Практическая работа по теории вероятностей и математической статистике по теме: «Вычисление вероятностей по формуле Бернулли»

Учебная дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика»

специальность среднего профессионального образования

230401 Информационные системы (по отраслям)

Курс -3

Практическая работа   

Тема: «Вычисление вероятностей по формуле Бернулли»

 

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Цель: 1) Расширение и углубление знаний о вероятности события при независимых испытаниях.

2)  Формирование умений решать задачи на нахождение вероятности с использованием формулы Бернулли

3)      Формированию ОК 2,3,4

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p, то вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях m раз, выражается формулой Бернулли

P_n(m) = Cⁿ_k·p^m·q^n-m, где q = 1-p.

      Число m₀ называется наивероятнейшим числом наступлений события А в n испытаниях и равно целой части числа (n+1)p, а при целом (n+1)p наибольшее значение достигается при двух числах: m₁=(n+1)p-1 и m₂=(n+1)p. 
      Если р≠0 и р≠1, то число m₀ можно определить из двойного неравенства

np-q ≤ m₀ ≤ np+p.

Задача 1.
В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?
Решение. Вероятность извлечения белого шара p=20/30=2/3 можно считать одной и той же во всех испытаниях; q=1-p=1/3. Используя формулу Бернулли, получаем

P₄(2) = C⁴₂·p²·q²=(12/2)·(2/3)²·(1/3)² = 8/27

Задача 2. Игральную кость бросили 10 раз. Какова вероятность, что число 3 выпадет два раза?

Решение. При одном броске вероятность выпадения тройки равна р = 1/6, а вероятность не выпадения равна 1-р = 5/6. 

Каждый бросок - независимое испытание. Применим ф-лу Бернулли.  

 Р_n(m)=С_n^m p^m(1-p)^n-m,   где        n=10,  m=2

Р= С₁₀² ·(1/6)² ·(5/6)⁸ = 10!/ (8!*2!)* 5⁸/6¹⁰ = 45*5⁸/6¹⁰ ≈0,29

Задача 3.
Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз?
Решение. Здесь p=0,4, q=0,6. Имеем:

P₁₀(0) = q¹⁰, P₁₀(1) = 10pq⁹, P₁₀(2) = 45p²q⁸, P₁₀(3) = 120p³q⁷.

Вероятность того, что событие А появится не больше трех раз, равна

Р = P₁₀(0) + P₁₀(1) + P₁₀(2) + P₁₀(3) = q¹⁰+10pq⁹+45p²q⁸+120p³q⁷≈ 0,38 .

Задача 4.
Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.
Решение. Здесь n=25, p=0,7, q=0,3. Следовательно,

25·0,7-0,3 ≤ m₀ ≤ 25·0,7 + 0,7, т.е. 17,2 ≤ m₀ ≤ 18,2.

Так как m - целое число, то m₀=18. 

Содержание практической работы  

Решите задачу:

Задача 1. Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность, что герб выпадет:

1) 4 раза;

2) не менее 4 раз.

Решение. 

1) Вероятность выпадения герба при одном броске равна 1/2, вероятность выпадения решки также равна 1/2.

Испытания Бернулли.

Р = С₁₀⁴ *(1/2)⁴*(1-1/2)^10-4 = 10!/(4!*6!) * (1/2)¹⁰ = 10*9*8*7/(2*3*4) /2¹⁰ = 210/1024 =

= 0,205078125≈ 0,205

2) Пусть Событие А = "Герб выпадет не менее 4-х раз".

Проще найти вероятность противоположного события (не А): "Герб выпадет менее 4-х раз". Т.е. 3 или 2 или 1 раз или ни разу.  Обозначим Р(k) - вероятность того, что при 10 бросках герб выпадет k раз.

Р(3) = С₁₀³ *(1/2)¹⁰ = 10*9*8/6 /1024 = 120/1024

Р(2) = С₁₀² *(1/2)¹⁰ = 10*9/2 /1024 = 45/1024

Р(1) = 10*(1/2)¹⁰ = 10/1024

Р(0) = 1*(1/2)¹⁰ = 1/1024

Р(не А) = Р(0)+Р(1)+Р(2)+Р(3) = (120+45+10+1)/1024 = 176/1024= 0,171875

Р(А) = 1 - Р(не А) = 1 - 0,171875 = 0,828125

Задача 2. Игральная кость бросается 6 раз. Какова вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза?

Решение.

Вероятность выпадения шестерки равна 1/6, а не выпадения 5/6. Имеем испытания Бернулли.

Р= С₆^4*(1/4)²(5/6)^6-2 = 6!/(4!*2!)* 1/16 * (5/6)⁴ = 15/16* 625/1296≈ 0,452

Задача 3. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.

Решение.  Вероятность изготовить стандартную деталь равна  1-0,11=0,89

По формуле Бернулли

Р=С₅⁴*0,89⁴*0,11¹ = 5!/(4!*1!) *0,89⁴*0,11= 5*0,6274*0,11=0,3451

Задача 4.  Произведено 46 бросков одной игральной кости, каково наивероятнейшее количество выпадений шестерки?

Решение. Событие А - выпадение шестерки при одном испытании. Количество испытанийn=46.

При одном испытании вероятность наступления события А равна  р=1/6,    q=1-p = 5/6 - вероятность не наступления события А (выпадение не 6).

Число m называется наивероятнейшим числом наступления события А   в серии из n независимых испытаний Бернулли (с вероятностью наступления события А, равной  р в одном испытании) и определяется соотношением

np-q ≤ m ≤ np+p

46*1/6 -5/6 ≤ m ≤ 46*1/6 +1/6

41/6 ≤ m ≤ 47/6

6,8 ≤ m ≤ 7,8

Ответ:  7.

 Задача 5.  Игральная кость бросается 21раз. Каково наиболее вероятное количество испытаний, в которых выпадет менее 4-х очков?

Решение. Событие А - выпадение 1, 2 или 3 при одном испытании. Количество испытанийn=21.

При одном испытании вероятность наступления события А равна  3/6=1/2.

р=1/2,    q=1-p = 1/2 - вероятность не наступления события А (выпадение 4, 5 или 6).

Число m называется наивероятнейшим числом наступления события А   в серии из nнезависимых испытаний Бернулли (с вероятностью наступления события А, равной  рв одном испытании) и определяется соотношением

np-q ≤ m ≤ np+p

21*0,5 -0,5 ≤ m ≤ 21*0,5 +0,5

10 ≤ m ≤ 11

Ответ: 10;  11.

 Задача 6. Игральная кость бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число появления числа очков кратного трем.

Решение. Событие А - выпадение 3 или 6 при одном испытании. Количество испытаний 16.

При одном испытании вероятность наступления события А равна р=2/6=1/3, а вероятность не наступления равна q=1 -1/3 =2/3

np-q ≤ m ≤ np+p    m-наивероятнейшее число наступления события А.

n=16  p=1/3   q=2/3

16*1/3 - 2/3 ≤ m ≤ 16*1/3 + 1/3

14/3  ≤ m ≤ 17/3

4,7  ≤ m ≤ 5,6                   m=5

Ответ: 5

Задача 7. Вероятность изготовления изделия высшего сорта равна 0,87. Чему равно наиболее вероятное число изделий высшего сорта в партии из 100

изделий.

Решение.  Событие А - изготовлено изделие высшего сорта, вероятность наступления события А  р=0,87, вероятность не наступления события А  q=1-0,87=0,13.

n=100 - количество испытаний Бернулли (количество изготовленных изделий).

m - наивероятнейшее число изделий высшего сорта

        np-q ≤ m ≤ np+p

100*0,87 - 0,13 ≤ m ≤ 100*0,87 + 0,87

87-0,13 ≤ m ≤ 87 +0,87

m=87

Задача 8. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
, . 
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна 
.

Задача 9.  Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.

Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность , тогда . Отсюда по формуле Бернулли находим
.

Задача 10.  При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:

Задача 11.   Что вероятнее: выиграть у равносильного противника три партии из четырех или пять партий из восьми (ничьи в отдельных партиях исключены)?

Решение.   Пусть p - вероятность выигрыша, а q = 1 - p - вероятность проигрыша одной партии, тогда по формуле Бернулли

Pn(m) = Cnmpmqn-m

есть вероятность ровно m выигрышей в турнире из n партий. По условию задачи p = 1/2. Для такого значения p требуется сравнить вероятности P₄(3) и P₈(5). Имеем:

P4(3) P8(5)

=

C43(1/2)3(1/2) C85(1/2)5(1/2)3

= 24

C43 C85

= 8 / 7 > 1.

Следовательно, P₄(3) > P₈(5).

Итак, у равносильного противника легче выиграть три партии из четырех, чем пять партий из восьми.