Презентация по алгебре и началам анализа на тему " Метод рационализации при решении логарифмических неравенств "( 11 класс)

• 1 слайд

  Метод рационализации при решении логарифмических неравенств
  
  
  
  Валентина Анатольевна Огородник
  МАОУ «СОШ № 14» г. Соликамск, Пермский край
  (равносильные замены в неравенствах)
  

• 2 слайд

  Определение логарифма
  Логарифмом положительного числа в по положительному основанию а ( а ≠ 1 ), называется показатель степени с, в которую возводят а для получения в;
  
  т.е . log a в = c а с = в,
  
  
  2
  где основание а > 0, а ≠ 1,
  подлогарифмическое выражение в > 0,
  логарифм (показатель) с – любое число.
  

• 3 слайд

  
  
  
  3
  Неравенство С 3
  из Демоверсии ЕГЭ - 2014
  от 31 октября 2013 года
  
  
  
  
  
  
  
  

• 4 слайд

  Идея решения неравенств . . .
  1) иррациональное
  
  2) показательное
  
  3) логарифмическое
  4
  З а м е н а данного неравенства равносильным рациональным неравенством
  с учётом монотонности функции и ОДЗ аргумента!
  

• 5 слайд

  Квадратные неравенства
  х 2 – 5 х + 6 V 0 ( < , ≤ , > , ≥ )
  х 2 – 5 х + 6 = 0
  D = 25 – 24 = 1; x 1 = 2, x 2 = 3
  
  
  1) х 2 – 5 х + 6 ≤ 0
  2) ( х – 2 ) ∙ ( х – 3 ) < 0
  3) ( х – 2 ) ∙ ( х – 3 ) ≥ 0
  4) х 2 – 5 х + 6 > 0
  
  
  
  
  
  5
  
  x є ( 2; 3 )
  2
  3
  х
  –
  +
  +
  x є ( - ∞; 2 ]; [ 3; + ∞ )
  x є [ 2; 3 ]
  x є ( - ∞; 2 ); ( 3; + ∞ )
  

• 6 слайд

  Неравенства с «изюминкой»
  ● х 2 ≥ 0
  ● х 2 > 0
  ● х 2 ≤ 0
  ● х 2 < 0
  2) ● | х | ≥ 0
  ● | х | > 0
  ● | х | ≤ 0
  ● | х | < 0
  
  6
  
  х є ( - ∞; 0 ); ( 0; + ∞ )
  x є R
  x = 0
  решений нет
  
  
  
  x є R
  х ≠ 0
  x = 0
  ø
  Какая разница в решениях примеров 1) и 2) ?
  у = х 2
  у = |х|
  

• 7 слайд

  Основной способ решения логарифмических неравенств –
  п о т е н ц и р о в а н и е,
  т. е. приведение левой и правой частей неравенства к логарифму с одинаковым основанием
  с последующим отбрасыванием логарифмов (с учётом монотонности функции и области допустимых значений аргумента)
  7
  

• 8 слайд

  Формулы для преобразования выражений с логарифмами
  1)
  2)
  3)
  4)
  5)
  
  
  
  
  
  8
  ОДЗ:
  a > 0
  а ≠ 1
  b > 0
  c > 0
  b ≠ 1
  

• 9 слайд

  с числом в основании логарифма
  ПРИМЕР. log 2/5 ( 3 x + 6 ) – log 2/5 ( 7 – x ) ≤ 0,
  log 2/5 ( 3 x + 6 ) ≤ log 2/5 ( 7 – x ),
  логарифмическая функция с основанием 2/5
  является монотонно-убывающей,
  поэтому 3x + 6 ≥ 7 – x
  4х ≥ 1 х ≥ 1/4;
  х є ( - 2; 7 ), в итоге х є [ 1/4; 7 ).
  Ответ: х є [ 1/4; 7 ).
  Использовали м о н о т о н н о с т ь функции !
  
  Логарифмическое неравенство
  9
  ОДЗ: 3 х + 6 > 0
  7 – х > 0
  
  

• 10 слайд

  10
  обе части неравенства приводят к логарифму с одним основанием;
  освобождаются от знаков логарифма, состав-ляя совокупность двух систем неравенств: при основании а > 1 и при а є ( 0; 1 );
  при этом учитывается характер монотонности
  логарифмической функции и ОДЗ аргумента;
  3) ответом является объединение решений
  двух систем неравенств.
  Традиционный способ решения неравенства
  с переменной в основании логарифма:
  

• 11 слайд

  
  Логарифмическое неравенство с переменной в основании логарифма
  ПРИМЕР. log х + 6 ( 2 х – 5 ) – log х + 6 ( х + 4 ) ≤ 0,
  log х + 6 ( 2 х – 5 ) ≤ log х + 6 ( х + 4 ).
  Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
  
  1) 0 < х + 6 < 1 или 2) х + 6 > 1
  2 х – 5 ≥ х + 4 2 х – 5 ≤ х + 4
  2 х – 5 > 0 2 х – 5 > 0
  х + 4 > 0 х + 4 > 0
  
  х є ( - 6; - 5 ) х > - 5
  х ≥ 9 решений х ≤ 9
  х > 2,5 нет х > 2,5
  х > - 4 х > - 4
  
  
  
  
  
  11
  х є ( 2,5; 9 ].
  
  
  
  
  ОТВЕТ: х є ( 2,5; 9 ].
  Использовали м о н о т о н н о с т ь функции !
  

• 12 слайд

  log 3 – x ( x + 4 ) – log 3 – x ( 3 – x ) 2 ≥ – 2 log 3 – x ( x + 4 ) – 2 ≥ – 2 log 3 – x ( x + 4 ) ≥ 0
  log 3 – x ( x + 4 ) ≥ log 3 – x 1
  
  
  
  
  12
  
  Пример из Демо-
  версии ЕГЭ – 2014.
  а) 0 < 3 – х < 1 ↓
  х + 4 ≤ 1
  х + 4 > 0
  или
  б) 3 – х > 1 ↑
  х + 4 ≥ 1
  х + 4 > 0
  – 1 < х – 3 < 0
  х ≤ – 3
  х > – 4
  х < 2
  х ≥ – 3
  х > – 4
  2 < х < 3
  х ≤ – 3 решений нет
  х > – 4
  х є [ – 3; 2 )
  х < 2
  х ≥ – 3
  Ответ: х є [ – 3; 2 ).
  

• 13 слайд

  П р о б л е м а !
  «Нельзя ли решить неравенство с переменной
  в основании логарифма
  и под знаком логарифма
  п р о щ е, не составляя совокупности двух систем?»
  13
  

• 14 слайд

  Обоснование метода рационализации при решении логарифмического неравенства по правилу
  log h f > 0 ( h – 1 ) · ( f – 1 ) > 0 на ОДЗ
  
  ПРИМЕР. log h f > 0 log h f > log h 1
  14
  h > 1 ↑
  f > 1
  О Д З
  0 < h < 1 ↓
  f < 1
  О Д З
  h – 1 > 0
  f – 1 > 0
  О Д З
  h – 1 < 0 и h > 0
  f – 1 < 0
  О Д З
  ( h – 1 ) ∙ ( f – 1 ) > 0
  О Д З
  ( h – 1 ) ∙ ( f – 1 ) > 0
  О Д З
  или
  или
  или
  П о л у ч и л и о д и н а к о в ы й р е з у л ь т а т !
  

• 15 слайд

  Правила для решения логарифмического неравенства методом рационализации:
  1) если логарифмическое неравенство имеет вид
  log h f V 0,
  то оно равносильно
  системе рациональных неравенств
  ( h – 1 ) ∙ ( f – 1 ) V 0
  h > 0
  h ≠ 1
  f > 0
  
  15
  
  
  
  
  О
  Д
  З
  
  
  
  
  Так определяют
  з н а к логарифма!
  

• 16 слайд

  Определите знак логарифма:
  1) log 3 7
  2) log 3 1/7
  3) log 1/3 1/7
  4) log 1/3 7
  5) а) log x ( x – 3 ) > 0 б) log x ( x – 3 ) < 0
  
  16
  ( 3 – 1 ) ( 7 – 1 ) > 0
  ( 3 – 1 ) ( 1/7 – 1 ) < 0
  ( 1/3 – 1 ) ( 1/7 – 1 ) > 0
  ( 1/3 – 1 ) ( 7 – 1 ) < 0
  ( х – 1 ) ( х – 3 – 1 ) > 0
  х > 0
  х ≠ 1
  х – 3 > 0
  ( х – 1 ) ( х – 3 – 1 ) < 0
  х > 0
  х ≠ 1
  х – 3 > 0
  

• 17 слайд

  Решите неравенства:
  1) log x ( x – 3 ) > 0 2) log x ( x – 3 ) < 0
  
  17
  ( х – 1 ) ( х – 3 – 1 ) > 0
  х > 0
  х ≠ 1
  х – 3 > 0
  ( х – 1 ) ( х – 3 – 1 ) < 0
  х > 0
  х ≠ 1
  х – 3 > 0
  ( х – 1 ) ( х – 4 ) > 0
  х > 0
  х ≠ 1
  х > 3
  ( х – 1 ) ( х – 4 ) < 0
  х > 0
  х ≠ 1
  х > 3
  х < 1 или х > 4
  х > 3
  
  1 < х < 4
  х > 3
  Ответ: х > 4.
  Ответ: х є ( 3; 4 ).
  

• 18 слайд

  Рационализация по правилу
  log h f ≤ 0 ( h – 1 ) · ( f – 1 ) ≤ 0 на ОДЗ.
  ПРИМЕР. log 3 + x ( x – 7 ) ≤ 0
  ( ( 3 + x ) – 1 ) · ( ( x – 7 ) – 1 ) ≤ 0
  ( x + 2 ) ∙ ( x – 8 ) ≤ 0
  х є [ - 2; 8 ];
  ● ОДЗ: 3 + х > 0 ● итак, х є [ - 2; 8 ],
  3 + х ≠ 1 х > 7; х > 7;
  х – 7 > 0 поэтому х є ( 7; 8 ].
  Ответ: х є ( 7; 8 ].
  
  
  
  18
  

• 19 слайд

  Рационализация по правилу
  log h f ≥ 0 ( h – 1 ) · ( f – 1 ) ≥ 0 на ОДЗ.
  ПРИМЕР. log ( x – 3 ) ( 7 x + 5 ) ≥ 0
  ( ( х – 3 ) 2 – 1 ) · ( ( 7 x + 5 ) – 1 ) ≥ 0 на ОДЗ
  ( ( x – 3 – 1 ) ∙ ( x – 3 + 1 ) ) ∙ ( 7 x + 4 ) ≥ 0 | : 7
  ( х – 4 ) ∙ ( х – 2 ) ∙ ( х + 4/7 ) ≥ 0 х є [ - 4/7; 2 ]; [ 4; + ∞ );
  ● ОДЗ: ( х – 3 ) 2 > 0 х ≠ 3
  ( х – 3 ) 2 ≠ 1 х ≠ 2; х ≠ 4
  7 х + 5 > 0 х > - 5/7
  ● итак, х є [ - 4/7; 2]; [ 4; + ∞ ),
  х є [ - 5/7; 2); ( 2; 3 ); ( 3; 4 ); ( 4; + ∞ ).
  Ответ: х є [ - 4/7; 2 ); ( 4; + ∞ ).
  
  
  
  19
  2
  х є ( - 5/7; 2 );
  ( 2; 3 ); ( 3; 4 );
  ( 4; + ∞ );
  

• 20 слайд

  
  Рационализация в неравенстве С 3
  
  
  20
  из Демоверсии ЕГЭ - 2014 от 31 октября 2013 года
  Ответ: х є [ – 3; 2 )
  
  
  
  
  
  
  а) ОДЗ: 3 – х > 0
  3 – х ≠ 1
  ( х + 4 ) / ( х – 3 ) 2 > 0
  
  б)
  
  log 3 – x ( x + 4 ) – log 3 – x ( 3 – x ) 2 ≥ – 2,
  log 3 – x ( x + 4 ) – 2 ≥ – 2,
  log 3 – x ( x + 4 ) ≥ 0;
  по методу рационализации:
  ( ( 3 – х ) – 1 ) ∙ ( ( х + 4 ) – 1 ) ≥ 0,
  ( х – 2 ) ∙ ( х + 3 ) ≤ 0,
  х є [ - 3 ; 2 ] (**);
  
  
  х < 3
  х ≠ 2
  х є ( - 4 ; 3 ); ( 3; + ∞ )
  
  х є ( - 4; 2 ); ( 2; 3 ) (*);
  
  в) х є ( - 4 ; 2 ); ( 2; 3 ) (*)
  х є [ - 3 ; 2 ] (**)
  
  х є [ - 3 ; 2 ).
  

• 21 слайд

  Обоснование метода рационализации при решении логарифмического неравенства по правилу
  log h f – log h g > 0 ( h – 1 ) · ( f – g ) > 0 на ОДЗ
  
  ПРИМЕР. log h f – log h g > 0 log h f > log h g
  21
  h > 1 ↑
  f > g
  О Д З
  0 < h < 1 ↓
  f < g
  О Д З
  h – 1 > 0
  f – g > 0
  О Д З
  h – 1 < 0 и h > 0
  f – g < 0
  О Д З
  ( h – 1 ) ∙ ( f – g ) > 0
  О Д З
  ( h – 1 ) ∙ ( f – g ) > 0
  О Д З
  или
  или
  или
  П о л у ч и л и о д и н а к о в ы й р е з у л ь т а т !
  

• 22 слайд

  Правила для решения логарифмического неравенства методом рационализации:
  2) если логарифмическое неравенство имеет вид
  ( log h f – log h g ) V 0,
  то оно равносильно
  системе рациональных неравенств
  ( h – 1 ) ∙ ( f – g ) V 0
  h > 0
  h ≠ 1
  f > 0
  g > 0
  22
  
  
  
  О
  
  Д
  
  З
  
  
  
  

• 23 слайд

  Два способа решения логарифмического неравенства с числом в основании логарифма
  с монотонностью функции:
  log 2/5 (3x + 6) – log 2/5 (7 – x) ≤ 0
  log 2/5 (3x + 6) ≤ log 2/5 (7 – x)
  т.к. логарифмическая
  функция с основанием 2/5
  является
  монотонно-убывающей,
  то 3 x + 6 ≥ 7 – x
  4 х ≥ 1
  х ≥ 1/4;
  ОДЗ: х є ( - 2; 7 ), поэтому
  х є [ 1/4; 7 ).
  Ответ: х є [ 1/4; 7 ).
  
  с рационализацией:
  log h f – log h g ≤ 0 (h – 1) · (f – g) ≤ 0 на ОДЗ.
  log 2/5 ( 3x + 6 ) – log 2/5 ( 7 – x ) ≤ 0
  
  ( 2/5 – 1 ) · ( (3x + 6) – (7 – x) ) ≤ 0
  - 3/5 · (4х – 1) ≤ 0
  4х – 1 ≥ 0
  х ≥ 1/4;
  ОДЗ: х є ( - 2; 7 ), поэтому
  х є [ 1/4; 7 ).
  Ответ: х є [ 1/4; 7 ).
  
  
  
  23
  

• 24 слайд

  
  Неравенство с переменной в основании логарифма
  
  Н е р а в е н с т в а
  log h f – log h g ≤ 0 и ( h – 1 ) · ( f – g ) ≤ 0
  р а в н о с и л ь н ы на О Д З.
  
  ПРИМЕР. log х + 6 ( 2 х – 5 ) – log х + 6 ( х + 4 ) ≤ 0
  ( ( х + 6 ) – 1 ) · ( ( 2 х – 5 ) – ( х + 4 ) ) ≤ 0
  х + 6 > 0
  х + 6 ≠ 1
  2 х – 5 > 0
  х + 4 > 0
  ( х + 5 ) ∙ ( х – 9 ) ≤ 0 х є [ - 5; 9 ]
  х > 2,5 х > 2,5 х є ( 2,5; 9 ].
  х ≠ - 5
  Использовали р а ц и о н а л и з а ц и ю ! ОТВЕТ: х є ( 2,5; 9 ].
  
  24
  о
  д
  3
  
  
  

• 25 слайд

  
  Решение предыдущего неравенства без рационализации
  
  ПРИМЕР. log х + 6 ( 2 х – 5 ) – log х + 6 ( х + 4 ) ≤ 0,
  log х + 6 ( 2 х – 5 ) ≤ log х + 6 ( х + 4 ).
  Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
  
  1) 0 < х + 6 < 1 или 2) х + 6 > 1
  2 х – 5 ≥ х + 4 2 х – 5 ≤ х + 4
  2 х – 5 > 0 2 х – 5 > 0
  х + 4 > 0 х + 4 > 0
  
  х є ( - 6; - 5 ) х > - 5
  х ≥ 9 решений х ≤ 9
  х > 2,5 нет х > 2,5
  х > - 4 х > - 4
  Использовали м о н о т о н н о с т ь ! ОТВЕТ: х є ( 2,5; 9 ].
  
  
  
  
  25
  х є ( 2,5; 9 ].
  С
  Р
  А
  В
  Н
  И
  Т
  Е
  
  С
  
  П
  Р
  Е
  Д
  Ы
  Д
  У
  Щ
  И
  М
  !
  
  
  
  
  

• 26 слайд

  У Р А !
  Ф И З М И Н У Т К А !
  26
  

• 27 слайд

• 28 слайд

  
  
  Многократная рационализация по правилам: log h f V 0 ( h – 1 ) · ( f – 1 ) V 0 на ОДЗ и ( log h f – log h g ) V 0 ( h – 1 ) · ( f – g ) V 0 на ОДЗ
  
  
  4) log ( 5 x – 2 ) ≥ 0 Ответ: (0,4; 0,5); (1; + ∞)
  а) ( log x 2x – 1 ) (5 х – 2 – 1 ) ≥ 0 б) ОДЗ:
  ( log x 2x – log x x ) ( 5х – 3) ≥ 0
  ( х – 1) ( 2х – х ) ( 5х – 3 ) ≥ 0 5 х – 2 > 0
  х ( х – 1 ) ( х – 0, 6 ) ≥ 0 х > 0
  х ≠ 1
  0 0,6 1 х 2 х > 0
  х є [ 0; 0,6 ]; [ 1; + ∞ ) (*) х є ( 0,4; 0,5 ); (1; + ∞) (**)
  в) пересечение множеств (*) и (**).
  
  
  
  log x 2x
  28
  –
  +
  +
  –
  log x 2x > 0
  log x 2x ≠ 1
  
  

• 29 слайд

  Пример применения метода рационализации
  в неравенстве с функциями разных классов
  
  6*) (log 2 ( 2 х + 1 ) – log 2 ( х + 2 )) ∙ (|х| – |х – 2|)
  √ 3 х – 2 – √ 2 х – 1
  ≤ 0
  
  29
  Д р о б ь !
  Л о г а р и ф м ы !
  М о д у л и !
  Р а д и к а л ы !
  

• 30 слайд

  Таблица равносильных замен в некоторых неравенствах
  № Дано Замена Условие
  1. √ f – √ g f – g
  2. | f | – | g | ( f – g ) · ( f + g )
  3. h f – h g ( h – 1 ) · ( f – g )
  4. log h f – log h g ( h – 1 ) · ( f – g )
  
  
  
  f, g – функции от х; h – функция или число
  
  30
  ОДЗ: f ≥ 0
  g ≥ 0
  ОДЗ: h > 0
  h ≠ 1
  f > 0
  g > 0
  
  
  n
  n
  h > 0 и h ≠ 1
  

• 31 слайд

  Алгоритм решения неравенства методом рационализации
  Выписать условия, задающие ОДЗ аргумента, решить полученное неравенство (или систему неравенств).
  Привести данное неравенство к стандартному виду для его решения методом рационализации (справа – ноль, слева –множители, содержащие разности функций одного класса), при этом слева может быть дробь.
  3) Заменить (можно многократно) все множители с разностями функций одного класса на более простые, совпадающие по знаку с исходными, по правилам равносильных замен.
  4) Решить полученное рациональное неравенство, например, методом интервалов.
  5) Записать ответ для исходного неравенства с учётом ОДЗ.
  
  31
  Н Е З А Б У Д Ь Т Е О С А М О К О Н Т Р О Л Е !
  

• 32 слайд

  Пример применения метода рационализации
  в неравенстве с функциями разных классов
  6) (log 2 ( 2 х + 1 ) – log 2 ( х + 2 )) ∙ (|х| – |х – 2|)
  √ 3 х – 2 – √ 2 х – 1
  а) ((2 – 1) ∙ ((2х + 1) – (х + 2))) ∙ ((х + х – 2) ∙ (х – х + 2))
  (3 х – 2) – (2 х – 1 )
  ( х – 1 ) ∙ (( 2х – 2 ) ∙ 2)
  х – 1
  
  б) ОДЗ: 2х + 1 > 0 х > - 1/2 в) х < 1 (*)
  х + 2 > 0 х > - 2
  3х – 2 ≥ 0 х ≥ 2/3 х є [ 2/3; 1 ); ( 1; + ∞ ) (* *)
  2х – 1 ≥ 0 х ≥ 1/2
  х ≠ 1 х ≠ 1
  х є [ 2/3; 1 ); ( 1; + ∞ ) (* *) ; Ответ: [ 2/3; 1 ).
  
  
  
  ≤ 0
  
  32
  ≤ 0
  ≤ 0
  х – 1 < 0
  
  х < 1 (*);
  х є [ 2/3; 1 ).
  

• 33 слайд

  Правила для решения логарифмического неравенства методом рационализации:
  3) если логарифмическое неравенство имеет вид
  ( log h f + log h g ) V 0,
  то оно равносильно
  системе рациональных неравенств
  ( h – 1 ) ∙ ( f – 1 / g ) V 0
  h > 0
  h ≠ 1
  f > 0
  g > 0
  33
  
  
  
  О
  
  Д
  
  З
  
  
  
  

• 34 слайд

  Не забудьте про ОДЗ!
  Б О Н У С № 1 УМНИКАМ
  1 способ. Без рационализации
  log x 19 – log x + 1 19 ≤ 0, к логарифму с основан. 19.
  
  
  
  
  
  
  
  Ответ на следующем слайде!
  
  
  
  
  34
  2
  Далее метод интервалов:
  1) нули числителя и знаменателя
  отметить на числовой прямой,
  2) расставить на промежутках
  знаки для выражения в левой
  части,
  3) выделить промежутки со
  знаком «минус».
  

• 35 слайд

  Б О Н У С № 1 УМНИКАМ
  Неравенство
  log x 19 – log x + 1 19 ≤ 0
  2 способ. С рационализацией по правилу
  ( log f h – log g h ) V 0
  ( f – 1 ) ∙ ( g – 1 ) ∙ ( h – 1 ) · ( g – f ) V 0
  на ОДЗ
  Ответ: х є
  
  
  
  
  35
  2
  

• 36 слайд

  Комбинированное
  неравенство
  5*) | х + 1 | – √ 5 – 2 х – 2 х 2
  √ х 3 + 2 х 2 – 5 х + 2 – х
  
  
  
  
  ≤ 0.
  3
  36
  Смотри таблицу равносильных замен !
  ? ? ?
  

• 37 слайд

  Б О Н У С № 2 УМНИКАМ
  5*) | х + 1 | – √ 5 – 2 х – 2 х 2
  √ х 3 + 2 х 2 – 5 х + 2 – х
  Замена в числителе:
  
  
  ( х + 1 ) 2 – ( 5 – 2 х – 2 х 2 )
  √ х 3 + 2 х 2 – 5 х + 2 – √ х
  Ответ: [ – 2; ½ ); [ 2/3; ( √11 – 1 ) : 2 ]
  
  ≤ 0.
  3
  37
  ≤ 0
  3
  3
  3
  

• 38 слайд

  БОНУС № 3 УМНИКАМ
  Для любителей модулей !
  1)
  2)
  3)
  здесь 2 m и 2 n – чётные числа
  
  
  38
  С
  
  У
  Ч
  Ё
  Т
  О
  М
  
  О
  Д
  З
  !
  

• 39 слайд

  39
  Метод рационализации в неравенствах
  

• 40 слайд

  Из истории метода рационализации при решении неравенств
  Метод известен более 50 лет
  под названиями:
  метод декомпозиции,
  метод замены множителей,
  обобщённый метод интервалов,
  метод рационализации.
  40
  

• 41 слайд

  41
  З а к л ю ч е н и е
  1) Подробно рассмотрен метод рационализации при решении
  логарифмических неравенств двух видов, когда с нулём
  сравнивается или логарифм, или разность логарифмов.
  2) Сформулированы правила рационализации при решении
  некоторых видов неравенств иррациональных, показатель-
  ных, с модулями, комбинированных.
  3) Основное преимущество метода рационализации состоит в
  том, что при решении отсутствует необходимость использо-
  вания монотонности входящих в неравенства функций.
  4) Рационализация позволяет сокращать время на решение не-
  равенств с переменной в основании логарифма, т.к. при этом
  способе не нужно составлять совокупность двух систем не-
  равенств (иногда одна из систем не имеет решений).
  

• 42 слайд

  42
  Л
  О
  Г
  А
  Р
  И
  Ф
  М
  ю б о з н а т е л ь н ы е
  к т и в н ы е
  н и ц и а т и в н ы е
  о л о д ы е, н о м у д р ы е !
  б а я т е л ь н ы е
  е н и а л ь н ы е
  а з у м н ы е
  е н о м е н а л ь н ы е
  

• 43 слайд

  Список литературы
  Демонстрационные варианты ЕГЭ
  (сайт ФИПИ в Интернете).
  2. Лысенко Ф.Ф., Калабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014: решаем задания С3 методом рационализации: учебно-методическое пособие. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013. – 32 с.
  3. Лысенко Ф.Ф. и др. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014: учебно-методическое пособие. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013. – 400 с.
  4. Шестаков С.А. Замени функцию. Научно-практический журнал «Математика для школьников» № 4 – 2005 г., стр. 17-21. – М.: Изд-во Школьная Пресса.
  43
  

• 44 слайд

  П Р И Л О Ж Е Н И Я
  44
  

• 45 слайд

  
  
  Примеры для решения логарифмических неравенств методом рационализации
  
  1) log 2x + 1 (4 x – 5) ≤ 0. Ответ: х є ( 5/4; 3/2 ]
  2) log 3x + 1 (4 x – 6) < 0. Ответ: 3/2 < х < 7/4
  3) log 2 – x (x + 2) · log x + 3 (3 – x) ≤ 0. Ответ: (-2; -1]; (1; 2)
  4) log (5 x – 2) ≥ 0. Ответ: (0,4; 0,5); (1; + ∞)
  5) 2 log 5 (x 2 – 5 x) Ответ: х є (-∞; -1); (-1; 0); (5; 6]
  log 5 x 2
  ≤ 1.
  log x 2x
  45
  

• 46 слайд

  Комбинированные неравенства для тренинга:
  1*) log |x + 2| ( 4 + 7 x – 2 x 2 ) ≤ 2.
  Ответ: ( - 0,5; 0 ]; [ 1; 4 )
  2*) 4 – (0,5)
  5 х – 1
  Ответ: ( - ∞; - 5/2 ]; ( 0; 1/2 ]
  
  3*) log x/3 ( log x √3 – x ) ≥ 0.
  Ответ: √13 – 1
  2
  
  х 2 + 3 х – 2
  2 х 2 + 2 х – 1
  ≤ 0.
  ; 2 )
  46
  

• 47 слайд

  Комбинированные неравенства для тренинга:
  4*) log 2 ( 3 ∙ 2 х – 1 – 1 )
  Ответ: ( log 2 2/3; 0 ); [ 1; + ∞ )
  5*) | х + 1 | – √ 5 – 2 х – 2 х 2
  √ х 3 + 2 х 2 – 5 х + 2 – х
  Ответ: [ – 2; ½ ); [ 2/3; ( √ 11 – 1 ) : 2 ]
  
  
  
  
  
  ≤ 0.
  ≥ 1.
  3
  х
  47
  

• 48 слайд

  Высказывание о логарифмах
  С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по важности можно смело поставить рядом с другим, более древним великим изобретением индусов – нашей десяти-чной системой нумерации.
  Я.В. Успенский
  48
  

• 49 слайд

  Вычисление знака логарифма
  Стандартные способы:
  сравнить log 3 7 с 0 = log 3 1, используя монотонность функции у = log 3 х;
  2) вычислить значение логариф-ма с переходом к новому основанию:
  log 3 7 = = (из таблицы)
  = > 0;
  3) построить график функции
  у = log 3 х, затем для х = 7 найти значение у,
  т.е. значение логарифма
  
  
  С применением метода рационализации
  
  log h f V 0
  ( h – 1 ) · ( f – 1 ) V 0
  в ОДЗ
  
  log 4 2/3 < 0, т.к.
  ( 4 – 1 ) · ( 2/3 – 1 ) < 0.
  
  
  
  
  lg 7
  lg 3
  0, 85
  0, 5
  49
  +
  –
  

• 50 слайд

  Способы решения логарифмических неравенств:
  1) по определению логарифма,
  2) разложением на множители,
  3) заменой переменных,
  4) потенцированием,
  5) логарифмированием,
  6) с использованием свойств и графиков функций.
  При этом учитываются монотонность функции и область допустимых значений аргумента!
  50
  

• 51 слайд

  Теорема о равносильных заменах при решении неравенств
  Если область определения, нули и промежутки знакопостоянства функции u(x) соответственно совпадают с областью определения, нулями и промежутками знакопостоянства функции v(x), то неравенства
  u (х) > 0 (1) и v (х) > 0 (2) равносильны.
  51
  

• 52 слайд

  Теорема о равносильных заменах при решении неравенств
  Это означает следующее:
  если одна из функций u(x) или v(x) имеет более простой вид, то при решении неравенств
  вида u (х) > 0 (1) или v (х) > 0 (2)
  выбирают наиболее простое, решаемое часто методом интервалов.
  log h f – log h g и ( h – 1 ) · ( f – g ) на ОДЗ – пример пары функций (слева – u(х), справа – v (х))
  52
  

• 53 слайд

  Задания с логарифмами:
  упростите выражение,
  найдите значение выражения,
  найдите знак логарифма,
  сравните значения выражений,
  постройте график функции,
  решите уравнение (систему уравнений),
  решите неравенство (систему неравенств),
  найдите область определения (область значений) функции
  и т. д.
  
  53
  

• 54 слайд

  Формулы для преобразования выражений с логарифмами
  1)
  2)
  3)
  4)
  5)
  6)
  7)
  8) число , n є R
  
  
  
  
  54
  ОДЗ:
  a > 0
  а ≠ 1
  c > 0
  c ≠ 1
  b > 0
  

• 55 слайд

  Метод интервалов для рациональных неравенств
  С помощью метода интервалов решают рациональные неравенства вида Р(х) · М(х) · . . . · N(x) V 0 или вида Р(х) : М(х) V 0, содержащие многочлены от х. Здесь знаком V обозначены знаки: > ; < ; ≥ ; ≤ .
  
  Алгоритм решения неравенства методом интервалов: 1) находят нули многочленов в левой части неравенства;
  отмечают их на числовой прямой светлыми или тёмными
  кружками; 2) определяют знаки выражения, находящегося в левой части
  неравенства, на каждом промежутке; 3) отбирают промежутки, соответствующие знаку неравенства;
  записывают ответ. П р о в е р к а !
  55
  

• 56 слайд

  Пример решения рационального неравенства методом интервалов
  х 2 · ( х 2 – 5 х + 4 ) · ( 9 – х 2 ) ∙ ( х 6 + 1 ) ≤ 0.
  1) Находим нули выражения в левой части неравенства:
  х 1, 2 = 0; х 3 = 1; х 4 = 4; х 5 = - 3; х 6 = 3;
  отмечаем нули на числовой прямой тёмными кружками
  – + + – + –
  - 3 0 1 3 4 х
  2) определяем знаки выражения в левой части неравенства на каждом промежутке;
  отбираем промежутки со знаком « – » (по знаку неравенства);
  записываем ответ: х є ( - ∞; - 3 ]; { 0 }; [ 1; 3 ]; [ 4; + ∞).
  
  56
  

• 57 слайд

  Неравенства вида
  1) Ответ: ( - 4; - 3 ]; ( 3; 4 )
  2)
  3)
  4)
  
  
  
  
  57
  Ответ: [ - 5; - 4 ); ( - 4; 3 ];
  ( - 1: 0 ); ( 0; 1 )
  Ответ: ( - ∞; - 2 ]; ( - 1; 0 );
  ( 0; 1 ); ( 1; 2 )
  Ответ: ( - ∞; - 1 );
  [ 1,25; 2 ); ( 2; 3 )