Презентация "Методы решения уравнений"

ГАПОУ КК «КРАСНОДАРСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

№	Простейшие уравнения	Общий вид	ОДЗ	Решение уравнений
1.	Линейное уравнение	aх + b = 0	x ∈ R	x = −𝒃 𝒂
2.	Квадратное уравнение	ах𝟐 + bх + с = 0	x ∈ R	D > 0, 𝒙𝟏,𝟐 = 𝒃−𝒃𝟐±𝒂 𝑫, D = 0, x = − , 𝟐𝒂 D < 0, нет корней
3.	Иррациональное уравнение		x ≥ 0, n - четное	х = 𝒂𝒏, а ≥ 0
			x ∈ R, n – нечетное	х = 𝒂𝒏, a∈ R
4.	Степенное уравнение	х𝒏 = a	x ∈ R	n – четное, x = ± 𝒏 𝒂, а ≥ 0, n – нечетное, x = 𝒏 𝒂, а∈ R
5.	Показательное уравнение	𝒂𝒙 = b	x ∈ R	x = 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒃, a > 0, a≠ 1, b > 0
6.	Логарифмическое уравнение	𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 = b	x > 0	х = 𝒂𝒃, a > 0, a≠ 1
7.	Тригонометрические уравнения	сos x = a	x ∈ R	x = ± arccos a + 2πk, |a| ≤ 1
		sin x = a	x ∈ R	x = (−𝟏)𝒏 arcsin a + πk, |a| ≤ 1
		tg x = a	x ∈ R	x =  arctg a + πk, a∈ R
		сtg x = a	x ∈ R	x =  arcctg a + πk, a∈ R

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИЙ

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Метод 1. Замена уравнения u(f(x)) = u(g(x)) системой: ቊ где u (x) – монотонная функция.

•         |f(х)| = |g(х)|, (или |f(х)| = g(х), где g(х) ≥ 0) ⟺ ቈ

•         𝐟^𝐧 𝐱 = 𝐠^𝐧 𝐱 , (n – четное) ⟺ |f(x)| = |g(x)|

•         𝐟^𝐧(𝐱) = 𝐠^𝐧(𝐱), (n – нечетное) ⟺ f(x) = g(x);

•         ^𝐧 𝐟(𝐱) = ^𝐧 𝐠(𝐱) , (n – нечетное) ⟺ f(x) = g(x);

•         ^𝐧 𝐟(𝐱) = ^𝐧 𝐠(𝐱) , (n –четное) ⟺ ቊ^{𝐟 𝐱   = 𝐠 𝐱 ,}; 𝐟 𝐱 ≥ 𝟎.

•         а^𝐟(𝐱) = а^𝐠(𝐱), (а > 0, а ≠ 1)  ⟺ f(x) = g(x);

                                                                                                                                                                                                                              𝐟 𝐱                                                                                         = 𝐠 𝐱 ,

•         𝐥𝐨𝐠_а 𝐟(𝐱) = 𝐥𝐨𝐠_а 𝐠(𝐱), (а > 0, а ≠ 1) ⟺ ቊ 𝐟 𝐱 > 𝟎.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ |𝒇(𝒙)| = |𝒈(𝒙)|

Пример 1. Решить уравнение |𝒙^𝟐 – 3х| = |2х – 6|

Решение. |𝒙

^𝟐 – 3х| = |2х – 6| ⟺ ቈ 𝟐𝒙^𝟐––𝟑х𝟑х==−𝟐𝟐хх–+𝟔,𝟔. ⟺

𝒙

                                                                                                                                             𝒙^𝟐 – 𝟓х + 𝟔 = 𝟎,                                              х_𝟏 = 𝟐, х_𝟐 = 𝟑,

                                                                                                                                 ⟺ ቈ                  ⟺ ቈ

                                                                                                                                                            𝒙^𝟐 – х – 𝟔 = 𝟎                                          х_𝟏 = − 𝟐, х_𝟐 = 𝟑.

Ответ: ± 2; 3.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 𝐟𝐧 𝐱 = 𝐠𝐧 𝐱

Пример 2. Решить уравнения:

а) (𝟓х + 𝟏)^𝟑 = (𝟐х − 𝟓)^𝟑 ⟺ 5х +1 = 2х – 5; х = – 2.

б) (𝟒х − 𝟑)^𝟒 = (𝟓х − 𝟔)^𝟒 ⟺ |𝟒х − 𝟑| = |5х – 6| ⟺

                                                                                                                               𝟒х – 𝟑 = 𝟓х – 𝟔,  х = 𝟑,

                                                                                    ⟺ ቈ                            ⟺ ቈ

                                                                                                                      𝟒х – 𝟑 = − 𝟓х + 𝟔.                                               х = 𝟏.

Ответ: а) –2; б) 3; 1.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 𝒏 𝒇 (𝒙) = 𝒏 𝒈 (𝒙)

Пример 3. Решить уравнения:                                                 

а) 𝟓 𝟐х^𝟐 − 𝟕 = ^𝟓 х^𝟐 + 𝟗 ⟺ 2𝐱^𝟐 – 7 = 𝐱^𝟐 + 9; 𝐱^𝟐 = 16; х_𝟏,𝟐 = ± 4.

𝟔 ^𝟐 − 𝟐х − 𝟐 = _𝟔 𝟒х^𝟐 − 𝟓х ⟺ ൝𝟑х^𝟐ОДЗ− 𝟐х: 𝟒−х_𝟐𝟐−=𝟓х𝟒х≥^{𝟐 −}𝟎.^𝟓х, б) 𝟑х

                                                                                 х^𝟐 − 𝟑х + 𝟐 = 𝟎, х_𝟏 = 𝟏, х_𝟐 = 𝟐,

⟺ ⟺ ൝ОДЗ: 𝟒х𝟐 − 𝟓х ≥ 𝟎. ⟺ ቊОДЗ: 𝟒х𝟐 − 𝟓х ≥ 𝟎. ⟺ х = 2

(х = 1 не удовлетворяет ОДЗ) Ответ: а) ± 4 б) 2.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 𝒂^𝒇(𝒙)= 𝒂^𝒈(𝒙) , (𝒂 > 𝟎; 𝒂 ≠ 𝟏)

Пример 4. Решить уравнение 𝟗 ∙ 𝟑^𝟒х+𝟓 =( ^𝟏 )^х.

𝟐𝟕

                                                   Решение.       𝟗 ∙ 𝟑^𝟒х+𝟓 = ( ^𝟏 )^х

𝟐𝟕

𝟑𝟐 ∙ 𝟑𝟒х+𝟓 = 𝟑−𝟑х

𝟑𝟐+ 𝟒х+𝟓 = 𝟑−𝟑х

4х + 7 = − 3х

7х = – 7

Ответ: – 1.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒈 𝒙 , (𝒂 > 𝟎; 𝒂 ≠ 𝟏)

Пример 5. Решить уравнение 𝒍𝒐𝒈_𝟑(х^𝟐 + 𝟓х − 𝟔) = 𝒍𝒐𝒈_𝟑(𝟐х + 𝟒) Решение.

х𝟐 + 𝟓х − 𝟔 = 𝟐х + 𝟒,

𝒍𝒐𝒈𝟑(х𝟐 + 𝟓х − 𝟔) = 𝒍𝒐𝒈𝟑(𝟐х + 𝟒) ⟺ ቊ                                                              ОДЗ: 𝟐х + 𝟒 > 𝟎.                                             ⟺

⟺ ቊх^𝟐 + 𝟑х − 𝟏𝟎 = 𝟎, ⟺ ቊ х_𝟏 = −𝟓, х_𝟐 = 𝟐, ⟺ _{х = 2} ОДЗ: 𝟐х + 𝟒 > 𝟎. ОДЗ: 𝟐х + 𝟒 > 𝟎.

(х = – 5 не удовлетворяет ОДЗ) Ответ: 2.

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Метод 2. Разложение на множители:

Пример 6. Решить уравнение (𝟑х^𝟐 – х – 2) 𝟐х − 𝟏 = 0.

𝟑х^𝟐 – х – 𝟐 = 𝟎, (𝟑х^𝟐 – х – 2) 𝟐х − 𝟏 = 0 ⟺^൥ 𝟐х − 𝟏 = 𝟎, ⟺ 𝟐х − 𝟏 ≥ 𝟎.

                   ቈх_𝟏 = −𝟏, х_𝟐 = 𝟐,            х = 𝟐,

൞            х = 𝟎, 𝟓,        ⟺ ቈ

х = 𝟎, 𝟓.

х ≥ 𝟎, 𝟓.

Ответ: 0,5; 2.

Пример 7. Решить уравнение 𝒙^𝟐∙ 𝟕^х – 49𝒙^𝟐 = 0.

Решение. 𝒙^𝟐∙ 𝟕^х – 49𝒙^𝟐 = 0

𝒙𝟐(𝟕х – 49) = 0 ⟺ ቈ𝟕х 𝒙–𝟐𝟒𝟗= 𝟎=, 𝟎, ⟺ ቈ𝟕хх == 𝟒𝟗𝟎, , ⟺ ቈхх == 𝟎𝟐,.

Ответ: 0; 2.

Пример 8. Решить уравнение 𝒔𝒊𝒏 х – 𝒔𝒊𝒏 𝟐х = 0.

Решение. 𝒔𝒊𝒏 х – 𝒔𝒊𝒏 𝟐х = 0 𝒔𝒊𝒏 х – 𝟐𝒔𝒊𝒏 х 𝒄𝒐𝒔 х = 0

                       𝒔𝒊𝒏 х (1 – 𝟐𝒄𝒐𝒔 х) = 0 ⟺ ቈ  ^{𝒔𝒊𝒏 х = 𝟎,}

𝟏 − 𝟐𝒄𝒐𝒔 х = 𝟎,

                                 𝒔𝒊𝒏 х = 𝟎,                  х = 𝝅𝒏,

቎𝒄𝒐𝒔 х = 𝟏 , ⟺ ൥х = ± 𝝅_𝟑 + 𝟐𝝅𝒏,

_𝟐

Ответ: 𝝅𝒏, ± ^𝝅 + 𝟐𝝅𝒏

𝟑

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Метод 3. Введение новой переменной: в уравнении f(v(x)) = g(v(x)) можно ввести подстановку t = v(x) и

                                                                                                                                                     𝐟 𝒕     = 𝐠 𝒕 ,

перейти к системе ቊ

ОДЗ.

Пример 9. Решить уравнение 𝟏𝟔^х – 3 ∙ 𝟒^х – 4 = 0.

Решение. 𝟏𝟔^х – 3 ∙ 𝟒^х – 4 = 0.

Пусть у = 𝟒^х, где у > 0, тогда 𝟏𝟔^х = у^𝟐.

Подставим у и у^𝟐 в исходное уравнение, получим:

у^𝟐 – 3у – 4 = 0, у_𝟏 = −𝟏 < 0, у_𝟐 = 𝟒 > 0,

𝟒^х = 4, х = 1.

Ответ: 1.

Пример 10. Решить уравнение 𝒍𝒐𝒈_𝟓^𝟐x + 𝒍𝒐𝒈_𝟓𝒙− 6 = 0.

Решение. 𝒍𝒐𝒈_𝟓^𝟐x + 𝒍𝒐𝒈_𝟓 𝒙 − 6 = 0.

Пусть у = 𝒍𝒐𝒈_𝟓 𝒙, тогда 𝒍𝒐𝒈_𝟓^𝟐x= у^𝟐.

Подставим у и у^𝟐 в исходное уравнение, получим:

у^𝟐 + у – 6 = 0, у_𝟏 = −𝟑, у_𝟐 = 𝟐,

𝒍𝒐𝒈_𝟓 𝒙 = − 𝟑, х = 𝟓^−𝟑, х = _𝟏𝟐𝟓^𝟏 ,

𝒍𝒐𝒈_𝟓 𝒙 = 2, х = 𝟓^𝟐, х = 25

𝟏

Ответ: ; 25.

𝟏𝟐𝟓

Пример 11. Решить уравнение 𝐬𝐢𝐧^𝟐х + 4𝐬𝐢𝐧 𝐱 – 5 = 0.

Решение. 𝐬𝐢𝐧^𝟐х + 4𝐬𝐢𝐧 𝐱 – 5 = 0.

Пусть у = 𝐬𝐢𝐧 𝐱, где − 𝟏 ≤ у ≤ 1, тогда 𝐬𝐢𝐧^𝟐х = у .

Подставим у и у^𝟐 в исходное уравнение, получим:

у^𝟐 + 4у – 5 = 0,

у_𝟏 = −𝟓 < − 𝟏, у_𝟐 = 𝟏,

𝛑

𝐬𝐢𝐧 𝐱 = 1, х =  + 2𝛑𝐤, k ∈ Z

𝟐

𝛑

Ответ:  + 2𝛑𝐤, k ∈ Z.

𝟐

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Метод 4. Функционально графический метод. Решением уравнения f(x) = g(x) являются абсциссы точек пересечения графиков функций у = f(x) и у = g(x).

Пример 12. Решить уравнение 𝟒^х = 5 − х. Решение. Построим графики функций у = 𝟒^х и у = 5 − х.

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций х = 1. Проверка: 𝟒^𝟏 = 4; 5 − 1 = 4.

Ответ: 1.

Пример 13. Решить уравнение 𝟑

Решение. Построим графики функций   у = 𝟑^−х и у = − ^𝟑.

х

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций    х = −1. Проверка: 𝟑^−(−𝟏) = 3; − ^𝟑 = 3. −𝟏

Ответ: − 1.

Пример 14. Решить уравнение

𝐥𝐨𝐠_𝟐 𝐱 = 3 − х.

Решение. Построим графики

функций f(x) = 𝐥𝐨𝐠_𝟐 𝐱 и g(x) = 3 – х.

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций х = 2.

Проверка: 𝐥𝐨𝐠_𝟐 𝟐 = 1; 3 − 2 = 1.

Ответ: 2.