Презентация по ТОНКМ с методикой обучения на тему "Отношения и соответствия"

• 1 слайд

  Отношения и соответствия
  План:
  Отношения между элементами одного множества.
  Понятие отношения, способы задания.
  Свойства отношений.
  Отношение эквивалентности и порядка.
  Соответствие между элементами двух множеств.
  Понятие соответствия, способы задания.
  Взаимно однозначные соответствия.
  Задания для самостоятельной работы.
  Вопросы для самоконтроля.
  

• 2 слайд

  В математике рассматривают связи между элементами одного множества и называют их отношениями.
  Если рассматривают отношения между двумя элементами, то их называют бинарными.
  Отношения многообразны:
  между понятиями – это отношения род и вида, части и целого;
  между предложениями – это отношения следования и равносильности;
  между числами – «больше», «меньше», «равно», «больше на…» и т. п.
  

• 3 слайд

  Пусть на множестве 𝑿={𝟐,𝟒,𝟔} задано отношение «больше».
  Это значит: 𝟔>𝟒, 𝟔>𝟐, 𝟒>𝟐. Полученные неравенства можно записать в виде упорядоченных пар: 𝟔;𝟒 , 𝟔;𝟐 , 𝟒;𝟐 – это элементы декартового произведения 𝑿×𝑿. Т.е. отношение «больше» является подмножеством множества 𝑿×𝑿.
  Обозначение: 𝑹,𝑺,𝑻,𝑷 и др. – отношения
  Читают:
  𝒙𝑹𝒚 -«элементы х находится в отношении R с элементом y»
  (𝒙,𝒚)∈𝑹
  Если R – отношение на множестве х, то 𝑹⊂𝑿×𝑿
  

• 4 слайд

  Способы задания отношений:
  указание характеристического свойства (𝒙⋮𝒚)
  перечисление всех пар, заданных отношением.
  построение графа (чертеж, состоящий из точек и стрелок)
  Точки – вершины графа
  Стрелки – отношения между элементами.
  Пример. 𝑺−x<y на множестве 𝑿= 𝟏,𝟑,𝟒,𝟕 .
  
  1
  7
  4
  3
  { 1;3 , 1;4 , 1;7 , 3;4 , 3;7 ,(4;7)}
  

• 5 слайд

  Рассмотрим на множестве отрезков на рис.1 отношения
  перпендикулярности
  равенства
  «длиннее»  
   
   
   
   
   
   Рисунок1 
  Построим графы данных отношений. Сравним их и выделим свойства.
  
  

• 6 слайд

  Рисунок 2 «Граф отношений равенства»
  

• 7 слайд

  Рисунок 3 «Граф отношения перпендикулярности»
  

• 8 слайд

  Рисунок 4 «Граф отношения длиннее»
  
  

• 9 слайд

  Определение. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.
  
  
  На графе: «петля» в каждой вершине графа.
  
  
  Рефлексивны отношения:
  равенства (рисунок 2 «каждый отрезок равен сам себе»).
  кратности (каждое N число кратно самому себе).
  подобия.
  
  𝑹 рефлексивно на 𝑿⇔𝒙𝑹𝒙, для ∀𝒙∈𝑿
  

• 10 слайд

  Определение. Отношение R на множестве Х называется симметричны, если из того что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х:
  
  𝑹 симметрично на 𝑿⇔𝒙𝑹𝒚, ⇒ 𝒚𝑹𝒙
  
  На графе:
  
  Симметричны отношения:
  перпендикулярности (если а в, то в а).
  равенства (если а = в, то в = а).
  параллельности (если а  в, то в  а).
  

• 11 слайд

  Не обладают симметричностью отношения:
  «длиннее»
  больше, меньше
  Говорят, что они «антисимметричны».
  Определение. Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества Х выполняется условие: из того что х находится в отношении R с элементом х не находится.
  
  𝑹 симметрично на 𝑿⇔𝒙𝑹𝒚 и 𝒙≠𝒚⇒ 𝒚 𝑹 𝒙
  
  

• 12 слайд

  На графе: две вершины соединены только одной стрелкой.
  Существуют отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.
  Пример. Дано отношение «быть сестрой» на множестве детей одной семьи: Катя, Маша, Толя.
  К
  М
  Т
  

• 13 слайд

  Определение. Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементами у и элементы у находится отношении R с элементами p, следует, что элементы х находятся в отношении R с элементами р.
  𝑹 транзитивно на 𝑿⇔𝒙𝑹𝒚 ⇒ 𝒙𝑹𝒑
  
  На графе:
  х
  у
  р
  

• 14 слайд

  Транзитивны отношения:
  равенства (𝒂=𝒃,и 𝒃=с ⇒𝒂=𝒄).
  «длиннее»
  параллельности (𝒂∥𝒃,и 𝒃∥с ⇒𝒂∥𝒄).
  меньше, больше
  Не обладают транзитивностью отношения – перпендикулярности.
  Обратимся к отношению «равенства» на множестве отрезков (рисунок 2).
  Данное отношение обладает свойствами:
  рефлексивность (каждый отрезок равен сам себе);
  симметричность (𝒂=𝒃,⟺𝒃=𝒂 );
  транзитивность (𝒂=𝒃,и 𝒃=с ⇒𝒂=𝒄).
  Говорят, что отношение равенства является отношением эквивалентности.
  
  

• 15 слайд

  Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно.
  Отношение параллельности – отношение эквивалентности.
  Множество отрезков на рисунке 2 разбилось на два подмножества:
  {a,b,d} и {c,e}- подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х.
  {𝑿=𝒂,𝒃,𝒅,𝒄,𝒆}
  Т.е. имеет место разбиение множества Х на классы.
  
  

• 16 слайд

  Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).
  Верно и обратное утверждение.
  Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично.
  Является отношением порядка отношения:
  «меньше»
  «длиннее»
  
  

• 17 слайд

  Изучая окружающий мир, математика рассматривает не только объекты, но главным образом связи между ними. Эти связи называют зависимостями, соответствиями.
  Определение. Соответствием между элементами множества Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.
  Обозначения: R, S, T, Pи др.
  Если S – соответствие между элементами множеств 𝑿 и 𝒀, то 𝑺⊂𝑿×𝒀).
  Способы задания соответствия:
  Указание характеристического свойства а< в, а ∈Х, в ∈ У.
  Перечисление пар элементов
  С помощью графа или графика.
  
   
  
  

• 18 слайд

  
  Пример. S – соответствие «больше» на 𝑿={𝟑,𝟓,𝟕,𝟗} и 𝒀={𝟒,𝟔}
  
  
  5
  X
  У
  𝑆={ 5;4 , 7;4 , 7;6 , 9;4 , 9,6 }
  3
  7
  9
  4
  6
  

• 19 слайд

  
  Построим граф соответствия обратного данному.
  𝑺 −𝟏 – соответствие «меньше» между 𝒀 и 𝑿
  
  
  3
  5
  7
  9
  4
  6
  X
  У
  𝑆 −1 =−{ 4;5 , 6;7 , 4,9 ,(6,9)}
  

• 20 слайд

  Построим граф соответствия обратного данному.
  𝑺 −𝟏 – соответствие «меньше» между 𝒀 и 𝑿
  
  
  3
  5
  7
  9
  4
  6
  X
  У
  𝑆 −1 =−{ 4;5 , 6;7 , 4,9 ,(6,9)}
  Определение. Пусть S – соответствие между элементами множеств Х и У. Соответствие 𝑺 −𝟏 между элементами множеств У и Х называется обратным данному, если у 𝑺 −𝟏 х тогда, когда 𝒙 S 𝒚.
  Соответствия S и 𝑺 −𝟏 называется взаимно обратными. Построим графики взаимно обратных соответствий.
  

• 21 слайд

  Построим граф соответствия обратного данному.
  𝑆 −1 – соответствие «меньше» между 𝑌 и 𝑋
  
  
  
  
  
  Определение. Пусть S – соответствие между элементами множеств Х и У. Соответствие 𝑆 −1 между элементами множеств У и Х называется обратным данному, если у 𝑆 −1 х тогда, когда 𝑥 S 𝑦.
  Соответствия S и 𝑆 −1 называется взаимно обратными.
  Построим графики взаимно обратных соответствий.
  
  
  
  3
  5
  7
  9
  4
  6
  X
  У
  𝑆 −1 =−{ 4;5 , 6;7 , 4,9 ,(6,9)}
  

• 22 слайд

  
  
  
  Графики взаимно обратных соответствий симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатного угла (у = х).
  Определение. Взаимно однозначным соответствием между множеством 𝑿и 𝒀 называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества Х соответствует единственный элемент множества У (и наоборот).
  

• 23 слайд

  
  
  
  Данное соответствие взаимно однозначное, т.к. каждому соответствует единственный
  
  Определение. Множества 𝑿и 𝒀 называются равномощными, если между элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.
  Обозначение. 𝑿~𝒀
  

• 24 слайд

  
  
  
  Свойства отношения равномощности:
  Рефлексивно: каждое множество равномощно самому себе.
  Симметрично: Х~У  У~Х
  Транзитивно: 𝑿~𝒀 и 𝒀~𝑷 𝑿~𝑷
  Так как отношение равномощности рефлексивно, симметрично, транзитивно, то оно является отношением эквивалентности.