Презентация по теории вероятностей: для подготовки к ЕГЭ по математике

Подготовка к ЕГЭ по математике

Теория вероятности

Д. В. Агеев

Теория вероятности

23 октября 2016 г.

Об авторе

Агеев Дмитрий Владимирович — преподаватель подготовительных курсов ФГБОУ ВПО КемГУ.

E-mail: [e-mail]

Содержание

Литература

Классическое определение вероятности

Число сочетаний

Умножение и сложение вероятностей

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Повторение испытаний. Формула Бернулли

Различные задачи

Литература

 ЕГЭ-2016: Математика: 30 вариантов / под ред.

И. В. Ященко. 2016

 Математика: учеб. для ссузов / Н. В.

Богомолов, П. И. Самойленко. 2010

Вероятностью P(A) события A называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события A, к числу n всех

исходов:

m

                                                                              P(A) =   .

n

Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы: 0 6 P(A) 6 1. Невозможному событию соответствует вероятность P(A) = 0, а достоверному – вероятность P(A) = 1.

Пример. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. НВТЧ вынутый шар окажется чёрным.

Решение.

Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через A. Общее число случаев n = 5 + 3 = 8. Число случаев m,

благоприятствующих появлению события A, равно

3. Отсюда P.

Ответ: 0,375.

Задача 1

В коробке 10 синих шаров, 2 красных шара и 8 зеленых. НВТЧ взятый наугад шар будет зеленым.

Общее число различных исходов есть n = 10 + 2 + 8 = 20. Число благоприятствующих исходов равно m = 8. Согласно классическому определению вероятностей: m      8

P = = = 0,4. n    20

Ответ: 0,4.

Задача 2 [2015]

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достанется один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Первый способ (классическое определение вероятности): .

Второй способ: .

Ответ: 0,92.

Задача 3 [2015]

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 из

Норвегии. Порядок выступления спортсменов определяется жребием. НВТЧ спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

В данном случае нет разницы, когда выступит спортсмен из Швеции: _4+7+9+5⁹      = 0,36.

Ответ: 0,36.

Задача 4 [2015]

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом. Всего участвуют 26 спортсменов, среди которых 10 россиян, в том числе Руслан. НВТЧ в первом туре Руслан будет играть с бадминтонистом из России?

Руслан может сыграть с 9 россиянами из 25

спортсменов. Значит искомая вероятность равна

.

Ответ: 0,36.

Число сочетаний

Пусть 0 6 k 6 n, тогда сочетаниями из n элементов по k называются такие наборы элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n по k обозначается C_n^k и вычисляется по формуле: k        n!

Cn =     , k!(n − k)!

где n! = 1 · 2 · ... · n,0! = 1 — факториал числа n.

Другими словами число сочетаний из n по k — это число способов выбрать k элементов из n, не обращая внимание на порядок следования элементов.

Задача 5 (Число сочетаний)

Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 чёрных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся чёрными?

Решение

Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров через A. Общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 12 + 8 = 20 по 2:

n .

Число случаев m, благоприятствующих событию A, составляет

m .

Отсюда искомая вероятность

28

                                                            P(A) =    = 0,147.

190

Ответ: 0,147.

Задача 6 (Число сочетаний)

В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.

Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5, то есть

n .

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию A. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных.

Число способов выборки двух бракованных деталей их 4 имеющихся бракованных равно

C.

Число способов выборки трёх качественных деталей из 14 имеющихся качественных деталей равно

C.

Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных, поэтому общее число комбинаций

m .

Отсюда искомая вероятность события A равна

m                   2184

                                                P(A) =         =             = 0,255.

n                       8568

Ответ: 0,255.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность P(A₁A₂...A_n) совместного появления нескольких независимых друг от друга событий

A₁,..., A_n с вероятностями P(A₁),..., P(A_n) вычисляется по формуле

P(A₁A₂...A_n) = P(A₁) · P(A₂) · ... · P(A_n).

Пример. НВТЧ сумма выпавших очков на двух игральных кубиках равна 12.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность P(A₁ + A₂ + ... + A_n) хотя бы одного из нескольких попарно несовместных событий

A₁,..., A_n с вероятностями P(A₁),..., P(A_n) вычисляется по формуле

P(A₁+A₂+...+A_n) = P(A₁)+P(A₂)+...+P(A_n).

Пример. НВТЧ сумма выпавших очков на двух игральных кубиках равна 7.

Задача 7

В урне находятся 7 белых и 5 черных шаров. НВТЧ два наудачу вынутых шара окажутся чёрными.

Решение Ответ: .

Задача 8

В первой урне находятся 4 белых и 7 черных шаров, во второй – 5 белых и 3 черных шара. Из каждой урны вынимают по шару. НВТЧ оба шара чёрные.

Решение Ответ: .

Задача 9 [2015]

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9,

если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные.

Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение

ВТЧ Джон возьмет пристреленный пистолет и

промахнется равна . ВТЧ

Джон возьмет непристрелянный пистолет и

промахнется равна . Поскольку нас устроит хотя бы одно из двух событий, то искомая вероятность равна 0,04 + 0,42 = 0,46.

Ответ: 0,46.

Задача 10

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно

набрать хотя бы 9 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает

5 очков, в случае ничьей — 4 очка, если проигрывает — 0 очков.

Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение Ответ: .

Пусть события (гипотезы) B₁,..., B_n образуют полную группу событий, то есть

P(B₁) + ... + P(B_n) = 1

и при наступлении каждого из них, например B_i, событие А может наступить с некоторой условной вероятностью P(A|B_i).

Тогда вероятность наступления события A равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события A:

P(A) = P(B₁) · P(A|B₁) + ... + P(B_n) · P(A|B_n) — формула полной вероятности.

Если событие A уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса:

P(B_i) · P(A|B_i)

                                                P(B_i|A) =    .

P(A)

Задача 11

На склад поступили детали с трёх станков. На первом станке изготовлено 40% деталей от их общего количества, на втором — 35% и на третьем 25%, причём на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором — 80% и на третьем — 70%. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?

Решение

Введём следующие обозначения: B_i — деталь изготовлена на i-м станке (i = 1,2,3), A — деталь оказалась первого сорта. Из условия следует, что

P(B₁) = 0,4, P(B₂) = 0,35, P(B₃) = 0,25,

P(A|B₁) = 0,9, P(A|B₂) = 0,8 и P(A|B₃) = 0,7.

Следовательно,

P(A) = P(B₁)·P(A|B₁)+P(B₂)·P(A|B₂)+P(B₃)·

P(A|B₃) = 0,4·0,9+0,35·0,8+0,25·0,7 = 0,815.

Ответ: 0,815.

Задача 12

В первом ящике имеются 8 белых и 6 чёрных шаров, а во втором — 10 белых и 4 чёрных. Наугад выбирают ящик и шар. Известно, что вынутый шар — чёрный. Найти вероятность того, что был выбран первый ящик.

Введём обозначения: B_i — был выбран i-й ящик

(i = 1,2); A — при проведении двух последовательных испытаний выбора ящика и выбора шара был вынут чёрный шар. Тогда

P.

Вероятность извлечения чёрного шара после того, как выбран первый ящик, равна

                                                        P      .

Вероятность извлечения чёрного шара после того, как выбран второй ящик, равна

                                                        P      .

По формуле полной вероятности находим вероятность того, что вынутый шар оказался чёрным:

P(A) = P(B₁) · P(A|B₁) + (B₂) · P(A|B₂) =

                                     .

Искомая вероятность вычисляется по формуле Байеса:

P(B.

P

Ответ: 0,6.

Повторение испытаний. Формула Бернулли

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом их которых вероятность появления события A равна p, наступит ровно k раз, находится по формуле Бернулли:

Pnk = Cnkpk(1 − p)n−k.

Задача 13

Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет p = 0,8. Найти вероятность четырёх попаданий при шести выстрелах.

Решение

Воспользуемся формулой Бернулли. Здесь n = 6, k = 4, p = 0,8. По формуле Бернулли находим

P.

Ответ: 0,246.

Различные задачи Различные задачи Задача 14 ([1] В1 №4)

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. НВТЧ решка выпадет все три раза.

Ответ: 0,125.

Задача 15 ([1] В2 №4)

В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. НВТЧ орёл выпадет ровно 2 раза.

Ответ: 0,375.

Задача 16 ([1] В3 №4)

В классе 21 шестиклассник, среди них два друга — Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек в каждой. НВТЧ Митя и Петя окажутся в одной группе.

Нас устроит, если Митя и Петя окажутся в любой из трех групп. Допустим,

событие A — оба попали в 1-ю группу, событие B — оба попали во 2-ю группу, событие C — оба попали в 3-ю группу. Эти события несовместны и любое из них нас устроит.

Решение

По теореме сложения вероятностей найдем

P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C).

В свою очередь событие A состоит из двух зависимых событий:

A₁ — что Митя окажется в 1-ой группе, A₂ — что Петя окажется в 1-ой группе.

По определению вероятности

P(A₁) =  и P.

Таким образом P.

Аналогично рассуждая, найдем P(B) = 0,1 и P(C) = 0,1.

Поэтому искомая вероятность

P(A + B + C) = 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3.

Ответ: 0,3.

Задача 17 ([1] В4 №4)

Игральную кость бросают дважды. НВТЧ оба раза выпало число, большее 3.

Ответ: 0,25.

Задача 18 ([1] В5 №4)

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. НВТЧ решка не выпадет ни разу.

Ответ: 0,25.

Задача 19 ([1] В6 №4)

При артеллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена.

Вероятность уничтожения цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем — 0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение Ответ: 4.

Задача 20 ([1] В7 №4)

На фабрике керамической посуды 30% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 60% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. НВТЧ случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение Ответ: 0,85.