Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по математике на тему "Вариационное исчисление"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация по математике на тему "Вариационное исчисление"

библиотека
материалов
Вариационное исчисление
Общие сведения Вариационное исчисление — раздел анализа, в котором изучаются...
Термины и определения Важнейшими понятиями вариационного исчисления являются...
История Ещё в античные времена появились первые вариационные проблемы, относя...
Неформальное обсуждение
Неформальное обсуждение (продолжение)
Неформальное обсуждение (продолжение)
Неформальное обсуждение (продолжение)
Неформальное обсуждение (продолжение)
Неформальное обсуждение (продолжение)
Неформальное обсуждение (продолжение)
Неформальное обсуждение (продолжение)
Уравнение Эйлера — Лагранжа
Уравнение Эйлера — Лагранжа (продолжение)
Литература Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управлени...
Спасибо за внимание
16 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Вариационное исчисление
Описание слайда:

Вариационное исчисление

№ слайда 2 Общие сведения Вариационное исчисление — раздел анализа, в котором изучаются
Описание слайда:

Общие сведения Вариационное исчисление — раздел анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Наиболее типичная задача — найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения. Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики. Например, в дифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические линии и минимальные поверхности. В физике вариационный метод — один из мощнейших инструментов получения уравнений движения, как для дискретных, так и для распределённых систем, в том числе и для физических полей. Методы вариационного исчисления применимы и в статике.

№ слайда 3 Термины и определения Важнейшими понятиями вариационного исчисления являются
Описание слайда:

Термины и определения Важнейшими понятиями вариационного исчисления являются следующие: вариация (первая вариация), вариационная производная (первая вариационная производная), кроме первой вариации и первой вариационной производной, рассматриваются и вариации и вариационные производные второго и высших порядков. Никак не связана с вариационным вычислением совпадающая по названию вариация функции в анализе. Термин варьирование (варьировать) — применяется в вариационном исчислении для обозначения нахождения вариации или вариационной производной (это аналог термина дифференцирование для случая бесконечномерного аргумента, являющегося предметом вариационного исчисления). Также нередко для краткости (особенно в приложениях) термин варьирование применяется для обозначения решения вариационной задачи, сводимой к нахождению вариационной производной и приравнивания её нулю. Вариационная задача означает, как правило, нахождение функции (в рамках вариационного исчисления — уравнения на функцию), удовлетворяющей условию стационарности некоторого заданного функционала, то есть такой функции, (бесконечно малые) возмущения которой не вызывают изменения функционала по крайней мере в первом порядке малости. Также вариационной задачей называют тесно связанную с этим задачу нахождения функции (уравнения на функцию), на которой данный функционал достигает локального экстремума (во многом эта задача сводится к первой, иногда практически полностью). Обычно при таком употреблении терминов подразумевается, что задача решается методами вариационного исчисления. Типичными примерами вариационной задачи являются изопериметрические задачи в геометрии и механике; в физике — задача нахождения уравнений поля из заданного вида действия для этого поля.

№ слайда 4 История Ещё в античные времена появились первые вариационные проблемы, относя
Описание слайда:

История Ещё в античные времена появились первые вариационные проблемы, относящиеся к категории изопериметрических задач — например, задача Дидоны. Древнегреческим математикам уже было известно: 1.Из всех фигур с заданным периметром наибольшую площадь имеет круг. 2.Из всех многоугольников с заданным числом сторон и заданным периметром наибольшую площадь имеет правильный многоугольник. 3.Из всех тел с заданной площадью поверхности наибольший объём имеет шар. Аналогичную задачу для шаровых сегментов решил Архимед, а Зенодор во II веке до н. э. написал книгу «Об изопериметрических фигурах» (сохранились обширные цитаты из неё в трудах других авторов). Первый вариационный принцип сформулировал для траекторий отражённых световых лучей Герон Александрийский в работе «Катоптрика» (I век н. э.). В средневековой Европе изопериметрическими задачами занимались И. Сакробоско (XIII век) и Т. Брадвардин (XIV век). После разработки анализа появились новые типы вариационных задач, в основном механического характера. Ньютон в «Математических началах натуральной философии» (1687) решает задачу: найти форму тела вращения, обеспечивающую наименьшее сопротивление при движении в газе или жидкости (при заданных размерах). Важной исторической задачей, давшей толчок к развитию современного варианта вариационного исчисления, стала задача о брахистохроне (1696). Её быстрое решение сразу несколькими математиками показало огромные возможности новых методов. Среди других задач стоит отметить определение формы цепной линии (то есть формы равновесия тяжёлой однородной нити, 1690 год). Общих методов решения вариационных задач в этот период ещё не существовало, каждая задача решалась с помощью остроумных (и не всегда безупречных) геометрических рассуждений. Пьер Ферма сформулировал основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее время. В 1746 году Мопертюи обобщил это правило, введя в науку первый принцип наименьшего действия. Решающий вклад в развитие вариационного исчисления внесли Леонард Эйлер и Жозеф Лагранж. Эйлеру принадлежит первое систематическое изложение вариационного исчисления и сам термин (1766 год). Лагранж независимо получил (с 1755 года) многие основополагающие результаты и ввёл понятие вариации. На этом этапе были выведены уравнения Эйлера — Лагранжа. Они представляют собой необходимое условие экстремума, ставшее аналитическим фундаментом вариационных методов. Вскоре, однако, выяснилось, что решения этих уравнений не во всех случаях дают реальный экстремум, и встала задача найти достаточные условия, гарантирующие экстремум. Первое глубокое исследование (второй вариации) предпринял Лежандр, однако Лагранж обнаружил в его работе ошибку. Результаты Лежандра уточнил и дополнил Якоби (1837), затем его ученик Гессе (1857) и позднее Вейерштрасс. Сейчас эти достаточные условия называются уравнениями Якоби.

№ слайда 5 Неформальное обсуждение
Описание слайда:

Неформальное обсуждение

№ слайда 6 Неформальное обсуждение (продолжение)
Описание слайда:

Неформальное обсуждение (продолжение)

№ слайда 7 Неформальное обсуждение (продолжение)
Описание слайда:

Неформальное обсуждение (продолжение)

№ слайда 8 Неформальное обсуждение (продолжение)
Описание слайда:

Неформальное обсуждение (продолжение)

№ слайда 9 Неформальное обсуждение (продолжение)
Описание слайда:

Неформальное обсуждение (продолжение)

№ слайда 10 Неформальное обсуждение (продолжение)
Описание слайда:

Неформальное обсуждение (продолжение)

№ слайда 11 Неформальное обсуждение (продолжение)
Описание слайда:

Неформальное обсуждение (продолжение)

№ слайда 12 Неформальное обсуждение (продолжение)
Описание слайда:

Неформальное обсуждение (продолжение)

№ слайда 13 Уравнение Эйлера — Лагранжа
Описание слайда:

Уравнение Эйлера — Лагранжа

№ слайда 14 Уравнение Эйлера — Лагранжа (продолжение)
Описание слайда:

Уравнение Эйлера — Лагранжа (продолжение)

№ слайда 15 Литература Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управлени
Описание слайда:

Литература Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979 Афанасьев В. Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979 Зейферт Г., Трельфалль В. Вариационное исчисление в целом 2-е изд., — М.: РХД, 2000 Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселев А. И. Вариационное исчисление, задачи и упражнения. — М.: Наука, 1973 Петров Ю. П. Из истории вариационного исчисления и теории оптимальных процессов // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1990. — № 32/33. — С. 53-73.. Рыбников К. А. Первые этапы развития вариационного исчисления // Историко-математические исследования. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. — № 2. — С. 355-498. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 6: Электродинамика. Перевод с английского (издание 3). — Эдиториал УРСС. — ISBN 5-354-00704-6. — глава 19: Принцип наименьшего действия. (Очень простое, неформальное и наглядное введение в технику варьирования на примере принципа наименьшего действия; рекомендуется для старших школьников и, быть может, студентов младших курсов). Фоменко А. Т. Вариационные методы в топологии. — М.: Наука, 1982 Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.

№ слайда 16 Спасибо за внимание
Описание слайда:

Спасибо за внимание


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 17.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров153
Номер материала ДБ-198400
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх