Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практические работы по математике 10-11 класс СПО

Практические работы по математике 10-11 класс СПО

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_41ef0e2d.gifhello_html_m35386447.gifhello_html_41ef0e2d.gifhello_html_m35386447.gifhello_html_m34215cbf.gifhello_html_c3b2d9a.gifhello_html_m3ae7f908.gifhello_html_58b47592.gifhello_html_m3d04b40b.gifhello_html_m3ae7f908.gifhello_html_58b47592.gifhello_html_m46c094dd.gifhello_html_m5882d934.gifhello_html_17fc5bc3.gifhello_html_58b47592.gifhello_html_m5882d934.gifhello_html_m3ae7f908.gifhello_html_316b3599.gifhello_html_4e4cf525.gifhello_html_2c22e68c.gifhello_html_m24e0680b.gifhello_html_371a4ef4.gifhello_html_4aa47a78.gifhello_html_m20eec9be.gifhello_html_639200b7.gifhello_html_6756c778.gifhello_html_13d64536.gifhello_html_6908f678.gifhello_html_210be328.gifhello_html_m5bf48bbf.gifhello_html_30193a8c.gifhello_html_2fef830d.gifhello_html_m6d5ab4b0.gifhello_html_m13af61fd.gifhello_html_3e0ec2b3.gifhello_html_m36c692e9.gifhello_html_276e4d34.gifhello_html_m752b96a4.gifhello_html_m6bc07f46.gifhello_html_m7c77d506.gifhello_html_3e6a1bfd.gifhello_html_m7c77d506.gifhello_html_2440a218.gifhello_html_m7c77d506.gifhello_html_m5a909f2c.gifhello_html_m588cbab5.gifhello_html_m3a93c8b1.gifhello_html_m8a002ee.gifhello_html_56d57cda.gifhello_html_50e51fbb.gifhello_html_m353ba23f.gifhello_html_m4f543e96.gifhello_html_m2622a713.gifhello_html_m34215cbf.gifhello_html_m32128b5f.gifhello_html_2e1659fc.gifhello_html_m34215cbf.gifhello_html_373d85e.gifhello_html_m3ae7f908.gifhello_html_m7a932e17.gifhello_html_m5882d934.gifhello_html_m59f7bf89.gifhello_html_75c4bed9.gifhello_html_27988196.gifhello_html_m5a587fd7.gifhello_html_m618753f0.gifhello_html_m67a4f989.gifhello_html_m3ae7f908.gifhello_html_27988196.gifhello_html_1bcf4c20.gifhello_html_1418389a.gifhello_html_m5264b830.gifhello_html_m3003c646.gifhello_html_m5882d934.gifhello_html_m34215cbf.gifhello_html_4b10e462.gifhello_html_m5882d934.gifhello_html_m3ae7f908.gifhello_html_m2dd333ba.gifhello_html_757619e0.gifhello_html_1bcf4c20.gifhello_html_m630d447c.gifhello_html_5ec538f3.gifhello_html_27988196.gifhello_html_27988196.gifhello_html_m5882d934.gifhello_html_4f61b498.gifhello_html_m8a002ee.gifhello_html_m34215cbf.gifhello_html_27988196.gifhello_html_11c96901.gifhello_html_a5ea07a.gifhello_html_1015b237.gifhello_html_m567b044a.gifhello_html_28ec6276.gifhello_html_622b2d5c.gifhello_html_53dc79d1.gifhello_html_622b2d5c.gifhello_html_m567b044a.gifhello_html_28ec6276.gifhello_html_m1a77ffad.gifhello_html_738140d9.gifhello_html_m2e446ad2.gifhello_html_24d7302.gifhello_html_2323d165.gifhello_html_m4e87e645.gifhello_html_50e51fbb.gifhello_html_7aab2dd7.gifhello_html_m3ae7f908.gifhello_html_m34215cbf.gifhello_html_5aabf47c.gifhello_html_m3ae7f908.gifhello_html_m2622a713.gifhello_html_m34215cbf.gifhello_html_56ea4e90.gifhello_html_m5882d934.gifhello_html_m3ae7f908.gifhello_html_75c4bed9.gifhello_html_m5a587fd7.gifhello_html_m5882d934.gifhello_html_m4165a06d.gifhello_html_50e51fbb.gifhello_html_27988196.gifhello_html_m48e75182.gifhello_html_m5882d934.gifhello_html_27988196.gifhello_html_48f85cc7.gifhello_html_27988196.gifhello_html_m3ae7f908.gifhello_html_m48e75182.gifhello_html_58b47592.gifhello_html_m5882d934.gifhello_html_m5374f777.gifhello_html_m3ae7f908.gifhello_html_58b47592.gifhello_html_m5374f777.gifhello_html_792429a1.gifhello_html_58b47592.gifhello_html_m654029c3.gifhello_html_58b47592.gifhello_html_27988196.gifhello_html_339d93d8.gifhello_html_58b47592.gifhello_html_m3ae7f908.gifhello_html_m654029c3.gifhello_html_m3ae7f908.gifhello_html_58b47592.gifhello_html_339d93d8.gifhello_html_m3ae7f908.gifhello_html_58b47592.gifhello_html_m3c3510cd.gifhello_html_ad73232.gifhello_html_7966fd13.gifhello_html_6e459552.gifhello_html_35f06c3c.gifhello_html_m62c6d2ce.gifhello_html_4e9f206.gifhello_html_6f9feae1.gifhello_html_55979a63.gifhello_html_m235a6a4b.gifhello_html_m21d89b40.gifhello_html_m7a107c90.gifhello_html_m1d7c52c8.gifhello_html_m59c6d5f2.gifhello_html_m2d5502e6.gifhello_html_m1c9210ce.gifhello_html_3c64be86.gifhello_html_m302afc25.gifhello_html_4e1f5dc7.gifhello_html_42cc3bb2.gifhello_html_m88e712e.gifhello_html_m2911ec06.gifhello_html_7b0e7545.gifhello_html_m13081a48.gifhello_html_aa71362.gifhello_html_m42de9913.gifhello_html_m2473de17.gifhello_html_m68c2cc31.gifhello_html_2621fc2b.gifhello_html_m7c57d589.gifhello_html_m4f290985.gifhello_html_m183dbb4e.gifhello_html_2baa500a.gifhello_html_m7e1c21ec.gifhello_html_m49aed36d.gifhello_html_m3a420b03.gifhello_html_m53dd15c6.gifhello_html_m570d7dab.gifhello_html_17056a42.gifhello_html_m9782c84.gifhello_html_7a865b39.gifhello_html_44eabfde.gifhello_html_f2eb416.gifhello_html_m1c3c3de3.gifhello_html_e253e06.gifhello_html_37a14081.gifhello_html_5a034ab1.gifhello_html_m29d7d162.gifhello_html_m1fb177f6.gifhello_html_m3f3e89e0.gifhello_html_m283b1a5.gifhello_html_247f5996.gifhello_html_23e322cd.gifhello_html_m83a8aa9.gifhello_html_4de2276a.gifhello_html_29f3093.gifhello_html_m79815b53.gifhello_html_m2085fc4f.gifhello_html_m20d410db.gifhello_html_45ee550e.gifhello_html_37a0042b.gif

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ИВАНОВСКОЙ ОБЛАСТИОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ № 42 Г. ШУЯ























практические РАБОТЫ





ОДП.01 « Математика»






























ШУЯ 2014год.





Тема 1. Повторение


Практическая работа №1. «Выражение отдельных параметров»

Цель: уметь выразить отдельный параметр из данной формулы.


1.Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P=I2R, где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R (в омах), если мощность составляет 180 Вт, а сила тока равна 6 А


2. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой F=1,8C+32, где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Фаренгейта соответствует 1 по шкале Цельсия?


3.В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C=6500+4000n, где n — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 11 колец. Ответ укажите в рублях.

4.В лабораторию купили электронный микроскоп, который даёт возможность различать объекты размером до 210− 6  см. Выразите эту величину в миллиметрах.

  • 1)

0,002

  • 2)

0,0002

  • 3)

0,00002

  • 4)

0,000002





























.

Практическая работа №2. «Решение уравнений и неравенств второй степени»

Цель: развитие умений решать уравнения и неравенства 2 степени.

Квадратное уравнение.

Определение. Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b и c – любые действительные числа, причем а≠0, х – переменная, называется квадратным уравнением.

a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

Решение неполных квадратных уравнений. 

  • ax2=0 – неполное квадратное уравнение (b=0, c=0). Решение: х=0. Ответ: 0.

  • ax2+bx=0 – неполное квадратное уравнение (с=0). Решение: x (ax+b)=0 → x1=0 или ax+b=0 → x2= -b/a. Ответ: 0; -b/a.

  • ax2+c=0 – неполное квадратное уравнение (b=0); Решение: ax2=-c → x2=-c/a.

Если (-c/a)<0, то действительных корней нет. Если (-с/а)>0, то имеем два действительных корня:

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/04/alg-kv-ur11.jpg



Решение полных квадратных уравнений.

  •  ax2+bx+c=0 – квадратное уравнение общего вида 

Дискриминант D=b2— 4ac.

Если D>0, то имеем два действительных корня:

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/04/alg-kv-ur21.jpg

Если D=0, то имеем единственный корень (или два равных корня) х=-b/(2a).

Если D<0, то действительных корней нет.

  •  ax2+bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при четном втором

 коэффициенте b

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/04/alg-kv-ur3.jpg

  •  ax2+bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии: a-b+c=0. 

Первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус с, деленному на а: x1=-1, x2=-c/a.

  •  ax2+bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии: a+b+c=0

Первый корень всегда равен единице, а второй корень равен с, деленному на а:

x1=1, x2=c/a.

Задание.


1.Укажите неравенство, которое не имеет решений.

  • 1)

hello_html_7a2a5240.gif2x−35>0

  • 2)

hello_html_7a2a5240.gif2x+35>0

  • 3)

hello_html_7a2a5240.gif2x+35<0

  • 4)

hello_html_7a2a5240.gif2x−35<0


2. Найдите корни уравнения 5hello_html_7a2a5240.gif+20x=0.



3.На каком из рисунков изображено решение неравенства 81x2<16?

  • 1)

http://opengia.ru/resources/065E003738BDA2E044809345E9ED78F4-GMA2014081514-xs3qvrsrcB0A3A38C3076A1EE4AB36120251DA4CB-1-1398258130/repr-0.png

  • 2)

http://opengia.ru/resources/065E003738BDA2E044809345E9ED78F4-GMA2014081514-xs3qvrsrc1F3EDC5A8ED78D794F0B6ABFEB751189-1-1398258132/repr-0.png

  • 3)

http://opengia.ru/resources/065E003738BDA2E044809345E9ED78F4-GMA2014081514-xs3qvrsrc2EA28420FD12BF9B4C5D50530BF05BCD-1-1398258134/repr-0.png

  • 4)

http://opengia.ru/resources/065E003738BDA2E044809345E9ED78F4-GMA2014081514-xs3qvrsrc01EE1ED6B8D29F874F6BEBC8DD9AD1C5-1-1398258137/repr-0.png




4. На каком рисунке изображено множество решений неравенства

x2−3x−4≥0?

  • 1)

http://opengia.ru/resources/FA42499F37858DB744BD7C99DB3FEE24-G13II0804-xs3qvrsrcD658C1D0B8A8996F4F2072A95882B178-1-1398246631/repr-0.png

  • 2)

http://opengia.ru/resources/FA42499F37858DB744BD7C99DB3FEE24-G13II0804-xs3qvrsrc54D46CB837F6842147F77AB45A1927BF-1-1398246637/repr-0.png

  • 3)

http://opengia.ru/resources/FA42499F37858DB744BD7C99DB3FEE24-G13II0804-xs3qvrsrcD273A9A91FC2A2F24462674540B59F02-1-1398246634/repr-0.png

  • 4)

http://opengia.ru/resources/FA42499F37858DB744BD7C99DB3FEE24-G13II0804-xs3qvrsrc8BBDDDA8E7948DF04B1037894115A944-1-1398246640/repr-0.png

5. Найдите корни уравнения x2+3x=10.










































Практическая работа № 3«Решение задач на повторение»


Цель: повторить основные методы решения задач.



1. Автобус проехал x километров и израсходовал при этом 27 литров топлива. На сколько километров хватит 80 литров топлива при таких же условиях езды? Запишите соответствующее выражение.



2. Расходы на одну из статей городского бюджета составляют 6,8%. Выразите эту часть бюджета десятичной дробью.


3. В начале учебного года в школе было 540 учащихся, а к концу года их стало 648. На сколько процентов увеличилось за учебный год число учащихся?




4. Два человека  одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,7 км/ч, а другой — со скоростью 4,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?



5. Стоимость проезда в электричке составляет 236 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей будет стоить проезд для 3 взрослых и 17 школьников?
































Тема 2. Развитие понятий о числе.

Практическая работа № 1 . Решение задач по теме: «Действительные числа».

Цель: закрепление навыка решения задач с действительными, комплексными числами.


Натуральные числа. Числа, которые используются для счета предметов: 1, 2, 3, ... . N = {1, 2, 3, ...} - множество натуральных чисел.

Целые числа. Натуральные числа 1, 2, 3, ... и число 0 образуют множество целых чисел. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} - множество целых чисел.

Рациональные числа. Числа которые можно представить в виде nmmhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char32.pngZhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.pngnhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char32.pngN, называют рациональными.Q = N + Z + {nmmhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char32.pngZhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.pngnhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char32.pngN} - множество рациональных чисел.

Замечание. Любое рациональное число - бесконечная периодическая десятичная дробь

Иррациональные числа. Числа, которые нельзя представить в виде nmmhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char32.pngZhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.pngnhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char32.pngN, называют иррациональными. I = {http://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char60.pnghttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.pnghttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char19.pnghttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.pnghttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char70.png7http://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.pnghttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char70.png73http://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.pnghttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.pnghttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.pnghttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png } - иррациональные числа

Замечание. Любое иррациональное число - бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Действительные числа. объединение рациональных и иррациональных чисел называют действительтными числами. Множество действительных чисел обозначают символом R.

 Rhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char1B.pngQhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char1B.pngZhttp://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char1B.pngN

Замечание. Любое действительное число - бесконечная десятичная дробь.


Множество рациональных чисел – это множество дробей вида http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113574/933ffff0_9e3b_0131_b4fd_12313c0dade2.png , где http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113553/787e70d0_9e3b_0131_b4e8_12313c0dade2.png, а http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113563/85c6c410_9e3b_0131_b4f2_12313c0dade2.png, причём http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113564/86fbd760_9e3b_0131_b4f3_12313c0dade2.png. Любая обыкновенная дробь может быть представлена в виде десятичной дроби, и наоборот.

Например

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113591/a85321e0_9e3b_0131_b50e_12313c0dade2.png (а)

Давайте теперь посмотрим, чем будет отличаться дробь http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113592/a98b5690_9e3b_0131_b50f_12313c0dade2.png. Эту дробь также можно представить в виде десятичной дроби, однако мы получим одну особенность: мы получим десятичную бесконечную, но периодическую дробь: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113593/aac5a750_9e3b_0131_b510_12313c0dade2.png (цифра «(3)» в скобках означает, что она будет повторяться в периоде, т. е. до бесконечности). (б)

Таким образом мы видим, что каждую обычную правильную дробь мы можем представить в виде десятичной дроби (либо обычной дроби (вариант (а)), либо в виде бесконечной, но периодичной дроби (вариант (б))).

Мы можем вывести закономерность, что конечная десятичная дробь у нас получается в случае, если в знаменателе обычной дроби у нас стоит число, которое делится на 2 или на 5.

Например:

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113594/abfa9190_9e3b_0131_b511_12313c0dade2.png0,05

Если же в знаменателе будет стоять число, которое при разложении на множители будет иметь любое другое простое число (не 2 и не 5), то такая простая дробь при переходе в десятичную будет становиться бесконечной периодичной.

Мы видим, что перевод дроби из обычной в десятичную не сложен, однако иногда нам необходимо сделать обратную задачу, рассмотрим такой пример.

Задача

Дано: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113595/ad5c1190_9e3b_0131_b512_12313c0dade2.png 

Задача: перевести данную десятичную периодическую дробь в вид обычной дроби.

Поскольку в условии нам дали бесконечную периодическую десятичную дробь, то по определению, мы можем её представить в виде обычной дроби.

Мы имеем бесконечный «хвост» у исходной дроби, для того чтобы упростить себе задачу переведения исходной десятичной дроби в обычную, давайте домножим её на 100.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113596/ae8f7180_9e3b_0131_b513_12313c0dade2.png (а)

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113597/afc06a50_9e3b_0131_b514_12313c0dade2.png (б)

Теперь вычтем из уравнения (б) уравнение (а)

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113598/b0e935b0_9e3b_0131_b515_12313c0dade2.png

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113599/b23fcac0_9e3b_0131_b516_12313c0dade2.png

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113600/b378eb50_9e3b_0131_b517_12313c0dade2.png

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113601/b4c65250_9e3b_0131_b518_12313c0dade2.png

Ответ: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113602/b5f5a490_9e3b_0131_b519_12313c0dade2.png







Задание.


1.К какому множеству чисел относятся нижеприведенные числа: а) -3, 5,http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113603/b7466710_9e3b_0131_b51a_12313c0dade2.png; б)  http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113569/8d221e70_9e3b_0131_b4f8_12313c0dade2.png , http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113604/b87f6ba0_9e3b_0131_b51b_12313c0dade2.png; в) http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113605/b9b95e30_9e3b_0131_b51c_12313c0dade2.png

2. Переведите в десятичные дроби: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113606/bada5b40_9e3b_0131_b51d_12313c0dade2.png , http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113607/bc332640_9e3b_0131_b51e_12313c0dade2.png , http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113608/bd68d5d0_9e3b_0131_b51f_12313c0dade2.png

3.Переведите в обычные дроби: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113609/beb70a90_9e3b_0131_b520_12313c0dade2.png , http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113610/bfdf7190_9e3b_0131_b521_12313c0dade2.png , http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/113611/c14cbc90_9e3b_0131_b522_12313c0dade2.png





Практическая работа № 2. Решение задач по теме: «Приближенные значения»

Цель: знать правило округления чисел.


Правило округления чисел

В приближенных вычислениях зачастую приходится округлять некоторые числа, как приближенные, так и точные, то есть убирать одну или несколько конечных цифр. Для того чтобы обеспечить наибольшую близость отдельного округленного числа к округляемому числу, следует соблюдать некоторые правила.

Первое правило

Если первая из отделяемых цифр больше, чем число 5, то последняя из оставляемых цифр усиливается, иначе говоря, увеличивается на единицу. Усиление так же предполагается и тогда, когда первая из убираемых цифр равна 5, а за ней имеется одна или некоторое количество значащих цифр.

Число 25,863 округлённо записывается как – 25,9. В данном случае цифра 8 будет усилена до9, так как первая отсекаемая цифра 6, больше чем 5.

Число 45,254 округлённо записывается как – 45,3. Здесь цифра 2 будет усилена до 3, так как первая отсекаемая цифра равна 5, а за ней следует значащая цифра 1.

Второе правило

В случае если первая из отсекаемых цифр меньше чем 5, то усиления не производится.

Число 46,48 округлённо записывается как – 46. Число 46 наиболее близко к округляемому числу, чем 47.

Третье правило

Если отсекается цифра 5, а за ней не имеется значащих цифр, то округление выполняется на ближайшее четное число, другими словами, последняя оставляемая цифра остаётся неизменной, если она четная, и усиливается в случае, если она нечетная.

Число 0,0465 округлённо записывается как – 0,046. В данном случае усиления не делается, так как последняя оставляемая цифра 6 является чётной.

Число 0,935 округлённо записывается как – 0,94. Последняя оставляемая цифра 3усиливается, так как она является нечётной.

Примеры округления чисел:

6,527 → 6,5

2,195 → 2,2

0,950 → 1,0

0,850 → 0,8

0,456 → 0,5

1,450 → 1,4

4,851 → 4,9

0,05 → 0,0




Задание.

1.Округлить числа:

- до единиц – 965,049;

- до десятых – 348,645;

- до целых – 770,357;

- до сотых – 2953,697;

- до единиц тысяч – 1536,728.



2. Сколько потребуется автомашин для перевозки 3,25 тонн груза, если одна машина может взять не более 1 тонны






Практическая работа № 3. «Непрерывные дроби»

Цель: развитие навыка работы с непрерывными дробями.



1.Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 – на учебу в школе, 1/6 – на просмотр кинофильмов, 1/70 – на решение олимпиадных задач и 1/3 – на сон. Можно ли так жить?



2.Представьте следующие рациональные числа в виде десятичных дробей: 

а) $ {\dfrac{1}{7}}$;    б) $ {\dfrac{2}{7}}$;    в) $ {\dfrac{1}{14}}$;    г) $ {\dfrac{1}{17}}$. 



3.Представьте следующие числа в виде обычных и в виде десятичных дробей: 

а) 0,(12) + 0,(122);         б) 0,(3) . 0,(4);        в) 0,(9) - 0,(85). 









































Практическая работа № 4 «Применение процентов в экономических расчетах»

Цель: уметь использовать расчет процентов в экономических задачах.


  Решение задач с использованием понятия коэффициента увеличения..

Чтобы увеличить положительное число а на р процентов, следует умножить  число а на коэффициент увеличения  к=(1+0,01р).

Чтобы уменьшить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент уменьшения к= (1-0,01р).

Пример.  Вклад, вложенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 13125 руб. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?

            Решение. Если а (рублей) – размер первоначального вклада, то в конце первого года вклад составит 1,25а а в конце второго года размер вклада составит 1,25 *1,25а. Решая уравнение 1,25* 1,25а=13125, находим а=8400.

            Ответ: 8400 руб.

Пример. В феврале цена на нефть увеличилась на 12% по сравнению с январской. В марте цена нефти упала на 25%. На сколько процентов мартовская цена изменилась  по сравнению с январской?

Решение. Если х – январская цена нефти, то февральская цена нефти равна

 (1 +0,01*12)х = 1,12х. Чтобы вычислить мартовскую цену у на нефть, следует умножить февральскую цену 1,12х на (1-0,01*25)=0,75, т.е. у=0,75 1,12х=0,84х , мартовская цена отличается от январской на (0,84х)/х100 –100=84-100= -16(%), т.е. цена упала на 16 %

            Ответ: цена упала на 16%.


Вариант 1.

  1. В двух библиотеках было одинаковое количество книг. Через год число книг в первой библиотеке увеличилось на 50%, а во второй – в 2 раза. В какой библиотеке число книг стало больше?

А. В первой библиотеке.

Б. Во второй библиотеке.

В Книг стало поровну.

Г. Для ответа не хватает данных.

2. При покупке стиральной машины стоимостью 6500 р. покупатель предъявил вырезанную из газеты рекламу, дающую право на 5% скидки. Сколько он заплатит за машину?

А. 325 р. Б. 3250 р. В. 6175 р. Г. 6495 р.

3. Предприятие разместило в банке 5 млн.р. под 8% годовых. Какая сумма будет на счету предприятия через год?

А. 13 млн. р. Б. 5,4 млн. р. В. 9 млн. р. Г. 0,4 млн. р.

4. Средний вес мальчиков того же возраста, что и Сергей, равен 48 кг. Вес Сергея составляет 120% среднего веса. Сколько весит Сергей?

А. 57,8 кг. Б. 57,6 кг. В. 40 кг. Г. 9,6 кг.

5. Перед Новым годом цены в магазине подарков были снижены на 25%. Некоторый товар до уценки стоил х р. Ученик записал четыре выражения для вычисления новой цены товара. Одно из них неверно. Какое?

А. х – 0,25х. Б. 0,75х. В. х - 25. Г. х- hello_html_38b20ca4.gif.

Вариант 2.

1. В двух библиотеках было одинаковое количество книг. Через год число книг в первой библиотеке увеличилось на 50%, а во второй – в 1,5 раза. В какой библиотеке число книг стало больше?

А. В первой библиотеке.

Б. Во второй библиотеке.

В Книг стало поровну.

Г. Для ответа не хватает данных.

2. Плата за коммунальные услуги составляет 800 р. Сколько придётся платить за коммунальные услуги после их подорожания на 6%?

А. 48р. Б. 480 р. В. 806 р. Г. 848 р.

3. Уровень воды в реке находился на отметке 2,4 м. в первые часы наводнения он повысился на 5%. Какой отметки при этом достигла вода в реке?

А. 0,12 м. Б. 2,52 м. В. 3,6 м. Г. 7,4 м.

4. Средний вес девочек того же возраста, что и Маша, равен 36 кг. Вес Маши составляет 110% среднего веса. Сколько весит Маща?

А. 32,4 кг. Б. 39,6 кг. В. 36кг. Г. 3,6 кг.

5. За год цены на бензин выросли на 20%. В начале года 1 л. бензина марки А стоил х р. Ученик записал четыре выражения для вычисления новой цены бензина этой марки.. Одно из них неверно. Какое?

А. х _ 0,2х. Б. х + 20. В. 1,2х. Г. х + hello_html_m18124726.gif



























Практическая работа №5. Решение задач по теме: «Комплексные числа»


Цель: развитие навыка работы с комплексными числами.

  1. Найдите hello_html_m568bea01.gif, если hello_html_m1b95c204.gif

  2. Найдите hello_html_m568bea01.gif, если hello_html_m20789db8.gif

  3. Найдите модуль комплексного числа hello_html_m35c228f.gif

  4. Округлите число hello_html_m194d85a7.gif с точностью до 1. найдите абсолютную и относительную погрешности округления

  5. Округлите число hello_html_m137802e1.gif с точностью до 0,01. найдите абсолютную и относительную погрешности округления

  6. Представьте в виде обыкновенной дроби число hello_html_7a080028.gif

  7. Представьте в виде обыкновенной дроби число hello_html_342e18d.gif

  8. Представьте в виде обыкновенной дроби число hello_html_m1af2cdda.gif

  9. Найдите модуль комплексного числа hello_html_1ba94a5d.gif

  10. Найдите модуль комплексного числа hello_html_22f1c854.gif





































Практическая работа №6. Решение задач по теме: «Операции с комплексными числами»









  1. Найдите hello_html_10ad271d.gif, если hello_html_m382a3de2.gif

  2. Найдите hello_html_10ad271d.gif, если hello_html_m20789db8.gif

  3. Найдите hello_html_10ad271d.gif, если hello_html_m1b95c204.gif

  4. Изобразите число на комплексной плоскости hello_html_m242678ba.gif

  5. Изобразите число на комплексной плоскости hello_html_m47bd34a1.gif

  6. Изобразите число на комплексной плоскости hello_html_2356bc02.gif









































Тема 3. Корни, степени и логарифмы


Практическая работа №1. «Решение задач на нахождение корня n-ой степени».


Цель: использование навыка работы с корнями, степенями и логарифмами.





Задание

C:\Users\Пахан\Desktop\Задание 1 (корни, свойства).jpg





























Практическая работа №2 «Решение задач на действие со степенями»

Практические советы:

1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделатьодинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоятодинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах - считаем.

3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".

Задача №1:

http://base.mathege.ru/tasks/1000/1001/1001_1.png

* * *

Задача №2:

http://base.mathege.ru/tasks/1000/1002/1002_1.png

* * *

Задача №3:

http://base.mathege.ru/tasks/1000/1003/1003_1.png

* * *

Задача №4:

http://base.mathege.ru/tasks/1000/1004/1004_1.png

* * *

Задача №5:

http://base.mathege.ru/tasks/1000/1005/1005_1.png

* * *

Задача №6:

http://base.mathege.ru/tasks/1000/1006/1006_1.png

* * *

Задача №7:

http://base.mathege.ru/tasks/1000/1007/1007_1.png




Практическая работа №3. Решение задач по теме: «Логарифмы»



Простейшие логарифмы находят на основании определения логарифма.

Примеры.

По определению, логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.

  \[1){\log _3}9 = 2\]

Здесь основание — 3, под знаком логарифма — 9. Чтобы получить 9, основание 3 надо возвести в степень 2. Поэтому логарифм девяти по основанию три равен двум.

(Упростить работу поможет таблица степеней чисел).

  И чему же равен log24?

Переводим с математического на русский: log24 - это число, в которое надо возвести 2 (основание), чтобы получить 4. Ну, во что надо возвести 2, чтобы получить 4!?

Да! В двойку надо возвести! Вот и ответ:

log24 = 2

А log327 чему равен? Тройка в какой степени даст 27? В третьей! Ответ:

log327 = 3



Задание.

log381 =

log416 =

log55 =

log6216 =

  




Практическая работа №4. « Преобразование показательных выражений».


  1. Если основание степени больше 1, то при сравнении показателей степеней знак неравенства необходимо сохранить.

  2. Если основание степени 0<a<1, то при сравнении показательных степеней знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

af(x)>ag(x) af(x)>ag(x)

01

f(x)

  1. Степени необходимо приводить к одному основанию.




Решите неравенство:

  1. 2х  4;

  2. hello_html_388f29de.gifх  9;

  3. hello_html_31438fc.gifх  2хhello_html_3046c012.gif hello_html_m6e75b98a.gif;

  4. 8  2 – 6  2х + 1  0;


  1. 6х-1 + 6х – 6х+1  -29;


Решите неравенство:

  1. 2х hello_html_m79b2d569.gif;

  2. hello_html_388f29de.gifх  81;

  3. 3хhello_html_3046c012.gif hello_html_267200e3.gifх 27;

  4. hello_html_m58ebbbeb.gif + 4  hello_html_m58ebbbeb.gifх  -5;

4 –16  4х  0











Практическая работа №5. « Преобразование логарифмических выражений»


  1. При логарифмировании выражений необходимо подставить знак логарифма в правой и левой части выражения и произвести необходимые преобразования.

  2. Для решения уравнения следует применять определение логарифма или переход от степени к логарифму.


Вычислите:

  1. log 232 – log 3hello_html_466a24fe.gif - log 32hello_html_5b2c8e3e.gif;

  2. lg 8 + lg 12,5;

  3. log 5 64 : log 54


Найдите х, если:

log 3 x = 2 log 3 7 + hello_html_m6a772bb3.giflog 3 27-hello_html_m6a772bb3.giflog316


Вычислите:

  1. log 327 + log 2 hello_html_m1b704854.gif - log 15 hello_html_m16555f14.gif

  2. lg 2 + lg 5;

  3. log 3 32 : log 32


Найдите х, если:

log 2 x = 2log 2 5 - hello_html_m5f640c3e.giflog 2 8 + log 2 0,2;

















Практическая работа №6.

Решение задач по теме: «Действия с логарифмами».


Задание.

Вариант1.


  1. Решите уравнения:

  1. log 9 x = hello_html_m5f640c3e.gif;

  2. log x 36 = 2;

  3. log 2 (3x+1) = 3;

  4. log 0,5 (x2 - 1) = -3;


  1. Решите неравенство:

    1. lg x  -1

    2. log 2 (4x – 1) < 4





Вариант2.



    1. Решите уравнения:

  1. log 9 x =hello_html_466a24fe.gif;

  2. log x 125 = 3;

  3. log 0,5 (3 – 4x) = -3;

  4. log 0,25 (4 – x2) = -hello_html_m1b704854.gif;

2.Решите неравенство:

    1. log 0,5 x -1

    2. log 25 (9 - x) >-hello_html_m1b704854.gif;















Тема 4. Прямые и плоскости в пространстве.

Цель: отработка навыка решения задач по теме.



Практическая работа №1. «Перпендикулярность прямой и плоскости».

1. Длина стороны ромба ABCD равна 5 см, длина диагонали BD равна 6 см. Через точку О пересечения диагоналей ромба проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки К до вершин ромба, если ОК = 8 см.

Дано: ABCD - ромб. АВ = 5 см. BD = 6 см. OK  (ABC), OK = 8 см (рис. 1).

Найти: КА, КВ, КС, KD.

Ответ: http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image1383.jpg

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image1376.jpg

2.Длины сторон прямоугольника равны 8 и 6 см. Через точку О пересечения его диагоналей проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки К до вершин прямоугольника, если ОК = 12 см.

Дано: ABCD - прямоугольник; АВ = DC = 6 см; AD = ВС = 8 см. AC  BD = 0;OK  ABCD; ОК = 12 см (рис. 3).

Найти: КА, КВ, КС, KD. (Ответ: КА = КВ = КС = КР = 13 см.)



 









Практическая работа №2,3 : «Угол между прямой и плоскостью»,

«Двугранный угол».

1.Длина катета прямоугольного равнобедренного треугольника равна 4 см. Плоскость α, проходящая через катет, образует с плоскостью треугольника угол, величина которого равна 30°. Найдите длину проекции гипотенузы на плоскость α.

Дано: http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image1384.jpghttp://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image1385.jpg (рис. 2).

Найти: КВ.

 

image429



1.Решение: http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image1377.jpghttp://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image1378.jpg - свойство диагоналей ромба. KB1, KC1, KA1, KD - наклонные к плоскости (ABCD) из одной точки. КА = КС, КВ = KD.

1) Из ΔКОВ: O = 90°; КО = 8 см, ВО = OD = 3 см. По теореме Пифагора http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image1379.jpg

2) Из ΔВОА: O = 90°; ОВ = 3 см, АВ = 5 см. По теореме Пифагора http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image1380.jpg Из ΔКОА: O = 90°. По теореме Пифагора http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image1381.jpghttp://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image1382.jpg  (Ответ: http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image1383.jpg)

 

 

2.Длины сторон треугольника ABC соответственно равны: ВС = 15 см, АВ = 13 см, АС = 4 см. Через сторону АС проведена плоскость а, составляющая с плоскостью данного треугольника угол 30°. Найдите расстояние от вершины В до плоскости α.

Дано: ΔАВС. ВС = 15 см, АВ = 13 см, АС = 4 cm. АС  α. BACK = 30°. BK  α(рис. 4).

Найти: ВК.

 

image431

 

Решение: BACK - двугранный угол. АС - ребро двугранного угла. http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image1398.jpghttp://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image1399.jpg  BMK - линейный угол двугранного угла. BMK = 30°.

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image1400.jpg

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image1401.jpg

Из ΔВКМ: K = 90°; M = 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен 1/2 гипотенузы, то есть ВК = 1/2ВМ = 6. (Ответ: 6 см.)

 












Практическая работа №4. «Перпендикулярность двух плоскостей».

C:\Users\Пахан\Desktop\фгос математика\24_Рабинович_Задачи РЅР° готовых чертежах_стереом.bmp









Практическая работа №5,6«Параллельное проектирование»,

«Прямые и плоскости в пространстве».


C:\Users\Пахан\Desktop\фгос математика\19_Рабинович_Задачи РЅР° готовых чертежах_стереом.bmp






Тема 5. Элементы комбинаторики

Цель: закрепление навыка по решению простейших комбинаторных задач.

Практическая работа №1. «Решение задач на перебор вариантов»


1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным:

1) завтра будет хорошая погода;

2) в январе в городе пойдет снег;

3) в 12 часов в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце;

4) на день рождения вам подарят говорящего крокодила;

5) круглая отличница получит двойку;

6) камень, брошенный в воду утонет.

2. Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда: 5, 6, 11, 11, – 1.

3. Какова вероятность того, что задуманное двузначное число делится на 3 или делится на 2? Определите вид события.

а) сложение событий;

б) произведение событий.

4. Вычислите.

5. На стол бросают два игральных тетраэдра (серый и белый), на гранях каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с поверхностью стола?

6. Из 10 первых натуральных чисел случайно выбираются 2 числа. Вычислите вероятности

следующих событий:

а) одно из выбранных чисел – двойка; б) оба числа нечетные.





Практическая работа № 2 «Решение задач по формуле бинома Ньютона»



1.В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?

2. На каждой карточке написана одна из букв р, с, т, у, л, х. Четыре карточки наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании получится слово «стул»?








Тема 6. Координаты и векторы.

Практическая работа №1,2. «Решение задач на нахождение расстояния между двумя точками. Проекция вектора на ось»


Цель: развитие навыка нахождения расстояний между точками.



I вариант

1. Даны векторы hello_html_m1176c736.gif{2; - 4; 3} и hello_html_30336b35.gif{-3; 1/2; 1}. Найдите координаты вектора hello_html_m5fb84eda.gif.

2. Даны векторы hello_html_m1176c736.gif{1; -2; 0}, hello_html_30336b35.gif{3; -6; 0} и hello_html_498628cd.gif{0; - 3; 4}. Найдите координаты вектора

hello_html_5603c733.gif.

3. Найдите значения m,при которых векторы hello_html_m1176c736.gif{6; n;1}, hello_html_30336b35.gif{m; 16; 2} коллинеарны.


II вариант

1. Даны векторы hello_html_m1176c736.gif{1; -3; -1} и hello_html_30336b35.gif{-1; 2; 0}. Найдите координаты вектора hello_html_m7162df4b.gif.

2. Даны векторы hello_html_m1176c736.gif{2; 4; -6}, hello_html_30336b35.gif{- 3; 1; 0} и hello_html_498628cd.gif{3; 0; - 1}. Найдите координаты вектора

hello_html_4cacf42a.gif.

3. Найдите значения т и п, при которых векторы hello_html_m1176c736.gif{- 4; т; 2} и hello_html_30336b35.gif{m; - 6; 2} коллинеарны.

















Практическая работа №3. Решение задач по теме: «Координаты и векторы».




Вариант 1.


  1. Даны векторы hello_html_m26f4267e.gif3; -2; 6), hello_html_704cf281.gif(24; 43; 0) и hello_html_m7935c9cd.gif(hello_html_47f60e02.gif.

Найдите координаты векторов: а) hello_html_7c0bdb2a.gif; б) hello_html_63f2dbfa.gif+hello_html_m7935c9cd.gif; в) hello_html_m49addb9b.gif+hello_html_m5ca17382.gif; г) hello_html_63f2dbfa.gif+hello_html_m49addb9b.gif+hello_html_m6feb9ef1.gif; в) hello_html_m49addb9b.gif-hello_html_63f2dbfa.gif

  1. Даны точки А(5: -6: -9), В(2;0;0), С(-3;7;8), D(0; 5;-10) и F(0,5; 2; -1). Найдите координаты векторов hello_html_m5a72df32.gif hello_html_689a51c8.gif hello_html_38733cd2.gif hello_html_d584ae0.gif hello_html_m46c784e4.gif если точа О – начло координат.

  2. Найдите координаты векторов hello_html_527a7acf.gif hello_html_6cf84a03.gif и hello_html_78d2e6d0.gif , ели точки заданы координатами А(3;-2;3), В(1; 5/6; 6/3) и С(1/2; 1/3; 1/4).

Вариант 2.


  1. Даны векторы hello_html_m6c0ee75d.gif3; -2; 16), hello_html_704cf281.gif(26; 43; 10) и hello_html_m7935c9cd.gif(hello_html_47f60e02.gif.

Найдите координаты векторов: а) hello_html_m117d76cd.gif; б) hello_html_63f2dbfa.gif+hello_html_m7935c9cd.gif; в) hello_html_m49addb9b.gif+hello_html_m5ca17382.gif; г) hello_html_63f2dbfa.gif+hello_html_m49addb9b.gif+hello_html_m5ca17382.gif; в) hello_html_m49addb9b.gif-hello_html_m7492ccd2.gif

  1. Даны точки А(0: -6: -9), В(12;0,5; 0,5), С(-4;5;3), D(0; 5;-10) и F(1,5; 2; -1). Найдите координаты векторов hello_html_m5a72df32.gif hello_html_689a51c8.gif hello_html_38733cd2.gif hello_html_d584ae0.gif hello_html_m46c784e4.gif если точа О (0;0;1).

  2. Найдите координаты векторов hello_html_m3744ae6f.gif hello_html_69c648c8.gif и hello_html_197541ee.gif , ели точки заданы координатами А(3;-2, 1;3,5), В(1; 5/3; 6/3) и С(1/2; 1/3; 1/4).



















Тема 7.Основы тригонометрии.

Цель: закрепить умения использовать тригонометрические функции при решении уравнений, неравенств и построении графиков.


Практическая работа №1. Решение задач по теме: «Синус, косинус, тангенс и котангенс числа».

I вариант.

  1. Выразите в градусной мере величину угла: http://festival.1september.ru/articles/649465/f_clip_image028_0001.png .

  2. Выразите величину угла в радианах:http://festival.1september.ru/articles/649465/f_clip_image030_0002.png .

  3. Найдите знак произведения, используя правило знаков по четвертям: http://festival.1september.ru/articles/649465/f_clip_image032_0004.png.

  4. Вычислите значение выражения:http://festival.1september.ru/articles/649465/f_clip_image034_0001.png.

  5. Найдите значение функции http://festival.1september.ru/articles/649465/f_clip_image036_0001.png , если http://festival.1september.ru/articles/649465/f_clip_image038_0000.png и http://festival.1september.ru/articles/649465/f_clip_image040_0000.png .

II вариант.

  1. Выразите в градусной мере величину угла: http://festival.1september.ru/articles/649465/f_clip_image042_0000.png .

  2. Выразите величину угла в радианах: http://festival.1september.ru/articles/649465/f_clip_image044_0000.png .

  3. Найдите знак произведения, используя правило знаков по четвертям: http://festival.1september.ru/articles/649465/f_clip_image046_0000.png.

  4. Вычислите значение выражения: http://festival.1september.ru/articles/649465/f_clip_image034_0002.png.

  5. Найдите значение функции http://festival.1september.ru/articles/649465/f_clip_image048_0000.png , если http://festival.1september.ru/articles/649465/f_clip_image050_0001.png и http://festival.1september.ru/articles/649465/f_clip_image052_0000.png .






















Практическая работа №2. Решение задач на применение формул.


1.Вычислить:

А)hello_html_m503be2f.gif а) arcsin1

b) arccos1 b) arccos hello_html_6eec8aff.gif

c) arctghello_html_5909bbae.gif c) arcctg(-hello_html_7ab21a0a.gif )

D) ARCCOS (- hello_html_73ca8c00.gif ) - ARCSIN (- 1) D) ARCCOS (-hello_html_1fc87bde.gif )



2.Решите простейшие тригонометрические уравнения, пользуясь общими формулами:

А) sin x=- hello_html_6eec8aff.gif a) sin x=-hello_html_73ca8c00.gif

b) cos x= hello_html_1fc87bde.gif b) cos x=hello_html_6eec8aff.gif

c) cos x= - hello_html_685d8d49.gif c)sin x= -hello_html_3b7b3c70.gif






3.Решите простейшие тригонометрические уравнения, пользуясь формулами для частных случаев.

a) cos x=0 a) cos x= - 1

b) sin x=1 b)sin x=0



















Практическая работа №3,4 «Тригонометрические преобразования».


Цель: 1.закрепить навыки преобразования тригонометрических выражений;

2.закрепить навыки применения формул тригонометрии к решению задач.

Ход работы

  1. ответить на вопросы:

  1. Запишите формулу основного тригонометрического тождества и его следствие.

  2. Чему равен синус двойного угла?

  3. Как определить hello_html_m385f5ce9.gif?

  4. Заполните пропуски:

hello_html_m38e8846a.gif hello_html_m70a4bb03.gif hello_html_m5b6c311c.gif

  1. Построить графики функций:

I вар. hello_html_30c274a9.gif II вар. hello_html_md21e3dd.gif III вар. hello_html_m6a341d8a.gif

  1. решить задачи.

  2. Сформулировать вывод ( в выводе указать принципы тригонометрических преобразований).

Методические рекомендации

  1. При решении задачи следует четко определить формулу тригонометрии, которую необходимо применить.

  2. При вычислении тригонометрической функции угла hello_html_m488a2459.gif следует учитывать что: hello_html_m65abeba9.gif, т.е. значения косинуса и синуса угла ограничены промежутком hello_html_3c6a3416.gif, значение тангенса и котангенса не ограничены.

  3. При вычислении тригонометрической функции необходимо учитывать четверть, в которой находится угол.

  4. При решении задачи на вычислении значения функции угла следует помнить, что период функции необходимо исключить период функции и привести оставшейся угол к острому.

  5. Например: hello_html_m5bbb430b.gif

  6. hello_html_m262664ff.gif,

  7. hello_html_m52af1b78.gif

  8. Для перехода от градусной мере к радианной применяют формулы:

hello_html_579e8bce.gif



Задание к практической работе

Вариант I

  1. Вычислите значения остальных тригонометрических функций, если известно значение: hello_html_m7a531038.gif hello_html_m301636b7.gif

  2. Упростите выражение: hello_html_7f4cacc2.gif

  3. Выразить в радианах углы: hello_html_40ee8e7c.gif

  4. Привести к тригонометрической функции острого угла: hello_html_7e28b261.gif

  5. Упростите выражение: hello_html_ad1ec38.gif

  6. Найдите значение выражения:

а) hello_html_1a3dbe45.gif, б) hello_html_m38ccabd4.gif, hello_html_47e7da4.gif

в) hello_html_m618498c1.gif, если hello_html_m66b7a313.gif

  1. Упростите выражение: а) hello_html_29963037.gif, б) hello_html_m31fe142e.gif, в)* hello_html_m48d6e864.gif

  2. Найдите: hello_html_m69fc1ace.gif, hello_html_m3ca8e5f8.gif, если hello_html_m1b04377b.gif hello_html_m3358f0d7.gif

  3. Представить в виде произведения: а) hello_html_430546f0.gif; б) hello_html_7f8986c2.gif

  4. Найдите hello_html_4fa56abf.gif, hello_html_52b68d99.gif, hello_html_344818d2.gif, если hello_html_m197915dd.gif, hello_html_m301636b7.gif

Вариант II

  1. Вычислите остальные тригонометрические функции, если известно:

hello_html_7eab1037.gif, hello_html_3d231f94.gif

  1. Упростить выражение: hello_html_504dc2a2.gif

  2. Выразите в радианах углы: hello_html_m55e31919.gif

  3. Приведите к тригонометрической функции острого угла: hello_html_6cf47e41.gif, hello_html_6d15bc8d.gif

  4. Упростите выражение: hello_html_m3df59ed4.gif

  5. Найдите значение выражения: а) hello_html_m6f1dfa9e.gif,

б) hello_html_m632e4284.gif, в) hello_html_m599fd7f2.gif, если hello_html_m6d24e006.gif, hello_html_m3105ab3d.gif

  1. Упростите выражение:а) hello_html_3b2b13bc.gif б) hello_html_71e3961c.gif, *в) hello_html_m640feb93.gif

  2. Найдите: hello_html_m691df98c.gif если hello_html_2ebe240a.gif hello_html_5876cfa3.gif

  3. Представьте в виде произведения: а) hello_html_m766d9314.gif, б) hello_html_670da6e4.gif

  4. Найдите: hello_html_4cb325bf.gif, если hello_html_451c5973.gif hello_html_120ebdd2.gif









Практическая работа №5 Решение тригонометрических уравнений.

Цель1) закрепить навыки преобразования тригонометрических уравнений;

2) закрепить навыки применения формул тригонометрии к решению задач

Ход работы


  1. ответить на вопросы:

  1. Что называется арксинусом числа а?

  2. Какие тригонометрические уравнения не имеют решений?

  3. Перечислите частные случаи уравнения hello_html_5896c06b.gif.

  4. Запишите общую формулу корней уравнения hello_html_2105aaed.gif.

  5. Изобразите график функции hello_html_3ef2de42.gif.

II. решить уравнения.

III. Составить вывод( в выводе указать основные этапы решения тригонометрического уравнения).


Методические рекомендации


  1. Коэффициент перед неизвестной функцией или аргументам должен быть равен единице.

  2. hello_html_m74cdab54.gifпоэтому уравнения вида hello_html_mcc0f77f.gifгде hello_html_m248ecd5d.gif решений не имеют.

  3. При решении уравнения следует выбирать общий или частный случай.

  4. В уравнениях, приводимых к квадратным должна содержаться функция в квадрате, в первой степени и свободный коэффициент. Такие уравнения должны содержать синус (косинус, тангенс или котангенс). Поэтому применяют замены:

hello_html_5b1284b.gif

  1. При решении однородных тригонометрических уравнений применяют замены:

hello_html_15ec4b7b.gif


Задание к практической работе

Вариант 1. Вариант 2 .


  1. sin x =1 1. cos x = 1

  2. cos x = -1 2. sin x = -1

  3. cos x = 0 3. sin x = 0

  4. 2sin(-x) = 0 4. 5cos(-x) = 0

  5. 3ctg (-x) = 0 5. 2tg(-x) = 0


6.2cos x = 1 6. 2sin x = 1

7.2sin x = hello_html_33a02c0.gif 7. 2cos x =hello_html_33a02c0.gif

8.3tg x = hello_html_d9f48.gif 8. 2tg x = 2

9.2cos x = -hello_html_d9f48.gif 9. 2sin x = - hello_html_33a02c0.gif

10.2sin x = – 1 10. 2cos x = - 1










Практическая работа №6 Решение тригонометрических неравенств.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств

с помощью единичной окружности.

1) На оси ординат (абсцисс) отметить точку a и провести прямую y = a

(x = a), перпендикулярную соответствующей оси.

2) Отметить на окружности дугу, состоящую из точек окружности, удовлетворяющих данному неравенству (эти точки расположены по одну сторону от построенной прямой).

3) Записать числовой промежуток, точки которого заполняют отмеченную дугу, и к обеим частям неравенства прибавить период функции ( для y = sin x и y = cos x hello_html_31264b1f.gif).


Решение простейших неравенств вида sin x>a, sin xhello_html_m26ab4f86.gifa, sin xhello_html_m1c30f044.gifa, sin x<a


Пример 1. Решите неравенство sin x>hello_html_m1b704854.gif

На единичной окружности проводим прямую y = hello_html_m1b704854.gif, которая пересекает окружность в точках A и B.

Все значения y на промежутке NM больше hello_html_m1b704854.gif, все точки дуги AMB удовлетворяют данному неравенству. При всех углах поворота, больших hello_html_2c440f82.gif, но меньших hello_html_16a83adb.gif, sin x будет принимать значения больше hello_html_m1b704854.gif (но не больше единицы).

hello_html_737ba27b.gif


Таким образом, решением неравенства будут все значения на интервале hello_html_625b5679.gif, т.е. hello_html_2c440f82.gif<x<hello_html_16a83adb.gif. Для того, чтобы получить все решения данного неравенства, достаточно к концам этого промежутка прибавить 2hello_html_6597895e.gif, hello_html_m12f3f824.gif, т.е. hello_html_2c440f82.gif + 2hello_html_m61df18d6.gif<x<hello_html_16a83adb.gif + 2hello_html_m61df18d6.gif, hello_html_2c026f8a.gif. Заметим, что значения x=hello_html_2c440f82.gif и hello_html_m75065afb.gif являются корнями уравнения sinhello_html_m852c56d.gif,

т.е. hello_html_me13767a.gif=arcsinhello_html_m32d10af.gif; hello_html_m7895a249.gif.

Ответ:hello_html_739a7fee.gif, hello_html_11f0bf28.gif.


В общем виде:

hello_html_m52e2377e.gif

Ответ: hello_html_m1730a882.gif,hello_html_11f0bf28.gif.


Пример 2 . Решите неравенство hello_html_50e45778.gif

Все значения y на промежутке MN меньше hello_html_m1b704854.gif, но не меньше (-1). Неравенство имеет решение hello_html_4c92ee30.gif или hello_html_52c58de9.gif, отличающееся от предыдущего на минус один период, т.е. hello_html_791cc60b.gif hello_html_7c7819ce.gif, причем hello_html_m3640ac3d.gif. Обобщая, решение неравенства запишем: hello_html_m393b8f8.gif, hello_html_11f0bf28.gif.

hello_html_6a455d9f.gif

Ответ: hello_html_m762cc07c.gif, hello_html_11f0bf28.gif.







Практическая работа №7«Тригонометрические функции и их графики».



Функция Y= sin X.

http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/1.gif

График – синусоида.

Свойства функции:

  1. область определения:R.

  2. область значения: http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/8.gif

  3. чётность, нечётность: функция нечётная.

  4. период: 2http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/pi.gif

  5. нули: sin x = 0 при x=http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/pi.gifn , где n http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/e.gif Z

  6. промежутки знакопостоянства:
    http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/2.gif

  7. экстремумы:
    http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/3.gif

  8. промежутки монотонности:
    функция возрастает при 
    http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/4.gif
    функция убывает при 
    http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/18.gif.



Функция Y = cos X.

http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/5.gif

График косинусоида

Свойства функции:

  1. область определения:R.

  2. область значения: http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/8.gif

  3. чётность, нечётность: функция чётная.

  4. период: 2http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/pi.gif

  5. нули: y=0 при http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/6.gif

  6. промежутки знакопостоянства:
    http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/7.gif

  7. экстремумы:
    http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/9.gif

  8. промежутки монотонности:
    функция возрастает при 
    http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/10.gif
    функция убывает при 
    http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/11.gif

Графики функций y = sin x и y = cos x получаются друг из друга с помощью параллельных переносов вдоль оси оХ на http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/pi.gif/2 : 
http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/12.gif.

Функция Y= tg X .

http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/13.gif

График тангенсоида.

Свойства функции:

  1. область определения: объединение интервалов
    http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/14.gif

  2. область значения: R

  3. чётность, нечётность: функция нечётная.

  4. период: http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/pi.gif

  5. нули: у = 0 при x = http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/pi.gifn, где n http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/e.gifZ

  6. промежутки знакопостоянства:
    http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/15.gif

  7. экстремумов нет

  8. промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале области определения

асимптоты: 
http://d3dxadmpi0hxcu.cloudfront.net/goods/ymk/algebra/work6/theory/14/16.gif


Практическая работа №8. Решение тригонометрических уравнений и систем уравнений.




  1. hello_html_55545093.gif1. hello_html_m2ff834de.gif

  2. 2cos x + 1 = 0 2. hello_html_48679af3.gif

  3. tg 2x = - 1 3. hello_html_m144e4e10.gif

  4. hello_html_m6631ceb6.gif4. hello_html_m7326c57c.gif

  5. hello_html_m217895f.gif5. hello_html_m4420b5d8.gif














Практическая работа №9: «Основы тригонометрии»

Формулы приведения для тригонометрических функций


Формулы приведения – это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.

Выражения типа π + t,  3π/2 – t,  π/2 + t и т.п. можно упростить настолько, что они будут состоять лишь из одного аргумента t. В предыдущих разделах мы имели дело с несколькими такими упрощениями – например, sin (π + t) = –sin t.

Формул приведения очень много. Запомнить их трудно – но самое главное, в этом нет необходимости. Достаточно запомнить одно-единственное правило – и вы легко сможете самостоятельно выводить формулы и упрощать выражения.

 

Правило приведения:

Для выражений
π + t,   π – t,   2π + t,   2π – t

Для выражений
π/2 + t,   π/2 – t,   3π/2 + t,  3π/2 – t

1) В приведенном выражении следует сохранить тригонометрическую функцию преобразуемого выражения.

2) Перед полученной функцией следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0 < t < π/2.

1) В приведенном выражении следует изменить тригонометрическую функцию преобразуемого выражения на противоположную.

2) Перед полученной функцией следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0 < t < π/2.

Обратите внимание: в левом и правом столбцах различаются только первые пункты правила. Вторые пункты абсолютно идентичны.

 

Пример 1: Надо преобразовать выражение cos (π + t).

Решение.

Следуем правилу:

1) Выражение не имеет дроби – значит, применяем левое правило. То есть функция после приведения остается прежней:

cos (π + t) = cos t.

2) Осталось определиться со знаком полученной функции. 
Если предположить, что аргумент t больше нуля и меньше π/2, то π + t – это аргумент третьей четверти (то есть отмерили полукруг от точки А, а потом еще прошли дугу t длиной меньше π/2 и оказались в третьей четверти). А в третьей четверти косинус имеет знак минус. Значит, после преобразования наша функция обрела следующий тождественный вид:

cos (π + t) = –cos t.

Пример решен.

 

Пример 2: Надо преобразовать выражение sin (3π/2 – t).

Решение.

Следуем правилу:

1) Выражение имеет дробь – поэтому применяем правое правило. То есть функция меняется на обратную:

sin (3π/2 – t) = cos t

2) Теперь выясним, с каким знаком должно быть наше приведенное выражение. Снова предположим, что 0 < t < π/2. Тогда аргумент 3π/2 – t находится в третьей четверти. А в третьей четверти преобразуемая функция синус имеет знак минус. Значит, наше новое тождественное выражение тоже со знаком минус:

sin (3π/2 – t) = –cos t.

Пример решен.


Следуя этому правилу, можно составить другие формулы приведения.

Формулы приведения.

cos (π + t) = –cos t

sin (π + t) = –sin t

tg (π + t) = tg t

ctg (π + t) = ctg t

cos (π – t) = –cos t

sin (π – t) = sin t

tg (π – t) = –tg t

ctg (π – t) = –ctg t

cos (2π + t) = cos t

sin (2π + t) = sin t

tg (2π + t) = tg t

ctg (2π + t) = ctg t

cos (2π – t) = cos t

sin (2π – t) = –sin t

tg (2π – t) = –tg t

ctg (2π – t) = –ctg t

cos (π/2 + t) = –sin t

sin (π/2 + t) = cos t

tg (π/2 + t) = –ctg t

ctg (π/2 + t) = –tg t

cos (π/2 – t) = sin t

sin (π/2 – t) = cos t

tg (π/2 – t) = ctg t

ctg (π/2 – t) = tg t

cos (3π/2 + t) = sin t

sin (3π/2 + t) = –cos t

tg (3π/2 + t) = –ctg t

ctg (3π/2 + t) = –tg t

cos (3π/2 – t) = –sin t

sin (3π/2 – t) = –cos t

tg (3π/2 – t) = ctg t

ctg (3π/2 – t) = tg t

Примечание:

Часто встречаются более сложные выражения, но они не меняют правила.
Например, если cos (2π + t) = cos t, то cos (2π + 3t) = cos 3t.









2курс. Тема 8.Функции, их свойства и графики.

Практическая работа №1. «Основные свойства функции».


Цель: закрепить умения исследования, построения и описания графиков функции.


Ход работы


    1. ответить на вопросы по вариантам.

    2. решить задачи

      1. Составить вывод по работе.( в выводе указать свойства функций, применяемые при решении задач)


Методические рекомендации


  1. При решении задач на исследования ООФ следует учитывать дробные и рациональные выражения знаменатель дроби не должен быть равен нулю, подкоренное выражение арифметического корня четной степени не отрицательно.

  2. При исследовании функции на четность (нечетность) следует помнить, что функция общего вида не меняет и не сохраняет знак.

  3. Ymax – это самое большое из всех значений функции (наибольшее значение функции)

Ymin – самое меньшее (наименьшее значение функции)

  1. Монотонность функции следует определять по графику слева на право.

  2. при построении графика функции следует применять свойства соответствия каждому x должно соответствовать только одно y.


Задание к практической работе №1



Вариант I


  1. Дайте определение функции и приведите примеры функциональных зависимостей.

  2. Перечислите способы задания функций и приведите примеры.

  3. Какая функция называется монотонной?

  4. Закончите предложение. Областью определения функции называется ___________ _______________________

  5. Какие виды промежутков вы знаете. Приведите примеры.

  6. Что представляет собой множество значений функции?

  7. Функция называется четной, если __________________________________________

  8. Запишите условие нечетной функции. ______________________________________

  9. Какая функция называется возрастающей? Приведите примеры.

  10. Изобразите график линейной функции.


Решите задачи.


  1. Найти область определения следующей функции:

а) hello_html_m314669de.gif б) hello_html_4099df0b.gif *в) hello_html_m642ef35c.gif

*г) hello_html_m8a0feb7.gif *д) hello_html_d244def.gif

  1. Исследуйте функцию на четность (нечетность):

а) hello_html_1191a48f.gif б) hello_html_m2bd49327.gif *в) hello_html_m642ef35c.gif

г) hello_html_27f49c4e.gif

  1. Функция задана условием:

X

1

4

-1

5

6

7

8

0

-2

-3

-4

Y

5

0

4

2

1

0

4

5

3

4

0


Найти: Наибольшее и наименьшее значение на промежутке [-1;8]

Построить график.


  1. Решите графически уравнение:

а) hello_html_27c93079.gif б) hello_html_m3b2aef97.gif

  1. Постройте график функций:

а) hello_html_49007bf9.gif *б) hello_html_m185f9c2b.gif *в) hello_html_5dc4af6a.gif

г) hello_html_m47d2131e.gif


Задание к практической работе №1



Вариант II


  1. Что называется функцией? Приведите примеры.

  2. Закончите предложение. Все действительные значения аргумента. При которых функция имеет смысл называться ________________________

  3. Запишите условия четности функции.

  4. Что называется постоянством знака функции?

  5. Изобразите график квадратичной функции.

  6. Какая функция называется убывающей? Приведите примеры.

  7. Графиком функции называется ___________________________________

  8. Что называется аргументом функции?

  9. Какое значение функции называется наибольшим/наименьшим?

  10. Как найти область определения дробной функции?


Решите задачи.


  1. Укажите промежутки возрастания и убывания функции:

а) hello_html_mdd7706a.gif б) hello_html_25d756a2.gif *в) hello_html_17aa1fef.gif

*г) hello_html_m5e1cfb8b.gif

  1. Функция задана условием:

если hello_html_m2dca2ede.gif

если hello_html_m4bc44dec.gif

hello_html_m56e36340.gifhello_html_m62a00377.gif

Найти hello_html_m5f89335a.gif; hello_html_m7b1382b4.gif; hello_html_m59ae4e6b.gif; hello_html_m52c40e4b.gif hello_html_m4d991074.gif

Построить график.

  1. Решите графически уравнение:

hello_html_m170b9b92.gif

  1. Найдите область определения уравнения следующих функций:

а) hello_html_6c334f64.gif б) hello_html_m513798de.gif в) hello_html_7ed19191.gif

г) hello_html_49007bf9.gif д) hello_html_m5bfd643e.gif

  1. Построить график функций:

а) hello_html_9283375.gif б) hello_html_m185f9c2b.gif *в) hello_html_m57cd1a65.gif

*г) hello_html_m4fe0a536.gif




Тема 9.Многогранники.


Практическая работа № 1.

« Призма» Цели: закрепление понятий: прямоугольный параллелепипед, линейные размеры, диагональ, площадь боковой и полной поверхности призмы; содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям.

Оборудование: модели прямоугольного параллелепипеда, призм, линейки, карандаши, калькулятор.

Методические указания

Призма — многогранник, две грани которого являются многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Виды призм.

  • Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

  • Прямая призма - это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.

  • Правильная призма - это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы - равные прямоугольники.

hello_html_5e0fde28.png

прямая призма наклонная призма

Свойства призмы:

  • Основания призмы являются равными многоугольниками.

  • Боковые грани призмы являются параллелограммами.

  • Боковые ребра призмы параллельны и равны.

Площадь боковой поверхности прямой призмы: Sб.п. = P•H, где P — периметр основания призмы (сумма всех сторон основания), H — высота призмы.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания: Sп.п. = P•H + 2• Sосн

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его линейных размеров: d2 = a2 +b2 +c2hello_html_m70f13daf.png


Использование призм: в строительстве, в быту, в технике, в медицине (лечение косоглазия)

Задание к практической работе: по данным вам моделям найти площадь боковой, полной поверхности,.

Пример: Найти площадь боковой, полной поверхности призмы.

Ход работы

1.Для нахождения площади боковой поверхности призмы нужно измерить линейкой следующие элементы призмы: стороны основания, высоту. Подставить значения в формулу для нахождения площади (если призма прямая)

2. Для нахождения площади полной поверхности призмы нужно найти площадь основания призмы (площадь треугольника, прямоугольника, ромба)

Площадь полной поверхности призмы находиться как сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

Оформление работы:

hello_html_m2727aeda.png

Дано: АВСС1В1А1 треугольная призма, прямая, правильная

АВ=ВС=АС = 5 см, Н = 10 см

Найти: Sб.п., Sп.п.

Решение: Sб.п. = P•H

Р=5+5+5=15, Н=10

Sб.п.= 15•10 = 150 (см2)

Фо́рмула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, в, c:

Sосн =hello_html_m2e41bbed.gif

где p — полупериметр треугольника: р = (а+в+с):2

р= 15:2 =7,5 Sп.п. = P•H +2• Sосн, = 150 + 2•7,7 = 164,4 (см2)

Ответ: Sб.п.= 150см2; Sп.п.=164,4см2

3. Выполняют задания для самостоятельной работы (тесты, состоящие из двух вопросов и двух задач).

Задания для самостоятельной работы:

Вариант 1

1. Сколько ребер у шестиугольной призмы?

Ответ: а)18, б)24, в)12.

2.Выберите верное утверждение.

а) призма называется правильной, если ее основания - правильные многоугольники;

б) у треугольной призмы две диагонали;

в) высота призмы равна ее боковому ребру;

3.Задача. Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 2м, 3м, 5м.

4. Задача. Коллекционер заказал аквариум, имеющий форму правильной четырехугольной призмы. Сколько квадратных метров стекла необходимо для изготовления аквариума, если сторона основания 70 см, а высота 60 см?

Вариант 2

1.Сколько граней у шестиугольной призмы?

Ответ: а)6, б)8, в)10

2. Выберите верное утверждение.

а) площадь полной поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней и основания;

б) у треугольной призмы нет диагоналей;

в) высота прямой призмы равна ее боковому ребру;

3.Задача. Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 3см, 4см, 5см.

4. Задача Необходимо изготовить короб с крышкой для хранения картофеля в форме прямой призмы высотой 0,7 м. В основании призмы лежит прямоугольник со сторонами 0,4 м и 0,6 м. Сколько фанеры понадобиться для изготовления короба?

Вариант 3

1.Сколько граней у четырехугольной призмы?

Ответ: а)6, б)8, в)10


2. Выберите верное утверждение.

а) У n – угольной призмы 2 n ребер;

б) площадь полной поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней;

в) у треугольной призмы три диагонали;

3.Задача. Сколько необходимо купить листов 8 – волнового шифера размером 1750*1130 мм на покрытие крыши здания длиной 10 м. Фронтон имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 м и катетом 7 м.

4. Задача. Нужно оклеить обоями комнату, длина которой 6м, ширина 4м, высота 3м, площадь окон и дверей составляет 1/5 всей площади стен. Сколько нужно рулонов обоев для оклейки комнаты, если длина рулона 12 м, а ширина 50 см?









Практическая работа № 2.

«Сечение призмы» Цели: закрепление умений построения простейших сечений.

Оборудование: линейки, карандаши.

Задание к практической работе :постройте сечение 6-ти угольной призмы по данному чертежу.


Вариант 1.


C:\Documents and Settings\Пахан\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\SWScan00006.tif


Вариант 2.




C:\Documents and Settings\Пахан\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\SWScan00006.tif

Оформление работы:





C:\Documents and Settings\Пахан\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\SWScan00008.tif













Практическая работа № 3.

«Пирамида»

Цели: закрепление понятий: пирамида, площадь боковой и полной поверхности пирамиды; воспитание познавательной активности, показать возможность применения пирамиды в различных областях.


Оборудование: модели пирамид, таблица с формулами Sб.п., Sп.п., линейки, карандаши, калькулятор.

Методические указания.

Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.

Элементы пирамиды.http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/b435d3ee-5794-4eab-878f-3729ecbc9004/regulara_trijstura_piramida.JPG

DN – высота пирамиды

DВ, DС, DА - боковые ребра — общие стороны боковых граней;

DВА, DАС, DВС - боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды

DК, DL - апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины [ℓ]; DN- высота пирамиды.

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

  • боковые ребра правильной пирамиды равны;

  • в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

  • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;

Прямоугольная пирамидаБезымянный

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.


Усечённая пирамидаhello_html_m40ff4c04.png

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней.

Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулу:

Sбок = hello_html_579f05.gif, где Р – периметр основания, ℓ - апофема.

Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания.

Для нахождения полной поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулу:

Sп.п. = hello_html_579f05.gif+Sосн.

Задание к практической работе: по данным вам моделям найти площадь боковой, полной поверхности. Выполнить тесты.

Пример: Найти площадь боковой, полной поверхности.

Ход работы

1.Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды нужно измерить линейкой следующие элементы: апофему, стороны основания, высоту. Подставить значения в формулу для нахождения пощади (если пирамида правильная). Если пирамида наклонная, то боковую поверхность находим из суммы площадей граней.

2. Для нахождения площади полной поверхности пирамиды нужно найти площадь основания пирамиды (площадь треугольника, прямоугольника, ромба)

3. Площадь полной поверхности пирамиды находиться как сумма площадей боковой поверхности и основания.

Оформление работы:

hello_html_m27375293.png

Дано: SАВСД – пирамида, АВСД –прямоугольник. АВ=3см, ВС= 6см, Н=10см, ℓ1=10,5см., ℓ2=10,2см , ℓ- апофема. Найти: Sб.п. Sп.п.

Решение.

т.к. пирамида неправильная, то Sб.п. находят как сумму площадей ее боковых граней, т.е. площадей треугольников. S1 = 1/2 ·ℓ1·АВ=1/2·10,5·3=15,75(см2) - это площадь одной грани, а их две одинаковых, т.е

S1,2 =15,75·2=31,5(см2)

S3=1/2·2·ВС= 1/2·10,2·6=30,6 (см2), S3,4=2·30,6=61,2(см2)

Sб.п.= 31,5+61,2 =92,7(см2)

Sосн.= АВ·ВС=3·6=18(см2), Sп.п.= Sб.п+ Sосн.= 92,7+18=110,7 (см2)

2. Выполняют тесты, состоящие из трех вопросов и одной задачи.

Задания для самостоятельной работы:

Вариант 1

1. Сколько ребер у шестиугольной пирамиды: а)6; б)12; в)18; г)24;

2. Какое наименьшее число граней может иметь пирамида: а)5; б)4 в)10; г)6

3. Подтвердите или опровергните следующие утверждения: Да ^ нет

а) Многогранник, составленный из n-треугольников, называется пирамидой; б) Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник; в) Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой;

4.Задача. Крыша башни имеет вид правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 12 м, а высота 18 м. Сколько понадобится плиток на покрытие этой крыши, если каждая плитка имеет вид прямоугольника со сторонами 22 см и 18 см.

Вариант 2

1. Сколько граней у шестиугольной пирамиды: а)6; б)7; в)8; г)10;

2. Какое наименьшее число ребер может иметь пирамида: а)6; б)5; в)4; г)7; 3. Подтвердите или опровергните следующие утверждения: Да ^ нет а) Высота пирамиды называется высотой грани; б) Площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению периметра основания на высоту; в) Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник;

4.Задачи. Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 150 м и боковым ребром 220 м. Найдите площадь боковой поверхности

Вариант 3

1. Сколько ребер у четырехугольной пирамиды: а)6; б)12; в) 8

2. Какое наименьшее число граней может иметь пирамида: а)5; б)4 в)10; г)6

3.Подтвердите или опровергните следующие утверждения: Да ^ нет а)Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию? б)Высота пирамиды, это перпендикуляр, проведённый из вершины к основанию. в)Общая точка боковых граней пирамиды называется вершиной

4.Задача. Крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием 4,5 м х 4,5 м и высотой 4 м. Сколько листов железа размером 70 см х 140 см нужно для покрытия крыши, если на отходы нужно добавить 10% площади крыши?



















Тема 10.Тела и поверхности вращения.



Практическая работа № 1. «Цилиндр»

Цели: закрепление понятий: цилиндр, площадь боковой, полной поверхности; способствовать развитию математического мышления, формировать умения анализировать, сравнивать, обобщать.

Оборудование: модели цилиндра, тесты, калькулятор, линейки, карандаши.

Методические указания.

Цилиндр — геометрическое тело, образованное двумя кругами, не лежащими в одной плоскости и совмещаемые параллельным переносом, и всеми отрезками параллельных прямых, соединяющих соответствующие точи этих кругов.

Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований, - образующими цилиндра.

Поверхность, состоящая из образующих, называется боковой поверхностью цилиндра.

Цилиндр прямой круговой может быть получен путем вращения прямоугольника вдоль стороны как оси.

Элементы цилиндра.Картинки по запросу цилиндр

R= АD – радиус цилиндра; d – диаметр.

H = АВ – высота;

L =СD – образующая.

S = πR 2 - площадь круга. d = 2R.

С – длина окружности. С = 2πR

Виды цилиндров:

hello_html_m58eab431.pnghello_html_m78bc328.png

прямой наклонный

Сечения цилиндра:

hello_html_m6a151d86.pnghello_html_m54c746c3.png

осевое сечение сечение плоскостью

перпендикулярной оси

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h (H) и длиной равной длине окружности основания 2πR.

Безымянный3

Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле: Sб.п.= 2πR•Н

Площадь полной поверхности находиться как сумма боковой поверхности и двух площадей основания (круга), вычисляется по формуле:

Sп.п.= 2πR•Н+2πR2

Использование цилиндров: в одежде, в быту, в технике: двигатель внутреннего сгорания, на железнодорожном транспорте, на автомобильном транспорте, в архитектуре и строительстве и т.д.

Задание: по данным вам моделям найти площадь боковой поверхности, полной поверхности цилиндра

Ход работы:

1.а) Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра нужно измерить линейкой следующие элементы: диаметр, высоту. Подставить значения в формулу для нахождения площади боковой поверхности цилиндра.

б) Для нахождения площади полной поверхности цилиндра нужно найти площадь основания цилиндра (площадь круга π·R2). Подставить данные в формулу площади полной поверхности или найти как сумму площадей боковой поверхности и двух оснований.

Пример: Найти площадь боковой, полной поверхности

Оформление работы:

hello_html_62c18680.png

Дано: цилиндр, Н=12см, R=3см

Найти: Sб.п. Sп.п.

Решение: Sб.п.= 2·π·R·Н = 2·π·3·12=72π(см2)

Sп.п.= 2·π·R·Н+2·π·R2 = 72π + 2·π·32 = 72π+18π = =90π (см2)

2.Выполняют тесты, состоящие из одного вопроса и двух задач.

Задания для самостоятельной работы:

1вариант

1.Выберите верное утверждение.

а) Длина образующей цилиндра называется радиусом цилиндра; б) Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра;

с) Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле hello_html_m4b457216.gif;

2.Задача. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с крышкой, имеющий диаметр основания 1,25 м и высоту 1,44 м, если на один квадратный метр расходуется 0,25 кг краски (найдите с точностью до 0,1 кг)?

3.Задача. 9.Цилиндрический паровой котёл с крышкой имеет диаметр 2 м и длину 10 м. Вычислить полную поверхность котла.

2 вариант.

1.Выберите верное утверждение.

а) Радиус цилиндра не может равняться высоте цилиндра; б) Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле hello_html_1b2e9b91.gif;

с) Цилиндр может быть получен в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

2. Задача. Высота ведра, имеющего форму цилиндра, равна 28 см, диаметр дна 20 см. Вычислить, сколько квадратных дециметров оцинкованного железа пошло на изготовление ведра, если отходы составляют 20 % от всего заготовленного железа.

3.Задача. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной 2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра с точностью до 0,001.

3 вариант.

1.Выберите верное утверждение.

а) Цилиндр может быть получен в результате вращения треугольника вокруг своей стороны;

б) Длина образующей цилиндра называется диаметром цилиндра;

с) Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению площади основания цилиндра на его высоту.

2.Задача. Сколько квадратных метров жести израсходовано на изготовление 1 млн. консервных банок диаметром 10 см и высотой 5 см (на швы и отходы добавить 10% материала).

3.Задача. Пизанская башня находиться в итальянском городе Пиза. Высота башни составляет 55м. Диаметр основания равен 15 м. Найти площадь боковой и полной поверхности.






Практическая работа №« Конус» Цели: закрепление понятий: конус, площадь полной поверхности конуса, воспитание познавательной активности, показать применение конуса в различных областях, развитие логического мышления.

Оборудование: модели конуса, линейки, карандаши, калькулятор.

Методические указания.

Конусом называется тело, которое состоит из круга - основание конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга – вершины конуса, и всех отрезков, соединяющих

вершину конуса с точками основания.

Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса (ℓ).hello_html_m2c845fa6.png

Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса (Н).

R – радиус основания.

Круговой конус — конус, основание которого является кругом.

Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса)

Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.

hello_html_7e88e96c.png

Площадь боковой поверхности усеченного конуса –
Sбок = π ℓ (r 1+ r2).

где r1 – радиус верхнего основания, r2 - радиус нижнего основания.

Виды конусов:

hello_html_40831839.png

наклонный прямой

Боковая поверхность конуса можно вычислить по формуле: Sб.п.= πRℓ, где R — радиус основания, ℓ — длина образующей.

Полная поверхность конуса равна сумме площадей боковой поверхности и площади основания: Sп.п. = πRℓ + πR2 .

hello_html_5d42d7ff.png

Сечения конуса:

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называют осевым сечением (сечением является равнобедренный треугольник)

hello_html_1716edc.png

Сечение плоскостью перпендикулярной оси конуса:

(сечением является круг).


Применение конусов.

Знания о конусе широко применяются в быту, производстве и науке. Например, мы используем ведра, имеющие форму усеченного конуса; крыши старинных замков похожи на конусы; для переливания жидкостей мы берем воронку, которая также имеет форму усеченного конуса. Во время спортивных соревнований, ограждения для движения в автошколах применяют спортивные фишки.

Задание: по данным вам моделям найти площадь боковой поверхности, полной поверхности.

Ход работы:

1.а) Для нахождения площади боковой поверхности конуса нужно измерить линейкой следующие элементы: диаметр, высоту. Подставить значения в формулу для нахождения площади боковой поверхности конуса . б) Для нахождения площади полной поверхности конуса нужно найти площадь основания конуса площадь круга π·R2). Подставить данные в формулу площади полной поверхности

Пример: Найти площадь боковой, полной поверхности. Оформление работы:

hello_html_m2c845fa6.png

Дано: конус, Н=10см, R=6см, ℓ= 11,6см

Найти: Sб.п. Sп.п.

Решение: Sб.п.= πRℓ= π•6•11,6 = 69,6π (см2)

Sп.п.= πRℓ + πR2 = π•6•11,6 + π•62 = 105,6π (см2)


2. Выполняют тесты, состоящие из одного вопроса и двух задач

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1. Выберите верное утверждение:

а) конус может быть получен в результате вращения равностороннего треугольника вокруг его стороны;

б) прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания, называется осью конуса;

в) разверткой боковой поверхности усеченного конуса является круг;

2.Задача. Высота конуса равна15 см, а образующая 16 см. Найдите радиус конуса.

3.Задача. Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы? Высотой 1,5м и радиусом 2 м?

2 вариант

1.Выберите неверное утверждение:

а) конус может быть получен в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов;

б) конус называется равносторонним, если его осевое сечение – правильный треугольник.

в) Площадь боковой поверхности конуса может быть вычислена по формуле hello_html_7dfba212.gif;

2.Задача. Образующая конуса, равна 8 см, наклонена к плоскости основания под углом 30о. Найдите площадь осевого сечения конуса.

3.Задача. Коническая крыша башни имеет диаметр 6 м и высоту 2 м. Сколько листов кровельного железа потребуется для этой крыши, если размер листа 0,7 м х 1,4 м, а на швы и обрезки тратиться 10% от площади крыши?

3 вариант

1.Выберите верное утверждение

а) сечение конуса, проходящее через ось, есть круг;

б) конус получен в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов;

в) осевым сечением усеченного конуса является прямоугольник.

2.Задача. Осевое сечение конуса – правильный треугольник, со стороной 2r . Найти площадь сечения проведенного через две образующие конуса, угол между которыми равен 60hello_html_4564f3f.gif

3.Задача. .Сколько потребуется краски, для того чтобы покрасить пожарное ведро, если на 100см² необходимо затратить 10г? Радиусом 20 см, а высотой 45 см.








Практическая работа № 3. « Шар » Цели: закрепление понятий: шар, сфера, площадь сферы, сечения, продолжить формирование навыков решения задач с использованием теоретического материала; развивать творческую активность учащихся.

Оборудование: модели шара (клубки), плакат с формулами площади сферы, линейки, карандаши, калькулятор.

Методические указания. Сфера — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Сфера является поверхностью шара.

hello_html_730a8db4.pnghello_html_f25a9a.png

Шар - это тело, ограниченное сферической поверхностью. Можно получить шар, вращая полукруг (или круг) вокруг диаметра.

Сечения шара

Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Все плоские сечения шара – круги.hello_html_3bce0853.png

Площадь сферы: Sсферы = 4π·R2, R – радиус шара.

Длина окружности: С =2πR, S = πR 2 - площадь круга

В мире все течет, все изменяется, но неизменно одно: у природы нет прямого угла. Идеальная форма – шар. Форму шара имеет не только Земля, но и другие планеты Солнечной системы. В царстве растений и животных распространены шарообразные формы.

Задание: по данным вам моделям найти площадь сферы.

Ход работы:

1.Для нахождения площади сферы нужно нитью клубка измерить «экватор», т.е длину окружности большого круга. Выразить из формулы длины окружности радиус и подставить в формулу площади сферы.


Пример:



hello_html_m579cbc09.png

Дано: шар, С= 15см.

Найти: Sсферы

Решение: длина окружности вычисляется по формуле:

С =2πR, отсюда найдем R= С/2π = 15/2•3,14= 2,39см

Sсферы = 4π·R2 = 4π•2,392 = 22,85π (см2)


2.Выполняют тесты, состоящие из одного вопроса и двух задач.

Задания для самостоятельной работы:

1вариант.

1.Выберите верное утверждение.

а) Если точка удалена от центра сферы на расстояние, больше радиуса сферы, то она не принадлежит сферы.

б) Центр сферы не принадлежит данной сфере.

в) Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность.

2.Задача .Сколько квадратных метров шелковой материи надо взять для приготовления оболочки воздушного шара диаметром 12 м, если на швы надо прибавить 5% материала?

3.Задача. На позолоту 1 кв. м купола идет 1 г золота. Сколько потребуется золота, чтобы позолотить купол окружностью 20 м? Форма купола – полусфера.

2 вариант.

1.Выберите верное утверждение.

а) Сфера может быть получена в результате вращения полуокружности вокруг диаметра.

б) Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

в) Всякое сечение сферы есть круг.

  1. Задача. На окраску шара диаметром 1,5 дм расходуется 50 г краски. Сколько краски требуется для окраски шара диаметром 3 дм?

3.Задача.Сколько метров шелковой материи шириной 1,1 м надо для изготовления воздушного шара, радиус которого 2 м? На соединение и отходы идет 10% материала.

3 вариант.

1.Выберите верное утверждение.

а) Сфера является поверхностью шара.

б) Всякое сечение сферы плоскостью есть круг.

в) Радиус любого сечения сферы плоскостью не больше радиуса сферы.

2.Задача. Сколько потребуется краски, чтобы покрасить шар диаметром 22,4 м, если на окраску 1 м2 уходит 120г краски?

3. Задача .Сколько квадратных метров шелковой материи надо взять для приготовления оболочки воздушного шара диаметром 10 м, если на швы надо прибавить 7% материала?





























Тема 11. Начала математического анализа.

Практическая работа №1. «Производная функции. Решение задач»

Цели: 1.Повторить, обобщить и систематизировать знания о производной.

2.Закрепить навыки нахождения производных.

3.Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.



Теоретическая часть.

  1. Таблица производных:

f(x)

c

x

xn

hello_html_m329f5a7d.gif

hello_html_m5a39810d.gif

sinx

cosx

tgx

ctgx

ax

ex

lnx

hello_html_450ec884.gif

f / (x)

0

1

nxn-1

hello_html_m33cbb00e.gif

hello_html_3fb49adf.gif

cosx

-sinx

hello_html_72ba4f5c.gif

hello_html_m7e7c7d8b.gif

axlna

ex

hello_html_m329f5a7d.gif

hello_html_127b44ec.gif


  1. Правила дифференцирования:

(ku)/ = ku/

(u+v)/ = u/ + v/

(uv)/ = u/v + uv/

hello_html_m36094535.gif

(u(v))/ = u/(v)v/ - производная сложной функции





Практическая часть

    1. Используя таблицу производных, правила дифференцирования суммы, произведения и частного элементарных функций, найти производные следующих функций:



hello_html_4ea975d3.gif1.1

hello_html_m1293bef1.gif

1.4

hello_html_m22f503cc.gif

1.7


1.2


1.5



1.8



1.3

у =hello_html_m68d719b.gif

http://itoim.kspu.ru/matematika/m5/39.gif

1.6



1.9 у = hello_html_mea5afea.gif









2. Вычислить частное значение производной.



2.1

2.4


2.7

2.2
hello_html_m7b767f9c.gif


2.5
hello_html_m4e88933a.gif


2.8



2.3




2.6




2.9




3. Решить уравнение y=0.



3.1


3.6


3.11


3.2


3.7


3.12




3.3




3.8




3.13




3.4





3.9





3.14




3.5





3.10




3.15




4. Найти производную сложной функции.



4.1


4.6


4.11


4.2

y=cos3x


4.7


4.12


4.3 y=xhello_html_79c0f69b.gifcos3x


4.8


4.13


4.4


4.9


4.14


4.5


4.10


4.15




Практическая работа №2

Производная в физике и технике.

Цели:

  • Повторить, обобщить и систематизировать знания о физическом смысле первой и второй производной.

  • Закрепить навыки нахождения производных.

  • Способствовать выработке навыков в применении производной к решению задач.

  • Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.


Теоретическая часть.

  1. В чём заключается механический смысл производной?

Ответ. Производная функции у = f(х), в точке х0, выражает скорость изменения функции в этой точке.

2. Если функция задана законом прямолинейного движения S = S(t), то S' (t) –?

Ответ. Скорость движения в момент времени t - это производная по перемещению S' (t) = v(t)

  1. Что есть вторая производная от закона движения?

Ответ. Скорость изменения скорости этого движения, т.е. ускорение а(t) = v' (t) = S' ' (t).

С физической точки зрения дифференцирование – определение скорости изменения переменной величины. Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной  y  по отношению к изменению независимой переменной х.

Выясняем формулы из физики, где используется производная.

  • υ(t) = х'(t) – скорость.

  • a(t) = υ'(t) – ускорение.

  • I(t) = q'(t) – сила тока.

  • с(t) = Q'(t) – теплоемкость.

  • d(l) = m'(l) – линейная плотность.

  • K(t) = l'(t) – коэффициент линейного расширения.

  • ω(t) = φ'(t) – угловая скорость.

  • e(t) = ω'(t) – угловое ускорение.

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности.

  • N(t) = A'(t) – мощность.

  • F(x)= A'(x) – Сила есть производная работы по перемещению.

  • Е = Ф'(t) – ЭДС индукции F = р'(t) – 2 закон Ньютона.



Примеры применения производной в физике

Задача

Решение

Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t2+t+1.

  1. Какова кинетическая энергия тела в

- момент времени 3 сек. после начала

движения тела?

- конце движения тела?

  1. Какова сила, действующая на тело?

    1. Wк = (mv2)/2

x ' (t) = v (t) = 2t+1,

v (3) = 7,

a(t)= v' (t) = 2,

Wк = (4·72)/2=98

2. F = ma,

a(t) = v' (t) = x' ' (t),

x ' (t) = v (t) = 2t+1,

a(t)= v' (t) = 2,

F = ma = 4·2 = 8 H.

Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону φ(t)=0,1t2-0,5t+0,2.


Найти угловую скорость вращения тела в момент времени t=20с.

ω(t) = φ'(t)

φ'(t) = 0,2t-0,5

ω(t) = 0,2t-0,5

ω(20) = 3,5

Для любой точки С стержня АВ длиной 10 см, масса куска стержня АС определяется по формуле m(l)=3l2+5l.


Найти линейную плотность стержня в середине отрезка АВ, в конце отрезка.

d(l) = m'(l)

m'(l) = 6l+5

d(l) = 6l+5

d(5) = 6·5+5=35 – в середине отрезка

d(10) = 6·10+5=65 – в конце отрезка

Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента времени t=0, задаётся формулой q=3t2-3t+4.


Найти силу тока в конце 6-й секунды.

I(t) = q'(t)

q'(t) = 6t-3

I(t) = 6t-3

I(6) = 6·6-3=33



Практическая часть.


1.Найти необходимые величины.


1.1 S(t)=2t4+3t2-t+√t3

v(t), a(t)-?

1.6 S(t)=12t 2-(2/3)t3
v(t), a(t)-?

1.11 S(t)=21t+2t2-(1/3)t3

v(t), a(t)-?

1.2 S(t)=5sin(3t+1),

v(t)-?

1.7 S(t)=6cos(0,5t-4),

v(t)-?

1.12 S(t)=0,5sin(4t+2),

v(t)-?

1.3 x(t)= - 4t2+2t+2,

v(1)-?

1.8 x(t)= √t+2t2 - 3t+2,

v(25)-?

1.13 x(t)=(-1/3)t3+2t2+5t,

v(2)-?

1.4 x(t)=t3-4t2, a(5) -?

1.9 x(t)=0,25t4-2t2,

a(1) -?

1.14 x(t)=t5+3t2-1,

a(2) -?

1.5 x(t)=(-1/6)t3 +3t2 – 5,

найти t, когда a(t)=0

1.10 x(t)=2t3+t-1,

найти t, когда a(t)=2


1.15 x(t)= (-1/3)t3+2t2+5t,

найти t, когда v(t)=0

2. Решить задачу.

2.1 Найти силу F, действующую на материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно по закону s(t) = 2t3-t2, при t=2.


2.2 Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t2+t+1. Найти действующую на тело силу F, кинетическую энергию тела через после начала движения.


2.3 Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол φ(t)=4t-0,3t2. Найти угловую скорость ω(t) вращения маховика в момент времени 2 с.


2.4 Точка движется по закону x(t)=√t. Найти её скорость в момент времени .


2.5 Найти скорость тела, движущегося по закону s(t)=3t+5.


2.6 Тело движется прямолинейно по закону s(t)=2t2-t+4. Найти скорость тела в моменты времени t1=0, t2=2, t3=5 с.


2.7 Найти скорость движения точки в момент времени t=5с, если закон движения задан формулой s(t)=3t2-2t+5.


2.8 Тело движется прямолинейно по закону s(t)=1-2t+t3. Найти скорость и ускорение в момент времени t=3с.


2.9 Найти скорость и ускорение движения тела в момент времени t=2с, если закон движения задан формулой s=4t2-3.


2.10 Когда скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s(t)=t2-4t+5, равна 0?


2.11 Сила тока изменяется по закону I=0,4t2 . Найти скорость изменения силы тока в конце 8-й секунды.


2.12 Изменение силы тока в зависимости от времени задано уравнением I = 2t2-5t. Найти скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.


2.13 Количество теплоты Q, получаемое некоторым веществом при нагревании определяется по формуле Q=10t+0,5t2. Найти теплоёмкость этого вещества при 20 К.


2.14 Закон изменения температуры Т тела в зависимости от времени задан уравнением T=0,3t2. С какой скоростью нагревается это тело в момент времени 10 с.


2.15 Температура тела изменяется по закону T(t)=0,5t2-2t. С какой скоростью нагревается тело в момент времени t=6с.



Практическая работа №3

Вычисление неопределённого интеграла

Цели:

  • Повторить знания о первообразной, таблицу интегралов.

  • Овладеть умением применения первообразной функции при решении вычислительных задач.

  • Закрепить навыки нахождения табличных интегралов.

  • Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.

Теоретическая часть.

  1. Таблица первообразных:

f(x)

k

xn

hello_html_m329f5a7d.gif

hello_html_m49e17d54.gif

sinx

cosx

hello_html_72ba4f5c.gif

hello_html_m704f5f5a.gif

ax

ex

F (x)

kx

hello_html_m65faaaee.gif

lnx

hello_html_5f828735.gif

-cosx

sinx

tgx

hello_html_2efa8d68.gif

hello_html_m52f871a.gif

ex


  1. Формула пути, пройденного точкой: hello_html_m758c7e79.gif

  2. Формула площади плоской фигуры hello_html_m13c474dc.gif


Практическая часть.

    1. Найти неопределённый интеграл, использую таблицу интегралов.


1.1


1.3

1.5



1.2



1.4


1.6


























Практическая работа №4

Тема: Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Цели:

  • Повторить знания о первообразной.

  • Закрепить навыки нахождения табличных интегралов, площадей криволинейных трапеций с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

  • Проверить уровень сформированности навыка нахождения первообразных.

  • Способствовать выработке вычислительных навыков.

  • Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.


Теоретическая часть.integral3-1


Практическая часть

  1. Вычислить определённый интеграл.

1.1




1.6


1.11


1.2



1.7



1.12


1.3






1.8



1.13


1.4


1.9



1.14



1.5


  1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями.


2.1




2.6




2.11





2.2



2.7





2.12




2.3




2.8


у=0



2.13


у=0



2.4


у=0


2.9


у=0


2.14


у=0



2.5


у=0


2.10

у=0



2.15



у=0


  1. Найти площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке.

3.1







3.6


3.11



3.2









3.7



3.12



3.3











3.8




3.13





3.4










3.9





3.14





3.5











3.10





3.15





  1. Построить площадь криволинейной трапеции и вычислить её площадь, использую соответствующие формулы.integral3-3


4.1



4.2



4.3


4.4




4.5



4.6





Практическая работа №5

Тема: Решение задач.

Цели:

  • Повторить, обобщить и систематизировать знания о производной и первообразной.

  • Закрепить навыки вычисления производных, первообразных.

  • Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.



Практическая часть.



Вариант№1

Вариант№2

Вариант№3

  1. Найти производную функции.

1.1.1




1.1.2



1.1.3



1.2.1


1.2.2


1.2.3


2.Вычислить приближённо, используя понятие дифференциала.

2.1.1


2.1.2


2.1.3


2.2.1


2.2.2


2.2.3


3. Найти неопределённый интеграл.

3.1.1


3.1.2


3.1.3

3.2.1

3.2.1

3.2.3


4. Вычислить площадь плоской фигуры с помощью формулы Ньютона – Лейбница.

4.1.1







4.1.2






4.1.3





























Тема 12. Измерения в геометрии.

Практическая работа № 1http://planetadetstva.net/wp-content/uploads/2013/04/%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F-275x300.jpg

По теме: « Объем призмы.» Цели: закрепление формулы объема призмы в процессе решения задач, активизировать познавательный интерес к предмету; развитие логического мышления.

« Геометрия является самым могущественным средством для измерения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать» Галилео Галилей.

Оборудование: модели прямоугольного параллелепипеда, призм, линейки, карандаши, калькулятор.


Методические указания.

Призма — многогранник, две грани которого являются многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Виды призм

  • Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

  • Прямая призма - это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.

  • Правильная призма - это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы - равные прямоугольники.


hello_html_5e0fde28.png

прямая призма наклонная призма

Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания: V = Sосн.•H , H — высота призмы


Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его линейных размеров: d2 = a2 +b2 +c2hello_html_m70f13daf.png


Плотность находится по формуле:

\rho = \frac{m}{V}, где  m — масса тела, V — его объём;

Задание к практической работе: по данным вам моделям найти объем призмы.

Пример: Найти объем призмы.

Ход работы

1.Для нахождения объема призмы нужно измерить линейкой следующие элементы призмы: стороны основания, высоту. Подставить значения в формулу для нахождения объема (если призма прямая)

Оформление работы:


hello_html_m2727aeda.png

Дано: АВСС1В1А1 треугольная призма, прямая, правильная

АВ=ВС=АС = 5 см, Н = 10 см

Найти: V

Решение: Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, в, c:

Sосн =hello_html_m2e41bbed.gif

где p — полупериметр треугольника: р = (а+в+с):2

р = 15:2 =7,5

Sосн= √7,5(7,5-5)(7,5-5)(7,5-5)= 7,7 (см2)

V = Sосн.•H = 7,7•10 =108 (см3)

3. Выполняют задания для самостоятельной работы (тесты, состоящие из двух вопросов и двух задач).

Вариант 1.

1.Выберите верное утверждение:

а) объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений на длину диагонали параллелепипеда;

б) равные тела имеют равные объемы;

в) за единицу измерения объемов принимается квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

2. Сколько граней у прямоугольного параллелепипеда?

а) 8, б) 6 , в) 4

3.Задача. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям, равным 3 см, 4 см, 5 см.

4.Задача. Сколько нужно рабочих для переноса дубовой балки размером 6,5 м х 30 см х 45 дм? Каждый рабочий может поднять в среднем 80 кг. Плотность дуба 800 кг/см3.

Вариант 2.

1.Выберите верное утверждение:

а) объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений;

б) объем куба равен квадрату его ребра;

в) тела, имеющие равные объемы равны;

2. Сколько вершин у прямоугольного параллелепипеда?

а) 8 , б) 4, в) 12

3.Задача. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям, равным 4 см, 7 см, 6 см.

4.Задача. Классные помещения должны быть рассчитаны так, чтобы на одного учащегося приходилось не менее 6 м3 воздуха. Можно ли в класс, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с измерениями 8,3 м х 6,25 м х 3,6 м вместить 30 человек, не нарушая санитарной нормы?


Вариант 3

1.Выберите неверное утверждение:

а) объем куба равен кубу его ребра;

б) объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту;

в) если тело составлено из нескольких тел, имеющих общие внутренние точки, то его объем равен сумме объемов этих тел;

2. Сколько ребер у прямоугольного параллелепипеда ?

а) 8, б) 6, в) 12.

3.Задача. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям, равным 4 см, 3см, 8 см

4.Задача. Строительный кирпич имеет размеры 25 см х 12 см х 6 см. Найдите объем стены, выложенной из 1000 кирпичей. Учтите, что раствор увеличивает объем на 15%


Практическая работа № 2https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRSyPjEllY1HY01AodspA7eKbFDhWjcT2-GHCK7l9WDhFSh_PxNgUtpzg

По теме: « Объем пирамиды.» Цели: закрепление понятий: пирамида, объем; способствовать развитию математического мышления и речи, памяти, формировать умения анализировать, сравнивать, оценивать, систематизировать.

« Знания не даются без старания» народная мудрость.

Оборудование: модели пирамид, таблица с формулами, линейки, карандаши, калькулятор.

Методические указания.

Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.

Элементы пирамиды.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/b435d3ee-5794-4eab-878f-3729ecbc9004/regulara_trijstura_piramida.JPG

D –вершина пирамиды

DВ, DС, DА - боковые ребра граней;

DВА, DАС, DВС - боковые грани

DК, DL - апофема

DN- высота пирамиды.

апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины [ℓ];

боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;

боковые ребра — общие стороны боковых граней;

вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра) (Н);

диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.hello_html_m7a16b891.png

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

боковые ребра правильной пирамиды равны; в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники; в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Усечённая пирамида

hello_html_m40ff4c04.png

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.


Объем пирамиды (любой) может быть вычислен по формул: V = 1/3•Sосн.•Н

Объем усеченной пирамиды  V= \frac {1} {3} h (S_1 + \sqrt {S_1 S_2} + S_2), где S_1,S_2 — площади оснований, h — высота усечённой пирамиды.

Плотность находится по формуле: \rho = \frac{m}{V},

где  m — масса тела, V — его объём;

Задание к практической работе: по данным вам моделям вычислить объем пирамиды

Пример: Найти объем пирамиды.

Ход работы

Для нахождения объема нужно знать высоту пирамиды и площадь основания.

Оформление работы:

hello_html_m27375293.png

Дано: SАВСД – пирамида, АВ=3см, ВС= 6см, пирамида неправильная, Н=10см,

Найти:. V



Решение:

V = 1/3•Sосн.•Н

Sосн.= АВ·ВС=3·6=18(см2),

V=1/3· Sосн·Н = 1/3·18·10 = 60(см3) – формула объема справедлива для любой пирамиды.

2. Выполняют тесты, состоящие из одного вопроса и двух задач.

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант.

1. Выберите верное утверждение:

а) объём пирамиды равен произведению одной трети площади основания на высоту;

б) боковая грань пирамиды - квадрат;

в) высота пирамиды, это перпендикуляр, проведённый из вершины к стороне основания;

2.Задача. Масса чугунной пирамиды с квадратным основанием равна 540 г, высота равна 6 см. Вычислите длину стороны основания. Плотность чугуна 7,5 г/см3.

3. Задача .Кузов тракторного прицепа имеет размеры: вверху 3,5 м х 2,6 м, понизу 2,9 м х 1,1 м. Найдите вместимость, если высота прицепа 1,2 м.

2 вариант.

1. Выберите верное утверждение:

а) высота пирамиды, это перпендикуляр, проведённый из вершины к основанию;

б) объём усечённой пирамиды , высота которой равна h , а площади оснований равны S и М, вычисляется по формуле V = h/3(S + M + √S + M ) ;

в) пирамида называется правильной, если ее основание прямоугольник;

2.Задача. Щебень укладывается в кучу, имеющую форму правильной пирамиды с длиной основания 3 м. Какой высоты должна быть куча, чтобы ее объем был 8м3. 3.Задача. Бункер, у которого дно и верх прямоугольники, размеры которых равны 2*2,5 и 2,8* 3.5 м и высотой 1,5м заполнен зерном. Вычислите массу зерна, если масса одного кубического метра зерна равна 500 кг.

3 вариант.

1. Выберите верное утверждение:

а) апофема – это высота пирамиды;

б) объём пирамиды равен V = 1/3•Sосн.•Н в) все грани треугольной пирамиды прямоугольными треугольниками;

2.Задача. Какой объем может войти в тетра пак в виде пирамиды, основание которой равносторонний треугольник со стороной 20 см, высотой 24 см.

3. Задача. Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 150 м и боковым ребром 220 м. Найдите объем пирамиды.


Практическая работа № 3http://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=dba2fbd305792ce21d011257c909f9aa-27-144&n=21

  • По теме: « Объем цилиндра » Цели: закрепление понятий: цилиндр, объем цилиндра; способствовать развитию математического мышления и речи, закрепить формулу объема в процессе решения задач.

« Геометрия приближает разум к истине» Платон

Оборудование: модели цилиндра, тесты, калькулятор, линейки, карандаши.

Методические указания.

Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её

Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований, - образующими цилиндра.

Поверхность, состоящая из образующих, называется боковой поверхностью цилиндра.

Цилиндр прямой круговой может быть получен путем вращения прямоугольника вдоль стороны как оси.

Элементы цилиндра.Картинки по запросу цилиндр


R= АD – радиус цилиндра; d – диаметр.

H = АВ – высота;

L =СD – образующая.

S = πR 2 - площадь круга. d = 2R.

С – длина окружности. С = 2πR

Виды цилиндров:

hello_html_m58eab431.pnghello_html_m78bc328.png

прямой наклонный

Сечения цилиндра:

hello_html_m6a151d86.pnghello_html_m54c746c3.png

осевое сечение сечение плоскостью

перпендикулярной оси

Плотность находится по формуле: \rho = \frac{m}{V}, где  m — масса тела, V — его объём;

Объем цилиндра вычисляется по формуле: V = πR2H

1.Задание: по данным вам моделям найти объем цилиндра.

Ход работы:

Для нахождения объема цилиндра нужно измерить линейкой следующие элементы: диаметр, высоту. Подставить значения в формулу для нахождения объема цилиндра.

Пример: Вычислить объем цилиндра.

Оформление работы:

hello_html_62c18680.png

Дано: цилиндр, Н=12см, R=3см

Найти: V

Решение: V = πR2•H = π•32•12 = 108π (см3)

2.Выполняют тесты, состоящие из одного вопроса и двух задач.

Задания для самостоятельной работы:

1вариант

  1. Выберите верное утверждение.

а) Объём цилиндра равен половине произведения площади основания на высоту;

б) Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πS/2, где S – площадь осевого сечения цилиндра;

в) длина окружности равна С = 2πD

2.Задача. Сколько тонн бензина можно хранить в цистерне цилиндрической формы, если ее диаметр 5 м, длина3 м.? плотность бензина 0,7г\см.

3.Задача. Сколько литров побелки надо налить в емкость для краскопульта диаметром 20 см и высотой 60 см.

  1. вариант.

1.Выберите неверное утверждение:

а) объём равностороннего цилиндра равен V = 2πR3, где R – радиус основания цилиндра; б) объём цилиндра равен: V = πR2H

в) длина образующей цилиндра называется диаметром цилиндра;

2.Задача. Сколько бочек высотой 1,5 м и диаметром 0,8 м нужно, чтобы разлить в них содержимое цистерны длиной 4,5 м и диаметром 1,6 м?

3.Задача. 25 м медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволоки, если плотность меди 8,9 г/см3.

3 вариант.

1.Выберите неверное утверждение:

а) объём цилиндра вычисляется по формуле V = Mh/2, где М – площадь боковой поверхности цилиндра, а h – его высота;

б) длина окружности равна С = 2πR,

в) площадь круга равна S = πR 2.

  1. Задача. Сколько весит километр железной телеграфной проволоки толщиной 4 мм, если известно, что 1 кубический сантиметр железа весит 8 г?

3.Задача. Сколько в связке электродов для электросварки, если их общая масса 10 кг, а каждый электрод – кусок стальной проволоки длиной 45 см и диаметром 6 мм? Плотность стали 7600 кг/м3.


Тема 13. Элементы теории вероятностей

Практическая работа № 1.

Решение задач по теме: «Элементы теории вероятностей».

Цели: закрепление понятий: событие случайное, невозможное, достоверное; способствовать развитию математического мышления и речи.


Задание.

1. Для каждого из этих событий определить, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Из 26 учащихся класса двое справляют свой день рождения: 1) 25 января; 2) 31 июня

2. В 9 «Г» классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Какие из следующих событий являются невозможными, какие случайными, какие – достоверными:

А= в классе есть два человека, родившихся в разные месяцы;

В=в классе есть два человека, родившихся в одном месяце;

С=в классе есть два мальчика, родившихся в одном месяце;

D=в классе есть две девочки, родившиеся в одном месяце;

3. В сыгранной Катей и Ларисой партии в шахматы: 1) Катя выиграла, Лариса проиграла; 2) Катя проиграла, Лариса проиграла.Выявить пары совместных и пары несовместных событий.


4. Назовите событие, для которого противоположным является такое событие:

в) в нашем классе все умные и красивые;

г) в кошельке у меня есть три рубля одной монетой, или три доллара одной бумажкой

5. Антон учится в 9 «Б» классе, Стас – в 9 «В», Игорь – в 9 «Г». От каждого класса по жребию выбирают одного делегата в школьный хор. Как вы думаете, у кого из друзей больше шансов петь в хоре, если в 9 «Б» учится 22 человека, в 9 «В» - 19 человек, а в 9 «Г» - 26 человек?
























































Тема 14.Уравнения и неравенства.

Практическая работа №1

Решение алгебраических уравнений и неравенств.


Цель: научиться решать квадратные уравнения и неравенства, используя формулы дискриминанта и корней уравнения.


Теоретический материал.

Приведенное квадратное уравнение:hello_html_m684b1293.gif

Теорема Виета: hello_html_65e364bc.gif

hello_html_3ded5c57.gif

Полное квадратное уравнение: hello_html_m1b3d3ff.gif

Его дискриминант: hello_html_2e9ec7b0.gif

Решение полного квадратного уравнения:


hello_html_6097acf2.gif

hello_html_m7bcd6fae.gif

hello_html_mfbec0e3.gifнет действительных корнейhello_html_m77e2b64d.gif hello_html_11852162.gif

Ход работы.

  1. Решить уравнения, неравенства, найти область определения и данные внести в таблицу.

Пример

коэффициенты

Значение дискриминанта

Формулы для вычисления корней

Ответ


a

b

c









  1. Образец решения.

Решить уравнение: hello_html_bb9038f.gif

Найдём дискриминантhello_html_m2f0b21fd.gif Применим формулу корней квадратного уравнения: hello_html_m52c890e7.gif

Находим по формуле:

hello_html_790d70e0.gif


Пример

коэффициенты

Значение дискриминанта

Формулы для вычисления корней

Ответ

a

b

c

hello_html_bb9038f.gif

1

5

-6

49

hello_html_m6d751e8f.gif

hello_html_m5b353883.gif

hello_html_3f78e662.gif


Решить самостоятельно


п/п

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

1

Решить уравнения

1.1

hello_html_m3fda8221.gif

hello_html_121232be.gif

hello_html_m518c07c1.gif

1.2

hello_html_m57f1c959.gif

hello_html_619cffcf.gif

hello_html_m48a8b1dc.gif

1.3

hello_html_f7cb075.gif;

hello_html_m5e32fe0.gif

hello_html_2d1a6c00.gif

1.4

hello_html_m1892fcd7.gif

hello_html_46beadff.gif

hello_html_m39ce49b0.gif

2

Решить неравенство

2.2

hello_html_m3451fadd.gif

hello_html_75f6a1c1.gif

hello_html_m5798771a.gif

2.3

hello_html_881685f.gif

hello_html_5eabeefe.gif

hello_html_m7407c172.gif

2.3

hello_html_5b60fab6.gif

hello_html_5c1ed4b8.gif

hello_html_m6e4fb921.gif

3

Найти область определения

3.1

hello_html_492287c6.gif

hello_html_m3e0c6452.gif

hello_html_m21e4077a.gif






Практическая работа №2

Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства

Цель: научиться строить график показательной функции. Используя свойства показательной функции и свойства степеней, научиться решать показательные уравнения и неравенства.

Теоретический материал

Степени чисел от 0 до 10


n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

hello_html_6f35c527.gif

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

hello_html_2e851ce1.gif

1

3

9

27

81

243

729

2187

6561

19683

59049

hello_html_m20fbb2b5.gif

1

4

16

64

256

1024

4096

16384

65536

262144


hello_html_56cc0f5e.gif

1

5

25

125

625

3125

15625

78125

390625



hello_html_470e26fe.gif

1

6

36

216

1296

7776

46656

279936




hello_html_52553e6d.gif

1

7

49

343

2401

16807

117649





hello_html_m4b698f9a.gif

1

8

64

512

4096

32768






hello_html_72de2b1f.gif

1

9

81

729

6561

59049






hello_html_7e0ca7e5.gif

1

10

100

1000

10000








Свойства степеней


  1. hello_html_m36fc38a9.gif;


  1. hello_html_3f53bdf1.gif


  1. hello_html_6b8841fa.gif


  1. hello_html_1317ec1e.gif


  1. hello_html_97428be.gif


  1. hello_html_2025ff41.gif


  1. hello_html_18a6510d.gif


  1. hello_html_m57daa1f8.gif


  1. hello_html_3fa5952f.gif



Образец решения

Пример 1

Решить уравнение: hello_html_49e28b7a.gif

Решение: Представим 64 как hello_html_1aa77756.gif и перепишем заданное уравнение в виде: hello_html_m3fc5aa26.gif. Это уравнение равносильно уравнению: hello_html_m15e395e1.gif.

Ответ: х=5

Пример 2

Решить уравнение: hello_html_4de28c09.gif ;

Решение: Преобразуем hello_html_m5e5e191c.gif как hello_html_m46bccfd.gif и перепишем заданное уравнение в виде:

hello_html_5f19d75a.gif. Это уравнение равносильно уравнению:

hello_html_m39c7dbe7.gifоткуда находим hello_html_23558aac.gif.

Ответ: х = 2

Уравнения, сводящиеся к квадратным (метод замены)

Пример 1

Решить уравнение: hello_html_6b3a74a0.gif.

Решение: Заметив, что hello_html_7e4b5f2c.gif

Перепишем заданное уравнение в виде:

hello_html_5716a091.gif

Вводим новую переменную: hello_html_2fb5693b.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_m67d30e41.gif

Решив квадратное уравнение, получим: hello_html_m1c77e12e.gif4, hello_html_m331d761f.gif6. Но так как hello_html_2fb5693b.gif, то надо решить два уравнения:

hello_html_m5709a2f0.gif

Решим первое уравнение:

hello_html_92f124e.gif

Рассмотрим второе уравнение.

Второе уравнение не имеет решения, так как hello_html_m2456a165.gif для любых значений х.

Ответ: 2

Метод выноса за скобки

Пример 1

Решить уравнение: hello_html_21bf71b.gif

В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем, то есть hello_html_32bb068d.gif. В результате получим:


hello_html_m543be667.gif;

hello_html_40f584d3.gif;


hello_html_700c0f14.gif;


hello_html_44c1a9ed.gif;

hello_html_m247cf2d1.gif;


hello_html_49d35ced.gif


Ответ: х = 2.

Системы показательных уравнений

Пример 1

Решить систему.

hello_html_m39a966b7.gif

Решение: Воспользуемся способом подстановки. Выразив из первого уравнения у, получим hello_html_694de0ff.gif. Тогда hello_html_71013adf.gif или hello_html_m3385c4d.gif откуда

hello_html_m12311f44.gifСледовательно, hello_html_2c53b920.gif.

Ответ: hello_html_m55113fb7.gif.



п/п

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

1

Построить график функции

1.2

hello_html_m41893595.gif

hello_html_6837dea9.gif

hello_html_m20129a12.gif

hello_html_m2d1af6dd.gif

2

Вычислить

2.1

hello_html_5b1f592f.gif

hello_html_1c57ce2c.gif

hello_html_m13bc4c1e.gif

hello_html_m54eca766.gif

3

Решить уравнения

3.1

hello_html_3bd02116.gif

hello_html_m14accd59.gif

hello_html_23810ae8.gif

hello_html_m43b08b8e.gif

3.2

hello_html_278ec23d.gif

hello_html_6f314924.gif

hello_html_m65a70931.gif

hello_html_2379f65e.gif

3.3

hello_html_m2e3ca1c2.gif

hello_html_m40d1f30b.gif

hello_html_652b2b59.gif

hello_html_m1ac86311.gif

3.4

hello_html_m71b7051.gif

hello_html_5563e33e.gif

hello_html_m60ff2bf1.gif

hello_html_m39faecf2.gif

4

Решить систему

4.1

hello_html_69445250.gif

hello_html_m64b7545.gif

hello_html_m6d2fbfe2.gif

hello_html_m30232217.gif

5

Решить неравенство

5.1

hello_html_6f411265.gif

hello_html_m3635b8bc.gif

hello_html_abb636.gif

hello_html_8979b97.gif




















Практическая работа №3

Тема: Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства

Цель: научиться решать логарифмические уравнения и неравенства, используя свойства логарифмической функции и свойства логарифмов.

Теоретический материал:

Основное логарифмическое тождество: hello_html_m39e58815.gif

Свойство логарифмов:

  1. hello_html_58820a69.gif

  2. hello_html_m3824f865.gif;

  3. hello_html_2b25e692.gif;

  4. hello_html_41b9afc0.gif;

  5. hello_html_406afbeb.gif.

Образец решения:

Пример 1. Решите уравнение:

  \[ \lg(x^2-6) = \lg(8+5x). \]

переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

  \[ x^2-6 = 8 + 5x\Leftrightarrow x^2-5x-14=0\Leftrightarrow \]

  \[ x_1 = 7,\, x_2 = -2. \]

Проверка:

hello_html_c2f2c8e.gif

hello_html_m14fa5ff0.gif

hello_html_m3c21359b.gif, hello_html_c2f2c8e.gif- является корнем уравнения.

hello_html_7d5cd8ed.gif

hello_html_3eafb148.gif

hello_html_m622e09ac.gif (-2) – не существует, hello_html_7d5cd8ed.gif - не является корнем уравнения.

Ответ: hello_html_303ac71c.gif

Пример 2. Решите уравнение:

  \[ 3\log_{\frac{1}{2}}^2 x +5\log_{\frac{1}{2}} x - 2=0. \]

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Используем подстановку:

  \[ t = \log_{\frac{1}{2}} x. \]

Уравнение принимает вид:

  \[ 3t^2 + 5t -2 = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t_1= \frac{1}{3},\\ t_2=-2.\end{array}\right. \]

Обратная подстановка:

  \[ \left[\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}} x = \frac{1}{3}, \\ \log_{\frac{1}{2}} x = -2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \\ x = 4. \end{array}\right. \]

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Решить самостоятельно:


п/п

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

1

Вычислить

1.1

hello_html_2d3c303e.gif

hello_html_m18062e1f.gif

hello_html_m6c02a83c.gif

1.2

hello_html_m50ca8093.gif

hello_html_m2305bbbe.gif

hello_html_m11d480e6.gif

2

Решить уравнения

2.1

hello_html_m7e5bc771.gif

hello_html_m9b983c1.gif

hello_html_e38ba9c.gif

2.2

hello_html_m150296de.gif

hello_html_m3a105530.gif

hello_html_7e083cf5.gif


2.3

hello_html_m1ca74e63.gif

hello_html_m5b1cb64e.gif

hello_html_m26bf1ba8.gif


2.4

hello_html_mf3d850e.gif


hello_html_m4125ea3a.gif

hello_html_55e0f8f7.gif

2.5

hello_html_m11d7f3e6.gif

hello_html_409a9752.gif

hello_html_m89fdcf9.gif


3

Решить неравенства

3.1

hello_html_m772577b0.gif

hello_html_m25e21f8e.gif

hello_html_676ba4a3.gif

3.2

hello_html_6a0e1755.gif

hello_html_m7cf6c8c7.gif

hello_html_42fe628.gif


Практическая работа №4

Тема: Решение тригонометрических уравнений и неравенств

Цель: научиться решать тригонометрические уравнения, используя свойства обратных тригонометрических функций и формул решения тригонометрических уравнений.

Теоретический материал:

Формулы для повторения

arcsin(hello_html_m5c062083.gif a) = hello_html_m5c062083.gif arcsin a

arccos (hello_html_m5c062083.gifa) = hello_html_m1f81245d.gif

arctg (hello_html_m5c062083.gifa) = hello_html_m5c062083.gif arctg a

arcctg (hello_html_m5c062083.gifa) = hello_html_315f1bec.gif arcctg a

Общие формулы решения тригонометрических уравнений

hello_html_m3f33441c.gifhello_html_4c7740ea.gif;

hello_html_m36292788.gif


hello_html_m5b7c5bc9.gif

hello_html_406093d6.gif

tg x = a, a – любое число

x = arctg x + hello_html_m46c0e3ea.gif


ctg x = a, a – любое число

х= arcctgx + hello_html_4a7e644b.gif



Частные решения тригонометрических уравнений


sin x=0

х=hello_html_6edbe673.gif

sin x=1

x=hello_html_m2695a85b.gif

sin x=-1 x=hello_html_619c1e9b.gif

cos x=0

x= hello_html_2206186a.gif

cos x=1

x= hello_html_bed5215.gif

cos x=-1

x=hello_html_m4829d76b.gif


Значение тригонометрических функций


град

00

300

450

600

900

радиан

0

hello_html_1efe9eb4.gif

hello_html_m2bf5a2e4.gif

hello_html_351c7e71.gif

hello_html_50661fa5.gif

sinhello_html_695bfd0f.gif

0

hello_html_6eec8aff.gif

hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_1fc87bde.gif

1

coshello_html_695bfd0f.gif

1

hello_html_1fc87bde.gif

hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_6eec8aff.gif

0

tghello_html_695bfd0f.gif

0

hello_html_7ab21a0a.gif

1

hello_html_5909bbae.gif

не существ

ctghello_html_695bfd0f.gif

Не существ

hello_html_5909bbae.gif

1

hello_html_7ab21a0a.gif

0


Образец решения №1

Решить уравнение:

hello_html_7a75ce35.gif

Решение. Введем новую переменную: z = sin x. Тогда уравнение примет вид: 2z2 – 5z + 2 =0. Решая квадратное уравнение находим z1 = 2 и z2 =hello_html_6eec8aff.gif.

Значит, либо sin x = 2, либо sin x = hello_html_6eec8aff.gif. Первое уравнение не имеет корней, а из второго находим

hello_html_6023a301.gif

hello_html_m7d0d76b3.gif

Образец №2

Решить уравнение:

hello_html_49b4fede.gif

Решение:

Воспользуемся тем, что hello_html_504a5578.gif

Тогда заданное уравнение можно записать в виде:

hello_html_2a993f3b.gif

После преобразования получим:

hello_html_m2a6f4a9c.gif

Введем новую переменную z = cos x. Тогда данное уравнение примет вид:

2z2z -1 = 0. Решая его, находим z1 = 1, z2 =hello_html_m3d15adeb.gif

Значит, либо cos x = 1, либо cos x = hello_html_m3d15adeb.gif

Решая первое уравнение cos x = 1, как частное, находим его решение

hello_html_66e85ffd.gif.

Решая второе уравнение, находим решение:

xhello_html_5b60b8e9.gifarccos hello_html_m15f696d2.gif

hello_html_m71277542.gif

hello_html_m5157f3c2.gif) + hello_html_26b1e013.gif

hello_html_m2708fd68.gif+ 2hello_html_m46c0e3ea.gif

Образец №3

Решить уравнение:

hello_html_m7f621051.gif

Решение:

С числом 2, содержащимся во правой части, поступим следующим образом. Известно, что hello_html_m972a4d3.gif - это тождество верно для любого значения х.

Тогда hello_html_m3c76d082.gif.

Заменив в первом уравнении 2 на hello_html_768ffad7.gif , получим: hello_html_11852162.gif

hello_html_m1de805ba.gifsinxhello_html_79c0f69b.gifcosx + 5hello_html_m20eba789.gif

hello_html_m1de805ba.gifsinxhello_html_79c0f69b.gifcosx + 5hello_html_7bf3c5f.gif

hello_html_4f3c3d7.gif

Обе части уравнения разделим на cos2 x почленно

hello_html_5df41f5a.gif

Так как hello_html_m68bc987d.gif, то полученное уравнение запишем в виде:

tg2x - hello_html_m4177a74e.gif

Введя новую переменную t=tg x, получим квадратное уравнение:

hello_html_m5e635944.gif+3=0, решая уравнение, получим: t =hello_html_5909bbae.gif

Итак, tg x=hello_html_5909bbae.gif

x= arctg hello_html_m11a5d3ff.gif

x= hello_html_1fa74bb8.gif, hello_html_5927d302.gif

Вариант 1

Вариант 2

Решить уравнения:

  1. sin2x – 5sinx +4 = 0

  2. 3cos22x + 10cos2x + 3 = 0

  3. 3cos2x + 10cosx + 3 = 0

  4. 2sin2x + 3cosx = 0

  5. tg2x - 2tgx – 3 = 0

  6. hello_html_5ec7255a.gif

  7. hello_html_8e4569c.gif

Решить уравнения:

  1. 6cos2x + cosx – 1 = 0

  2. 2sin22x – 3sin2x + 1 = 0

3. 2sin2x – 3sinx + 1 = 0

  1. 5cos2x + 6sinx – 6 = 0

  2. 2tg2x + 3tgx – 2 = 0

  3. hello_html_m4a6ba32c.gif

  4. hello_html_m250bb1f0.gif

Вариант 3

  1. 3sin2x – 5sinx – 2 = 0

  2. hello_html_m4fc8feb4.gif

  3. hello_html_m24be2c71.gif

  1. hello_html_6070e799.gif

  2. 3tg2x + 2tgx – 1 = 0

  3. hello_html_m2ae1d887.gif






























Тема 15. Итоговое повторение.


Практическая работа №1

Способы решения квадратных уравнений.

Цель: закрепить навыки по решению квадратных уравнений,используя формулы дискриминанта и корней уравнения.


Теоретический материал.

Приведенное квадратное уравнение:hello_html_m684b1293.gif

Теорема Виета: hello_html_65e364bc.gif

hello_html_3ded5c57.gif

Полное квадратное уравнение: hello_html_m1b3d3ff.gif

Его дискриминант: hello_html_2e9ec7b0.gif

Решение полного квадратного уравнения:


hello_html_6097acf2.gif

hello_html_m7bcd6fae.gif

hello_html_mfbec0e3.gifнет действительных корнейhello_html_m77e2b64d.gif hello_html_11852162.gif

Ход работы.

Решить уравнения

п/п

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

1

Решить уравнения

1.1

hello_html_m3fda8221.gif

hello_html_121232be.gif

hello_html_m518c07c1.gif

1.2

hello_html_m57f1c959.gif

hello_html_619cffcf.gif

hello_html_m48a8b1dc.gif

1.3

hello_html_f7cb075.gif;

hello_html_m5e32fe0.gif

hello_html_2d1a6c00.gif

1.4

hello_html_m1892fcd7.gif

hello_html_46beadff.gif

hello_html_m39ce49b0.gif

Практическая работа №2.

Способы решения неравенств.

Цель: закрепить навыки по решению квадратных неравенств, используя формулы дискриминанта и корней уравнения.

Ход работы.


2

Решить неравенство

2.2

hello_html_m3451fadd.gif

hello_html_75f6a1c1.gif

hello_html_m5798771a.gif

2.3

hello_html_881685f.gif

hello_html_5eabeefe.gif

hello_html_m7407c172.gif

2.3

hello_html_5b60fab6.gif

hello_html_5c1ed4b8.gif

hello_html_m6e4fb921.gif


Практическая работа №3.

Решение показательных уравнений.


Цель: научиться решать показательные уравнения и неравенства.

Теоретический материал

Степени чисел от 0 до 10


n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

hello_html_6f35c527.gif

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

hello_html_2e851ce1.gif

1

3

9

27

81

243

729

2187

6561

19683

59049

hello_html_m20fbb2b5.gif

1

4

16

64

256

1024

4096

16384

65536

262144


hello_html_56cc0f5e.gif

1

5

25

125

625

3125

15625

78125

390625



hello_html_470e26fe.gif

1

6

36

216

1296

7776

46656

279936




hello_html_52553e6d.gif

1

7

49

343

2401

16807

117649





hello_html_m4b698f9a.gif

1

8

64

512

4096

32768






hello_html_72de2b1f.gif

1

9

81

729

6561

59049






hello_html_7e0ca7e5.gif

1

10

100

1000

10000








Свойства степеней


  1. hello_html_m36fc38a9.gif;


  1. hello_html_3f53bdf1.gif


  1. hello_html_6b8841fa.gif


  1. hello_html_1317ec1e.gif


  1. hello_html_97428be.gif


  1. hello_html_2025ff41.gif


  1. hello_html_18a6510d.gif


  1. hello_html_m57daa1f8.gif


  1. hello_html_3fa5952f.gif



Ход работы.


3

Решить уравнения

3.1

hello_html_3bd02116.gif

hello_html_m14accd59.gif

hello_html_23810ae8.gif

hello_html_m43b08b8e.gif

3.2

hello_html_278ec23d.gif

hello_html_6f314924.gif

hello_html_m65a70931.gif

hello_html_2379f65e.gif

3.3

hello_html_m2e3ca1c2.gif

hello_html_m40d1f30b.gif

hello_html_652b2b59.gif

hello_html_m1ac86311.gif

3.4

hello_html_m71b7051.gif

hello_html_5563e33e.gif

hello_html_m60ff2bf1.gif

hello_html_m39faecf2.gif

4

Решить систему

4.1

hello_html_69445250.gif

hello_html_m64b7545.gif

hello_html_m6d2fbfe2.gif

hello_html_m30232217.gif

5

Решить неравенство

5.1

hello_html_6f411265.gif

hello_html_m3635b8bc.gif

hello_html_abb636.gif

hello_html_8979b97.gif






Практическая работа №4 Решение логарифмических уравнений.2ч


Цель: Закрепление навыков решения логарифмических уравнений.


Задание.

Вариант1.


Решите уравнения:

  1. log 9 x = hello_html_m5f640c3e.gif;

  2. log x 36 = 2;

  3. log 2 (3x+1) = 3;

  4. log 0,5 (x2 - 1) = -3;

  5. hello_html_283b3c1e.gif





Вариант2.



    1. Решите уравнения:

  1. log 9 x =hello_html_466a24fe.gif;

  2. log x 125 = 3;

  3. log 0,5 (3 – 4x) = -3;

  4. log 0,25 (4 – x2) = -hello_html_m1b704854.gif;

  5. hello_html_m7a66e2d.gif-2x-8)=1


















Практическая работа №5 .Решение логарифмических неравенств.

Цель: Закрепление навыков решения логарифмических неравенств.


Задание.


  1. Решите неравенство:

    1. lg x -1

    2. log 2 (4x – 1) < 4

Укажите все натуральные решения неравенства:

hello_html_m3a608aea.gif

2.Решите неравенство:

  1. log 0,5 x -1

  2. log 25 (9 - x) >-hello_html_m1b704854.gif;

Укажите все целые решения неравенства:

hello_html_3383602d.gif+2x-8)hello_html_34ed0380.gif



Практическая работа №6. Способы решения уравнений и их систем.

Цель: Систиматизировать знания по теме.



Решением системы двух уравнений  называется пара чисел (x0; y0), которая каждое уравнение системы обращает в тождество. Решить систему – значит найти все ее решения. Далее рассмотрим на примерах несколько способов решения систем.

  1. Способ подстановки. Решим систему уравнений:http://free.megacampus.ru/xbookM0001/files/f-teor-19-001.gifСпособ подстановки заключается в следующем:

1) выражаем одно неизвестное через другое, воспользовавшись одним из заданных уравнений. Обычно выбирают то уравнение, где это делается проще. В данном случае нам все равно, какое из заданных уравнений использовать для нашей цели. Возьмем, например, первое уравнение системы, и выразим x через yhttp://free.megacampus.ru/xbookM0001/files/f-teor-19-002.gif.2) подставим во второе уравнение системы вместо x полученное равенство: http://free.megacampus.ru/xbookM0001/files/f-teor-19-003.gif.

Получили линейное уравнение относительно переменной y. Решим это уравнение, помножим это равенство на 2, чтобы избавиться от дроби в левой части равенства:http://free.megacampus.ru/xbookM0001/files/f-teor-19-004.gifПодставим найденное значение http://free.megacampus.ru/xbookM0001/files/f-teor-19-005.gif в равенство, выражающее x, получим: http://free.megacampus.ru/xbookM0001/files/f-teor-19-006.gif.Таким образом, нами найдена пара значений http://free.megacampus.ru/xbookM0001/files/f-teor-19-007.gif, которая является решением заданной системы. Осталось сделать проверку.Проверка: http://free.megacampus.ru/xbookM0001/files/f-teor-19-008.gif



Пример 2.Решить систему уравнений http://free.megacampus.ru/xbookM0001/files/f-teor-19-086.gifРешение.ОДЗ: x > 0, y > 0.Перейдем во всех логарифмах к основанию 3:http://free.megacampus.ru/xbookM0001/files/f-teor-19-087.gifhttp://free.megacampus.ru/xbookM0001/files/f-teor-19-088.gifРазделим левую и правую части первого уравнения на соответствующие части второго: http://free.megacampus.ru/xbookM0001/files/f-teor-19-089.gif http://free.megacampus.ru/xbookM0001/files/f-teor-19-090.gif (второе решение отрицательно и является посторонним, так как х и у одного знака, следовательно, их отношение положительно).Получена подстановка: х = 4у. Тогда из второго уравнения последней системы 

3 = 1, у = 1, х =4.Ответ: (4; 1).



1)Решите систему уравнений:

Решить систему

hello_html_69445250.gif

hello_html_m64b7545.gif

hello_html_m6d2fbfe2.gif

hello_html_m30232217.gif


2) Решите уравнения:.

hello_html_m3815cdb4.png

hello_html_7e23be4b.png

hello_html_4257538a.png

hello_html_480a3bcd.png

hello_html_35cbc663.png



hello_html_3edc6a1a.png

hello_html_m5f0ced29.png


hello_html_50f2cf0f.png

hello_html_m45d9b8c7.png















Практическая работа №7. Решение задач по теме: «Тригонометрические тождества».



Цель: проверить теоретические знания и навыки их применения при решении

задач по теме «Тригонометрические тождества и формулы».


Вариант 1.


1). Вычислите: а) sin ( – 225º ) б) cos hello_html_13cdd834.gif в) tg 240º


2). Вычислите: hello_html_m6ae1730a.gif


3). Дано: hello_html_m6d65701b.gif Найдите: tg α .


Упростите выражения:


4). hello_html_m61048ef1.gif 5). hello_html_m19cd9c4.gif


6). ctg ( 270º – α ) + ctg ( 90º + α ) 7). hello_html_4fe2de60.gif

_____________________________________________


8). Упростите выражение: hello_html_m3c5e6147.gif


9). Докажите тождество: hello_html_m91bccc.gif


10). Не используя таблиц найдите значение sin 15º.


11). Докажите тождество: hello_html_61c3763a.gif







Вариант 2.


1). Вычислите: а) sin 210º б) tg hello_html_m55efb4f2.gif в) cos ( – 135º )


2). Вычислите: hello_html_35adadb6.gif


3). Дано: hello_html_md7fbf97.gif Найдите: ctg α .


Упростите выражения:


4). hello_html_m7b3ef093.gif 5). hello_html_61d09c1f.gif


6). tg ( 270º + α ) + ctg ( 180º + α ) 7). hello_html_m39888dcf.gif

_____________________________________________


8). Упростите выражение: hello_html_m8931569.gif


9). Докажите тождество: hello_html_528d9802.gif


10). Не используя таблиц найдите значение cos 75º.


11). Упростите выражение: 8 sin 10º • cos 20º • cos 40º





Вариант 3.


1). Вычислите: а) sin ( – 135º ) б) tg hello_html_m31c8b3ab.gif в) cos ( – 210º )


2). Вычислите: hello_html_34aed4bc.gif


3). Дано: hello_html_77ea8df3.gif Найдите: tg α .


Упростите выражения:


4). hello_html_767022f9.gif 5). 2hello_html_m2d9c4e10.gif


6). ctg ( 360º – α ) + tg ( 90º + α ) 7). hello_html_m530e14d2.gif

_____________________________________________


8). Упростите выражение: hello_html_3bd43ae6.gif


9). Докажите тождество: hello_html_1b19357a.gif


10). Не используя таблиц найдите значение cos 15º.


11). Докажите тождество: hello_html_m68baa5f5.gif



Вариант 4.


1). Вычислите: а) cos 225º б) ctg hello_html_1f89907f.gif в) sin ( – 135º )


2). Вычислите: hello_html_71bc495e.gif


3). Дано: hello_html_m410a372d.gif Найдите: ctg α .


Упростите выражения:


4). hello_html_m8d7953c.gif 5). hello_html_4fba4232.gif


6). cos ( 270º – α ) + cos ( 90º – α ) 7). hello_html_m720c3197.gif

_____________________________________________


8). Упростите выражение: hello_html_6119a117.gif


9). Докажите тождество: hello_html_69072031.gif


10). Не используя таблиц найдите значение sin 75º.


11). Упростите выражение: 16 sin 18º • cos 36º • cos 72º








Практическая работа №8.Исследование функций.2ч.

Цель: систематизация знаний по теме.

Методические рекомендации:

Алгоритм исследования функции на возрастание и убывание.

1. Найти Д(f).      2. Найти f'(x).

3. Найти стационарные  точки, т.е. точки, где  f'(x) = 0 или f'(x) не существует.
(Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)

4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.

5. Определить знаки производной на    каждом из интервалов

6. Применить признаки.  7. Записать ответ.

-Найти промежутки возрастания функции

y=x4-2x2

y'=4x3-4x

4x3-4x>0

4x(x2-1)>0

http://festival.1september.ru/articles/593225/img1.gif

Ответ: [- 1 ; 0], [1 ; http://festival.1september.ru/articles/593225/img3.gif)


Пример Построить график функции g(x) = 2 x3 - 3 x2 +x + 5.

::  Функция g(x) - многочлен, а у всех многочленов область определения - вся вещественная ось: D(g) = R.

::  Многочлены бывают чётными функциями, если содержат только чётные степени переменного x, и нечётными функциями, если содержат только нечётные степени x. Для функции g(x) это не так, значит, g(x) не является ни чётной, ни нечётной функцией.

Периодическими из всех многочленов бывают только постоянные, то есть не зависящие от x; в нашем случае это не так, поэтому g(x) -- не периодическая функция.

::  Вертикальных асимптот график не имеет, поскольку область определения не имеет граничных точек. (У графиков многочленов вообще не бывает вертикальных асимптот.)

::  Поскольку многочлен имеет степень 3 (а не 1 или 0), то его график не имеет наклонных или горизонтальных асимптот.

::  Пересечение с осью Oy найдём, вычислив значение g(x) при x = 0 :

g(0) = 2∙03 - 3∙0+ 0 + 0 = 5.

Для нахождения пересечений графика с осью Ox следует решить уравнение 2 x3 - 3 x2 +x + 5 = 0. Целых корней это уравнение не имеет. Вычисляя значения в некоторых целых точках, например,

 g(-2) = -25; g(-1) = -1; g(0) = 5; g(1) = 5; g(2) = 11,

мы начинаем подозревать, что уравнение имеет только один корень x0 , лежащий на интервале (-1;0), причём ближе к точке -1, чем к 0. (Действительно, если применить какой-либо из методов приближённого нахождения корней алгебраического уравнения, мы получим, что x0≈ -0.919. Эти методы мы изучим ниже, в главе 9. А пока нам достаточно того, что x0 http://webmath.exponenta.ru/s/kiselev1/e.png (-1;0).) Заметим, что g(x) меняет знак с − на + при переходе через точку x0.

::  Производная данной функции равна g'(x) = 6 x2 − 6 x + 1. Найдём интервалы возрастания функции, решая неравенство 6 x2 − 6 x + 1 > 0. Корни квадратного трёхчлена - это (3 ± 31/2)/6 ≈ 0.5 ± 0.285, значит, решением неравенства служит объединение интервалов (−∞;(3 − 31/2)/6)  и ((3 + 31/2)/6; +∞). На каждом из этих интервалов функция g(x) возрастает. Интервалы убывания задаются обратным неравенством g'(x) < 0, то есть x2 − 6 x + 1 < 0. Его решением служит интервал ((3 − 31/2)/6;(3 + 31/2)/6). На этом интервале функция убывает.

В точке x1 = (3 − 31/2)/6  ≈ 0.215 возрастание функции сменяется убыванием, значит, x1 - точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

 g(x1) = 2∙31/2/9 + 5 ≈ 5.38

В точке x2 = (3 + 31/2)/6  ≈ 0.785  убывание функции сменяется возрастанием, значит, x2 - точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно

  g(x2) = − 2∙31/2/9 + 4.5 ≈ 4.12

Как мы видим, на участке убывания значения функции изменяются от 5.38 до 4.12 и остаются положительными. Это доказывает, что сама функция действительно имеет только один корень.

::  Вторая производная функции равна g''(x) = 12 x − 6. Для отыскания интервала выпуклости решим неравенство g''(x) > 0, то есть 12 x − 6 > 0, откуда x  > 1/2. Значит, функция выпукла на интервале (1/2;+∞). Обратное неравенство g''(x) < 0 даёт нам интервал вогнутости; очевидно, это (−∞;1/2). В точке 1/2 направление выпуклости меняется, следовательно,1/2 - это точка перегиба. Значение функции в этой точке равно  g(1/2) = 5.

::  С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции g(x). 

http://webmath.exponenta.ru/s/kiselev1/im/746.png

.График функции g(x) = 2 x3 - 3 x2 + x + 5


Вариант 1.


Дана функция y=x3-3x2+4.Найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции,

б) точки экстремума,

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;4].

Постройте график функцииy=x3-3x2+4.



Вариант 2.

Дана функция y=0,5x4-4x2.Найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции,

б) точки экстремума,

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3].

Постройте график функции y=0,5x4-4x2


Автор
Дата добавления 25.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1805
Номер материала ДВ-378289
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх