Презентация по геометрии на тему "Многогранники,описанные около тел вращения" (11 класс)

• 1 слайд

  муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
  средняя общеобразовательная школа № 45
  Методическое пособие для учащихся 11 классов
  «Многогранники,
  описанные около тел вращения».
  Составил
  учитель математики
  высшей категории
  Гавинская Елена Вячеславовна.
  
  
  
  г.Калининград
  2016-2017 учебный год
  

• 2 слайд

  Многогранники, описанные около сферы.
  В планиметрии доказывали, что в любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Для нахождения центра О вписанной в треугольник АВС окружности нужно провести биссектрисы углов А и В. Их точка пересечения О будет равноудалена от всех сторон треугольника АВС и, следовательно, будет искомым центром вписанной окружности. Рассмотрим теперь пространственные фигуры.
  Определение.
  Сфера называется вписанной в многогранник, если все грани этого многогранника касаются сферы. Сам многогранник при этом называют описанным около сферы.
  

• 3 слайд

  Теорема 1:
  «В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу, притом только одну».
  Доказательство.
  Ясно, что центром вписанной сферы будет точка, одинаково удалённая от всех граней треугольной пирамиды. Для её нахождения рассмотрим три биссектральные плоскости, образованные боковыми гранями пирамиды с основанием. Точка пересечения этих плоскостей будет одинаково удалена как от боковых граней, так и от основания, то есть будет искомым центром вписанной сферы.
  

• 4 слайд

  Что такое биссектральная плоскость?..
  Пусть дан двугранный угол, образованный полуплоскостями α и β с общей граничной прямой с. Через прямую с проведём полуплоскость γ, делящую этот двугранный угол пополам. Такая полуплоскость называется биссектральной.
  
  Точки полуплоскости γ, не лежащие на прямой с, обладают тем свойством, что расстояние от них до полуплоскостей α и β равно. Если это расстояние принять за радиус сферы R, то сфера с центром на биссектральной полуплоскости и радиусом R будет касаться плоскости α и плоскости β. Сама биссектральная полуплоскость без прямой с даёт геометрическое место центров сфер, лежащих внутри двугранного угла и касающихся плоскостей α и β, то есть касающихся двух граней двугранного угла.
  

• 5 слайд

  «В прямую призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда в основание этой призмы можно вписать окружность, и высота призмы равна диаметру его окружности».
  Теорема 2:
  Доказательство.
  Пусть в прямую призму вписана сфера с центром в точке О радиуса R. Тогда высота призмы равна 2R. Через центр О сферы проведём сечение призмы плоскостью, параллельной основаниям. В сечении призмы будет многоугольник, равный основаниям и описанный около окружности, являющейся сечением сферы плоскостью. Таким образом, в основание призмы можно вписать окружность.
  Обратно, предположим, что в основание прямой призмы можно вписать окружность радиуса R, а высота пирамиды будет равна 2R. Пусть О – середина отрезка, соединяющего центры окружностей, вписанных в основания. Тогда сфера с центром О и радиусом R будет искомой сферой, вписанной в призму.
  

• 6 слайд

  Шар, вписанный в правильную пирамиду.
  Шар можно вписать в любую правильную пирамиду!!!
  Центр шара лежит на высоте пирамиды и совпадает с центром окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, боковой
  стороной которого является
  апофема (высота боковой
  грани) пирамиды, а высотой –
  высота пирамиды.
  Радиус шара равен радиусу этой
  окружности.
  Радиус шара R, высота пирамиды H
  и радиус окружности r, вписанной
  в основание пирамиды, связаны
  соотношением:
  

• 7 слайд

  Задача про шар,
  вписанный в пирамиду.
  «Основание пирамиды SABCD – ромб со стороной, равной 6 дм, и углом в 30 градусов. Угол между боковыми гранями пирамиды и плоскостью её основания равен 60 градусов. Найти объём шара, вписанного в пирамиду».
  

• 8 слайд

  Дано: SABCD – пирамида; ABCD – ромб: АВ=ВС=СD=AD=6 дм; DAB= BCD=30o; SADB= SCDB=60 o; шар(O;R) вписан в пирамиду.
  Найти: V ш.
  Решение:
  
  Построим НК _ AD и HL _ CD(где Н-точка касания шара и (АВС))
  SН _ (АВС) (как высота пирамиды)
  SK и SL – наклонные к (АВС), но НК и HL – их проекции на (АВС)
  => SK _ AD и SL _ CD (по
  теореме о 3-х
  перпендикулярах).
  Но НК _ AD и HL _ CD
  ( по построению).
  Значит, SKH и SLH – линейные для SADB и SCDB соответственно.
  Значит, SKH= SLH=60о
  =>
  

• 9 слайд

  Следовательно, Н равноудалена от сторон ABCD => Н является центром вписанной в ABCD окружности.
  4.
  
  
  
  5.
  или
  2. SH _ (ABC) (как высота) => => по определению
  SH _ HK и SH _ HL.
  3. Рассмотрим SHK и SHL (прямоугольные):
  SH – общий;
  SKH= SLH (доказали)
  Значит, SHK ~ SHL (по катету и гипотенузе) =>
  => HK=HL.
  

• 10 слайд

  => КОН= КОР (по катету и гипотенузе) => РКО= ОКН=0,5 SKH
  НKO=0,5∙60o
  НKO=30o
  7. В НКО (прямоугольный)
  
  
  
  Значит, 3НК=4,5
  НК=1,5 дм.
  6. О с SH.
  Проведём радиус окружности ОР _ SH и рассмотрим прямоугольные треугольники КОН и
  КОР:
  ОР=ОН (как радиусы)
  КО - общая
  

• 11 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Ответ: ≈0,2 дм3.
  
  Значит, радиус шара равен
  

• 12 слайд

  Шар, вписанный в прямую призму.
  Шар можно вписать в прямую призму, если ее основания являются многоугольниками, описанными около окружности большого круга шара, а высота призмы равна диаметру этой окружности.
  Радиус вписанного шара равен радиусу
  этой окружности.
  Центр шара лежит на середине
  высоты призмы, соединяющей
  центры окружностей, вписанных
  в основания призмы.
  Радиус шара R, высота призмы H и
  радиус окружности r, вписанной в
  основание призмы, связаны
  соотношением:
  

• 13 слайд

  Задача про шар,
  вписанный в призму.
  «В правильную призму ABCA1B1C1 вписан шар. Найти отношение объёмов призмы и шара».
  
  

• 14 слайд

  Дано:
  ABCА1B1C1 – правильная призма;
  шар(O;R) вписан в призму;
  r-радиус вписанной в основание призмы окружности.
  Найти: отношение объёмов призмы и шара.
  Решение:
  
  1.
  
  2. Так по условию АВСА1В1С1 – правильная призма, то АВС – правильный
  Значит, AB=2r tg60o.
  Но по свойству шара, вписанного в
  призму r=R=0,5 Н.
  Значит, АВ=2R √3 и Н=2R
  3.
  
  
  
  4.
  
  
  
  
  

• 15 слайд

  Цилиндр, вписанный в прямую призму.
  Цилиндр можно вписать в прямую призму, если ее основания – многоугольники, описанный около окружностей оснований.
  Радиус цилиндра r равен радиусу этой окружности.
  Ось цилиндра лежит на одной прямой с высотой H призмы, соединяющей центры окружностей, вписанных в основания призмы.
  Числовое значение высоты цилиндра и высоты призмы совпадает.
  

• 16 слайд

  Задача про цилиндр, вписанный в призму.
  «В правильную призму ABCDA1B1C1D1 вписан цилиндр. Радиус описанной около ABCD окружности равен 4√2. ОО1 – ось цилиндра. Расстояние от точки О1 до А равно 10. Найти разность объёмов призмы и цилиндра».
  

• 17 слайд

  Дано:
  ABCDА1B1C1D1 – правильная призма; цилиндр вписан в призму;
  ОО1 – ось цилиндра;
  радиус описанной около ABCD окружности равен 4√2;
  АО1= 10.
  Найти: разность объёмов призмы и цилиндра.
  Решение:
  
  Так как по условию цилиндр вписан в правильную призму, то по определению окр.(О;r) вписана в ABCD и ABCD – квадрат (так как ABCDА1B1C1D1 – правильная призма по условию)
  Значит, центры описанной и вписанной в
  ABCD окружностей совпадают =>
  

• 18 слайд

  2. ОО1 _ (АВС) (как ось цилиндра, вписанного
  в призму) => по определению ОО1 _ ОА.
  Значит, ОО1А – прямоугольный.
  3. В ОО1А по теореме Пифагора:
  
  
  
  
  
  
  
  
  Значит, высоты цилиндра и призмы равны 8 (так как по свойству они совпадают)
  

• 19 слайд

  6. Vпр.-Vцил.=512-128п ≈ 512-128 ∙ 3,14=512-401,92=110,08
  
  
  
  Ответ: 110,08.
  4.
  5.
  

• 20 слайд

  Конус, вписанный в пирамиду.
  Конус можно вписать в пирамиду, если ее основание – многоугольник, описанный около окружности основания конуса, а вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности.
  Радиус конуса r равен радиусу этой окружности, а высота H конуса совпадает с высотой пирамиды .
  

• 21 слайд

  Задача про конус, вписанный в пирамиду.
  «В правильную пирамиду PABCD вписан конус. Сторона основания пирамиды равна 8 см, а её высота – 3 см. Найти синус угла между образующей конуса и плоскостью его основания».
  
  

• 22 слайд

  Дано:
  PABCD – правильная пирамида; конус вписан в пирамиду;
  АВ=8см; PН=3 см.
  Найти: sinα (где α - угол между образующей конуса и плоскостью его основания).
  Решение:
  
  Проведём радиус основания цилиндра ОН такой, что ОН _ ВС ( по свойству касательной к окружности).
  2. Т.к. РН -высота пирамиды(по условию), то по определению РО _ (ABC).
  PО – наклонная к (АВС)
  ОН – её проекция на (АВС)
  ОН _ СВ (по построению)
  СВ с (АВС)
  РО ∩ СВ = О
  => РО _ ВС (по теореме о трёх
  перпендикулярах).
  
  

• 23 слайд

  3. Так как РО _ ВС (доказали); ОН _ ВС (по построению); РО с (ВРС) и ОН с (АВС), то по определению РОН – линейный для
  РВСН
  Но О с окр.(О;R) => PО – образующая конуса
  Значит, РОН – угол между образующей конуса и плоскостью его основания.
  4. НВ=НС (по свойству диагоналей квадрата) => ∆ ВНС – равнобедренный
  (по определению) => (по свойству) высота ОН – медиана и биссектриса =>
  => ОВ=ОС=0,5 ВС=0,5 ∙ 8=4(см) и ВНО=0,5 • СНВ=0,5 ∙ 90о=45о.
  Но НВС=0,5 АВС=0,5 ∙ 90о=45о.
  Значит, ∆ОНВ – равнобедренный (по признаку) => СН=ВН=4 см
  5. В ∆РНО по теореме Пифагора:
  
  

• 24 слайд

  4.
  
  
  
  
  
  
  
  
  Значит, sin α = 0,6.
  
  
  Ответ: 0,6.
  

• 25 слайд

  Это лишь некоторые примеры вписанных друг в друга тел.
  Последнее время они получили большое распространение, особенно в дизайне. Это касается различных домашних аксессуаров, таких как светильники, подсвечники, вазы и даже кофейные столики и тумбочки.