Презентация исследовательской работы по математике "Решение одной задачи"

• 1 слайд

  Муниципальный конкурс «Математик года»
  Бенефис одной задачи.
  Работу выполнила ученица 9 класса МОУ «СОШ с Камелик»
  Чернова Ирина
  

• 2 слайд

  Показать, что теорему о свойстве биссектрисы треугольника можно доказывать различными способами.
  Цель работы:
  

• 3 слайд

  Часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее.
  У. Сойер
  Эпиграф.
  

• 4 слайд

  Свойство биссектрисы треугольника
  АД/ДС=АВ/ВС
  Очевидно, если АВ=ВС, то теорема верна. Поэтому будем считать, что АВ не равно ВС.
  Биссектриса (ВД) любого угла (АВС) делит противоположную сторону (АС) на части (АД И ДС), пропорциональные прилежащим сторонам.
  

• 5 слайд

  1. Используется обобщенная теорема Фалеса:
  Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.
  Продолжим сторону АВ за вершину В и проведем СЕ, параллельную ВД, тогда треугольник ВСЕ- равнобедренный, в котором ВС=ВЕ. Но по обобщенной теореме Фалеса АД/ДС=АВ/ВЕ.
  Следовательно,
  АД/ДС=АВ/ВС.
  

• 6 слайд

  2.1 Используется признак подобия треугольника по двум углам:
  Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
  Продолжим биссектрису ВД до пересечения в точке Е с прямой АЕ, параллельной ВС, тогда угол АЕД равен углу ДВА, а значит, треугольник АВЕ - равнобедренный и АВ=АЕ. Поскольку вертикальные углы АДЕ и ВДС равны, то треугольники АДЕ и СДВ подобны по двум углам и тогда ДС/АД=ВС/АЕ=ВС/АВ, следовательно, АД/ДС=АВ/ВС.
  

• 7 слайд

  2.2 Используется признак подобия треугольника по двум углам:
  Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
  
  Продолжим биссектрису ВД и на луче ВД отметим точку Е, такую, чтобы АЕ=АД, тогда углы АЕД, АДЕ и ВДС равны. Следовательно треугольники АВЕ и СВД подобны по двум углам. А это значит, что ДС/АЕ=ВС/АВ, то есть АД/ДС=АВ/ВС.
  

• 8 слайд

  3.1Используются формулы площади треугольника:
  Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
  Треугольники АВД и ДВС имеют общую высоту ВН. Тогда отношение их площадей равно отношению АД/ДС. Но по свойству биссектрисы эти треугольники имеют равные высоты, проведенные соответственно к сторонам АВ и ВС. Тогда отношение площадей треугольников АВД и ДАС равно отношению АВ/ВС =АД/ДС.
  

• 9 слайд

  3.2Используются формулы площади треугольника:
  Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними.
  Площадь треугольника АВД равна ½*АД*ВД*sinАДВ;
  Площадь треугольника СДВ равна ½*ДС*ВД*sinСДВ. Так как синусы смежных углов равны, то отношение площадей треугольников АВД к СДВ равно АД/ДС.
  С другой стороны, площадь треугольника АДВ равна ½*АВ*ВД*sin АВД и площадь треугольника СДВ равна ½*ВС*ВД*sinСВД. Так как углы АВД и СВД равны ( ВД- биссектриса), то отношение площадей треугольников АДВ и СДВ рано АВ/ВС.
  Таким образом, учитывая равенства получим: АД/ДС=АВ/ВС.
  

• 10 слайд

  Решение одной и той же задачи разными методами дает возможность полнее исследовать свойства геометрической фигуры и выявить наиболее простое решение.
  Использование разных методов позволяет оценить преимущества и недостатки перед другими.
  Нередко найденный способ решения может быть в дальнейшем использован для решения более трудных задач, сходных с решенной задачей.
  Заключение.