Презентация по алгебре 9 класса на тему "Арифметическая прогрессия" (9 класс)

• 1 слайд

  АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
  9 класс
  
  работа учителя
  МКОУ Гасикская СОШ
  Илясовой Галины Константиновны
  
  
  
  с.Гасик 2015 год
  

• 2 слайд

  Устная работа
  Последовательность (хn) задана формулой: хn =n2.
  
  Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100?
  
  Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168?
  
  144=122=х12
  225=х15, 100=х10
  48 и 168 не являются членами последовательности,
  49 – является.
  

• 3 слайд

  Устная работа
  О последовательности (un) известно, что u1=2, un+1=3un+1 .
  
  Как называется такой способ задания последовательности?
  
  Найдите первые четыре члена этой последовательности.
  Рекуррентный способ.
  u1=2
  u2=3u1+1=7
  u3=3u2+1=22
  u4=3u3+1 =67
  

• 4 слайд

  Устная работа
  О последовательности (an) известно, что an=(n-1)(n+4)
  Как называется такой способ задания последовательности?
  
  Найдите n, если an=150 ?
  
  Формулой n-ого члена.
  Заметим, что в формуле n-ого члена множители отличаются друг от друга на 5.
  150=(n-1)(n+4)
  150=10·15
  n=11
  
  

• 5 слайд

  Что такое ПРОГРЕССИЯ?
  Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.).
  Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется.
  Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия.
  
  

• 6 слайд

  БОЭЦИЙ
  Ани́ций Ма́нлий Торква́т Севери́н Боэ́ций, в исторических документах Ани́ций Ма́нлий Севери́н (ок.480 — 524 (526)), один из наиболее авторитетных государственных деятелей своего времени, знаток и ценитель греческой и римской античности, философ-неоплатоник, теоретик музыки, христианский теолог.
  Помимо богословских трудов в трактатах по дисциплинам квадривия — арифметике («De institutione arithmetica») и музыке («De institutione musica») — передал европейской цивилизации метод и базовые знания лучших греческих авторов (преимущественно пифагорейцев) в области «математических» наук.
  Боэций (слева) на фреске Рафаэля «Афинская школа»
  

• 7 слайд

  Что общего в последовательностях?
  2, 6, 10, 14, 18, ….
  
  11, 8, 5, 2, -1, ….
  
  5, 5, 5, 5, 5, ….
  
  Найдите для каждой последовательности следующие два члена.
  
  22, 26
  -4, -7
  5, 5
  

• 8 слайд

  Арифметическая прогрессия
  Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
  
  (an) - арифметическая прогрессия,
  если an+1 = an+d ,
  где d-некоторое число.
  

• 9 слайд

  Разность арифметической прогрессии
  Число d, показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии.
  
  d=an+1-an
  
  +d
  +d
  +d
  +d
  +d
  +d
  +d
  a2
  a1
  a3
  an
  an-1
  an+1
  

• 10 слайд

  Свойства прогрессии
  2, 6, 10, 14, 18, ….
  11, 8, 5, 2, -1, ….
  5, 5, 5, 5, 5, ….
  
  
  Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0), то прогрессия является возрастающей.
  Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то прогрессия является убывающей.
  В случае , если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной.
  
  d=4, an+1>an
  d=-3, an+1<an
  d=0, an+1=an
  

• 11 слайд

  Задача
  На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.
  
  a1=50, d=3
  1 числа: 50 т
  2 числа: +1 машина (+3 т)
  3 числа: +2 машины(+3·2 т)
  ………………………………………
  30 числа:+29 машин(+3·29 т)
  a30=a1+29d
  a30=137
  
  

• 12 слайд

  Формула n-ого члена
  a1
  a2=a1+d
  a3=a2+d=a1+2d
  a4=a3+d=a1+3d
  ……………………..
  an=an-1+d=a1+(n-1)d
  
  an=a1+d (n-1)
  
  
  

• 13 слайд

  Пример 1.
  Последовательность (cn)-арифметическая прогрессия. Найдите c81, если c1=20 и d=3.
  
  Решение:
  Воспользуемся формулой n-ого члена
  с81=с1+d(81-1),
  c81=20+3·80,
  c81=260.
  Ответ: 260.
  
  

• 14 слайд

  Задача.
  В арифметической прогрессии четные члены оказались затёрты: 3, …, 7, …, 13…
  Можно ли восстановить утраченные числа?
  
  Заметим, что a3=a1+2d, a5=a3+2d, a7=a5+2d и т.д.
  Тогда d=(an+2-an):2, то есть d=2.
  Искомая последовательность
  3, 5, 7, 9, 13, 15, …
  Можно ли найти пропущенные члены последовательности, не вычисляя разности?
  

• 15 слайд

  Характеристическое свойство арифметической прогрессии
  Пусть an – искомый член последовательности. Воспользуемся тем, что разность между соседними членами последовательности постоянна:
  an-an-1=an+1-an,
  2an=an-1+an+1,
  an=(an-1+an+1):2
  
  Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов.
  
  

• 16 слайд

  №577 б
  Последовательность (cn)- арифметическая прогрессия. Найдите c21, если c1=5,8 и d=-1,5.
  
  Решение:
  Воспользуемся формулой n-ого члена
  с21=с1+d(21-1),
  c21=5,8+(-1,5)·20,
  c21=-24,2.
  Ответ: -24,2.
  
  

• 17 слайд

  Задача.
  Числовая последовательность задана формулой an=3+5n, n=1,2,3,…
  Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Если да, то какова ее разность?
  
  Решение:
  Поскольку an+1=3+5(n+1)=3+5n+5=an+5, при всех значениях n, то последовательность является арифметической прогрессией по определению. Из полученной формулы an+1=an+5 разность этой прогрессии равна 5.
  
  

• 18 слайд

  Интересный факт
  
  Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой an=kn+b, где k и b – некоторые числа.
  an=a1+d(n-1)=dn+(a1-d)
  
  Последовательность(an), заданная формулой вида
  an=kn+b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией.
  an+1-an=k(n+1)+b-(kn+b)=kn+k+b+kn-b=k
  

• 19 слайд

  Задача.
  Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член прогрессии.
  
  Дано: a7=1, a7=a4-a2.
  Найти: a1.
  Решение:
  По условию a7=a4-a2, то есть a7=2d,
  но a7=1, поэтому d=0,5.
  a7=a1+6d,
  a1=a7-6d,
  a1=1-6·0,5,
  a1=-2
  

• 20 слайд

  Домашнее задание:
  пункт 25,
  № 578а, № 580б, №582, №586а, №601а.
  
  Творческое задание:
  Докажите, что в арифметической прогрессии для любых номеров, таких что k<n, выполняются равенства и
  
  

• 21 слайд

  Успехов в выполнении домашнего задания!
  

• 22 слайд

  Основные формулы:
  Рекуррентный способ задания арифметической прогрессии an+1=an+d
  Разность прогрессии d=an+1-an
  Формула n-ого члена an=a1+d(n-1)
  Характеристическое свойство