Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Практическая работа по теории вероятностей и математической статистике по теме: «Вычисление вероятностей по формуле Бернулли»

Практическая работа по теории вероятностей и математической статистике по теме: «Вычисление вероятностей по формуле Бернулли»


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Учебная дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика»

специальность среднего профессионального образования

230401 Информационные системы (по отраслям)

Курс -3



Практическая работа

Тема: «Вычисление вероятностей по формуле Бернулли»

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Цель: 1) Расширение и углубление знаний о вероятности события при независимых испытаниях.

2) Формирование умений решать задачи на нахождение вероятности с использованием формулы Бернулли

3) Формированию ОК 2,3,4

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.


Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p, то вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях m раз, выражается формулой Бернулли

Pn(m) = Cnk·pm·qn-m, где q = 1-p.


      Число
m0 называется наивероятнейшим числом наступлений события А в n испытаниях и равно целой части числа (n+1)p, а при целом (n+1)p наибольшее значение достигается при двух числах: m1=(n+1)p-1 и m2=(n+1)p. 
      Если р≠0 и р≠1, то число m
0 можно определить из двойного неравенства

np-q ≤ m0 ≤ np+p.

Задача 1.
В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?
Решение. Вероятность извлечения белого шара p=20/30=2/3 можно считать одной и той же во всех испытаниях; q=1-p=1/3. Используя формулу Бернулли, получаем

P4(2) = C42·p2·q2=(12/2)·(2/3)2·(1/3)2 = 8/27


Задача 2. Игральную кость бросили 10 раз. Какова вероятность, что число 3 выпадет два раза?

Решение. При одном броске вероятность выпадения тройки равна р = 1/6, а вероятность не выпадения равна 1-р = 5/6. 

Каждый бросок - независимое испытание. Применим ф-лу Бернулли.  

 Рn(m)=Сnm pm(1-p)n-m,   где        n=10,  m=2

Р= С102 ·(1/6)2 ·(5/6)8 = 10!/ (8!*2!)* 58/610 = 45*58/610 ≈0,29

Задача 3.
Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз?
Решение. Здесь p=0,4, q=0,6. Имеем:

P10(0) = q10, P10(1) = 10pq9, P10(2) = 45p2q8, P10(3) = 120p3q7.

Вероятность того, что событие А появится не больше трех раз, равна

Р = P10(0) + P10(1) + P10(2) + P10(3) = q10+10pq9+45p2q8+120p3q7≈ 0,38 .


Задача 4.
Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.
Решение. Здесь n=25, p=0,7, q=0,3. Следовательно,

25·0,7-0,3 ≤ m0 ≤ 25·0,7 + 0,7, т.е. 17,2 ≤ m0 ≤ 18,2.

Так как m - целое число, то m0=18. 









Содержание практической работы

Решите задачу:

Задача 1. Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность, что герб выпадет:

1) 4 раза;

2) не менее 4 раз.

Решение. 

1) Вероятность выпадения герба при одном броске равна 1/2, вероятность выпадения решки также равна 1/2.

Испытания Бернулли.

Р = С104 *(1/2)4*(1-1/2)10-4 = 10!/(4!*6!) * (1/2)10 = 10*9*8*7/(2*3*4) /210 = 210/1024 =

= 0,205078125≈ 0,205

2) Пусть Событие А = "Герб выпадет не менее 4-х раз".

Проще найти вероятность противоположного события (не А): "Герб выпадет менее 4-х раз". Т.е. 3 или 2 или 1 раз или ни разу.  Обозначим Р(k) - вероятность того, что при 10 бросках герб выпадет k раз.

Р(3) = С103 *(1/2)10 = 10*9*8/6 /1024 = 120/1024

Р(2) = С102 *(1/2)10 = 10*9/2 /1024 = 45/1024

Р(1) = 10*(1/2)10 = 10/1024

Р(0) = 1*(1/2)10 = 1/1024

Р(не А) = Р(0)+Р(1)+Р(2)+Р(3) = (120+45+10+1)/1024 = 176/1024= 0,171875

Р(А) = 1 - Р(не А) = 1 - 0,171875 = 0,828125


Задача 2. Игральная кость бросается 6 раз. Какова вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза?

Решение.

Вероятность выпадения шестерки равна 1/6, а не выпадения 5/6. Имеем испытания Бернулли.

Р= С64*(1/4)2(5/6)6-2 = 6!/(4!*2!)* 1/16 * (5/6)4 = 15/16* 625/1296≈ 0,452


Задача 3. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.

Решение.  Вероятность изготовить стандартную деталь равна  1-0,11=0,89

По формуле Бернулли

Р=С54*0,894*0,111 = 5!/(4!*1!) *0,894*0,11= 5*0,6274*0,11=0,3451


Задача 4Произведено 46 бросков одной игральной кости, каково наивероятнейшее количество выпадений шестерки?

Решение. Событие А - выпадение шестерки при одном испытании. Количество испытанийn=46.

При одном испытании вероятность наступления события А равна  р=1/6,    q=1-p = 5/6 - вероятность не наступления события А (выпадение не 6).

Число m называется наивероятнейшим числом наступления события А   в серии из n независимых испытаний Бернулли (с вероятностью наступления события А, равной  р в одном испытании) и определяется соотношением

np-q ≤ m ≤ np+p

46*1/6 -5/6 ≤ m ≤ 46*1/6 +1/6

41/6 ≤ m ≤ 47/6

6,8 ≤ m ≤ 7,8

Ответ:  7.

 Задача 5Игральная кость бросается 21раз. Каково наиболее вероятное количество испытаний, в которых выпадет менее 4-х очков?

Решение. Событие А - выпадение 1, 2 или 3 при одном испытании. Количество испытанийn=21.

При одном испытании вероятность наступления события А равна  3/6=1/2.

р=1/2,    q=1-p = 1/2 - вероятность не наступления события А (выпадение 4, 5 или 6).

Число m называется наивероятнейшим числом наступления события А   в серии из nнезависимых испытаний Бернулли (с вероятностью наступления события А, равной  рв одном испытании) и определяется соотношением

np-q ≤ m ≤ np+p

21*0,5 -0,5 ≤ m ≤ 21*0,5 +0,5

10 ≤ m ≤ 11

Ответ: 10;  11.

 Задача 6. Игральная кость бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число появления числа очков кратного трем.

Решение. Событие А - выпадение 3 или 6 при одном испытании. Количество испытаний 16.

При одном испытании вероятность наступления события А равна р=2/6=1/3, а вероятность не наступления равна q=1 -1/3 =2/3

np-q ≤ m ≤ np+p    m-наивероятнейшее число наступления события А.

n=16  p=1/3   q=2/3

16*1/3 - 2/3 ≤ m ≤ 16*1/3 + 1/3

14/3  ≤ m ≤ 17/3

4,7  ≤ m ≤ 5,6                   m=5

Ответ: 5

Задача 7. Вероятность изготовления изделия высшего сорта равна 0,87. Чему равно наиболее вероятное число изделий высшего сорта в партии из 100

изделий.

Решение.  Событие А - изготовлено изделие высшего сорта, вероятность наступления события А  р=0,87, вероятность не наступления события А  q=1-0,87=0,13.

n=100 - количество испытаний Бернулли (количество изготовленных изделий).

m - наивероятнейшее число изделий высшего сорта

        np-q ≤ m ≤ np+p

100*0,87 - 0,13 ≤ m ≤ 100*0,87 + 0,87

87-0,13 ≤ m ≤ 87 +0,87

m=87

Задача 8. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
hello_html_m4983c0f9.gif, hello_html_75431461.gif. 
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна
 
hello_html_4a21f2c2.gif.

Задача 9.  Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.

Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность hello_html_e9f221.gif, тогда hello_html_2402176b.gif. Отсюда по формуле Бернулли находим
hello_html_332b5f78.gif.

Задача 10.  При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:

hello_html_m58fece1b.gif

Задача 11.   Что вероятнее: выиграть у равносильного противника три партии из четырех или пять партий из восьми (ничьи в отдельных партиях исключены)?

Решение.   Пусть p - вероятность выигрыша, а q = 1 - p - вероятность проигрыша одной партии, тогда по формуле Бернулли

есть вероятность ровно m выигрышей в турнире из n партий. По условию задачи p = 1/2. Для такого значения p требуется сравнить вероятности P4(3) и P8(5). Имеем:

P4(3)


P8(5)


=


C43(1/2)3(1/2)


C85(1/2)5(1/2)3


= 2
4


C43


C85


= 8 / 7 > 1.

Следовательно, P4(3) > P8(5).


Итак, у равносильного противника легче выиграть три партии из четырех, чем пять партий из восьми.





Автор
Дата добавления 16.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров507
Номер материала ДБ-124600
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх