Для всех учителей из 37 347 образовательных учреждений по всей стране

Скидка до 75% на все 778 курсов

Выбрать курс
Инфоурок Алгебра ПрезентацииПрезентация "Методы решения уравнений"

Презентация "Методы решения уравнений"

библиотека
материалов


ГАПОУ КК «КРАСНОДАРСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Простейшие уравнения

Общий вид

ОДЗ

Решение уравнений

1.

Линейное уравнение

aх + b = 0

x R

x = 𝒃

𝒂

2.

Квадратное уравнение

ах𝟐 + bх + с = 0

x R

D > 0, 𝒙𝟏,𝟐 = 𝒃−𝒃𝟐±𝒂 𝑫,

D = 0, x = ,

𝟐𝒂

D < 0, нет корней

3.

Иррациональное уравнение

x 0, n - четное

х = 𝒂𝒏, а ≥ 0           

x R, n – нечетное

х = 𝒂𝒏, aR

4.

Степенное уравнение

х𝒏 = a

x R

n – четное, x = ± 𝒏 𝒂, а ≥ 0, n – нечетное, x = 𝒏 𝒂, аR

5.

Показательное уравнение

𝒂𝒙 = b

x R

x = 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒃, a > 0, a1, b > 0

6.

Логарифмическое уравнение

𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 = b

x > 0

х = 𝒂𝒃, a > 0, a1

7.

Тригонометрические уравнения

сos x = a

x R

x = ± arccos a + 2πk, |a| ≤ 1

sin x = a

x R

x = (−𝟏)𝒏 arcsin a + πk, |a| ≤ 1

tg x = a

x R

x =  arctg a + πk, aR

сtg x = a

x R

x =  arcctg a + πk, aR

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИЙ

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Метод 1. Замена уравнения u(f(x)) = u(g(x)) системой: где u (x) – монотонная функция.

         |f(х)| = |g(х)|, (или |f(х)| = g(х), где g(х) ≥ 0) ⟺ ቈ

         𝐟𝐧 𝐱 = 𝐠𝐧 𝐱 , (n – четное) |f(x)| = |g(x)|

         𝐟𝐧(𝐱) = 𝐠𝐧(𝐱), (n – нечетное) f(x) = g(x);

         𝐧 𝐟(𝐱) = 𝐧 𝐠(𝐱) , (n – нечетное) f(x) = g(x);

         𝐧 𝐟(𝐱) = 𝐧 𝐠(𝐱) , (n –четное) ⟺ ቊ𝐟 𝐱   = 𝐠 𝐱 ,; 𝐟 𝐱 ≥ 𝟎.

         а𝐟(𝐱) = а𝐠(𝐱), (а > 0, а 1)  f(x) = g(x);

                                                                                                                                                                                                                              𝐟 𝐱                                                                                         = 𝐠 𝐱 ,

         𝐥𝐨𝐠а 𝐟(𝐱) = 𝐥𝐨𝐠а 𝐠(𝐱), (а > 0, а 1) ⟺ ቊ 𝐟 𝐱 > 𝟎.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ |𝒇(𝒙)| = |𝒈(𝒙)|

Пример 1. Решить уравнение |𝒙𝟐 3х| = |2х – 6|

Решение. |𝒙

𝟐 3х| = |2х – 6| ⟺ ቈ 𝟐𝒙𝟐––𝟑х𝟑х==−𝟐𝟐хх–+𝟔,𝟔. ⟺

𝒙

                                                                                                                                             𝒙𝟐 – 𝟓х + 𝟔 = 𝟎,                                              х𝟏 = 𝟐, х𝟐 = 𝟑,

                                                                                                                                 ⟺ ቈ                  ⟺ ቈ

                                                                                                                                                            𝒙𝟐 – х – 𝟔 = 𝟎                                          х𝟏 = − 𝟐, х𝟐 = 𝟑.

Ответ: ± 2; 3.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 𝐟𝐧 𝐱 = 𝐠𝐧 𝐱

Пример 2. Решить уравнения:

а) (𝟓х + 𝟏)𝟑 = (𝟐х − 𝟓)𝟑 5х +1 = 2х – 5; х = – 2.

б) (𝟒х − 𝟑)𝟒 = (𝟓х − 𝟔)𝟒 |𝟒х − 𝟑| = |5х – 6|

                                                                                                                               𝟒х – 𝟑 = 𝟓х – 𝟔,  х = 𝟑,

                                                                                    ቈ                            ⟺ ቈ

                                                                                                                      𝟒х – 𝟑 = − 𝟓х + 𝟔.                                               х = 𝟏.

Ответ: а) –2; б) 3; 1.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 𝒏 𝒇 (𝒙) = 𝒏 𝒈 (𝒙)

Пример 3. Решить уравнения:                                                 

а) 𝟓 𝟐х𝟐 − 𝟕 = 𝟓 х𝟐 + 𝟗 ⟺ 2𝐱𝟐 – 7 = 𝐱𝟐 + 9; 𝐱𝟐 = 16; х𝟏,𝟐 = ± 4.

𝟔 𝟐 − 𝟐х − 𝟐 = 𝟔 𝟒х𝟐 − 𝟓х ⟺ ൝𝟑х𝟐ОДЗ− 𝟐х: 𝟒−х𝟐𝟐−=𝟓х𝟒х≥𝟐 𝟎.𝟓х, б) 𝟑х

                                                                                 х𝟐 − 𝟑х + 𝟐 = 𝟎, х𝟏 = 𝟏, х𝟐 = 𝟐,

⟺ ⟺ ൝ОДЗ: 𝟒х𝟐 − 𝟓х ≥ 𝟎. ⟺ ቊОДЗ: 𝟒х𝟐 − 𝟓х ≥ 𝟎. ⟺ х = 2

(х = 1 не удовлетворяет ОДЗ) Ответ: а) ± 4 б) 2.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 𝒂𝒇(𝒙)= 𝒂𝒈(𝒙) , (𝒂 > 𝟎; 𝒂 ≠ 𝟏)

Пример 4. Решить уравнение 𝟗 ∙ 𝟑𝟒х+𝟓 =( 𝟏 )х.

𝟐𝟕

                                                   Решение.       𝟗 ∙ 𝟑𝟒х+𝟓 = ( 𝟏 )х

𝟐𝟕

𝟑𝟐 ∙ 𝟑𝟒х+𝟓 = 𝟑−𝟑х

𝟑𝟐+ 𝟒х+𝟓 = 𝟑−𝟑х

4х + 7 =

7х = – 7

Ответ: – 1.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒈 𝒙 , (𝒂 > 𝟎; 𝒂 ≠ 𝟏)

Пример 5. Решить уравнение 𝒍𝒐𝒈𝟑𝟐 + 𝟓х − 𝟔) = 𝒍𝒐𝒈𝟑(𝟐х + 𝟒) Решение.

х𝟐 + 𝟓х − 𝟔 = 𝟐х + 𝟒,

𝒍𝒐𝒈𝟑𝟐 + 𝟓х − 𝟔) = 𝒍𝒐𝒈𝟑(𝟐х + 𝟒) ⟺ ቊ                                                              ОДЗ: 𝟐х + 𝟒 > 𝟎.                                             ⟺

⟺ ቊх𝟐 + 𝟑х − 𝟏𝟎 = 𝟎, ⟺ ቊ х𝟏 = −𝟓, х𝟐 = 𝟐, ⟺ х = 2 ОДЗ: 𝟐х + 𝟒 > 𝟎. ОДЗ: 𝟐х + 𝟒 > 𝟎.

(х = – 5 не удовлетворяет ОДЗ) Ответ: 2.

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Метод 2. Разложение на множители:


Пример 6. Решить уравнение (𝟑х𝟐 – х – 2) 𝟐х − 𝟏 = 0.

𝟑х𝟐 – х – 𝟐 = 𝟎, (𝟑х𝟐 – х – 2) 𝟐х − 𝟏 = 0 𝟐х − 𝟏 = 𝟎, ⟺ 𝟐х − 𝟏 ≥ 𝟎.

                   ቈх𝟏 = −𝟏, х𝟐 = 𝟐,            х = 𝟐,

൞            х = 𝟎, 𝟓,        ⟺ ቈ

х = 𝟎, 𝟓.

х ≥ 𝟎, 𝟓.

Ответ: 0,5; 2.

Пример 7. Решить уравнение 𝒙𝟐𝟕х – 49𝒙𝟐 = 0.

Решение. 𝒙𝟐𝟕х – 49𝒙𝟐 = 0

𝒙𝟐(𝟕х – 49) = 0 ⟺ ቈ𝟕х 𝒙–𝟐𝟒𝟗= 𝟎=, 𝟎, ⟺ ቈ𝟕хх == 𝟒𝟗𝟎, , ⟺ ቈхх == 𝟎𝟐,.

Ответ: 0; 2.

Пример 8. Решить уравнение 𝒔𝒊𝒏 х 𝒔𝒊𝒏 𝟐х = 0.

Решение. 𝒔𝒊𝒏 х 𝒔𝒊𝒏 𝟐х = 0 𝒔𝒊𝒏 х 𝟐𝒔𝒊𝒏 х 𝒄𝒐𝒔 х = 0

                       𝒔𝒊𝒏 х (1 – 𝟐𝒄𝒐𝒔 х) = 0 ⟺ ቈ  𝒔𝒊𝒏 х = 𝟎,

𝟏 − 𝟐𝒄𝒐𝒔 х = 𝟎,

                                 𝒔𝒊𝒏 х = 𝟎,                  х = 𝝅𝒏,

቎𝒄𝒐𝒔 х = 𝟏 , ⟺ ൥х = ± 𝝅𝟑 + 𝟐𝝅𝒏,

𝟐

Ответ: 𝝅𝒏, ± 𝝅 + 𝟐𝝅𝒏

𝟑


ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Метод 3. Введение новой переменной: в уравнении f(v(x)) = g(v(x)) можно ввести подстановку t = v(x) и

                                                                                                                                                     𝐟 𝒕     = 𝐠 𝒕 ,

перейти к системе

ОДЗ.

Пример 9. Решить уравнение 𝟏𝟔х – 3 ∙ 𝟒х – 4 = 0.

Решение. 𝟏𝟔х – 3 ∙ 𝟒х – 4 = 0.

Пусть у = 𝟒х, где у > 0, тогда 𝟏𝟔х = у𝟐.

Подставим у и у𝟐 в исходное уравнение, получим:

у𝟐 – 3у – 4 = 0, у𝟏 = −𝟏 < 0, у𝟐 = 𝟒 > 0,

𝟒х = 4, х = 1.

Ответ: 1.

Пример 10. Решить уравнение 𝒍𝒐𝒈𝟓𝟐x + 𝒍𝒐𝒈𝟓𝒙6 = 0.

Решение. 𝒍𝒐𝒈𝟓𝟐x + 𝒍𝒐𝒈𝟓 𝒙 6 = 0.

Пусть у = 𝒍𝒐𝒈𝟓 𝒙, тогда 𝒍𝒐𝒈𝟓𝟐x= у𝟐.

Подставим у и у𝟐 в исходное уравнение, получим:

у𝟐 + у – 6 = 0, у𝟏 = −𝟑, у𝟐 = 𝟐,

𝒍𝒐𝒈𝟓 𝒙 = − 𝟑, х = 𝟓−𝟑, х = 𝟏𝟐𝟓𝟏 ,

𝒍𝒐𝒈𝟓 𝒙 = 2, х = 𝟓𝟐, х = 25

𝟏

Ответ: ; 25.

𝟏𝟐𝟓

Пример 11. Решить уравнение 𝐬𝐢𝐧𝟐х + 4𝐬𝐢𝐧 𝐱 – 5 = 0.

Решение. 𝐬𝐢𝐧𝟐х + 4𝐬𝐢𝐧 𝐱 – 5 = 0.

Пусть у = 𝐬𝐢𝐧 𝐱, где − 𝟏 ≤ у 1, тогда 𝐬𝐢𝐧𝟐х = у .

Подставим у и у𝟐 в исходное уравнение, получим:

у𝟐 + 4у – 5 = 0,

у𝟏 = −𝟓 < − 𝟏, у𝟐 = 𝟏,

𝛑

𝐬𝐢𝐧 𝐱 = 1, х =  + 2𝛑𝐤, k Z

𝟐

𝛑

Ответ:  + 2𝛑𝐤, k Z.

𝟐


ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Метод 4. Функционально графический метод. Решением уравнения f(x) = g(x) являются абсциссы точек пересечения графиков функций у = f(x) и у = g(x).

Пример 12. Решить уравнение 𝟒х = 5 х. Решение. Построим графики функций у = 𝟒х и у = 5 х.

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций х = 1. Проверка: 𝟒𝟏 = 4; 5 1 = 4.

Ответ: 1.

Пример 13. Решить уравнение 𝟑

Решение. Построим графики функций   у = 𝟑−х и у = 𝟑.

х

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций    х = 1. Проверка: 𝟑−(−𝟏) = 3; 𝟑 = 3. −𝟏

Ответ: 1.

Пример 14. Решить уравнение

𝐥𝐨𝐠𝟐 𝐱 = 3 х.

Решение. Построим графики

функций f(x) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝐱 и g(x) = 3 х.

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций х = 2.

Проверка: 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟐 = 1; 3 2 = 1.

Ответ: 2.



Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Проверен экспертом
Общая информация
Учебник: «Математика (базовый уровень) », Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Тема: § 24. Общие методы решения уравнений

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Маркетинг: теория и методика обучения в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Организация научно-исследовательской работы студентов в соответствии с требованиями ФГОС»
Курс повышения квалификации «Экономика и право: налоги и налогообложение»
Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС педагогических направлений подготовки»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Основы менеджмента в туризме»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс повышения квалификации «Психодинамический подход в консультировании»
Курс повышения квалификации «Мировая экономика и международные экономические отношения»
Курс профессиональной переподготовки «Метрология, стандартизация и сертификация»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика музейного дела и охраны исторических памятников»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.