Практическая работа по математике на тему "Вычисление площади криволинейной трапеции"

Практическая работа №8

«Вычисление площадей фигур»

Цель работы: закрепить навык вычисления площади криволинейной трапеции.

Необходимо знать: определение криволинейной трапеции, формулу Ньютона-Лейбница для расчёта определённого интеграла.

Необходимо уметь: по готовому чертежу составлять формулу площади и находить её значение.

1. Теоретическая часть

Определение. Криволинейной трапецией (рис. 1) называют фигуру, которая ограничена:      

сверху - графиком непрерывной функции y=y(x) снизу – осью OX (y=0) слева – прямой x=a справа – прямой x=b

Утверждение. Геометрический смысл определённого интеграла в том, что его значение равно площади соответствующей криволинейной трапеции:

                                                                                                                              (1)

Рассмотрим различные методы вычисления площадей плоских фигур.

Пример 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: , x=-1, x=2 и осью OX.

Решение: данная фигура (рис. 2) представляет собой криволинейную трапецию, поэтому её площадь вычисляется по формуле (1).

2    -1   X

Ответ: 6 кв.ед.

Пусть y=f(x) – непрерывная функция при x[a, b], график которой расположен ниже оси OX (рис. 3). Значение определённого интеграла будет отрицательным, поэтому для расчёта площади берём значение интеграла по модулю.

Рис. 3

(2)

Пример 2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции и осью OX.

Решение: данная фигура (рис. 4) расположена ниже оси OX, поэтому применим формулу (2).

Рис. 4

Ответ: 1/6 кв.ед.

Пример 3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и .

Решение: данная фигура (рис. 5)представляет собой разность криволинейных трапеций

Абсциссы точек пересечения находим по чертежу: x₁=-2 и  x₂=1.

  . Можно записать под один интеграл:

Y   Рис. 5

Ответ: 4,5 кв.ед.

Пример 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и , и координатными осями.

Решение: данная фигура (рис. 6) представляет собой сумму криволинейных трапеций S=S₁+S₂, где    и  . Получим формулу:

Рис. 6

Ответ:  кв.ед.

Вычислить площадь плоской фигуры

	Вариант 1	Вариант 2
1.у=х2-2х+2, х=-1 2.У= х2-5х+6 с осью ОХ 3.у=х2+1 и у=-х+3 4. у=х2+1 и у=-х+3 и координатными осями.	y=x2+1   y=5   1вариант:а) у=х2-2х+2, х=1,х=2;б)у=х2, х=0,х=4	y=x3   2 вариант: а) у=х2-5х+6 с осью ОХ; б) у=х3, х=3

2 Задание. Вычислить площадь

3 Задание. Вычислить площадь

4  Задание.

5. Задание

6 задание

7. Задание

2. Контрольные вопросы

1. Приведите определение криволинейной трапеции.
2. В чём геометрический смысл определённого интеграла?
3. Выберите формулу площади заштрихованной  фигуры:

y=1-x

А.   Б.   В.

Составьте формулу для вычисления площади изображённой фигуры

Критерии оценки

«Отлично» - даны ответы на все контрольные вопросы, задания самостоятельной работы выполнено полностью.

«Хорошо» - даны ответы на все контрольные вопросы; при выполнении заданий самостоятельной работы допущены 1-2 арифметические ошибки.

«Удовлетворительно» - выполнено 60%-70% заданий самостоятельной работы, даны ответы не на все контрольные вопросы;.

«Неудовлетворительно» - выполнено менее 60% заданий для самостоятельной работы