Презентация по математике на тему "Тригонометрические уравнения" (10 класс)

• 1 слайд

  Моя тригонометрия
  

• 2 слайд

• 3 слайд

• 4 слайд

  *Условные обозначения :
  tan -тангенс
  cot - котангенс
  

• 5 слайд

   Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  1. преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) 
  2.   решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.  
  Методы решения тригонометрических уравнений.
  Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.
  

• 6 слайд

  1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры
     ( метод замены переменной и подстановки ).
    
  

• 7 слайд

  2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах.
   
      П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .
   
      Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:
   
                                                                 sin x + cos x – 1 = 0 ,
   
                                 преобразуем и разложим на множители выражение в
                                 левой части уравнения:
                                
  

• 8 слайд

  2. Разложение на множители.
                                 
   П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.
   
      Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
   
                                              sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
   
                                              sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
  

• 9 слайд

    
  П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 
       Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,
   
                                 2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
   
                                 cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,
      
                                 cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
                                1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,
                              
  2. Разложение на множители. 
  

• 10 слайд

  3. Приведение к однородному уравнению. 
  Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. 
  
  
  Чтобы решить однородное уравнение, надо:
   
     а)  перенести все его члены в левую часть;
     б)  вынести все общие множители за скобки;
     в)  приравнять все множители и скобки нулю;
     г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на 
          cos ( или sin ) в старшей степени; 
     д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan . 
   
  

• 11 слайд

   
  П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
   
      Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
   
                               sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
   
                               tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,
   
                               корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда
                               1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,
                                
  

• 12 слайд

  4. Переход к половинному углу. 
  Рассмотрим этот метод на примере:
   
      П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7. 
      Р е ш е н и е . 
   6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
                                                                        = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
                        2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
                               tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
  

• 13 слайд

  5. Введение вспомогательного угла. 
  Рассмотрим уравнение вида:
   
                                             a sin x + b cos x = c ,
   
      где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.
  
  
  
  
  
  
  
  
  Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos   и sin   ( здесь   - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
   
  

• 14 слайд

• 15 слайд

  6. Преобразование произведения в сумму. 
  Здесь используются соответствующие формулы.
      
      П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.
   
      Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:
   
                                          cos 4x – cos 8x = cos 4x ,
   
                                                   cos 8x = 0 ,
   
                                                   8x = p / 2 + pk ,
   
                                                   x = p / 16 + pk / 8 .
   
  

• 16 слайд

  7. Универсальная подстановка. 
  
  Рассмотрим этот метод на примере.
                                                                                                                                               
        П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .
  

• 17 слайд