Презентация по математике на тему: Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью".

Предпросмотр материала:

1/15

Презентация по математике на тему: Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью".

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ:

«Перпендикуляр и наклонные.
Угол между прямой и плоскостью.»
2 слайд

Цель урока:
Повторить основные понятия: перпендикуляр, наклонная, проекция.

Вспомнить теорему о трех перпендикулярах и такое важное понятие, как угол между прямой и плоскостью.

Решить несколько задач на перпендикуляр и наклонные.
3 слайд

НАПОМНИМ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Отрезок АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α. Точка Н – основание перпендикуляра.
Отрезок АМ – наклонная, М – основание наклонной.
Отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α.
4 слайд

НАПОМНИМ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Свойство 1. Длина перпендикуляра меньше, чем длина наклонной.
То есть, АН < AM.
Свойство 2.
AM = MH <=> MH = NH
То есть, если из точки А проведены равные наклонные, АМ = AN, то их проекции равны: MH = HN. Если проекции равны MH = HN, то равны и наклонные: АМ = AN.
5 слайд

ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
6 слайд

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
7 слайд

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
№ 1
Прямая ОМ перпендикулярна плоскости
треугольника АВС и проходит через центр О вписанной в него
окружности.
Докажите, что точка М равноудалена:
от прямых АВ, ВС, СА.
от всех точек вписанной окружности и от всех касательных к ней.
Найдите это расстояние, если известны радиус r окружности и длина ОМ = h.
Докажите равенство углов наклона прямых МТ (где Т – любая точка окружности) к плоскости АВС.
Найдите тангенс этих углов.
8 слайд

Задача № 1

Дано: ∆АВС, О – центр вписанной окружности, ОМ ⊥ АВС.

Доказать: ρ (М, АВ) =
=ρ (М, ВС) = ρ (М, СА)
9 слайд

Задача № 1.1
Пусть А1 ; В1 ; С1 – это точки касания окружности к сторонам треугольника. ОС1 ; ОА1 ; ОВ1 – радиусы этой окружности. Тогда, по свойству, ОС1 ⊥ АВ, ОА1 ⊥ ВС, ОВ1 ⊥ АС.
МО – перпендикуляр к плоскости АВС. ОС1 – проекция наклонной МС1 на плоскость АВС. Так как ОС1 ⊥ АВ, то МС1 ⊥ АВ (по теореме о трех перпендикулярах). Значит, МС1 – это расстояние от точи М до прямой АВ, МС1 = ρ (М, АВ). Аналогично получаем, что МА1 = ρ (М, ВС), МВ1 = ρ (М, СА).
Треугольники МОС1 ; МОА1 ; МОВ1 равны по двум катетам (катеты ОС1 ; ОА1 ; ОВ1 равны как радиусы вписанной окружности, катет ОМ – общий). Из равенства треугольников следует, что МС1 = МА1 = МВ1. А значит, ρ (М, АВ) = ρ (М, ВС) = ρ (М, СА), что и требовалось доказать.
10 слайд

Задача № 1.2
Дано: ∆АВС, О – центр вписанной окружности, ОМ ⊥ АВС.
Доказать:
ρ (М, Т) = ρ (М, Т1)=
= ρ (М, t) = ρ (М, t1)

Рассмотрим вспомогательную иллюстрацию и введем некоторые дополнительные обозначения.
Имеем окружность с центром в точке О и радиусом r, ОМ ⊥ ОТ1Т, ОМ = h, OT = r .
Пусть t1, t – две произвольные касательные. Т1, Т – точки касания касательных t1, tк окружности. Тогда второй пункт задачи можно сформулировать так.
11 слайд

Задача № 1.2
Касательные t1 ; t касаются окружности в точках Т, Т1 соответственно. Радиус, проведенный в точку касания касательной, перпендикулярен касательной. То есть ОТ ⊥ t.
ρ (М, Т) = МТ, ρ (М, Т1) = МТ1
ОТ – это проекция наклонной МТ на плоскость окружности. Прямая t лежит в этой плоскости. Так как ОТ ⊥ t, то МТ ⊥ tпо теореме о трех перпендикулярах. Значит, ρ (М, t) = МТ. Аналогично, ρ (М, t1) = МТ1.
Рассмотрим прямоугольные треугольники МОТ и МОТ1. Катет ОМ – общий, ОТ = ОТ1 как радиусы. Значит, треугольники МОТ и МОТ1 равны по двум катетам. Следовательно, МТ = МТ1, а значит, ρ (М, t) = ρ (М, t1), ρ (М, Т) = ρ (М, Т1), что и требовалось доказать.
12 слайд

Задача № 1.3
Рассмотри прямоугольный треугольник МОТ .
Из теоремы Пифагора: ;

Ответ:

Дано: ∆АВС, О – центр вписанной окружности, ОМ ⊥ АВС.
Найти: ρ (М, t)
13 слайд

Задача № 1.4

Дано: ∆АВС, О – центр вписанной окружности, ОМ ⊥ АВС.

Доказать: ∠(МТ, АВС) =
∠(МТ1, АВС) =
14 слайд

Задача № 1.4
ОТ – проекция наклонной МТ на плоскость ABC.
Значит, ∠(МТ, АВС) = ∠(МТ, ОТ) = ∠МТО.
Аналогично, ∠(МТ1, АВС) = ∠(МТ1, ОТ1) = ∠МТ1О.
Мы доказали, что треугольники МОТ и МОТ1 равны, а значит, и углы МТО и МТ1Оравны. Обозначим, их величину за φ. Тогда, ∠(МТ, АВС) = ∠(МТ1, АВС) = φ, что и требовалось доказать.
15 слайд

Задача № 1.5
Дано: ∆АВС, О – центр вписанной окружности, ОМ ⊥ АВС.

Найти: tg φ.

Рассмотри прямоугольный треугольник МОТ.

Краткое описание материала

Презентация разработана для повторения и закрепления пройденного материала по теме: "Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью". А также затрагивает теорему о трех перпендикулярах и её применение при решении задач.

Презентацию можно использовать как повторение пройденного материала в начале урока.

А так же как закрепление, самостоятельное решение предложенных задач с последующей проверкой и обсуждением.

Предложенная задача охватывает несколько подзадач на применение всех понятий по данной теме, а также теоремы Пифагора, свойств окружности вписанной в треугольник, свойств касательных и многое другое.

Презентация по математике на тему: Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью".

Математика

Другие методич. материалы

PPTX

04.01.2015

1570

Математика

Другие методич. материалы

Файл будет скачан в формате:

PPTX

Автор материала

Гончарова Мария Алексеевна

учитель математики

На сайте: 11 лет и 2 месяца
Всего просмотров: 21525
Подписчики: 2
Всего материалов: 7

21525
просмотров
7
материалов
2
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Гончарова Мария Алексеевна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.