Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практическая работа «Решение систем линейных уравнений третьего порядка методом Крамера»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Практическая работа «Решение систем линейных уравнений третьего порядка методом Крамера»

библиотека
материалов


Практическая работа

«Решение систем линейных уравнений третьего порядка методом Крамера»


Цели работы:

  • расширить представление о методах решения СЛУ и отработать алгоритм решения СЛУ методом Крамора;

  • развивать логическое мышление студентов, умение находить рациональное решение задачи;

  • воспитывать у студентов аккуратность и культуру письменной математической речи при оформлении ими своего решения.


Основной теоретический материал.

Метод Крамера . Применение для систем линейных уравнений.

Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_002.gif неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_003.gif, а свободными членами - числаhttp://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_004.gif

Первый индекс http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_006.gifвозле коэффициентов http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_007.gifуказывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_008.gif- при котором из неизвестным он находится.http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_005.gif

Если определитель матрицы http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_009.gifне равен нулю

то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение. Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_011.gif чисел http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_012.gif, которая приhttp://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_013.gif превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство. Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_014.gif Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае - несовместимой. Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственное, систему уравнений называют неопределенной. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_010.gif

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

Решение СЛАУ можно найти разными способами, например , по формулам Крамера (метод Крамера)

Теорема Крамера.  Если определитель http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_015.gifсистемы http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_016.gif линейных алгебраических уравнений с http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_017.gif неизвестными отличен от нуля http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_018.gifто эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_019.gifhttp://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_020.gif- определители, образованные с http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_021.gif заменой http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_022.gif-го столбца, столбцом из свободных членов.

Если http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_023.gif, а хотя бы один из http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_024.gif отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_025.gif, то СЛАУ имеет множество решений.

Задача 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Решение.http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_026.gif

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_027.gifhttp://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_028.gif

Так как http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_029.gif, то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_030.gifhttp://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_031.gif

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_032.gifhttp://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_033.gif

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_034.gifhttp://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_035.gif

По формулам Крамера находим неизвестные http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_036.gif

Итак http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_037.gifединственное решение системы.

Задача 2.

Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_038.gif

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_039.gifhttp://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_040.gif

Найдем составляющие определителя:

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_041.gif

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_042.gif

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_043.gif

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_044.gif

Подставим найденные значения в определитель http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_045.gif

Детерминант http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_046.gif, следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_047.gif

Разложим каждый из определителей по столбцу в котором есть больше нулей.

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_048.gif

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_049.gif

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_050.gif

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_051.gif

По формулам Крамера находим

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_052.gif

Решение системы http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_053.gif


Задания для самостоятельного решения:

ВАРИАНТ 1 Решите систему уравнений по формулам Крамера

ВАРИАНТ 2

hello_html_m103a65a2.gif1) hello_html_m5fcd3195.gif

2) hello_html_75e160d9.gif

3) hello_html_7ff63a34.gif


  1. hello_html_m164539b8.gif


  1. hello_html_m64593a47.gif



  1. hello_html_393b7a35.gif



Критерии оценивания:

Работа оценивается на «3»,если: самостоятельно полностью и верно решена одна из систем.

Работа оценивается на «4»,если: самостоятельно полностью и верно решены любые две системы.

Работа оценивается на «5»,если: самостоятельно полностью и верно решены три системы.



Автор
Дата добавления 01.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров736
Номер материала ДВ-497787
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх