Презентация проекта по математике на тему: Диофантовы уравнения

• 1 слайд

  Диофантовы уравнения
  Выполнил: обучающийся 11 «Б» класса
  МБОУ «Гимназия»
  Терехов Даниил
  
  Научный руководитель:
  Терехова Надежда Анатольевна
  учитель математики высшей категории
  
  
  

• 2 слайд

  Цель:
  Систематизировать способы решения линейных диофантовых уравнений.
  Гипотеза:
  умение решать диофантовы уравнения полезно не только при подготовке к математическим олимпиадам и к ЕГЭ, они также могут описывать и бытовые ситуации, встречающиеся на нашем жизненном пути.
  

• 3 слайд

  Задачи:
  познакомиться с теоретическим блоком, связанным с личностью Диофанта-ученого и его математическими исследованиями;
  научиться решать уравнения в целых числах разных уровней сложности и классифицировать методы решений;
  в помощь учителю создать приложение, в которое будет входить подборка разных задач;
  в помощь учителю создать интерактивный тест в формате *.ppt, помогающий определить степень усвоения темы учениками;
  

• 4 слайд

  Методы:
  источниковедческий анализ литературы;
  математическая обработка данных;
  решение уравнений;
  классификация уравнений;
  обобщение
  
  
  Линейные диофантовы уравнения
  
  Объект
  

• 5 слайд

  Практическая значимость моей
  работы заключается в
  использовании ее на углубленных
  занятиях по математике, при
  подготовке к математическим
  олимпиадам и к ЕГЭ.
  

• 6 слайд

  о Диофанте
  Немного
  

• 7 слайд

  Однородное линейное уравнение
  ax + by = 0
  Теорема 1: Если числа a и b взаимно простые, то уравнение имеет бесконечно много решений в целых числах, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством целых чисел Z и описываются формулой:
  
  , где - «номер» решения
  

• 8 слайд

  Общее линейное уравнение
  ax + by = с
  Теорема 2: Если наибольший общий делитель d коэффициентов a и b больше 1, а свободный член с не делится на d, то уравнение ax + by = с не имеет решений в целых числах.
  
  Теорема 3: Любое уравнение ax + by = с, где
  НОД (a;b)=1, имеет хотя бы одно решение в целых числах.
  

• 9 слайд

  метод перебора;
  отношение делимости;
  выделение целой части;
  метод «спуска»;
  алгоритм Евклида
  ax + by = с
  Методы решения линейных уравнений
  

• 10 слайд

  Метод перебора;
  Отношение делимости;
  Выделение целой части
  Задача 1: У осьминога 8 ног, а у морской звезды 5. Сколько в аквариуме тех и других, если всего у них 39 ног?
  Пусть х – количество осьминогов, у – количество морских звезд,
  тогда получаем уравнение
  
  Выразим у через х,
  т.к у – натуральное число, то
  должно делится на 5, значит:
  Ответ: 3 осьминога и 3 звезды.
  

• 11 слайд

  Метод «спуска»
  Задача 2: Решить в целых числах уравнение 79у-23х=1
  Т.к. 79 и 23 взаимно простые числа, то уравнение имеет хотя - бы
  одно решение в целых числах.
  Выразим переменную, имеющую наименьший по модулю коэффициент
  , т.к. х – целое, то
  Продолжим:
  Обозначим
  , пусть
  Делая обратную подстановку, получим:
  
  , значит
  Ответ:
  
  

• 12 слайд

  Задача 2: Решить в целых числах уравнение 79у-23х=1
  Алгоритм Евклида
  Алгоритм Евклида заключается в последовательном делении наибольшего коэффициента на наименьший и предыдущего делителя на предыдущий остаток, нахождении наибольшего общего делителя двух чисел.
  
  Из (3) выразим остаток 1=10 – 3*3, из (2): 3 = 23 – 10*2, тогда
  Из (1) выразим остаток 10 = 79 – 23*3 и подставим в последнее равенство
  Сопоставляя с исходным уравнением 79у-23х=1, получим частное решение
  данного уравнения . Применяя одну из теорем, получим
  общее решение
  .
  

• 13 слайд

  познакомился с теоретическим блоком,
  связанным с личностью Диофанта-ученого и его
  математическими исследованиями;
  научился решать линейные диофантовы
  уравнения;
  классифицировал методы решений;
  в помощь учителю создал приложение, в которое
  поместил подборку разных задач;
  в помощь учителю создал интерактивный тест в
  формате *.ppt, помогающий определить степень
  усвоения темы учениками;
  Выводы:
  

• 14 слайд

  В ходе данного исследования я овладел новыми математическими навыками, научился решать диофантовы уравнения разными методами. На примерах показал, что умение решать диофантовы уравнения полезно не только при подготовке к математическим олимпиадам и к ЕГЭ, они также могут описывать и бытовые ситуации, встречающиеся на нашем жизненном пути.
  Заключение: