Презентация по математики"Решение задач и пути ее реализации"Задачи на смеси и сплавы 10-11 класс

• 1 слайд

  Решение задач и пути ее реализации
  
  Задачи на смеси и сплавы
  
  
  Нейфельд Е.Л.
  учитель математики
  
  

• 2 слайд

  Задача:
  
  Сколько кг воды нужно выпарить из 100 кг массы ягод, содержащей 90% воды, чтобы получить массу, содержащую 80% воды?
  

• 3 слайд

  Решение задачи:
  1) 100% - 90% =10%, что составляет 10 кг «чистого вещества».
  2) Выпарили х кг, осталось (100 – х) кг,
  20% =
  Уравнение:
  50=100 – х
  Х =50 Ответ: 50кг.
  

• 4 слайд

  Понятия:
  Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в обычных единицах измерения (грамм, литр и т. д.).
  Относительное содержание вещества – это отношение абсолютного содержания вещества к общей массе (объему) смеси.
  Часто относительное содержание вещества называют концентрацией или процентным содержанием, при этом используют различные записи относительного содержания вещества: в долях, процентах.
  

• 5 слайд

  
  Иллюстрация понятия:
  Предположим, что в сосуд, содержащий 450 г воды, добавили 50 г соли. Общая масса полученного раствора 500г
  Абсолютное содержание соли 50г, относительное содержание соли
  
  Абсолютное содержание воды 450г, относительное содержание воды .
  50 г 1
  500 г 10
  =
  =
  10 %
  450 г 9
  500 г 10
  =
  = 0,9 = 90 %
  450 г 9
  

• 6 слайд

  а) Смешали две смеси.
  При образовании смеси складываются абсолютные содержания. Поэтому, если известны только относительные содержания, то нужно:
  1. Подсчитать абсолютные содержания;
  2. Сложить абсолютные содержания, компонент.
  3. Подсчитать относительные содержания компонента.
  

• 7 слайд

  Пример 1:Смешали 500г 10% раствора соли и 400г 55% раствора соли. Определите концентрацию
  соли в смеси.
  

• 8 слайд

  Абсолютное содержание соли:
  в I растворе 500٠0,1 = 50г.
  во II растворе 400٠0,55 = 220г.
  Смесь двух исходных растворов составляет:
  
  Соль 10%
  Вода 90%
  500 г
  Соль 55%
  Вода 45%
  400 г
  Соль %
  Вода %
  Решение:
  

• 9 слайд

  Общий подход к данному типу задач:
  - масса соли в I растворе
  - масса соли во II растворе
  - масса соли при смешивании
  Процентное содержание соли в смеси:
  
  
  
  Р1m1
  100
  
  P2m2
  100
  
  P1m1+p2m2
  100
  P1m1 + p2m2
  100
  
  ٠100
  m1 + m2
  P =
  p1m1 + p2m2
  =
  m1 + m2
  p1m1 + p2m2 = p (m1 + m2)
  

• 10 слайд

  б) Отлили часть раствора (отрезали кусок сплава).
  Пример2: От куска сплава золота с серебром массой 500 г и 10% содержанием золота отрезали 20 г. Определите количество золота и серебра в отрезанном куске.
  

• 11 слайд

  Пример2: От куска сплава золота с серебром массой 500 г и 10% содержанием золота отрезали 20 г. Определите количество золота и серебра в отрезанном куске.
  
  Золото 10 %
  Серебро 90 %
  Золото 10 %
  Серебро 90 %
  отрезали
  500г
  20 г
  1) 20 ٠0,1 = 2 г 2) 20 ٠ 0,9 = 18 г
  

• 12 слайд

  Пример3: Руда содержит 40% примесей, а выплавленный металл 4% примесей. Сколько получится металла из 24 т руды?
  

• 13 слайд

  Пример3: Руда содержит 40% примесей, а выплавленный металл 4% примесей. Сколько получится металла из 24 т руды?
  
  Чистый металл 60%
  Примеси 40%
  Руда 24 т
  Чистый металл 96%
  Примеси 4%
  Металл х т
  Процесс плавки
  24 ٠ 0,4 = 9,6 т
  24 – 9,6 = 14,4 т
  Х – 0,04 х = 0,96 х
  0,96 х = 14,4
  Х = 15
  

• 14 слайд

  Пример 4: В двух литрах водного раствора, содержащего 60% кислоты добавили 4 литра чистой воды.
  Определить % содержание кислоты в новом растворе?
  

• 15 слайд

  Пример 4: В двух литрах водного раствора, содержащего 60% кислоты добавили 4 литра чистой воды.
  Определить % содержание кислоты в новом растворе?
  Ответ можно получить по рассмотренной ранее формуле:
  P =
  P1V1 + P2V2 60 ٠ 2 + 0 ٠ 4 60 ٠ 2
  V1 + V2 2 + 4 6
  =
  =
  = 20%
  

• 16 слайд

  Пример 5: Сколько литров воды нужно добавить в 2 литра водного раствора, содержащего 60 % кислоты, чтобы получить 20 % раствора кислоты?
  

• 17 слайд

  Пример 5: Сколько литров воды нужно добавить в 2 литра водного раствора, содержащего 60 % кислоты, чтобы получить 20 % раствора кислоты?
  
  Арифметический способ:
  2 ٠3 = 6 л.
  6л – 2л = 4л
  Алгебраический способ:
  0,6 ٠ 2 = 0,2 (х + 2)
  Х = 4
  

• 18 слайд

  Пример 6: Сколько л. воды нужно выпарить из 20л раствора, содержащего 80% воды, чтобы получить раствор, содержащий 75% воды?
  
  

• 19 слайд

  
  Пример 6: Сколько л. воды нужно выпарить из 20л раствора, содержащего 80% воды, чтобы получить раствор, содержащий 75% воды?
  
  
  Примеси в водном растворе
  100% - 80% = 20%
  Стало:
  100% - 75% = 25%
  Примеси увеличилось в
  25 : 20 = 1,25 раза
  20 : 1,25 = 16л
  20 – 16 = 4л
  Объем уменьшить в 1,25 раза
  

• 20 слайд

  Пример 7: Сплав состоящий из двух металлов весит 18 кг. После того как из него выделили 40% первого и 25% второго, в нем первого металла осталось столько же, сколько второго. Сколько килограмм каждого металла было первоначально в сплаве?
  

• 21 слайд

  
  
  Система уравнений:
  
  
  
  
  Ответ: 10 кг,8кг.
  Пример 7: Сплав состоящий из двух металлов весит 18 кг. После того как из него выделили 40% первого и 25% второго, в нем первого металла осталось столько же, сколько второго. Сколько килограмм каждого металла было первоначально в сплаве?
  

• 22 слайд

  Пример 8: Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 тонн стали с содержанием никеля 30%.
  

• 23 слайд

  
  
  
  
  Система уравнений:
  
  
  
  
  Ответ: 40тонн, 100 тонн.
  Пример 8: Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 тонн стали с содержанием никеля 30%.
  
  

• 24 слайд

  в) Задачи на многократные переливания.
  Пример 1:
  В ведре находится 10 литров чистого, а в баке 20 литров 40 % раствора этого спирта. Некоторое количество спирта из ведра перелили в бак, полученную смесь перемешали и точно такое же количество перелили обратно. Эту операцию повторили несколько раз, соблюдая следующие условия: в ведро переливают такое же количество раствора, какое перед этим перелили в бак; после каждого переливания раствор тщательно перемешивают. После нескольких описанных операций в ведре оказался 70 % раствор спирта. Определите % концентрацию раствора спирта в баке.
  
  

• 25 слайд

  Пример 1:
  В ведре находится 10 литров чистого, а в баке 20 литров 40 % раствора этого спирта. Некоторое количество спирта из ведра перелили в бак, полученную смесь перемешали и точно такое же количество перелили обратно. Эту операцию повторили несколько раз, соблюдая следующие условия: в ведро переливают такое же количество раствора, какое перед этим перелили в бак; после каждого переливания раствор тщательно перемешивают. После нескольких описанных операций в ведре оказался 70 % раствор спирта. Определите % концентрацию раствора спирта в баке.
  Самое важное в задаче заключается в следующем: общее количество спирта в ведре и баке после всех переливаний не изменилось.
  Первоначально спирта было 10 + 8 = 18 л. спирта.
  
  В конце процесса в ведре
  10 + 8 = 18
  10 ▪ 0,7 = 7 л
  18 – 7 = 11 л
  11 ▪ 100
  20
  %
  =
  55%
  

• 26 слайд

  Пример 2:
  В ведре находится 10 л чистого спирта, а в баке 20 л 75 % раствора спирта. Некоторое количество спирта переливают в бак, точно такое же количество смеси переливают обратно. В результате в ведре оказался 90 % раствор спирта. Сколько л спирта перелили из ведра в бак?
  

• 27 слайд

  Пример 2:
  В ведре находится 10 л чистого спирта, а в баке 20 л 75 % раствора спирта. Некоторое количество спирта переливают в бак, точно такое же количество смеси переливают обратно. В результате в ведре оказался 90 % раствор спирта. Сколько л спирта перелили из ведра в бак?
  В баке
  0,75 ٠ 20 = 15 л
  спирта, а вместе
  10 + 15 = 25 л.
  После двух переливаний в ведре
  0,9 ٠ 10 = 9 л
  спирта
  Доля спирта в баке
  16
  20
  =
  0,8
  
  После двух переливаний
  0,8 х л спирта
  .
  В баке осталось
  15 + х – 0,8х = 15 + 0,2х
  
  А в баке
  25 – 9 = 16 л спирта
  х – количество переливаемого раствора
  Перелитый в ведро раствор содержит 0,8 х л спирта
  
  15 + 0,2 х = 16
  Х = 5
  

• 28 слайд

  Пример 3: В двух одинаковых сосудах объемом по 30 л каждый, содержится всего 30 л спирта. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12 л новой смеси. Сколько л. Спирта было первоначально в первом сосуде, если во втором сосуде оказалось на 2 л спирта меньше, чем в первом.
  

• 29 слайд

  Пример 3: В двух одинаковых сосудах объемом по 30 л каждый, содержится всего 30 л спирта. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12 л новой смеси. Сколько л. Спирта было первоначально в первом сосуде, если во втором сосуде оказалось на 2 л спирта меньше, чем в первом.
  В 1 сосуде оказалось 16 л, а во 2 – 14 л спирта.
  Пусть было первоначально в 1 сосуде х л, а во 2 (30 – х) л спирта.
  
  После доливания водой первого
  сосуда спирт составляет всего объема.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Х
  30
  Х ▪
  Х
  
  30
  =
  х2
  30
  Л.,
  Стало:
  30 – х +
  х2
  30
  л.
  Доля спирта
  30 – х +
  х2
  30
  30
  В 12 л смеси:
  12
  ▪
  30 – х +
  х2
  30
  30
  12 -
  =
  2х
  5
  +
  х2
  75
  . Во 2 сосуде осталось:
  или 14 л спирта.
  18 -
  3х х2
  5 50
  +
  = 14
  Ответ: Х1 = 10
  Х2 = 20
  Во второй сосуд перелили
  

• 30 слайд

  Г) Более сложные задачи:
  Пример 1: Имеется 2 сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что 1 сплав содержит 40 % олова, а второй 26 % меди. % содержание цинка в 1 и 2 сплаве одинаковое. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30 % цинка. Определите, сколько кг олова содержится в получившемся новом сплаве?
  

• 31 слайд

  250 ▪ 0,3 = 75(кг) цинка 2 сплав
  250 ▪ 0,26 = 65(кг) меди 2 сплав
  250 – (75+65) = 110(кг) олово во 2 сплаве
  150 ▪ 0,4 = 60(кг) олово в 1 сплаве
  110 + 60 =170(кг) олово в 3 сплаве.
  

• 32 слайд

  Пример 2: Из 2 растворов с различным процентным содержанием спирта и массой m и n отлили по одинаковому количеству спирта. Каждый из отлитых растворов долили в остаток от другого раствора, после чего % содержание спирта в обоих полученных растворах стало одинаковым. Сколько раствора было отлито из каждого сосуда?
  

• 33 слайд

  
  
  Пример 2:
  Из 2 растворов с различным процентным содержанием спирта и массой m и n отлили по одинаковому количеству спирта. Каждый из отлитых растворов долили в остаток от другого раствора, после чего % содержание спирта в обоих полученных растворах стало одинаковым. Сколько раствора было отлито из каждого сосуда?
  
  
  Уравнение:
  am – ax + вx
  m
  =
  вn – вx + ax
  n
  Х =
  mn
  m + n
  Геометрическая иллюстрация:
  
  а – частей спирта в 1 сосуде
  в – частей спирта во 2 сосуде
  Т. к в обоих растворах процентное содержание спирта одинаково, то получим уравнение:
  

• 34 слайд

  Пример 1: Арифметический старинный способ
  В каких пропорциях нужно смешать раствор 50 % и 70 % кислоты, чтобы получить раствор 65 %
  кислоты?
  50
  70
  65
  5
  15
  5 : 15 = 1 : 3
  

• 35 слайд

  Алгебраический способ
  х - количество 50% кислоты
  у - количество 70% кислоты
  (х+у) - количество смеси
  
  
  Ответ: 1:3
  

• 36 слайд

  Алгоритм решения задач на смеси и сплавы:
  1. Выбор неизвестных.
  2. Выбор чистого вещества.
  3. Переход к долям.
  4. Отслеживание состояния смеси или сплава.
  5. Составление уравнения или выполнение действий.
  6. Формирование ответа.
  

• 37 слайд

  Тестовые задания
  

• 38 слайд

  1. К 80 г 15% раствора соли добавили 20 г воды. Определите концентрацию получившегося раствора.
  A) 10% B) 12% C) 20% D) 8%.
  
  2. Сплав меди и олова массой 16 кг содержит 55% олова. Сколько чистого олова надо добавить в сплав, чтобы получившийся новый сплав имел 60% олова.
  A) 2 кг B) 3 кг C) 5 кг D) 10 кг.
  
  3. Из двух сплавов, которые содержат 60% и 80% железа, требуется получить 40 кг сплава с 75% содержанием железа сколько килограммов каждого сплава следует взять?
  A) 24 кг и 16 кг B) 20 кг и 20 кг C) 10 кг и 30 кг D) 25 кг и 15 кг.
  
  4. Чтобы получить 50% раствор кислоты надо к 30 г 15% раствора кислоты добавить 75% раствор этой же кислоты. Найдите количество 75% раствора кислоты, которое надо добавить.
  A) 20 г B) 10 г C) 40 г D) 42 г.