Презентация по математике на тему "Геометрический смысл производной"

• 1 слайд

  Алгебра и начала анализа 12 класс. Производная и первообразная Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Учебник. Алгебра и начала мат. анализа. 11 класс. Ю.М.Колягин, М.В.Ткачёва. Просвещение, 2011. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной Составитель: Обвинцева Елизавета Николаевна учитель математики, 1 квалификационной категории МКВ(С)ОУ «Богдановичская ОСОШ», Свердловской области

• 2 слайд

  Производная – одно из фундаментальных понятий математики Оно возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И.Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г.Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. С помощью тех же методов математики изучали в XVII и XVIII вв. различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л.Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”. Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX в. французский математик О.Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела. Применяемая сейчас система обозначения для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки и техники

• 3 слайд

  Физический смысл производной: S’(t)=V(t), V’(t)=a(t), где t – время движения (переменная) Функции, зависимые от времени t: S(t) – расстояние; V(t) – скорость; a(t) – ускорение.

• 4 слайд

  Применение физического смысла производной: Задача: Закон движения тела задан формулой S(t)=0,5t2+3t+2 (S – в метрах, t – в секундах). Какой путь пройден телом за 4 с? Какова скорость движения в этот момент времени? Решение: S(4)= 0,5*42+3*4+2=8+12+2=22(м) V(t)=S’(t)= 0,5*2t+3*1+0=t+3(м/с) V(4)=4+3=7(м/с) Ответ. За 4 с тело прошло 22 метра. Скорость в момент времени равный 4 с равна 7 м/с.

• 5 слайд

  Повторение (Алгебра. 7 класс): y=kx+b линейная функция, графиком я-я прямая k=tgα – угловой коэффициент прямой, α – угол между прямой и положительным направление оси ОХ

• 6 слайд

  Геометрический смысл производной: Прямая y=kx+b – касательная к графику функции f(x) в точке А с абсциссой x0, где k=tgα – угловой коэффициент касательной, тогда f’(x0)=k=tgα В этом и есть геометрический смысл производной Читать § 8 стр. 84.

• 7 слайд

  Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. f’(x0)=k=tgα

• 8 слайд

  Применение геометрического смысла производной: Решить № 91 (1-4); Самостоятельно решить № 91 (5, 6); Дополнительно решить №№ 89, 90.

• 9 слайд

  № 91 (1, 2)

• 10 слайд

  № 91(3, 4)

• 11 слайд

  Самостоятельно решить № 91 (5, 6), Дополнительно: № 89, № 90.

• 12 слайд

  Подготовка к ЕГЭ по теме: http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems.html?posMask=64&showProto=true

• 13 слайд

  Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0 имеет вид: y=f(x0)+f’(x0)(x-x0) где f(x0) – значение функции в точке касания, f’(x0) – значение производной в точке касания

• 14 слайд

  Сэр Исаа́к Нью́тон (1643 —1727) Великий английский физик, математик и астроном. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он описал закон всемирного тяготения и так называемые Законы Ньютона, заложившие основы классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисление, теорию цветности и многие другие математические и физические теории

• 15 слайд

  Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646-1716) Немецкий философ, математик, юрист, дипломат

• 16 слайд

  Леона́рд Э́йлер (1707-1783)  Выдающийся математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук  

• 17 слайд

  Огюсте́н Луи́ Коши́ (1789-1857) Французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ, алгебру, математическую физику и многие другие области математики

• 18 слайд

  Жозе́ф Луи́ Лагра́нж (1736-1813)  Французский математик и механик итальянского происхождения. Наряду с Эйлером — лучший математик XVIII века. Особенно прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала

• 19 слайд

  Определение производной: V(t)= ∆S/∆t f’(x)=∆f/∆x

• 20 слайд

  Определение производной: tg <CAM=MC/AC=∆f/∆x Точка А неподвижна, точка М →A, двигаясь по графику, при этом прямая АМ → АВ, <САМ → <α, поэтому tg<CAM → tgα. Т.о., tgα=lim(∆f/∆x)=f’(x). f’(x)= tgα