Презентация проекта по математике на тему "Неевклидовая геометрия" (10 класс)

• 1 слайд

  Неевклидовая
  Геометрия
  Автор проекта: Мартынов Анатолий, ученик 11 «А» класса.
  Руководитель:
  Учитель математики Гаврилова Галина Фёдоровна.
  

• 2 слайд

  Цели исследования:
  Изучить историю становления геометрии.
  Выявить, существуют ли геометрии, отличные от евклидовой?
  Содержание геометрии Лобачевского.
  Узнать о сферах применения геометрии Лобачевского.
  

• 3 слайд

  Геометрия Евклида
  Первым систематическим изложением геометрии, дошедшим до нашего времени, являются “Начала” – сочинения александрийского математика Евклида.
  Именно «Начала» являются основой евклидовой геометрии, от которой мы и будем отталкиваться. А для этого приведём 5 основных постулатов Евклида:
  

• 4 слайд

  Из каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую;
  Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределённо;
  Из любого центра можно описать окружность любого радиуса;
  Все прямые углы равны;
  И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
  

• 5 слайд

  О чем говорится в V постулате Евклида?
  Если две прямые а и в образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы a и в, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180°; рис. 1), то эти две прямые обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы а и в (составляющие вместе менее 180°).
  

• 6 слайд

  Вообразим, что мы взяли две точки А и В на расстоянии 1 м друг от друга и провели через них две прямые а и в, причем так, что а образует с прямой АВ угол а=90 °, а угол между прямыми в и АВ равен 89 ° 59'59" (рис. 2). Иначе говоря, сумма двух внутренних односторонних углов а и в всего на 1 угловую секунду меньше 180 °.
  Продолжим прямые а и в, пока они не пересекутся в точке С. В результате получится прямоугольный треугольник АВС, у которого угол А прямой, угол при вершине С равен y и составляет 1 угловую секунду. Катет АС этого треугольника имеет длину с/tg y=2,06*105. Следовательно, длина катета АС составляет приблизительно 2,06*105 м= =206 км (на самом деле немного больше).
  
  

• 7 слайд

  В современных аксиоматических изложениях геометрии в качестве неопределяемых терминов обычно рассматриваются точка, прямая, плоскость и некоторые другие. Евклид, однако, стремился определить и эти термины тоже, например:
  точка – это то, что не имеет частей;
  линия – это длина без ширины;
  прямая – это линия, которая равно расположена по отношению к точкам на ней;
  поверхность – это то, что имеет только длину и ширину;
  плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней;
  граница есть то, что является оконечностью чего-либо.
  
  
  Определения
  

• 8 слайд

  Долгое время евклидовая геометрия считалась единственно верной, но потом многие учённые стали оспаривать её. Дальше всех в этом продвинулся русский учённый Н. И. Лобачевский.
  Никола́й Ива́нович Лобаче́вский (20 ноября (1 декабря) 1792, Нижний Новгород
   — 12 (24) февраля 1856, Казань) — русский математик, создатель
   неевклидовой геометрии, деятель университетского образования и народного просвещения. Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии»
  

• 9 слайд

  Лобачевский в течение 40 лет преподавал в Казанском университете, в том числе 19 лет руководил им в должности ректора; его активность и умелое руководство вывели университет в число передовых российских учебных заведений. По выражению Н. П. Загоскина, Лобачевский был «великим строителем» Казанского университета.
  Немного биографии
  Николай — средний из троих сыновей Прасковьи Александровны Лобачевской, мужем которой был чиновник в геодезическом департаменте Иван Максимович Лобачевский (1760—1800).
  В 1802 году Прасковья Александровна отдала всех троих сыновей в Казанскую гимназию, единственную в те годы во всей восточной части Российской империи, на «казённое разночинское содержание». Николай Лобачевский окончил гимназию в конце 1806 года, показав хорошие знания, особенно по математике и языкам —латинскому, немецкому, французскому. Вскоре после поступления Николая в гимназию, расширяются возможности для получения дальнейшего образования. 5 ноября 1804 года император Александр I подписывает «Утвердительную грамоту» и «Устав Императорского Казанского университета», куда и поступает Николай.
  

• 10 слайд

  Сохранились студенческие записи лекций Лобачевского (от 1817), где им делалась попытка доказать пятый постулат Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823) он уже отказался от этой попытки. В «Обозрениях преподавания чистой математики» за 1822/23 и 1824/25 Лобачевский указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятия, непосредственно приобретаемые из природы.
  7 февраля 1826 Лобачевский представил для напечатания в Записках физико-математического отделения сочинение: «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке).
  Это сочинение стало первой в мировой литературе серьёзной публикацией по неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского.
  

• 11 слайд

  Лобачевский считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. В качестве альтернативы предлагает другую аксиому: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную. Разработанная Лобачевским новая геометрия не включает в себя евклидову геометрию, однако евклидова геометрия может быть из нее получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна.
  (1) евклидова геометрия; (2) геометрия Римана; (3) геометрия Лобачевского
  

• 12 слайд

  Две несовпадающие прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо являются расходящимися
  Прямые в геометрии Лобачевского:
  

• 13 слайд

  Плоскости Лобачевского
  

• 14 слайд

  Геометрия Лобачевского
  Лобачевский построил новую геометрию, откинув постулат Евклида, заменив его другим, прямо противоположным по смыслу: “Через точку А вне прямой а в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, проходит по крайней мере две прямые с и в не имеющие общей точки с прямой а”.
  
  

• 15 слайд

  Модель Лобачевского
  Одной из первых моделей, в которой «работает» геометрия Лобачевского, является круг. Неевклидовыми точками будут считаться те, которые расположены внутри него. Точки, лежащие на окружности исключаем из рассмотрения. Прямыми будем считать хорды данной окружности. Из точки A проведем хорду AB. Концы данной хорды лежат на окружности, следовательно мы принять их не можем, все же точки, лежащие внутри круга и принадлежащие хорде AB являются неевклидовыми и мы их можем принять во внимание, но какое бы малое расстояние мы не брали приближаясь к точке A, все равно будет существовать еще более маленькое, еще более близкое к точке A. Отсюда можно сделать вывод: хорда AB не имеет четко определенного начала и конца, следовательно AB – прямая. 
  Пусть даны неевклидова прямая AB и точка C вне ее. Бесконечное множество прямых, проходящих через точку C , не пересекают хорду-прямую AB. А следовательно аксиома Лобачевского верна для этой модели.
  

• 16 слайд

  И данная модель не получила противоречия.
  Отсюда следует, что таких прямых может быть бесконечное количество.
  Доказывая много десятков теорем, не обнаруживая логических противоречий, Лобачевскому пришла в голову догадка о непротиворечивости такой геометрии, он назвал её воображаемой.
  В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без использования пятого постулата.
  
  

• 17 слайд

  Например:
  вертикальные углы равны;
  углы при основании равнобедренного треугольника равны;
  из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр
  и др.
  

• 18 слайд

  Однако, теоремы, где применяется аксиома параллельности прямых, видоизменяются:
  Теорема о сумме углов треугольника готовит первый “сюрприз”: в геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180°. Разность между 180° и суммой углов треугольника положительна и называется дефектом (D) этого треугольника.
  Формула для площади треугольника S=k*D, то есть площадь связана с его дефектом. Самую большую площадь имеет треугольник с нулевыми углами, а его стороны имеют бесконечную длину.
  

• 19 слайд

  В геометрии Лобачевского:
  Два неравных равносторонних треугольника имеют неравные углы.
  В геометрии Лобачевского не существует подобных фигур.
  Если углы одного треугольника равны соответственно углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
  Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону есть кривая линия, которая называется эквидистантой.
  
  

• 20 слайд

  Ученые не раз отмечали, что Лобачевский своею геометрией совершил прорыв в методологии математики, указал принципиальную «возможность построения многих непротиворечивых геометрий, которые истинны с математической точки зрения». 
  Добавим — не только геометрий, но и действительных миров. Тем самым ученый еще прочнее объединил в союз не только физику и математику, но и математику и философию.
  

• 21 слайд

  Геометрия Лобачевского включает в себя геометрию Евклида не как частный, а как особый случай. Изучение свойств пространств в общем виде составляет теперь неевклидову геометрию, или геометрию Лобачевского.
  Пространство Лобачевского есть пространство трех измерений, отличающееся от нашего тем, что в нем не имеет места постулат Евклида.
  Основываясь на работах Лобачевского и постулатах Римана, Альберт Эйнштейн создал теорию относительности, подтвердившую искривленность нашего пространства. Теория Эйнштейна была многократно подтверждена астрономическими наблюдениями, в результате которых стало ясно, что геометрия Лобачевского является одним из фундаментальных представлений об окружающей нас Вселенной.
  

• 22 слайд

  Но помимо Лобачевского были и другие учённые, которые пытались подтвердить или опровергнуть геометрию Евклида. А именно:
  

• 23 слайд

  Исследования Саккери
  Гипотезу тупого угла, допускающую существование четырехугольника, у которого четвертый угол ф тупой, Саккери отверг при помощи строгого рассуждения. Однако доказать, что и гипотеза острого угла неверна, ни сам Саккери, ни его последователи не смогли. Неприступная "крепость" пятого постулата осталась непокоренной.
  Итальянец Саккери рассматривал четырехугольник с тремя прямыми углами (рис. 3). Четвертый угол (обозначим его через ф) мог оказаться прямым, тупым или острым. Саккери установил, что гипотеза прямого угла, т.е. утверждение о том, что четвертый угол ф всегда равен 900, позволяет доказать пятый постулат. Иначе говоря, гипотеза прямого угла представляет собой новую аксиому, эквивалентную пятому постулату.
  
  

• 24 слайд

  Исследования Лежандра
  Французского математик Адриен Мари Лежандр, в каждом издании книги, посвященной евклидовой геометрии, приводил рассуждение, в котором, по его мнению, доказывался пятый постулат.
  Но неизменно в следующем издании автор, признавая, что в его рассуждении использовалось некое утверждение (не сформулированное им явно) - "очевидное", но в действительности представлявшее собой новую аксиому, эквивалентную пятому постулату.
  Ни одна из попыток Лежандра не привела к успеху.
  
  

• 25 слайд

  Исследования Гаусса
  Гаусс обратился к теории параллельных в 1792 г. Сначала он надеялся доказать пятый постулат, но затем пришел к мысли о построении новой геометрии, которую назвал неевклидовой.
  В 1817 г. в одном из писем признался: "Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана". Но обнародовать эти идеи он не решился из боязни быть непонятым.
  Гаусс не опубликовал ни один из своих результатов, хотя из его писем и личных бумаг видно, что он разработал основные положения неевклидовой геометрии.
  
  

• 26 слайд

  Исследования Януша Больяй
  Творцом новой геометрии стал так же и венгерский математик Янош Больяй (1802 - 1860). В отличие от Гаусса он стремился распространить свои идеи, но большинство математиков тогда еще не были готовы их воспринять.
  
  Результаты Яноша Больяя были сжато изложены в 1832 г. в приложении книге его отца, Фаркаша Больяя. Труд Я. Больяя "Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)" обычно кратко называют "Аппендикс" (от лат. "приложение").
  
  

• 27 слайд

  Какой геометрией
  описывается мир,
  в котором мы живём?
  ?
  

• 28 слайд

  Сейчас вселенная расширяется, но если масса вещества всей вселенной превысит определенный порог, то расширение сменится сжатием, то есть пространство будет искривлено таким образом, что луч света, однажды покинув одну точку, вернется обратно, а это значит, мы живем в мире эллиптической геометрии Римана. Если массы не хватит, то вселенная будет расширяться неограниченно, а значит, мы живем в мире гиперболической геометрии Лобачевского.
  

• 29 слайд

  Геометрия Лобачевского в нашем мире
  Геометрия Лобачевского находит свое применение в различных науках и областях деятельности человека, например:
  в географии
  в теории чисел
  в теории относительности
  в астрономии
  в релятивистской физике
  в физике высоких энергий
  в теории функции комплексного переменного
  

• 30 слайд

  Заключение:
  Когда Евклид формулировал 5 постулат, вряд ли он знал, какую бурю тот вызовет.
  Лобачевский, отказавшись от 5 постулата, не знал, что его «воображаемая геометрия» на поверку окажется реальной.
  Доказательства к геометрии Евклида существуют, но они не всегда работают, как например физика Ньютона.
  Для жизненного пользования вполне подходит и евклидовая геометрия, поэтому от неё никто не отказывается, и её преподают в школах.
  Неевклидовые геометрии существуют, и они не противоречат геометрии Евклида полностью, а только лишь её части.
  Нельзя сказать, что неевклидовая геометрия единственно правильная. Может быть через несколько лет она устареет и окажется неверной.
  Неевклидовая геометрия изучается так как, она может описать всё пространство целиком, в отличии от евклидовой.
  

• 31 слайд

  Использованные ресурсы:
  http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=336056
  https://ru.wikipedia.org/wiki
  Энциклопедия по математике «Аванта».
  Александров Г.С. «Несколько слов по поводу Лобачевского».
  Джавард Тарджеманов «Юность Лобачевского» (http://www.livelib.ru/book/1000903665)
  и т.д.
  

• 32 слайд

  Спасибо за внимание!