Практическая работа по теме: "Приближенные вычисления"

Практическая работа по теме: «Приближенные вычисления»

Цель: научиться  вычислять приближенное значение величины и определять точность приближения»

Теоретическая часть

1.     Метод границ приближенного значения величины.

Метод границ использует свойства неравенств для определения приближенного значения.

Пусть m_x – нижняя граница величины x, n_x – верхняя граница величины x,  

m_y – нижняя граница величины y, n_y – верхняя граница величины y, т.е. m_x<x<n_x ,  m_y<y<n_y, тогда km_x<kx<kn_x, при k>0  и   kn_x<kx<km_x, при k<0 , тогда

mx + my < x+y < nx+ ny	mx – ny <x – y < nx - my
mx * my <x*y < nx* ny	mx / ny <x/y < nx/ my

Пример1.  Пусть 3,2<x<3,5 и     2,6<y<2,8 .

 Найдем границы   x+y,  x-y,  x*y,  x/y, 3x, -4y .

Решение:  а)  3,2+2,6 <x+y<3,5+2,8 , т.е.  5,8<x+y<6,3    

       б)  3,2-2,8< x-y <3,5-2,6  ,т.е.    0,4<x-y<0,9

       в)  3,2*2,6< x*y <3,5*2,8, т.е    8,32< x*y< 9,8

       г)  3,2 / 2,8 <x/y<3,5 / 2,6 , т.е.  1,14<x/y< 1,34

       д) 9,6< 3x <10,5

       е) –11,2 < –4y < –10,4

2. Точность приближенных значений величин

Пусть а – приближенное значение величины х с точностью h_a, b – приближенное значение величины y с точностью h_y , т.е. |x-a|<h_x  или  x=a ± h_x; |y-b|<h_y или y=b ± h_y,  где h_x и h_y – абсолютные погрешности величин x и y

  - относительная погрешность. Тогда  h_x+y=h_x+h_y, ε_xy=ε_x + ε_y

Пример2.

Дано: 24 < x < 26   15 < y < 18

Решение a=(24+26)/2=25,  hx=1 ; b=(15+18)/2=16,5 ,  hy=1,5, тогда 1)    x+y = a+b ± hx+y , где  hx+y= hx+hy  т.е. x + y =25+16,5 ± (1+1,5) = 41,5 ± 2,5; 2)  x –y= a–b ± hx-y  ,где   hx-y= hx+hy , тогда  x – y =25-16,5 ± (1+1,5) = 8,5 ± 2,5 3)  Найдем x*y = a*b ± hxy    Вычислим   a*b = 25*16,5 = 412,5 .Т.к.  hxy= εxy *ab и  εxy=εx + εy, где      , получим   εxy= 0,04+0,09 = 0,13, а значит hxy= εxy *ab = 0,13 *412,5 = 53,625 , т.е.  x*y = a*b ± hxy = 412,5 ± 53,625  4) Аналогично x/y = a/b ± hx/y      Найдем  a/b = 25/16,5≈ 1,52 .  hx/y= εx/y *a/b     εx/y=εx + εy= εxy hx/y= εx/y *a/b = 0,13*1,52≈0,198, получим    x/y = a/b ± hx/y = 1,52 ± 0,198

Найти x+y,  x-y,  x*y,   x/y

Ответ: x + y = 41,5 ± 2,5;  x– y = 8,5 ± 2,5;   x*y = 412,5 ± 53,625 ;   x/y = 1,52 ± 0,198  

Практическая часть:

Даны верхняя и нижняя граница величин x и y.

№1

Определить границы величин 3x, -4x+2, 2x+y, x*y, 4x/y.

№2

Найти абсолютную и относительную погрешность  величин  x и y, а также x+y и x-y

№3

Найти относительную погрешность величин x*y и  x/y и их приближенное значение.

Таблица данных

1 вариант	2 вариант	3 вариант	4 вариант	5 вариант	6 вариант
2,3 < x < 2,5 3,4< y <3,8	1,2< x <1,8 4,3 < y < 4,7	2,8 < x < 3,6 6,2 < y < 6,6	1,4 < x < 1,8 3,4 < y < 3,6	2,5 < x < 2,7 5,1 < y < 5,5	4,3 < x < 4,7 1,7 < y <2,1

Критерии оценки:

«удовлетворительно» - верно выполнено задание №1

«хорошо» - верно выполнены задания №1 и №2

«отлично» - верно выполнены все задания

Краткое описание документа:

Практическая работа "Приближенные вычисления" предназначена для закрепления материала по теме: "Развитие понятия о числе" студентами 1 курса как начального профессионального, так и среднего профессионального образования.

Работа содержит теоретическую часть, включающую описание метода гранц приближенного значения величины и метода вычисления точности приближенных значений величин. Каждый метод подкреплен примером. Практическая часть содержит 6 вариантов по три задания.

Прилагаемая таблица Excel позволит преподавателю быстро проверить работы студентов и легко изменить входные данные для новых вариантов работы.