Презентация по математике на тему " Банк заданий показательных и логарифмических уравнений""(11кл)

• 1 слайд

  Банк Заданий повышенного (высокого) уровня сложности для подготовки к ЕГЭ по теме "Показательные и логарифмические уравнения"
  
  Пентяшкина Татьяна Петровна, МБОУСОШ№1им АА.Курбаев
   
  
  

• 2 слайд

  Цель проекта: создать банк задач, который позволит решать показательные и логарифмические уравнения более высокого уровня, используя базовые знания при освоении новых методов решения типовых заданий
  
  
  
  
  

• 3 слайд

  Задачи проекта:
  -разработать Банк Заданий по выбранной теме повышенного и высокого уровня сложности;
  - совершенствовать умения оказания индивидуальной помощи выпускникам средней школы в освоении учебного материала повышенного и высокого уровня сложности;
  - разработать систему подзадач, позволяющих обучающимся освоить предлагаемые задания;
  - дать возможность учащимся во время апробации Банка Заданий проверить свою подготовленность по заданиям профильного уровня сложности, освоить новый метод решения типовых заданий.
  
  

• 4 слайд

  1.3·9х+1-5·6х+1+8·22х=0.
  2. 5 2х+1 -13• 15 х +54• 9 х−1 =0
  3. 3• 9 х+1 -5• 6 х+1 + 4 х+1,5 =0
  Банк Заданий повышенного (высокого) уровня сложности для подготовки к ЕГЭ по теме "Показательные и логарифмические уравнения"
  
  4. 4− 15 2 𝑥 2 −3𝑥+1 + 4+ 15 2 𝑥 2 −3𝑥−1 = 8 4+ 15
  5. 2+ 3 𝑥 2 −2𝑥+1 + 2− 3 𝑥 2 −2𝑥−1 = 4 2− 3
  6. .( 2 +1. ) 6х−6 х+1 = ( 2 −1) −х
  7. ( 3 х −6) 2 - 16 | 3 𝑥 -6| =15 -2• 3 𝑥+1
  8. ( 4 х −5) 2 + 2• 4 𝑥 = 9 | 4 𝑥 -5|
  

• 5 слайд

  Банк заданий повышенного (высокого) уровня сложности для подготовки к ЕГЭ по теме "Показательные и логарифмические уравнения"
  
  9. ( log 2 (х−3 ) 2 - 2 log 2 (х−3) log 2 (2х−8) +( log 2 (2х−8 ) 2 =0,
  10. ( log 2 (х+1 ) 2 - 4 log 2 (х+1) log 2 (2х+1) +( log 2 (2х+1 ) 2 =0,
  11. log 81 (15−7х) log 3−х 9 =1.
  12. log 81 (37−12х) log 7−2х 3 =1.
  13. log 25 (34−33х) log 4−3х 5 =1.
  14. log −х 2 −32х+33 (2 х 2 +136)= 1 log −33х (1−х)(х+33)
  15.
  14. а)
  

• 6 слайд

  Решение показательных и логарифмических уравнений обычно сводится к основным методам:
  
  

• 7 слайд

  Решение показательных и логарифмических уравнений обычно сводится к основным методам:
  

• 8 слайд

  В решении 6 предложенных показательных и логарифмических уравнений применяется метод почленного деления, приведения к одному основанию, решение однородных уравнений второй степени, решение логарифмических уравнений с постоянным и переменным основанием с использованием области определения.
  Приведены подзадачи для отработки этих методов решения.
  
  

• 9 слайд

  Как показывает анализ результатов ЕГЭ прошлых лет, задания по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств» вызывают затруднение у учеников.
  
  Поэтому на занятиях с учащимися необходимо рассмотреть подзадачи для различных методов решения уравнений, условий нахождения области определения функции на базовых заданиях. После этого можно предложить ученикам для решения по выбору задачи из Банка заданий.
  
  

• 10 слайд

  1.Решите уравнение 4 𝑥 − 2 𝑥+1 −8=0
  : Приведем степени к одинаковому основанию.
  2 2𝑥 − 2 𝑥+1 −8=0; 2 2𝑥 − 2∙2 𝑥 −8=0
  Обозначим 2 𝑥 =𝑡,𝑡>0, то получим квадратное уравнение
  𝑡 2 −2𝑡−8=0
  𝑡 1 =4, 𝑡 2 −2 не подходит по ограничению 𝑡>0
  Проведем обратную замену. 2 𝑥 =4; 2 𝑥 = 2 2 ; 𝑥=2
  Ответ: х=2.
  Рассмотрим 4 подзадачи для решения показательных уравнений:
  

• 11 слайд

  2.Решите уравнение 5 2𝑥−4 = 49 2−𝑥
  
  
  
  Используя свойства степеней, получаем 5 2𝑥−4 = 7 2(2−𝑥) ;
  5 2𝑥−4 = 7 4−2𝑥 ; 5 2𝑥−4 =( 1 7 ) 2𝑥−4 Получили степени с одинаковым показателем. Разделим обе части уравнения на выражение
  ( 1 7 ) 2𝑥−4 ≠0.
  35 2𝑥−4 =1; 35 2𝑥−4 = 35 0 ; 2𝑥−4=0; 2𝑥=4; 𝑥=2
  Ответ: х=2
  
  

• 12 слайд

  3.Заменить выражение 5+ 24 на равносильное ему выражение.
   
  Умножим и разделим данное выражение на сопряженное ему выражение.
  5+ 24 = 5+ 24 (5− 24 ) 5− 24 = 5 2 − ( 24 ) 2 5− 24
  = 25−24 5− 24 = 1 5− 24 = (5− 24 ) −1
   
  

• 13 слайд

  4. Решить уравнение : |x+1|+2x=2.
  пусть х<−1, то –х- 1 +2х=2, х=3. Но это посторонний корень, т.к 3>−1.
  Рассмотрим случай х≥−1,
  х+1 +2х=2, х= 1 3 . Ответ: 1 3
  

• 14 слайд

  Решить уравнение :
  №1
  3·9х+1-5·6х+1+8·22х=0.
  Решение (№1).
  Преобразуем уравнение к виду:
  27 •3 2х - 30• 3 х • 2 х + 8• 2 2х =0,
  разделим почленно на 2 2х ≠0,
  27•( 3 2 ) 2х - 30•( 3 2 ) х +8=0 и сделав замену ( 3 2 ) х =𝑡,
  t>0, 27t2 – 30t + 8 = 0, 𝑡 1 = 2 3 , 𝑡 2 = 4 9 . Обратная замена дает х=1 и х= -2.
   
  Ответ: 1; -2
  Рассмотрим решение показательных уравнений №1, №4, №7 из Банка заданий:
  

• 15 слайд

  Решить уравнение:
  №4
  4− 15 2 𝑥 2 −3𝑥+1 + 4+ 15 2 𝑥 2 −3𝑥−1 = 8 4+ 15
  Решение (№4).
  Так как 4+ 15 = 1 4− 15 , то данное уравнение : 4− 15 2 𝑥 2 −3𝑥+1 +( 1 4− 15 ) 2 𝑥 2 −3𝑥−1 =8(4− 15 ). Обе части уравнения разделим на выражение (4− 15 )≠0.Получаем 4− 15 2 𝑥 2 −3𝑥 + 1 (4− 15) 2 𝑥 2 −3𝑥 =8. Пусть 4− 15 2 𝑥 2 −3𝑥 =𝑡, 𝑡>0 .
  

• 16 слайд

  То получим уравнение 𝑡+ 1 𝑡 =8 .
  𝑡 2 −8𝑡+1=0
  𝑡 1,2 = 𝑡 1 =4+ 15 𝑡 2 =4− 15
  Выполним обратную замену:
  4− 15 2 𝑥 2 −3𝑥 =4− 15 , 4− 15 2 𝑥 2 −3𝑥 =4+ 15
  2 𝑥 2 −3𝑥−1=0 2 𝑥 2 −3𝑥+1=0
  𝑥 1 = 3+ 17 4 , 𝑥 2 = 3− 17 4 𝑥 3 = 3+1 4 =1, 𝑥 4 = 3−1 4 = 1 2
  Ответ: 1; 1 2 ; 3− 17 4 ; 3+ 17 4 .
  

• 17 слайд

  №7
  Решить уравнение :
  ( 3 х −6) 2 - 16 | 3 𝑥 -6| =15 -2• 3 𝑥+1 .
  Решение (№7).
  . Преобразуем выражение,
  ( 3 х −6) 2 - 16 | 3 𝑥 -6| +6( 3 х -6) +21=0. Пусть 3 х -6= t.
  Возьмем t≥0, имеем 𝑡 2 -10t +21=0, t=3 или t=7. При обратной замене получаем х=2 или х= log 3 13 .
  Пусть t<0, 𝑡 2 +22t +21=0, t=-1 или t=-21. При обратной замене получаю только один корень х= log 3 5 .
  Ответ: 2; log 3 13 , log 3 5 .
  

• 18 слайд

  1.Решить уравнение: log 2 х = log 4 9 .
  При решении логарифмических уравнений часто сравниваются логарифмы с разными основаниями: log 2 х = log 4 9 . Перейдем к одному основанию: log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3 . Тогда, учитываю что х>0,
  имею х=2.
  Рассмотрим 6 подзадач для решения логарифмических уравнений:
  

• 19 слайд

  2.Решить уравнение: log 2 х + log х 2 = 5 2 .
  Поскольку log х 2 = 1 log 2 х , то данное уравнение равносильно уравнению log 2 х + 1 log 2 х = 5 2 .
  Пусть log 2 х =t, используя способ замены, тогда t+ 1 𝑡 = 5 2 . Это уравнение равносильно системе 2 𝑡 2 −5𝑡+2=0 𝑡≠0 ;
  t= 1 2 и t=2.
  log 2 х = 1 2 , х= 2
  и log 2 х =2, х=4.
  
  .
  

• 20 слайд

  3.Решить уравнение: log 3 ( 2х−3) = log 3 ( х 2 −4х+2),
  поскольку функция у= log 3 х возрастающая (а=3, 3>0 ), то
  уравнение log а 𝑓 𝑥 = log 𝑎 𝑔(𝑥) равносильно 𝑓 𝑥 =𝑔 𝑥 , 𝑓(𝑥)>0.
  х 2 −4х+2=2х−3 2х−3>0 ; х=1,х=5, х> 3 2 . Х=5
  5
  

• 21 слайд

  4. Определи какие из уравнений – однородные :
  а) 4 х 𝟐 + 3ху - 5 у 𝟐 =0,
  в) 8 у 𝟑 -11 х 𝟐 у - у 𝟐 х +5 х 𝟑 =𝟎, с) х 𝟐 у−𝟑ху+ у 𝟑 = 0.
  Решить однородное уравнение
  х 𝟐 -7ху+10 у 𝟐 =0, найти х у .
  Разделим данное уравнение у 𝟐 ≠𝟎, получаю
  ( х у )² -7 х у +10=0.
  Сделав замену х у =t , уравнение 𝒕 𝟐 -7t +10=0, корни которого t=2, t=5. Ответ: 2; 5.
  

• 22 слайд

  5.Разложить квадратный трехчлен −х 2 +х+2 на множители
  −х 2 +х+2=
  -(х-2)(х+1) = (2-х)(х+1).
  

• 23 слайд

  5.Решить уравнение: log 3 2х−1 + log з (х−2) =3.
  Естественно преобразовать это уравнение следующим образом:
  log 3 2х−1 х−2 =3 . Отсюда (2х-1)(х-2)= 3 3 , 2 х 2 -5х-25=0; х=5 и х=- 5 2 . Легко убедиться, что число - 5 2 не является корнем данного уравнения(это число не входит в его область определения), а число 5 является корнем данного уравнения. Таким образом, данное уравнение решено методом следствий. Заметим , что переход от : log 3 2х−1 + log з (х−2) =3 к уравнению log 3 2х−1 х−2 =3 не является равносильным и приводит к появлению постороннего корня.
  Область определения функции
  f(x)= log 3 2х−1 + log з (х−2) , 2𝑥−1>0 𝑥−2>0 ; х>2.
  
  
  

• 24 слайд

  Решить уравнение:
  
  ( 𝒍𝒐𝒈 𝟐 (х−𝟑 ) 𝟐 - 2 𝒍𝒐𝒈 𝟐 (х−𝟑) 𝒍𝒐𝒈 𝟐 (𝟐х−𝟖) + 𝒍𝒐𝒈 𝟐 (𝟐х−𝟖 ) 𝟐 =0,
  №9
  D(f)=(4;+∞).
  Ввожу переменные: у= log 2 (х−3) ; Z= log 2 (2 х−8). Получаю однородное уравнение: у 2 −2у𝑧+ 𝑧 2 =0, у−𝑧 2 =0, у=z,
  log 2 х−3 = log 2 (2х−8) ,
  т.е. х-3=2х-8, х=5. 5∈(4; +∞). Ответ: 5.
  Решение (№9).
  Рассмотрим решение логарифмических уравнений №9, №11, №14 из Банка заданий:
  

• 25 слайд

  Решить уравнение: log 81 (15−7х) log 3−х 9 =1.
  №11
  : log 3 (15−7х) log 3 81 • log 3 9 log 3 (3−х) =1, log 3 (15−7х) 2 log 3 (3−х) =1
  log 3 (15−7х) log 3 (3−х) =2, log 3 (15−7х) −2 log 3 (3−х) log 3 (3−х) =0,(РУ).
  log 3 (3−х)≠0, log 3 15−7х =2 log 3 3−х .(∗)
  Учитывая ограничения: 3−х≠1, 3−х>0, 15−7х>0, имеем х<0, х≠2. От уравнения (*) перехожу: 15 -7х= (3−х) 2 , 15 -7х=9 -6х + х 2 , х 2 +х -6=0, х=2, х=-3. Ответ:-3.
  3
  

• 26 слайд

  Решить уравнение
  а) log −х 2 −32х+33 (2 х 2 +136)= 1 log −33х (1−х)(х+33)
  б) Найти корни уравнения принадлежащие [ 333 ; - 33 ].
  №14
  Найду область определения f(x) = log а х , х∈(0;+∞),
  а>0, а≠1. Нужна формула перехода для логарифмов log а в = 1 log в а .
  Тогда: −33х≠1, − х 2 −32х+33>0 ; х≠ 1 −33 , −33<х<1.
  

• 27 слайд

  Рассмотрим на −33<х<1,
  х≠ 1 −33 ,
  log − х 2 −32х+32 (2 х 2 +136) = log − х 2 −32х+32 −33х ,
  2 х 2 +136 = -33х, 2 х 2 +33х+136=0, х=-8, х=- 17 2 .
  б) По заданию можно заметить 33< 8 2 <( 17 2 ) 2 <333.
  Тогда: − 333 <−8<− 33 , − 333 <− 17 2 <− 33 .
  Ответ: а) -8; - 17 2 . б) -8; - 17 2 .
  

• 28 слайд

  Желаем всем успехов и хороших результатов сдачи ЕГЭ по математике!!!