Презентация по математике на тему "Комбинаторика.Бином Ньютона"

• 1 слайд

  Виды соединений в комбинаторике
  

• 2 слайд

  Самый простой метод решения комбинаторных задач – перебор всех возможных вариантов
  Подсчитать число однобуквенных слов русского языка.
  Ответ:10 (а, б, в, ж, и, к, о, с, у, я)
  Перечислить виды: 1)треугольников, 2)четырехугольников.
  Ответ:1)равносторонний, равнобедренный, разносторонний; остроугольный, прямоугольный, тупоугольный.
  2) параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
  В магазине продают бейсболки трех цветов: синие, красные и черные. Ваня и Андрей покупают себе по одной. Сколько существует различных вариантов покупки?
  Ответ:9 вариантов.
  
  

• 3 слайд

  Полный перебор может осуществляться с помощью деревьев
  С помощью цифр 3 и 5 записать все возможные трёхзначные числа (цифры могут повторяться).
  
  
  
  
  
  Ответ: 8 чисел.
  

• 4 слайд

  Полный перебор может осуществляться с помощью таблиц и графов
  Встретились пятеро, каждый пожал другому руку. Сколько было рукопожатий?
  
  
  
  
  Ответ:10.
  С помощью таблицы вариантов
  перечислить все возможные
  двухбуквенные коды, в которых
  используются буквы: x,y,z.
  Ответ: 9.
  
  

• 5 слайд

  Задача.
  В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или жёлтый цвет, причем были использованы все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире?
  

• 6 слайд

  При большом количестве имеющихся элементов полный перебор затруднителен. Правило произведения позволяет упростить подсчет числа определенных соединений.
  Сформулируем это правило.
  
  Правило произведения
  Если существует n вариантов выбора
  первого элемента и для каждого из них имеется
  m вариантов выбора второго элемента, то существует
  nm различных пар с выбранными первым и
  вторым элементами.
  

• 7 слайд

  Задача 1. Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0,2,4,6,8 (цифры могут повторятся)?
  Ответ: 4∙5 = 20.
  
  Задача 2. В кафе имеются 3 первых блюда, 5 вторых и 2 третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?
  Ответ: 3∙5∙2 = 30.
  Задача 3. Пётр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетёра. В ателье проката ему предложили на выбор различные по цвету и фасону предметы: 5 пар брюк, 6 камзолов, 3 шляпы, 2 пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов он может составить из этих предметов?
  Ответ: 5∙6∙3∙2 = 180.
  

• 8 слайд

  Основные задачи комбинаторики
  Основными задачами комбинаторики считаются следующие:
  составление упорядоченных множеств (перестановки);
  составление подмножеств данного множества (сочетания)
  составление упорядоченных подмножеств данного множества (размещения).
  
  Чтобы отличать задачи на подсчёт числа размещений от задач на подсчёт числа сочетаний, определим, важен или нет порядок в следующих выборках:
  а) судья хоккейного матча и его помощник;
  б) три ноты в аккорде;
  в) «Шесть человек останутся убирать класс!»
  г) две серии для просмотра из многосерийного фильма.
  Ответ: а)да; б)нет; в)нет; г)да.
  
  
  
  

• 9 слайд

  Перестановки
  Перестановками из n элементов называются соединения, которые состоят из n элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения.
  Permutation (фр.) – перестановка.
  Задача. Сколькими способами можно расположить в столбик три детали конструктора, различающиеся по цвету?
   
  

• 10 слайд

  Вычислить:
  7! 2) 8! 3) 6!-5! 4)
  
  
  
  Определение: Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал». Принято считать, что 0! = 1
  Задача.
  В семье – 6 человек, и за столом в кухне стоят 6 стульев. Семья решила каждый вечер, ужиная рассаживаться на эти стулья по – новому. Сколько дней члены семьи смогут осуществлять задуманное?
  

• 11 слайд

  Задача.
  Сколькими способами можно расставить на полке семь различных книг?
  Решение:
  
  Число таких способов равно числу перестановок из семи элементов,
  т.е. P7 = 7! = 1 · 2 · 3 · … · 7 =
  
  
  Ответ: 5040.
  
  

• 12 слайд

  Задача.
  Имеются 10 различных книг, три из которых – справочники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все справочники стояли рядом?
  Решение:
  Т.к. в справочники должны стоять рядом, то будем рассматривать их как одну книгу. Тогда на полке надо расставить 10 – 3+1=8 книг. Это можно сделать P8 способами. Для каждой из полученных комбинаций можно сделать P3 перестановок справочников. Поэтому число способов расположения книг на полке равно произведению:
  P8 · P3 = 8! · 3! = 40320 · 6 =
  
  
  
  
  Ответ: 241920.
  
  

• 13 слайд

  Размещения
  Число всех выборов n элементов из m данных с учётом их порядка называют числом размещений из m элементов по n. (n ≤ m)
  Обозначают:
  
  
  
  
  = 𝑚! 𝑚−𝑛 !
  

• 14 слайд

  Вычислить
  

• 15 слайд

  Задача. Решить уравнение:
  Решение: n 2 . По формуле
  - посторонний корень
  

• 16 слайд

  Найти значение выражения :
  
  
  1) 2)
  
  
  
  
  Решите уравнение:
  

• 17 слайд

  Размещения
  Задача 2. Сколькими
  способами могут занять
  I, II, III места 8 участниц
  финального забега на
  дистанции 100 м?
  Ответ: 336.
  
  Задача 1. Сколькими способами можно изготовить трёхцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7 различных цветов?
  Ответ: 210.
  

• 18 слайд

  Задача 4 . Сколькими способами можно обозначить
  вершины данного треугольника, используя буквы
  А,В,С,D,E,F?
  Задача 3. Из 30 участников собрания надо
  выбрать председателя и секретаря. Сколькими
  способами это можно сделать?
  Ответ: 870.
  

• 19 слайд

  Задача.
  Сколько существует трехзначных чисел, в которых цифры различные и нечетные.
  
  Решение:
  Нечётных цифр пять: 1,3,5,7,9. Их надо разместить на три позиции. Поэтому количество искомых чисел равно числу размещения.
  Ответ: 60.
   
  

• 20 слайд

  Задача : Из пяти шахматистов для участия в турнире нужно выбрать двоих. Сколькими способами это можно сделать?
  Решение: Из пяти шахматистов можно составить пар
  Но из этих пар надо выбрать только те, которые различаются лишь составом участников, таких пар в 2 раза меньше, т.е.
  При решении этой задачи из 5 человек были образованы пары – соединения по 2 человека, которые отличались друг от друга только составом.
  Такие соединения называют сочетаниями.
  

• 21 слайд

  Сочетания
  Число всех выборов n элементов из m данных без учёта порядка называют числом сочетаний из m элементов по n.
  Обозначают:
  
  
  

• 22 слайд

• 23 слайд

  Сочетания
  Задача 2. Сколькими способами можно составить
  букет из трёх цветков, выбирая цветы из
  девяти имеющихся?
  Ответ: 84.
  Задача 3. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Сколькими способами можно выделить 4 мальчиков и 3 девочек для уборки территории?
  Ответ:
  Задача 1. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
  Ответ: 21.
  

• 24 слайд

  Задача 4. Сколько существует способов выбора трёх карт из колоды в 36 карт?
  Решение: Изъятые из колоды 3 карты без учета порядка их расположения в наборе являются сочетаниями из 36 по 3.
  

• 25 слайд

  Учимся различать виды соединений
  

• 26 слайд

  Треугольник Паскаля.
  
  Числа имеют очень красивую и знаменитую запись, которая имеет большое значение.
  Такая запись называется треугольником Паскаля:
  
  

• 27 слайд

  Треугольник Паскаля.
  Правило записи треугольника легко запомнить:
  Каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ними в предыдущей строке.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 28 слайд

  Треугольник Паскаля
  

• 29 слайд

  Бином Ньютона.
  
  Как оказалось, треугольник Паскаля находит свое применение и в другой математической задаче. Вспомним несколько правил возведения в квадрат и куб суммы.
  
  
  
  
  Проделаем эту же операцию и для четвертой степени:
  

• 30 слайд

  Бином Ньютона.
  Выпишем для наглядности все наши формулы:
  
  
  
  
  
  
  
  Проведем небольшой анализ полученных формул.
  Первое, на что стоит обратить внимание, показатель степени в левой части равен сумме показателей степеней в правой части, для любого слагаемого.
  Посмотрите внимательно на коэффициенты в правой части, ни чего не напоминает? Коэффициенты образуют треугольник Паскаля.
  

• 31 слайд

  Бином Ньютона
  Бином Ньютона – это выражение вида
  При возведении бинома а + b в натуральные степени пользуются треугольником Паскаля.
  
  
  
  

• 32 слайд

  Примеры.
  

• 33 слайд

  Примеры.
  

• 34 слайд

  Бином Ньютона.
  Пример. Раскрыть скобки: а) б)
  
  Решение. Применим нашу формулу:
  а)
  
  Вычислим все коэффициенты:
  
  
  В итоге получаем:
  
  
  б)
  

• 35 слайд

  Задачи для самостоятельного решения.
  Избавиться от скобок:
  а)
  
  б)
  
  в)
  
  г)
  

• 36 слайд

  Проверь себя
  1. Сколькими способами 4 вора могут разбежаться на 4 разные стороны?
  
  2. Из колоды в 36 карт выбирают 5 карт и одновременно открывают их. Найдите число всех возможных вариантов выбранных карт.
  
  3. Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать: а)двух дежурных; б)старосту и помощника старосты?
  Ответ: а)276;
  б)552.
  4. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый Мишка задумали сыграть квартет». Сколькими способами они могут выбрать каждый для себя по одному инструменту из 10 данных различных инструментов?
  Ответ:
  
  

• 37 слайд

  ЗАДАНИЕ 1. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
  ЗАДАНИЕ 2. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать?
  ЗАДАНИЕ 3. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?
  

• 38 слайд

  Решить уравнение
  𝑛 1 = 1−55 2 = -27 ˂ 0 – не подходит
  𝑛 2 = 1+55 2 = 28 ˂ 0
  Ответ: 28
  

• 39 слайд

  РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
  № 1.Вычислите:
  
  
  
  № 2. В классе изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в этот день должно быть 6 разных предметов?
  № 3. Сколько существует способов для обозначения вершин данного четырехугольника с помощью букв А,В,С,D,E,F?
  № 4. В классе 30 человек. Сколькими способами могут быть выбраны из их состава староста и казначей?
  № 5. В чемпионате по футболу участвуют 10 команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?
  

• 40 слайд

  Задача 1. Сколько различных двухзначных чисел
  можно записать с помощью цифр 1,2,3,4 при условии,
  что в каждой записи нет одинаковых цифр?
  РАЗМЕЩЕНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ
  12,13,14,
  21,23,24
  31,32,34,
  41,42,43
  По правилу произведения 43 = 12
  Все соединения отличаются друг от друга
  либо составом(12 и 24), либо порядком(12 и 12)
  

• 41 слайд

  Литература
  Алгебра и начала математического анализа 11 класс,
  Колягин Ю.М., Ткачев М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И.,
  М. : «Просвещение», 2011