"Правильные многоугольники"- урок геометрии в 9 классе.

• 1 слайд

  Закончи предложение
  Если стороны многоугольника являются хордами окружности, то многоугольник называется …………………………..
  
  Если стороны многоугольника являются касательными к окружности, то окружность называется …………………………..
  
  Если сторона правильного многоугольника стягивает дугу окружности, равную 36 градусов, то многоугольник имеет ……. сторон.
  
  Верно ли утверждение: многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны. - ………
  
  
  Если правильный многоугольник имеет 5 сторон, то сумма внутренних углов равна …..
  
   Сторону правильного пятиугольника увеличили в 2 раза. Как изменится его угол?
  
  
  

• 2 слайд

  Построение правильного треугольника
  

• 3 слайд

  Построение квадрата
  

• 4 слайд

  Построение правильного шестиугольника
  

• 5 слайд

  Построение восьмиугольника
  

• 6 слайд

  План построения правильного десятиугольника
  1. Окружность с центром О
  2. Перпендикулярные диаметры АВ и СD
  3. На радиусе ОС как на диаметре построить окружность центром Р
  4. Соединить Р и А. РА пересекает окружность в т.М
  5. А М – сторона десятиугольника
  6. Разделить окружность на 10 равных частей
  7. Соединить вершины
  

• 7 слайд

  Паркеты из одинаковых правильных многоугольников
  

• 8 слайд

  Паркеты из разных правильных многоугольников
  
  

• 9 слайд

  Паркеты из неправильных многоугольников
  
  

• 10 слайд

  Правильные многоугольники в природе
  Пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов.
  И как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».
  

Урок геометрии в 9 классе.

Тема: «Правильные многоугольники»

Цели: 1. Изучение способов построения некоторых видов правильных

              многоугольников. Приобретение навыков построения правильных

             многоугольников при помощи циркуля и линейки.

            3.Формировать умение  применять геометрические знания к решению

             практических задач; формировать умения анализировать,

             обобщать,  показывать, использовать элементы исследования.

          4. Развитие геометрической интуиции, пространственного

              воображения, учить видеть связь между математикой и жизнью.

       Задача обучения: проконтролировать знания, умения и навыки по теме, показать учащимся различные способы решения одной задачи

Ход урока

1.Оргмомент

2. Проверка домашнего задания

             1) Устный опрос:

       - Какие многоугольники называются правильными?

       - Какие правильные многоугольники мы с вами изучили?

       - По какой формуле вычисляется сумма углов правильного

          многоугольника?

       - А как найти один  его угол?

1.      Если стороны многоугольника являются хордами окружности, то многоугольник называется …………………………..

2.     Если стороны многоугольника являются касательными к окружности, то окружность называется …………………………..

3.     Если сторона правильного многоугольника стягивает дугу окружности, равную 36⁰, то многоугольник  имеет ……. сторон.

4.     Верно ли утверждение: многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны. - ………

5.     Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной  а вычисляется по формуле: R= …..

6.     Сторона правильного четырехугольника, вписанного в окружность радиуса R, вычисляется по формуле а₄= …..

7.     Если правильный многоугольник имеет 5 сторон, то сумма внутренних углов равна …..

       - На чем основывается построение правильного многоугольника?

                      (Слайды)

           2) Построение правильных многоугольников

       - Вспомним, как строят правильные многоугольники при помощи

         циркуля и линейки  (слайд)

       - Предлагаю вам воспроизвести, на нелинованной бумаге построить

         правильные треугольник, четырёхугольник, пятиугольник,

         шестиугольник.

       - можно использовать какой-то другой способ построения.

                                      (строят)

  3. Построения одних многоугольников через другие  

       Итак, перед вами правильный шестиугольник.

 Задача 1. Можно ли из правильного шестиугольника  получить правильный треугольник?

Вывод: Чтобы из правильного 2n-угольника получить правильный n-угольник нужно соединить вершины через одну.

( таким же образом можно получить из 16-угольника 8-угольник)

Задача 2. Как из квадрата получить восьмиугольник?

Вывод: чтобы из n-угольника получить 2n-угольник, надо дуги, соединяющие соседние вершины разделить пополам и последовательно соединить все точки на окружности.

 Объясните, как вы строили пятиугольник?

(Обучающиеся проговаривают).

                      Сегодня на уроке используем знания «Построение правильных многоугольников» и научимся правильно изображать пятиконечную звезду. Как вы думаете, с помощью какой геометрической фигуры это можно сделать?

4. Объяснение построения правильного десятиугольника

Как вы знаете, при решении задач на построение можно использовать только циркуль и линейку. Эти задачи были предметом исследования древнегреческих ученых и самого Пифагора. Пятиконечная звезда – пентаграмма была у пифагорейцев  чем-то вроде пароля. Только пифагорейцы могли построить правильный пятиугольник. До наших дней дошло решение этой задачи. Однако строить мы начнем сначала правильный десятиугольник. Вы научились строить правильный шестиугольник, а с помощью него правильный треугольник. Аналогично мы построим пятиугольник, сначала построив десятиугольник.

А ваша задача – внимательно следить и запоминать план построения. При построении правильного десятиугольника сначала необходимо найти отрезок, который равен стороне правильного десятиугольника. Для этого построим окружность с центром О и проведем два взаимно перпендикулярных диаметра. АВ и CD. На одном из радиусов, например на ОС, построим окружность как на диаметре. Пусть её центр точка Р. Соединим А и Р. Этот отрезок пересечет окружность в точке М.

Отрезок АМ – является стороной правильного десятиугольника. Теперь раствором циркуля равного отрезку АМ, разделим окружность с центром О на десять равных частей. Соединим точки А₁, … А₁₀, А₁. полученная фигура правильный десятиугольник. А если мы соединим вершины через одну, то получим правильный пятиугольник. Теперь  на экране еще раз посмотрите построение правильного десятиугольника и постарайтесь в уме составить план построения.

Давайте теперь вместе озвучим план построения правильного десятиугольника.

1.     Окружность с центром О

2.     Два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и СД

3.     На радиусе ОС как на диаметре построить окружность с центром Р

4.     Соединить точки Р и А. Отрезок РА пересекает окружность в точке М

5.     Отрезок АМ – есть сторона правильного десятиугольника вписанного в окружность с центром в точке О.

6.     Разделить окружность на десять равных частей, обозначив точки А1, А2,…А10.

Теперь берите своих помощников – циркуль и линейку и выполним построение. На доске задание выполняет учитель.

Правильный пятиугольник получится, если соединим вершины десятиугольника через одну. Как теперь построить звезду?

(Провести диагонали пятиугольника.)

Демонстрируется на экране.

Итак, чтобы изобразить пятиконечную звезду нам потребовался правильный пятиугольник, в котором мы провели диагонали.

Красная пятиконечная звезда – один из самых первых символов молодого Советского государства. Появление её в этом качестве в достаточной степени ещё не исследовано. Но уже сейчас с достаточным основанием можно говорить о красной пятиконечной звезде, прежде всего как о военном знаке, возникшем первоначально именно в этом качестве.

Как основная эмблема Красной армии она послужила основой для военного ордена Красной звезды, учрежденного в 1930 г.

А теперь каждый из вас построит шестиконечную звезду.

(Самостоятельная работа 2 минуты)

Попрошу показать правильное построение.

5. Использование правильных многоугольников

 Ребята, а так ли уж важно изучать и знать сведения о правильных многоугольниках? В каких житейских ситуациях можно встретиться с правильными многоугольниками?

Ответы учащихся.

Например, в швейном деле. В столярном деле (мальчики представляют рисунки паркета для ремонта пола в кабинете).

В строительном деле паркет – это настил пола из твердых пород дерева, обработанного в виде тонких дощечек разных форм. Наличие паркета в жилище обеспечивает его гигиену, малую теплопроводность и хорошую звукоизоляцию. Паркет – это не только удобство, но и красота помещения, поскольку он - своеобразный орнамент.

В математике паркетом называют «замощение» плоскости повторяющимися фигурами без пропусков и перекрытий.

Задача 3: Какими правильными многоугольниками можно покрыть плоскость?

(раздаются фигуры, учащиеся исследуют)

Простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад. Они установили, что вокруг одной точки могут лежать либо шесть правильных многоугольников (360⁰: 60⁰ = 6), либо четыре квадрата (360⁰: 90⁰ = 4), либо три правильных шестиугольника (360⁰: 120⁰ = 3), так как сумма углов с вершиной этой точки равна 360⁰.

Правильные многоугольники встречаются в природе. Один из примеров – пчелиные соты, которые представляют собой прямоугольник, покрытый, т. е. составленный без просветов и перекрытий правильными шестиугольниками. На этих шестиугольниках пчёлы наращивают из воска ячейки, представляющие собой прямые шестиугольные призмы. В них пчёлы и откладывают мёд, а затем снова покрывают сплошным прямоугольником из воска. ( демонстрация сот)

Пчелы – удивительные творения природы. Свои геометрические способности они проявляют при построении своих сот.

Почему пчёлы выбрали именно шестиугольник?

Над этим вы подумаете дома.

( Если возьмем равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник одинаковой площади (показываю модели), то периметр шестиугольника будет наименьшим. (Р₃ = 45,9 см., Р₄ = 40 см., Р₆ = 37,8 см.).

Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.)

И как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».  (слайд)

Т. е., на примере пчёл, мы убеждаемся, насколько гармонично устроен наш мир, как умна природа.

6. Сообщения учащихся 

Многогранник  — это тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, при этом многоугольники называются гранями.

( о правильных и полуправильных многогранниках)

7. Лабораторная работа

А сейчас займите места за компьютерами. Удобным для вас способом найдите площадь фигуры. Обращаю ваше внимание на то, что расхождение в двух единицах допустимо)

8.    Итог урока

Итак, с помощью геометрии мы прикоснулись к тайне математических шедевров из воска, дерева, еще раз убедившись во всесторонней эффективности математике.

Увидели ли вы в ходе урока практическую значимость правильных многоугольников?