно использовать правую половину фигуры, которую я заштриховал синим цветом. Обе функции являются четными, их графики симметричны относительно оси , симметрична и наша фигура. Таким образом, заштрихованная правая часть, вращаясь вокруг оси , непременно совпадёт с левой нештрихованной частью.

Перейдем к обратным функциям, то есть, выразим «иксы» через «игреки»:

Обратите внимание, что правой ветке параболы соответствует обратная функция . Левой неиспользуемой ветке параболы соответствует обратная функция . В таких случаях нередко возникают сомнения, какую же функцию выбрать? Сомнения легко, развеиваются, возьмите любую точку правой ветки и подставьте ее координаты в функцию . Координаты подошли, значит, функция задает именно правую ветку, а не левую.

К слову, та же история и с функций . Чайнику, не всегда бывает сразу понятно, какую обратную функцию выбрать: или . В действительности я и сам всегда страхуюсь, подставляя в найденную обратную функцию пару точек графика.

Теперь наклоняем голову вправо и замечаем следующую вещь:

– на отрезке над осью расположен график функции ;
– на отрезке над осью расположен график функции ;

Логично предположить, что объем тела вращения нужно искать уже как сумму объемов тел вращений!

Используем формулу:

В данном случае:

Ответ:

Пример 2: Выполним чертеж:
Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла
Объем тела вращения:

Ответ:

Пример 4: Выполним чертеж:

Объем тела вращения вычислим как разность объемов при помощи формулы:

В данном случае:

Ответ:

Пример 6:
1) Выполним чертёж:
Объем тела вращения, если фигура в нижней полуплоскости
Перейдем к обратной функции:

На отрезке , поэтому:

Ответ:

2) Вычислим объем тела, образованного вращением данной фигуры, вокруг оси .
Объем тела вращения найдем как разность объемов тел вращения при помощи формулы :

Ответ:

Тема : «Дифференциальные уравнения»

Цель: довести до осознания и осмысления решение дифференциальных уравнений

Мотивация: Используются в теоретической механике, во всех разделах физики и техники

I Повторение и актуализация

1) что такое дифференциальные уравнения

Что значит решить дифференциальное уравнение

2) Какие бывают дифференциальные уравнения

II Первичное усвоение

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные или дифференциалы этих функций

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция

y = f (x) которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения 1 порядка y ^\ = f (x, y) в области D называется функция y = φ(x, c) ,обладающая следующими свойствами:

является решением при всех действительных значениях С
для любого начального условия y (х ₀ ) = y _0.Такого , что (х ₀ у ₀ ) принадлежащего D существует единственное значение С = С ₀ ,при котором у = φ (x, C ₀ ) удовлетворяет заданному начальному условию

Всякое решение у = φ (x, C ₀ ) получающееся из общего у = φ(x, C) при конкретном С = С ₀ называется частным решением.

Задача в которой требуется найти частное решение у^\ = f (x, y), удовлетворяющее начальному условию y (x₀) = y₀ называется задачей Коши

1)Уравнения с разделяющимися переменными

2)Однородные обыкновенные дифференциальные уравнения 1 порядка

3)Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 1 порядка

4)Уравнения Бернулли

5) Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2 порядка

II I Осознание и осмысление

Пример 1: Найдем общее решение. Разделяем переменные:

Интегрируем:

Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

Выражаем функцию в явном виде, используя .
Общее решение:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»:
.
Способ второй:

Подставляем найденное значение константы  в общее решение.
Ответ: частное решение:

Проверка: Проверяем, действительно ли выполняется начальное условие:
, да, начальное условие  выполнено.
Проверяем, удовлетворяет ли вообще частное решение  дифференциальному уравнению. Сначала находим производную:
Подставим полученное частное решение  и найденную производную  в исходное уравнение :

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Пример 2: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Ответ: общий интеграл:

Примечание: тут можно получить и общее решение:

Пример 3: Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Интегрируем:

Общий интеграл:
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию . Подставляем в общее решение и :

Ответ: Частный интеграл:

Пример 4: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Левую часть интегрируем по частям:

В интеграле правой части проведем замену:

Таким образом:

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов, но она настолько простая, что подбор коэффициентов можно выполнить и устно)

Обратная замена:

Ответ: общий интеграл:

Пример 5: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Примечание: Интеграл можно было также найти методом выделения полного квадрата.

Ответ: общее решение: Пример 1

Пример 6 Решить дифференциальное уравнение

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:

То есть, вместо записи обычно пишут .

Теперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать с обеих частей:
Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Множество функций является общим решением дифференциального уравнения .

Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Любая из функций , , и т.д. будет удовлетворять дифференциальному уравнению .

Подставляем наше решение и найденную производную в исходное уравнение :

– получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Иными словами, общее решение удовлетворяет уравнению .

Пример 7 Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.Переписываем производную в нужном виде:

Интегрируем уравнение:

или

Итак, общее решение: .

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:

То есть,

Стандартная версия оформления:

В общее решение подставляем найденное значение константы :
– это и есть нужное нам частное решение.

– да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.

Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение и находим производную:

Подставляем и в исходное уравнение :

– получено верное равенство.

Вывод: частное решение найдено правильно.

Пример 8 Решить дифференциальное уравнение

Решение распишу очень подробно:

Упаковка завершена, убираем логарифмы:
Ответ: общий интеграл:

Дифференцируем ответ:

Умножаем оба слагаемых на :

И делим на :

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение , значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 9 Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы:

(Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать)

Итак, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию . В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Более привычное оформление:

Подставляем найденное значение константы в общее решение.

Ответ: частное решение:

Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие :
– всё гуд.

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение дифференциальному уравнению. Находим производную:

Смотрим на исходное уравнение: – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал :

Подставим найденное частное решение и полученный дифференциал в исходное уравнение :

Используем основное логарифмическое тождество :

Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения выразим производную, для этого разделим все штуки на :

И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение и найденную производную . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.

Пример 10 Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Интегрируем:

Константу тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.

Ответ: общий интеграл:

Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию):

Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на :

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 11 Найти частное решение ДУ.(Самостоятельно)
,

Пример 12 Решить дифференциальное уравнение . Ответ представить в виде общего интеграла .

Пример 13 Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Тема : Комплексные числа

Цели:

Образовательные:

ввести понятие комплексных чисел, обучить математическим приемам и действиям над комплексными числами, научить записывать комплексные числа в алгебраической, показательной и тригонометрической формах

Воспитательные: способствовать формированию познавательного интереса к обучению, научного мировоззрения; создать условия для проявления самостоятельности, настойчивости.

Развивающие: способствовать развитию исследовательских способностей, умения видеть проблему, анализировать ситуацию, находить пути решения проблемы; способствовать развитию коммуникативных способностей, навыков взаимодействия; способствовать развитию активности, инициативности

Мотивация :Без чисел невозможна наша жизнь. Число-основное понятие математики, результат различного рода измерений, количество предметов

1Повторение и актуализация

1.Какие числа вы знаете и как они связаны друг с другом?

2.Доводилось ли вам слышать про мнимые изображения в физике, про мнимые числа?

3.Что же из себя представляют комплексные числа, ответим изучив тему

2.Первичное усвоение

круг Эйлера

Натуральные N (целые положительные, не включая 0)

Целые Z (0 и отрицательные числа)

Поле целых чисел Z = N + Z

Рациональные Q (дробные)

Иррациональные I (число Архимеда π; число Непера е)

Действительные числа R = Q+ I

Мнимые числа М = n i(n-действительное число, i=√-1, i²= -1)

Комплексные числа К= m+n i

В алгебре комплексные числа получаются при решении квадратных уравнений. Комплексные числа

К₁= m+n i К₂= m-n i называются сопряженными.

Формы комплексных чисел

1.алгебраическая К= m+n i

2.тригонометрическая К= R(cos φ + i sin φ), R=√ m²+n²,sin φ= n/R, cos φ=m/R

3.показательная К= Re^iφ

Действия над комплексными числами

1.сложение

2.вычитание

3.умножение

4.деление

5.возведение в степень

6.извлечение из корня

3.Осознание и осмысление

1. Кто ввел в математику комплексные числа? (Гаусс).

2. 2Чему равен квадрат мнимой единицы?

3. Можем ли мы любое действительное число назвать мнимым? Как это представить?

4 Решите уравнение x² – 4x + 5 = 0.

Решение. D = – 4 < 0, уравнение имеет мнимые корни: 2+i, 2-i

5. Решите уравнение x² – 4x + 13 = 0.

Решение. D = – 36 < 0, уравнение имеет мнимые корни: 2+3i, 2-3i

6.Сложить комплексные числа, вычесть, умножить, разделить, изобразить на плоскости

К₁ = 5 + 5i К₂= - 2 – 2i

7 . Изобразить на плоскости, и записать в тригонометрической и показательной формах

К₁ = -3 + 4i К₂= 2 – 3i

8.Возвести в степень (в квадрат и в куб)

К₁ = -7 + 5i

8.Извлечь из корня квадратного

К₂= 6 – 2i

Скачать материал

Скачать материал "Поурочные планы по элементам высшей математики"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 664 334 материала в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

pptx

Презентация по математике на тему: "Линейные уравнения с двумя переменными" (7 класс)

01.11.2016
897
5

docx

Описание системы работы по ФГОС

01.11.2016
425
0

rar

Урок по теме "Задачи на проценты"

01.11.2016
617
2

rar

Урок по алгебре 7 класс "Степень с натуральным показателем"

01.11.2016
431
0

zip

Презентация с технологической картой по геометрии на тему "Теорема косинусов"

01.11.2016
1156
14

docx

Теорема Чевы и Менелая

Рейтинг: 5 из 5

01.11.2016
10065
22

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 01.11.2016 1648
- DOCX 2.3 мбайт
- 25 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Хучашева Лилия Маратовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Хучашева Лилия Маратовна
- На сайте: 7 лет и 7 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 11329
- Всего материалов: 6