Презентация по геометрии на тему "Треугольники. Подготовка к ОГЭ" (9 класс)

• 1 слайд

  Задачи № 26
  с сайта
  «Сдам ГИА»
  ОГЭ
  Треугольники
  

• 2 слайд

  Вам предложены
  задачи
  для подготовки
  к итоговой аттестации
  

• 3 слайд

  Задачи
  4
  5
  6
  7
  8
  9
  10
  1
  2
  3
  

• 4 слайд

  За­да­ние1. 
  
  Через се­ре­ди­ну K ме­дианы  BM
   тре­уголь­ни­ка ABC и вер­шину
   A про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю-­
  щая сто­ро­ну BC в точке P.
  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди
  тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди
  четырёхуголь­ни­ка KPCM.
  
  

• 5 слайд

  Ре­ше­ние.
  Про­ведём от­ре­зок MT, па­рал­лель­ный AP.
  Тогда MT — сред­няя линия ∆ APC  и
  CT = TP, а KP — сред­няя линия ∆BMT
  и TP = BP.
  Обо­зна­чим пло­щадь ∆ BKP через S.
  Тогда пло­щадь ∆ KPС, име­ю­ще­го ту же вы­со­ту и вдвое боль­ше ос­но­ва­ние,
  равна 2S .
  Зна­чит пло­щадь ∆ CKB равна 3S
  и равна пло­ща­ди ∆ СMK 
  (тре­уголь­ни­ки имеют одну вы­со­ту, про­ведённую из вер­ши­ны С, и рав­ные ос­но­ва­ния), ко­то­рая в свою оче­редь
  равна пло­ща­ди ∆ AMK.
  Пло­щадь ∆АВК равна пло­ща­ди ∆АМК. Итак,        
  Зна­чит, 
  .
  Ответ: 0,6
  

• 6 слайд

  За­да­ние2. 
  
  Вы­со­ты ост­ро­уголь­но­го
  тре­уголь­ни­ка ABC, про­ведённые
  из точек B и C, про­дол­жи­ли
  до пе­ре­се­че­ния с опи­сан­ной
  окруж­но­стью в точ­ках B1 и C1.
  Ока­за­лось, что от­ре­зок B1C1
  про­хо­дит через центр опи­сан­ной
  окруж­но­сти.
  Най­ди­те угол BAC.
  

• 7 слайд

  Ре­ше­ние.
  Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но
  на ри­сун­ке.
  От­ре­зок В1С1 про­хо­дит через центр
  опи­сан­ной окруж­но­сти, сле­до­ва­тель­но, В1С1— диа­метр.
  Углы ВВ1С, САВ и СС1В— впи­сан­ные и опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу ВС,
  зна­чит, они равны.
  Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка СОВ1 ےВ1ОС = 90º-ےВВ1С.
  Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка LCO: ےLОС = 90º-ےВ1OC = ےВВ1С = ےВAС.
  Рас­смот­рим
  пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник CAM
  углы BAC и ACC1 равны,
  зна­чит ےВВ1С = ےACC1 = 90º/2 = 45º
  .
  Ответ: 45º
  

• 8 слайд

  За­да­ние3. 
  
  В тре­уголь­ни­ке ABC на его
  ме­ди­а­не BM от­ме­че­на точка K
  так, что BK:KM = 4:1.
  Пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну
  BC в точке P.
  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди
  тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди
  четырёхуголь­ни­ка KPCM.
  
  

• 9 слайд

  Ре­ше­ние.
  Проведём построе­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке.
  Пусть площадь ∆ АВС равна S.
  Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, значит
  У треугольников ABK и AKM можно провести общую высоту h, значит,
  Откуда,
  ∆ AKM, ∆ KMC имеют одну высоту.
  Выразим площадь ∆ ВКС
  Проведем прямую MN║AP, КР║MN. PN=NC.
  Рассмотрим ∆ВКР, ∆BMN. Они подобны.
  Откуда
  Зна­чит,
  Аналогично
  Следовательно,
  Выразим площадь ∆КВС иначе:
  Следовательно,
  Получим:
  .
  Ответ: 12/7
  

• 10 слайд

  За­да­ние 4. 
  
  В тра­пе­ции ABCD бо­ко­вая сто-­
  ро­на AB пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва-­
  нию BC. Окруж­ность про­хо­дит
  через точки C и D и ка­са­ет­ся
  пря­мой AB в точке E. Най­ди­те
  рас­сто­я­ние от точки E до пря-­
  мой CD, если AD = 14, BC = 12.
  
  

• 11 слайд

  Ре­ше­ние.
  Пусть T — точка пересечения прямых AB и CD,
  P — проекция точки E на прямую CD, Q— проекция точки C на прямую AD
  (см. рис.).
  Обозначим ∠CDA = a, CD = x.
  Поскольку QD = AD − AQ = AD − BC = 2, получаем
  
  Из подобия треугольников TBC и TAD находим, что TC = 6x.
  Поэтому
  Следовательно,
  
  
  .
  Ответ:
  В
  А
  С
  D
  

• 12 слайд

  За­да­ние 5. 
  
  В тре­уголь­ни­ке ABC на его ме­ди-­
  а­не BM от­ме­че­на точка K так,
  что BK : KM = 7 :3 . Пря­мая AK
  пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке
  P. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди
  тре­уголь­ни­ка BKP к пло­ща­ди
  четырёхуголь­ни­ка KPCM.
  

• 13 слайд

  Ре­ше­ние.
  Медиана KM разбивает треугольник AKC на два равновеликих треугольника —
  пусть их площади равны по 3S.
  Поскольку,
  
  Тогда получаем, что
  Пусть и
  
  Tогда отсюда
  Далее
  
  
  
       
  Зна­чит, 
  .
  Ответ: 49:81
  А
  В
  С
  К
  М
  

• 14 слайд

  За­да­ние 6. 
  
  Из вер­ши­ны пря­мо­го угла C тре­-
  уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на вы­со­та
  CP. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан-­
  ной в тре­уголь­ник BCP, равен 96,
  тан­генс угла BAC равен 8/15.
  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти,
  впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.
  

• 15 слайд

  Ре­ше­ние.
  Заметим, что
  ∠CAB = 90° − ∠CBA = ∠PCB, так что
  ∆ABC подобен ∆ CBP.
  Пусть радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен r,
  Тогда получаем, что
  Поскольку тангенс угла BAC равен 8/15
  тогда sin BAC = 8/17 отсюда
  В итоге получим, что радиус окружности равен 204
  .
  Ответ: 204
  А
  В
  С
  Р
  

• 16 слайд

  За­да­ние 7. 
  
  На сто­ро­не AB тре­уголь­ни­ка
  ABC взята точка D так, что
  окруж­ность, про­хо­дя­щая через
  точки A, C и D, ка­са­ет­ся пря­мой
  BC. Най­ди­те AD, если AC = 40,
  BC = 34 и CD = 20.
  

• 17 слайд

  Из теоремы об угле между касательной и хордой следует,что
  ∠BCD = ∠CAD = ∠CAB, значит,
  ∆ABC подобен ∆CBD
  по двум углам, причём коэффициент подобия равен
  Обратимся к рисунку.
  Получим,
  
  
  Итак,
  Ре­ше­ние.
  .
  В
  А
  С
  D
  Ответ: 51
  

• 18 слайд

  За­да­ние 8. 
  Длина ка­те­та АС
  пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка
  АВС равна 8 см. Окруж­ность с
  диа­мет­ром АС
  пе­ре­се­ка­ет ги­по­те­ну­зу АВ в
  точке М . Най­ди­те пло­щадь
  тре­уголь­ни­ка АВС ,
  если из­вест­но, что АМ:МС=16:9.
  
  

• 19 слайд

  Ре­ше­ние.
  Пусть ВС = у см, тогда
  АМ = 16х см и МВ = 9х см
  Тогда гипотенуза треугольника равна АВ = 16х+9х = 25х см.
  По теореме Пифагора получим
  у² = 625х²-64
  По теореме о секущей и касательной
  получим у² = 25х · 9х = 225х²
  Следовательно, 625х²-64 = 225х²
  Откуда х² = 4 / 25
  Подставим в равенство (1) и найдем у
  Итак, у² = 36, а у = 6 см.
  По формуле площади треугольника
  равна ½ · АС· ВС = ½·8·6 = 24см²
  .
  В
  А
  С
  М
  Ответ: 24
  

• 20 слайд

  За­да­ние 9. 
  
  На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец
  с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо
  имеет длину 2 м, а длин­ное
  плечо — 6 м.
  На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся
  конец длин­но­го плеча,
  когда конец ко­рот­ко­го
  под­ни­мет­ся на 0,5 м?
  
  

• 21 слайд

  Ре­ше­ние.
  AC — положение «журавля» до опускания, BD — положение после опускания, AH — высота, на которую поднялся конец короткого плеча, CK — высота, на которую опустился конец длинного.
  В равнобедренных ∆AOB и ∆COD
  ےAOB = ےCOD, (вертикальные) противолежащие основаниям, поэтому равны и углы при их основаниях.
  Эти треугольники подобны по двум углам
  и
  
  ے1 = ے 2, накрест лежащие, образованные при пересечении секущей BD
  прямых AB и CD, поэтому AB ║ CD
  Стороны ے 3 и ے4 попарно параллельны,
  а значит, эти углы равны.
  Следовательно, прямоугольные треугольники AHB и CDK подобны, поскольку имеют равные острые углы. Имеем:
  .
  Ответ: 1,5
  

• 22 слайд

  За­да­ние10. 
  
  Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са
  AP тре­уголь­ни­ка ABC
  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K,
  длина сто­ро­ны AC втрое
  боль­ше длины сто­ро­ны AB.
  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди
  тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди
  четырёхуголь­ни­ка KPCM.
  

• 23 слайд

  Ре­ше­ние.
  Пусть площадь ∆ АВС равна S.
  Медиана ВМ делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому
  
  Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:
  
  Рассмотрим ∆ АВМ. АК— биссектриса, следовательно:
  
  
  Выразим площадь ∆ВРК
  
  Найдём отношение площади ∆ АВК к площади четырёхугольника КРСМ
  
  .
  Ответ: 4:9
  А
  В
  С
  К
  М
  Р
  

• 24 слайд

  Спасибо за работу!