Презентация по математическому анализу на тему "Интеграл от функции комплексного переменного"

• 1 слайд

  Интеграл от функции комплексного переменного
  Доцент Р.М.Тургунбаев
  

• 2 слайд

  План
  1. Определение интеграла.
  2. Основные свойства интеграла.
  3. Вычисление интеграла.
  4. Заключение.
  
  

• 3 слайд

  1. Определение интеграла
  
  Пусть функция
  𝑤=𝑓(𝑤)=𝑢(𝑥,𝑦)+𝑖𝑣(𝑥,𝑦) (1)
  Непрерывна и однозначна в ограниченной области Е. Тогда 𝑓(𝑧) непрерывна на кривой Γ ⊂𝐸 . Допустим, что уравнения кривой имеет вид 𝑧=𝑧(𝑡) (𝑡) и пусть начальная точка z0 и конечная тока Z , т.е. z0=z(), Z=z().
  

• 4 слайд

  Г
  Е
  Z()
  Z()
  Zk-1
  z0 =
  z1
  Zn-1
  z2
  zk
  k
  1
  y
  x
  (z)
  k
  k
  O
  

• 5 слайд

  Обычно направление Γ соответствующее возрастанию параметра t называется положительным и обозначается через Γ +, противоположное ему направление обозначается через Γ -.
  Кривую Γ произвольным образом делим на n частей
  
  𝑧 0 , 𝑧 1 , …, 𝑧 𝑘−1 , 𝑧 𝑘 , …, 𝑧 𝑛 =𝑍 (2)
  
  Из каждой части выбираем произвольные точки:
  𝜉 1 , 𝜉 2 , …, 𝜉 𝑘−1 , 𝜉 𝑘 , …, 𝜉 𝑛 (3)
  
  
  

• 6 слайд

  Составим сумму
  𝑆 𝑛 =𝑓(𝜉 1 )Δ 𝑧 1 +𝑓 𝜉 2 Δ 𝑧 2 + …+ 𝑓 𝜉 𝑛 Δ 𝑧 𝑛 == 𝑘=1 𝑛 𝑓 𝜉 𝑘 Δ 𝑧 𝑘 (4)
  (4) называется интегральной суммой.
  Введем обозначения:
  𝑧 𝑘 = 𝑥 𝑘 +𝑖 𝑦 𝑘 , 𝜉 𝑘 = 𝜏 𝑘 +𝑖 𝜂 𝑘 , Δ𝑧 𝑘 = Δ𝑥 𝑘 +𝑖Δ 𝑦 𝑘 (5)
  
  

• 7 слайд

  
  𝑆 𝑛 = 𝑘=1 𝑛 𝑓 𝜉 𝑘 Δ 𝑧 𝑘 == 𝑘=1 𝑛 (𝑢 𝜏 𝑘 , 𝜂 𝑘 Δ𝑥 𝑘 −𝑣 𝜏 𝑘 , 𝜂 𝑘 Δ 𝑦 𝑘 +𝑖 𝑣 𝜏 𝑘 , 𝜂 𝑘 Δ𝑥 𝑘 +𝑢 𝜏 𝑘 , 𝜂 𝑘 Δ 𝑦 𝑘 ) (4)
  
  𝜆= max 1≤𝑘≤𝑛 Δ 𝑧 𝑘
  

• 8 слайд

  Интеграл от функции f(z) по кривой Г:
  Γ 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = lim 𝜆→0 𝑘=1 𝑛 𝑓 𝜉 𝑘 Δ 𝑧 𝑘 (6)
   
  Γ –кривая интегрирование или контур интегрирование.
  Интегрируемая функция
  

• 9 слайд

  Теорема. Интеграл от функ­ции 𝑓 (𝑧) по кривой Г существует, если кривая кусочно-гладкая, а функция непрерывна на кривой.
  Док. 𝑓(𝑧) непрерывна (1) 𝑢(𝑥,𝑦) и 𝑣(𝑥,𝑦) непрерывны.
  Из условия существования криволинейного инт.
  lim 𝜆→0 𝑘=1 𝑛 𝑢 𝜏 𝑘 , 𝜂 𝑘 Δ𝑥 𝑘 −𝑣 𝜏 𝑘 , 𝜂 𝑘 Δ 𝑦 𝑘 = Γ 𝑢 𝑥,𝑦 𝑑𝑥−𝑣 𝑥,𝑦 𝑑𝑦 ,
  lim 𝜆→0 𝑘=1 𝑛 𝑣 𝜏 𝑘 , 𝜂 𝑘 Δ𝑥 𝑘 +𝑢 𝜏 𝑘 , 𝜂 𝑘 Δ 𝑦 𝑘 = Γ 𝑣 𝑥,𝑦 𝑑𝑥+𝑢 𝑥,𝑦 𝑑𝑦
  
  

• 10 слайд

  Т.о.,
  Γ 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 == Γ 𝑢 𝑥,𝑦 𝑑𝑥−𝑣 𝑥,𝑦 𝑑𝑦 +𝑖 Γ 𝑣 𝑥,𝑦 𝑑𝑥+𝑢 𝑥,𝑦 𝑑𝑦 (7)
  или,
  Γ 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = Γ 𝑢+𝑖𝑣 (𝑑𝑥+𝑖𝑑𝑦)
  

• 11 слайд

  
  1) Γ 𝑑𝑧 𝑧 , Γ - |𝑧| = 𝑅 окружность.
  Параметрическое уравнение: 𝑥= 𝑅𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦= 𝑅𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑡∈[0,2𝜋],
  𝑑𝑧 = (− 𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝑡 + 𝑖𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑖 𝑅𝑐𝑜𝑠𝑡+ 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡.
   
  𝑐 𝑑𝑧 𝑧 = 0 2𝜋 𝑖𝑅(𝑐𝑜𝑠 𝑡+𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑡) 𝑅(𝑐𝑜𝑠 𝑡+𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑡) 𝑑𝑡=𝑖 0 2𝜋 𝑑𝑡=2𝜋𝑖
  
  

• 12 слайд

  2) Γ 𝑑𝑧 𝑧−𝑎 𝑚 , 𝑚≠1, Γ - |𝑧−𝑎| = 𝑅.
  𝑧 − а = 𝑅 𝑒 𝑖𝑡 . 𝑑𝑧 = 𝑅 𝑒 𝑖𝑡 𝑖𝑑𝑡.
  
  𝛤 𝑑𝑧 𝑧−𝑎 𝑚 = 0 2𝜋 𝑅 𝑒 𝑖𝑡 𝑖𝑑𝑡 𝑅 𝑚 𝑒 𝑖𝑡𝑚 = 𝑖 𝑅 𝑚−1 0 2𝜋 𝑒 𝑖 1−𝑚 𝑡 𝑑𝑡 == 𝑖 𝑅 𝑚−1 ∙ 1 𝑖 1−𝑚 ∙ 𝑒 𝑖 1−𝑚 𝑡 0 2𝜋 = 1 𝑅 𝑚−1 ∙ 1 1−𝑚 ∙ 𝑒 𝑖 1−𝑚 2𝜋 − 𝑒 0 =0
  
  

• 13 слайд

  
  Γ 𝑑𝑧 𝑧−𝑎 𝑚 = 2𝜋𝑖, если 𝑚=1, 0, если 𝑚≠1
  
  

• 14 слайд

  2. Основные свойства интеграла
  1. :
  Γ 𝑎𝑓 𝑧 𝑑𝑧 =𝑎 Γ 𝑓 𝑧 𝑑𝑧
  Γ 𝑎𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = lim 𝜆→0 𝑘=1 𝑛 𝑎𝑓 𝜉 𝑘 Δ 𝑧 𝑘 =𝑎 lim 𝜆→0 𝑘=1 𝑛 𝑓 𝜉 𝑘 Δ 𝑧 𝑘 = 𝑎 Γ 𝑓 𝑧 𝑑𝑧
  

• 15 слайд

  2. :
  
  Γ − 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 =− Γ 𝑓 𝑧 𝑑𝑧
  
  𝑘=1 𝑛 𝑓 𝜉 𝑘 ( 𝑧 𝑘 − 𝑧 𝑘−1 ) и 𝑘=1 𝑛 𝑓 𝜉 𝑘 ( 𝑧 𝑘−1 − 𝑧 𝑘 )
  

• 16 слайд

  3. :
  Γ 𝑓 1 𝑧 + 𝑓 2 𝑧 +…+ 𝑓 𝑚 𝑧 𝑑𝑧 = Γ 𝑓 1 𝑧 𝑑𝑧 + Γ 𝑓 2 𝑧 𝑑𝑧 +…+ Γ 𝑓 𝑚 𝑧 𝑑𝑧
  
  

• 17 слайд

  4. 𝑓 𝑧 ≤𝑀
  Γ 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 ≤𝑀𝐿
   
  𝑘=1 𝑛 𝑓 𝜉 𝑘 Δ 𝑧 𝑘 ≤ 𝑘=1 𝑛 |𝑓 𝜉 𝑘 |∙|Δ 𝑧 𝑘 |≤𝑀 𝑘=1 𝑛 |Δ 𝑧 𝑘 |≤𝑀𝐿
  

• 18 слайд

  5.
  Γ 1 + Γ 2 +…+ Γ 𝑚 𝑓 𝑧 𝑑𝑧= Γ 1 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 + Γ 2 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 +…+ Γ 𝑚 𝑓 𝑧 𝑑𝑧
   
  
  

• 19 слайд

  Вычислить интеграл Γ 𝑥𝑑𝑧 , где Г:
  а) радиус вектор точки 𝑧=2+𝑖
  b) |𝑧|=1, 0≤𝑎𝑟𝑔𝑧≤𝜋
  C) |𝑧−𝑎|=𝑅