Презентации ученика по ЭВМ на тему " Дифференциальное исчисление функций нескольких действительных переменных"

• 1 слайд

  
  Сделал
  Студент группы ПКС-6: Белоусов В.А.
  Проверил(а)
  Преподаватель ЭВМ: Антипина Р.К.
  
  Презентация по теме : «Дифференциальное исчисление функций нескольких действительных переменных»
  ОГБОУ СПО «Иркутский Авиационный Техникум»
  

• 2 слайд

  Понятие дифференцируемости функции
  Функция w = f(x) называется дифференцируемой в точке если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа что при
  

• 3 слайд

  Теорема №1
  Для того чтобы функция w = f(x) была дифференцируемой в
  точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности точки x0
  она была представима в виде
  

• 4 слайд

  Следствие №1
  Функция w = f(x), дифференцируемая в точке x0, непре-
  рывна в этой точке.
  Таким образом, при x → x0 соотношение при учёте примет вид
  

• 5 слайд

  Следствие №2
  Функция w = f(x), дифференцируемая в точке x0, непрерывна в этой точке.
  Действительно, предельный переход при x →x0 в даёт равенство,
  означающее непрерывность функции w = f(x) в точке x0.
  

• 6 слайд

  Пример
  Покачать, что функции непрервыные в точке х=0, не дифференцируемы в этой точке
  Решение
  1)Предположим, что функция z = 3√xy дифференцируема в точке x = 0, y = 0. Тогда, согласно теореме, в некоторой окрестности этой точки функцию можно представить в виде
  где функции f1(x, y) и f2(x, y) непрерывны в точке x = 0, y = 0. Пусть k —
  произвольное число. Положим в y = kx. Тогда во всех точках указанной
  окрестности должно выполняться равенство
  Полученное равенство противоречит условию произвольности числа k. Это противоречие означает, что сделанное изначально предположение о дифференцируемости функции z = 3√xy неверно.
  

• 7 слайд

  2) Как и в предыдущем случае, воспользуемся методом доказательства от противного.Предположим, что функция z = 3√ (x3 − y3 )дифференцируема в точке x = 0, y = 0. Тогда, согласно теореме, в некоторой окрестности этой точки функцию можно представить в виде
  где f1(x, y) и f2(x, y) непрерывны в точке x = 0, y = 0. Пусть k — произвольное число. Положим в y = kx. Тогда во всех точках указанной окрестности должно выполняться равенство
  Полученное равенство противоречиво в силу того, что функция 3√(1 − k3 )нелиней на по k в отличие от функции A1+A2k в правой части равенства. Это противоречие означает, что сделанное изначально предположение о дифференцируемости
  функции z = 3 √ x3 − y3 неверно.
  

• 8 слайд

  Функции двух переменных
  

• 9 слайд

• 10 слайд

  Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке
  Теорема №2
  Если функция w = f(x) дифференцируема в точке x0, то она имеет в этой точке все частные производные (∂f/∂xi)(x0), i = 1, n, и при x → x0 :
  

• 11 слайд

  Доказательство
  Пусть функция w = f(x) дифференцируема в точке x0. Тогда найдутся такие постоянные Ai, i = 1, n, что при x → x0 будет выполняться равенство:
  Положим в этом равенстве x = x0 +ekt. Тогда оно примет вид:
  

• 12 слайд

  Теорема№3
  Если все частные производные (∂f / ∂xi)(x), i = 1, n, функции w = f(x) определены в окрестности точки x0 и непрерывны в x0, то функция w = f(x) дифференцируема в точке x0.
  

• 13 слайд

  Доказательство
  Провед¨ем для функции двух переменных, т.е. x= (x, y), x0 = (x0, y0) (доказательство для функции произвольного числа переменных аналогично). Пусть f`x(x, y) и f`y(x, y) определены в некотором шаре (круге) S(x0, y0; δ) и непрерывны в его центре (x0, y0). Приращение функции Δf(x0, y0):
  

• 14 слайд

  Экстремум функции двух переменных
  

• 15 слайд

  Производная по направлению и градиент
  Производной функции w = f(x) в точке x0 по направлению называется величина
  

• 16 слайд

  Теорема №4
  Если функция w = f(x) дифференцируема в точке x0, то производная по направлению в этой точке находится по формуле
  

• 17 слайд

  Теорема №5(ствойство градиентов)
  Если функции f1(x) и f2(x) обладают конечными производными на некотором множестве X, то справедливы равенства:
  

• 18 слайд

  Градиент
  

• 19 слайд

  Теорема №6
  Производная функции w = f(x) в точке x0 по направлению вектора имеет наибольшее значение, если это направление совпадает с направлением grad w. Это наибольшее значение равно:
  

• 20 слайд

  Касательная
  Касательной к линии в точке P0(x0, y0, z0) называется предельное положение секущей P0P, когда P0 →P по кривой
  

• 21 слайд

  Точки поверхности, в которых частные производные Fz = Fx = Fy = 0,будем называть особыми точками.
  

• 22 слайд

  Нормалью к поверхности S в точке P0 будем называть прямую, проходящую
  через точку P0 перпендикулярно касательной плоскости к поверхности S в этой точке. Нормаль к поверхности определяется уравнением
  

• 23 слайд

  Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  нормаль
  касательная плоскость
  М0
  
  М
  

• 24 слайд

  Частные производные и производные по направлению высших порядков
  Теорема №7
  Смешанные частные производные функции нескольких переменных в некоторой точке x, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности в этой точке.
  

• 25 слайд

  Частные производные 2-го порядка
  

• 26 слайд

  Дифференциал 2-го порядка