Презентация по алгебре в 11 классе на тему:"Пределы"

• 1 слайд

  Урок алгебры в 11классе
  по теме:
  «Пределы»
  Составила:
  учитель математики Коваленко И.Н.
  

• 2 слайд

  Предел функции
  Предел функции в точке
  Односторонние пределы
  Предел функции при x стремящемся к бесконечности
  Основные теоремы о пределах
  Вычисление пределов
  Раскрытие неопределенностей
  Первый замечательный предел
  
  

• 3 слайд

  Случай 1.
  А
  

• 4 слайд

  Случай 2.
  А
  

• 5 слайд

  Случай 3.
  А
  В этом случае говорят, что функция непрерывна в точке а
  

• 6 слайд

  Предел функции в точке
  Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может самой точки x0.
  Число А называют пределом функции в точке x0 (или при ), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для всех х из δ – окрестности точки x0 справедливо неравенство:
  

• 7 слайд

  Предел функции в точке
  y
  0
  х
  х0
  А
  δ окрестность точки x0
  ε окрестность точки А
  Геометрический смысл предела: для всех х из δ – окрестности точки x0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2ε, ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε .
  

• 8 слайд

  Односторонние пределы
  В определении предела функции
  Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов.
  предполагается, что x стремится к x0 любым способом: оставаясь меньше, чем x0 (слева от x0), большим, чем x0 (справа от x0), или колеблясь около точки x0.
  Число А1 называют пределом функции слева в точке x0, если для любого ε > 0 найдется такое δ >0, что для всех справедливо неравенство:
  Предел слева записывают так:
  

• 9 слайд

  Односторонние пределы
  Число А2 называют пределом функции справа в точке x0, если
  Предел справа записывают так:
  y
  0
  х
  А1
  х0
  А2
  Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами.
  Очевидно, если существует
  то существуют и оба односторонних предела, причем А = А1 = А2
  y
  0
  х
  А1=А2=А
  х0
  

• 10 слайд

  Предел функции при x стремящемся к бесконечности
  Пусть функция y = f(x) определена в промежутке .
  Число А называют пределом функции при , если
  Геометрический смысл этого определения таков:
  существует такое число М, что при х > M или при x < - M точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми:
  у = А + ε , у = А - ε .
  y
  0
  х
  М
  А
  

• 11 слайд

  Основные теоремы о пределах
  Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций.
  Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов:
  Формулировка теорем, когда или аналогичны, поэтому будем пользоваться обозначением: .
  Предел произведения двух функций равен произведению пределов:
  Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
  

• 12 слайд

  Основные теоремы о пределах
  Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
  Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:
  Предел показательно – степенной функции:
  

• 13 слайд

  Основные теоремы о пределах
  Если между соответствующими значениями трех функций
  при этом:
  тогда:
  выполняются неравенства:
  Если функция f(x) монотонна и ограничена при x < x0 или при
  x > x0, то существует соответственно ее левый предел:
  или ее правый предел:
  

• 14 слайд

  Вычисление пределов
  Вычисление предела:
  начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
  Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу.
  Если при подстановки предельного значения x0 в функцию f(x) получаются выражения вида:
  то предел будет равен:
  

• 15 слайд

  Вычисление пределов
  Часто при подстановке предельного значения x0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов:
  Эти выражения называются неопределенности, а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.
  

• 16 слайд

  Раскрытие неопределенностей
  Раскрытие неопределенности
  Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби
  Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.
  

• 17 слайд

  Раскрытие неопределенностей
  Раскрытие неопределенности
  Если f(x) – дробно – рациональная функция или иррациональная дробь необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x в старшей степени
  

• 18 слайд

  Раскрытие неопределенностей
  Раскрытие неопределенности
  Умножим и разделим функцию на сопряженное выражение.
  

• 19 слайд

  Первый замечательный предел
  Функция
  не определена при x = 0.
  Найдем предел этой функции при
  О
  А
  В
  С
  М
  Обозначим:
  S1 - площадь треугольника OMA,
  S2 - площадь сектора OMА,
  S3 - площадь треугольника OСА,
  Из рисунка видно, что S1< S2 < S3
  x
  

• 20 слайд

  Первый замечательный предел
  О
  А
  В
  С
  М
  x
  

• 21 слайд

  Первый замечательный предел
  Следствия:
  Формула справедлива также при x < 0
  

• 22 слайд

  Первый замечательный предел