Презентация по математике "элементы комбинаторики"

• 1 слайд

  Элементы комбинаторики
  Преподаватель ГАПОУ РО «РКТМ»
  Колыхалина К.А.
  
  

• 2 слайд

  Что такое комбинаторика?
  Задачи , решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций , называются комбинаторными.
  Раздел математики , в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой.
  Слово «комбинаторика» от латинского combinare - «соединять , сочетать».
  

• 3 слайд

  Пример 1
  Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека - Антонов, Григорьев , Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?
  АГ, АС, АФ
  ГС, ГФ
  СФ
  Значит, всего существует шесть вариантов выбора.
  
  Способ рассуждений , которым мы воспользовались , называют перебором возможных вариантов.
  
  

• 4 слайд

  Пример 2
  Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7,используя в записи числа каждую из них не более
  одного раза?
  Чтобы ответить на вопрос задачи , выпишем все такие числа . Полученные результаты запишем в четыре строки , в каждой из которых шесть чисел:
  135 137 153 157 173 175
  315 317 351 357 371 375
  513 517 531 537 571 573
  713 715 731 735 751 753
  
  

• 5 слайд

  Проведенный перебор вариантов проиллюстрирован на схеме
  
  
  
  
  
  Такую схему называют деревом возможных вариантов.
  
  Пример 2 (второй способ)
  

• 6 слайд

  Первую цифру можно выбрать четырьмя способами. Так как после выбора первой цифры останутся три , то вторую цифру можно выбрать уже тремя способами. Наконец , третью цифру можно выбрать двумя способами. Следовательно , общее число искомых чисел равно произведению 4*3*2,т.е.24.
  Использовалось комбинаторное правило умножения.
  
  Пример 2 (третий способ)
  

• 7 слайд

  Комбинаторное правило умножения
  Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать n2 способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать n3 способами из оставшихся и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1 · n2 · n3 · … · nk.
  

• 8 слайд

  Задачи
  Пример 1. Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги , из города С до пристани-две дороги. Туристы хотят проехать из города А через В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?
  Пример 2. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник - и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель. Построить дерево возможных вариантов.
  

• 9 слайд

  Перестановки
  Перестановкой называется какой-либо способ упорядочения данного множества.
  Чтобы найти число всех перестановок множества из n предметов (это число обозначается Pn, от французского permutation – перестановка) – например, число способов, которыми можно расставить n томов на книжной полке, – обычно рассуждают таким образом.
  

• 10 слайд

  Первым можно поставить любой из n предметов, вторым – любой из (n – 1) оставшихся предметов, третьим любой из (n – 2) оставшихся предметов и т. д. В результате число перестановок будет равно произведению n множителей n (n – 1) (n – 2) ... ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1.
  Для произведения первых n натуральных чисел используют специальное обозначение: n! ( читается n факториал).
  
  
  
  Перестановки
  

• 11 слайд

  Задачи
  Пример 1. Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
  Пример 2. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?
  
  

• 12 слайд

  Сочетания
  Сочетанием из n элементов по k называется комбинация, в которой из этих n элементов выбраны любые k без учета их порядка в комбинации.
  Таким образом, для сочетания имеет значение только состав выбранных элементов, а не их порядок.
  

• 13 слайд

  Задачи
  Пример 1. Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
  Пример 2. Из вазы с фруктами, в которой лежит 9 яблок и 6 груш, надо выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно сделать такой выбор?
  

• 14 слайд

  Размещения
  Размещением из n элементов по k называется комбинация, в которой какие-то k из этих n элементов расположены в определенном порядке.
  Размещения отличаются друг от друга не только порядком расположения элементов, но и тем, какие именно k элементов выбраны в комбинацию.
  
  

• 15 слайд

  Различия между перестановками, размещениями и сочетаниями
  В случае перестановок берутся все элементы и изменяется только их местоположение.
  В случае размещений берётся только часть элементов и важно расположение элементов друг относительно друга.
  В случае сочетаний берётся только часть элементов и не имеет значения расположение элементов друг относительно друга.
  
  

• 16 слайд

  Примеры
  Пример 1. Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?
  Пример 2. Сколько трехзначных чисел ( без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6?