Презентация по геометрии на тему "Решение систем линейных уравнений методом Крамера и обратной матрицы

• 1 слайд

  Реферат по алгебре и началам анализа
  Решение систем линейных уравнений методом Крамера и обратной матрицы.
  

• 2 слайд

  Содержание:
  Определение матрицы
  Определители матрицы
  Способы нахождения определителя
  Свойства определителя
  Теорема Крамера
  Решение систем линейных уравнений методом Крамера
  Обратная матрица
  Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
  
  

• 3 слайд

  Матрицы и определители.
  
  Определение 1. Матрицей размера (типа) тхп называется таблица чисел
  Величины aij, стоящие в строках и столбцах матрицы, называются элементами матрицы; это могут быть числа, переменные, функции и пр.
  При двух-индексном обозначении элементов aij первый индекс i указывает номер строки,а второй индекс j указывает номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
  

• 4 слайд

  Определение 2. Квадратной матрицей п-ого порядка называется матрица размера пхп:
  Например, квадратная матрица второго порядка имеет следующий вид
  

• 5 слайд

  Определители матриц (Детерминанты)
  
  Способ нахождения № 1:
  Определителем квадратной матрицы (det A) называется число,
  которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле
  Определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.
  Данная формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя матрицы по первому столбцу:
  
  

• 6 слайд

  Пример 1.
  Определение 4. Число
  называется определителем третьего порядка, соответствующим матрице
  
  Пример 2.
  Решение:
  
  

• 7 слайд

  Способ нахождения № 2
  Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
  Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых.
  В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и
  каждого столбца матрицы.
  Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.
  

• 8 слайд

  Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить,
  пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса.
  
  Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.
  

• 9 слайд

  Свойства определителей.
  1. Величина определителя не изменится,
  если его строки заменить столбцами с теми же номерами.
  Пример 3.
  2. Если поменять местами в определителе какие-либо две строки (два столбца),
  то определитель изменит свой знак на противоположный
  Пример 4.
  

• 10 слайд

  3. Если какая-либо строка (столбец) содержит общий множитель для всех ее (его) элементов, то этот множитель можно вынести за знак определителя.
  Пример 5.
  4. Если какая-либо строка (столбец) определителя целиком состоит из нулей,
  то такой определитель равен нулю.
  Пример 6.
  

• 11 слайд

  5. Определитель, содержащий две одинаковых строки
  (два одинаковых столбца), равен нулю.
  Пример 7.
  6. Если элементы одной строки (одного столбца определителя) соответственно пропорциональны элементам другой строки (другого столбца) этого определителя, то такой определитель равен нулю
  Пример 8.
  (В этом определителе элементы третьей строки могут быть получены из элементов второй строки умножением на два.)
  
  

• 12 слайд

  Решение систем двух и трёх линейных уравнений методом
  Крамера.
  

• 13 слайд

  Решение:
  Ответ: (1;2).
  

• 14 слайд

  Пусть дана система трех линейных уравнений:
  Обозначим
  (3)
  

• 15 слайд

  Решение:
  

• 16 слайд

• 17 слайд

  Обратная матрица
  Решение систем двух и трёх линейных уравнений методом
  обратной матрицы.
  
  Обратная матрица для матрицы
  обозначается
  Таким образом, если
  существует, то
  
  .
  Если квадратная матрица
  является невырожденной, то обратная для нее существует и
  где
   -- алгебраические дополнения к элементам
  .
  

• 18 слайд

  Пример 1.   Найдите обратную матрицу для матрицы
  Решение. Находим определитель
  Так как
  то матрица
  -- невырожденная, и обратная для нее существует
  Находим алгебраические дополнения:
  

• 19 слайд

  Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй  строке:
  

• 20 слайд

  Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
  

• 21 слайд

  А11= (-1)1+1
  = 3
  А12= (-1)1+2
  = -6
  А13= (-1)1+3
  = 3
  А21= (-1)2+1
  = -4
  
  А22= (-1)2+2
  = 2
  А23= (-1)2+3
  = -1
  А31= (-1)3+1
  = 2
  А32= (-1)3+2
  = -1
  А33= (-1)3+3
  = -4
  Найдём алгебраические дополнения
  Ответ: Х1=4, Х2=3, Х3=5.