Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Видеоуроки / Презентация "Уроки проекты в конкурсе - Антарас"

Презентация "Уроки проекты в конкурсе - Антарас"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Урок математики в 11 классе

МОБУ Тумаковская СОШ

Учитель: Пичковская Галина Михайловна.


hello_html_50682e2.gif


hello_html_mf257501.gifhello_html_7d4d72ff.gif

hello_html_m51433c19.gif


Развитие и образование ни одному человеку

не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто

желает к ним приобщиться, должен достигнуть

этого собственной деятельностью, собственными

силами, собственным напряжением. Извне он

может получить только возбуждение.


А.Дистервег.

hello_html_484cb962.gifhello_html_63820548.gifУрок повторения, обобщения

и систематизации знаний.


Методы обучения:

Словестно-иллюстративный, частично-поисковый, исследовательский, творческий, интерактивные методы.

Формы организации деятельности: фронтальная, дифференцируемая самостоятельная работа, индивидуальная, групповая.

Оборудование:

  • Компьютеры

  • Медиапроектор.

  • Презентация в PowerPoint - ЦОР

  • Учебники, тетради, лист самооценки.


Средства мотивации:

  • Создание мотивации поиска;

  • Обеспечение обратной связи;

  • Опора на любознательность детей;

  • Опора на предыдущие знания;

  • Создание презентации – проекта.


Цели урока:

  • Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений;

  • закрепить знания четырех способов отбора корней при решении тригонометрических уравнений: арифметический, алгебраический, геометрический и функционально-графический;

  • способствовать развитию творческих способностей учеников при отборе корней в тригонометрических уравнениях различными способами;

  • способствовать формированию умений применять сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию;

  • обобщить, углубить знания школьников по изученной теме;

  • структурировать и систематизировать большой объём материала;

  • применить ЦОР на уроке как источник информации и наглядность, презентовать результаты исследовательской деятельности;

  • способствовать развитию внимания;

  • воспитывать учебно-познавательный интерес к математике;

  • формировать коммуникативные качества и умения оценивать себя и других, побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.



Задачи:


Образовательные:

  • совершенствовать умения решать тригонометрические уравнения и отбирать корни различными способами, организуя работу в группах, следить за работоспособностью;

  • формировать навыки самостоятельной работы с учебным материалом через использование новых технологий (ЦОР);

  • научить учащихся извлекать и анализировать, обрабатывать и обобщать полученную информацию в ходе исследований и сбора материала по данной теме;

  • планировать и активизировать свою творческую деятельность, проверять результаты.


Развивающие:

  • развивать потребность в нахождении рациональных способов отбора корней в тригонометрических уравнениях;

  • развивать логическое мышление, наблюдательность, умение сравнивать и анализировать;


Воспитательные:

  • воспитывать любовь к математике, трудолюбие, создавать условия для активной творческой работы;

  • воспитывать умение контролировать внимание на всех этапах урока.



Учащиеся должны знать

  • определение тригонометрических уравнений и решение простейших тригонометрических уравнений;

  • способы отбора корней в тригонометрических уравнениях;




Учащиеся должны уметь

  • применять способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и отбирать корни рациональным способом.







Объявление прогнозируемых результатов:

В ходе занятия обучающиеся смогут:

  • Перечислять способы отбора корней в тригонометрических уравнениях;

  • Распознавать четыре способа отбора корней в решенных уравнениях;

  • Объяснять, почему они выбрали тот или иной способ отбора корней в тригонометрических уравнениях, высказывая своё мнение.

  • Использовать исторические источники: фрагмент текста из дополнительной литературы;

  • Применять приёмы сравнения, анализа, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию;

  • Работать в группах, демонстрировать наглядно продукт исследовательской деятельности;

  • Соотносить по карточкам способы отбора корней в тригонометрических уравнениях;

  • Решать дома тригонометрические уравнения и отбирать корни четырьмя способами дифферкнцированно.


Методический комментарий.

    • Обратить внимание учащихся на важность темы урока.

    • Тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней, часто встречаются в тематических тестах ЕГЭ в заданииС1;
      решение таких задач позволяет закрепить и углубить ранее полученные знания учащихся.


hello_html_m3ae358b8.gifhello_html_31562cd.gif






hello_html_m6f011fb1.gif

1.Самоопределение к деятельности. Организационный момент.

2.Актуализация знаний и умений, по теме: «Тригонометрические уравнения и способы отбора корней в тригонометрических уравнениях»:

а) Вводная беседа учителя.

б) Устная работа.

в) Проверка домашнего задания (критерии у каждого обучающегося в листе самооценки).

г) Математическая эстафета (отработка формул).

д) Презентация: «История возникновения тригонометрических уравнений».

3. Работа по теме урока:

3.1. Математический диктант (на компьютере). ( Оценивается работа автоматически - самопроверка)

3.2. Групповая работа: Постановка проблемы, представление презентаций мини-проектов.

3.2. Интерактивные упражнения: Дискуссия по презентациям мини-проектов.

4. Физминутка ( Для глаз гимнастика).

5.Дифференцируемая самостоятельная работа.

6. Контроль познавательной деятельности.

7. Домашнее задание.

8. Рефлексия.











hello_html_7afa3a1d.gif

1. Организационный момент.


Добрый день!

Сегодня у нас необычный урок. Это урок-проект, к которому вы, ребята, готовились заранее. Урок пройдёт плодотворно и интересно. Данная тема: «Тригонометрические уравнения и способы отбора корней в тригонометрических уравнениях» занимает 26 часов учебного времени при подготовке к ЕГЭ на факультативных занятиях. В начале нашего знакомства с темой стоял глобальный основополагающий вопрос:

« Какова роль различных способов и методов отбора корней в тригонометрических уравнениях», на который сегодня на двухчасовом занятии мы ответим, решив проблемный вопрос: « Важно ли знать несколько способов отбора корней?».


Этап 1: Ориентировочно – мотивационный.

2.Актуализация знаний и умений.


  • Вводная беседа учителя. (3мин.)


- Один начинающий волшебник, герой шуточной песенки, неумело обращался с заклинаниями, в результате вместо грозы у него получилась коза, а вместо утюга – слон. Чтобы решать уравнения, нужно совершать ряд преобразований, и делать это следует очень осмотрительно, чтобы у нас не получилось так, как у волшебника. Решив уравнение задания С1 с развернутым ответом, допускаются различные способы решения и различные способы и методы отбора корней. Главное требование – решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений выбранного метода решений. Ученик, знающий несколько приемов отбора корней, может при решении задачи выбрать более рациональный.

- Сегодня на уроке мы повторим, обобщим, приведём в систему изученные способы, методы отбора корней в тригонометрических уравнениях и решим проблему «Важно ли знать несколько способов отбора корней в тригонометрических уравнениях?».

  • Проверка домашнего задания. (5мин.)

На компьютере заготовлено домашнее задание. Ученики отвечают по готовым записям. Работа ведётся фронтально, но пары обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку.

Найти ошибки:

аhello_html_1955911b.jpg) Решить уравнение 4 sin2x +8siтxcosx+10 cos2x =3 и найти корни на промежутке [п;3п]



Способом алгебраическим:

hello_html_63698c00.jpg


Проверка на компьютере: ( верный ответ)

hello_html_m3212825c.jpg

Таким образом, ошибка состояла при отборе корней, где в данном случае алгебраическим способом не рационально было найти все корни, и один корень потерян, а вот функционально-графическим методом все корни можно увидеть наглядно.



2). Найти ошибку:

hello_html_m28ce26fe.jpg



(верный ответ):

hello_html_m9bbe1a3.jpg

В этом уравнении ошибка была в решении уравнения sin2x=1|2 и поэтому ответ не верный.

Результаты выполнения домашнего задания заносятся учащимися в оценочный лист. (Критерии: за 2 задания – 5 баллов, за 1 верно – 4 балла, за первую часть, верно выполненную в обоих уравнениях -3 балла).


  • Устная работа:.(На компьютере).


  • РАССТАВЬТЕ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ:

hello_html_39cf806d.jpg


  • РАССТАВЬТЕ В ПОРЯДКЕ ВОЗРАСТАНИЯ:


hello_html_122bc39c.jpg


  • СРАВНИТЕ ЧИСЛА:


hello_html_402601aa.jpg


Математическая эстафета


Повторение. Полезно вспомнить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (экран).





Значения

а

Уравнение

Формулы решения уравнений

hello_html_m7554e7c0.png

sinx=a

hello_html_4283d4fe.png

hello_html_4e641b15.png

sinx=a

уравнение решений не имеет

а=0

sinx=0

hello_html_m3ad3c3c0.png


а=1


sinx= 1

hello_html_m5b161db0.png

а= -1

sinx= -1

hello_html_m6dee6274.png

hello_html_m7554e7c0.png

cosx=a

hello_html_52bd1fdb.png

hello_html_4e641b15.png

cosx=a

уравнение решений не имеет

а=0


cosx=0

hello_html_m23d87a2b.png

а=1

cosx= 1

hello_html_4513d8ae.png

а= -1

cosx= -1

hello_html_m65f0485.png

hello_html_m43f763a0.png

tgx=a

hello_html_107cb77b.png

hello_html_m43f763a0.png

ctgx=a

hello_html_d3a39e0.png





При отборе корней в тригонометрических уравнениях запись решений уравнений sinx=a, сosx=a в виде совокупности более оправдана. В этом мы убедимся при решении задач.



По одному ученику ребята подбегают к доске и решают уравнения по вариантам, затем проверяется правильность решения на компьютере и ребята отмечают в своих листах набранные баллы (за каждое правильно решенное задание 1 балл).



  • Обучающиеся разбиты на две команды по пять человек: 1 вариант - 1 команда, 2 вариант – 2 команда.






hello_html_7e1bf095.jpg



  • Исторические сведения возникновения тригонометрических уравнений. (Слайд №9, №10, №11, №12,)


hello_html_m7206efc4.gif

hello_html_1ab29721.gif

hello_html_m2bb8cd4a.gif

hello_html_3d28f1f0.gif

Этап 2 ; Операционно-исполнительный.

3. Обобщение изучаемой темы.

3.1. Разминка – упражнения для активизации внимания и эмоциональной разрядки.

    • Математический диктант: (Проверка на компьютере).

hello_html_5ed31550.jpg

Ответы:



hello_html_m5999fb8a.jpg

Обучающиеся проверяют правильность решения и заносят баллы в оценочный лист.


  • 3.2. Интерактивный метод; Словестно-информационный.




Групповая работа:

Давайте перейдём к демонстрации презентаций ваших мини-проектов, которые вы приготовили по группам за несколько уроков. Каждый проект имеет своё название. ( Заслушаем выступление одного представителя от группы), а пока один человек выступает, другие слушают и делают некоторые для себя заметки.




hello_html_2f000b5d.gif



Арифметический способ отбора корней в процессе решения тригонометрических уравнений.

Данный способ отбора корней связан с вычислением корней при переборе значений целочисленного параметра или нахождением значений тригонометрических выражений непосредственной подстановкой при проверке корней.

Рассмотрим пример, в котором используется арифметический способ отбора корней.

а) непосредственная подстановка.

Решить уравнение:

hello_html_m791cc661.jpg

б)учет области определения или множества значений функций.

Используем таблицу:

hello_html_m5a0cc1e4.jpg

hello_html_5ddef347.jpg

в) Перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.


hello_html_m37a4f04.jpg

hello_html_m205630.jpg


hello_html_3253358.gifАрифметический способ не требует от обучающегося каких – то специальных умений. Требуется лишь уверенное владение таблицей значений тригонометрических функций и формулами приведения. Однако этот способ становится неэффективным в следующих случаях:

  • Заданные ограничения охватывают большой промежуток, последовательный перебор значений параметров приводит к громоздким вычислениям;

  • Серии решений содержат нетабличные значения обратных тригонометрических функций;

  • Требуется определить количество корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям.



hello_html_m3c482989.gif

Алгебраический способ отбора корней.

Алгебраический способ отбора корней наиболее удобен в тех случаях, когда последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным трудностям. Промежуток для отбора корней большой, а значения обратных тригонометрический функций, входящих в серии решений, не являются табличными, поэтому проще применять отбор коней неравенством.


Решить уравнение

3sin2x = 10 cos2x – 2/

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m529cc8d0.png.

Решение. В этой задаче производится отбор корней в промежуток, который задается условием задачи. Отбор корней в промежуток можно выполнять двумя способами: перебирая значения переменной для целых чисел или решая неравенство.

В данном уравнении отбор корней проведем первым способом, а в следующей задаче – путем решения неравенства.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла для синуса. Получим уравнение

6sinxcosx = 10cos2xsin2xcos2x, т.е. sin2x – 9cos2x+ 6sinxcosx = 0hello_html_67ec918e.png, т.к. в противном случае sinx = 0, что не может быть, так как не существует углов, для которых одновременно синус и косинус равные нулю в виду sin2x+ cos2x = 0.

Разделим обе части уравнения на cos2x. Получим tg2x+ 6tgx – 9 = 0/

Пусть tgx = t, тогда t2+ 6t – 9 = 0, t1 = 2,t2 = –8.

tgx = 2 или tg = –8; hello_html_7ff671b7.png

Рассмотрим каждую серию отдельно, находя точки внутри промежуткаhello_html_m529cc8d0.png, и по одной точке слева и справа от него.

1) hello_html_m2be6e030.png.

Если к=0, то x=arctg2. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=1, то x=arctg2+hello_html_16a1d600.png. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=2, то hello_html_me27d126.png. Ясно, что данный корень не принадлежит нашему промежутку.

Мы рассмотрели одну точку справа от данного промежутка, поэтому к=3,4,… не рассматриваются.

Если к = –1, получим hello_html_5755e694.png– не принадлежит промежутку hello_html_m692640e2.png.

Значения к = –2, –3,…не рассматриваются.

Таким образом, из данной серии два корня принадлежат промежутку hello_html_m529cc8d0.png

Это hello_html_m36178c53.png

2) hello_html_32b05b2b.png

Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при п = 0 и п = 2, а, следовательно, при п = –1, –2,…п = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку hello_html_m529cc8d0.png. Лишь при п=1 получим hello_html_m3dda97d4.png, принадлежащий этому промежутку.

Ответ: hello_html_74b9d2e0.png



Рассмотрим ещё один пример решения уравнения,где отбор корнейпроведем с помощью двойного неравенства:





hello_html_1a3f3e6a.jpg

hello_html_m6b19b10b.jpg

hello_html_be5293.gifАлгебраический способ более эффективен, когда промежуток для отбора корней достаточно большой и применение арифметического способа приводит к сложным и объемным вычислениям, геометрического – к громоздким построениям.


hello_html_m2392cf0a.gif

Геометрический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях.

Геометрический способ отбора корней сводится к изображению решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств на числовой окружности. Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2п, или в случае, когда значения обратных тригонометрических функций, входящих в серию решений, не являются табличными.



Задача. Решить уравнение hello_html_389664b7.png

Решение. Данное уравнение равносильно следующей системе

hello_html_7559b730.png

Далее имеем:

hello_html_m4675cfe1.png

Рассмотрим окружность. Отметим на ней корни каждой системы и отметим дугой ту часть окружности, где выполняется неравенство hello_html_m119f9b9c.png(рис. 1)

hello_html_62326bb7.png

Получаем, что hello_html_12a7695a.pngне может быть решением исходного уравнения.

Ответ: hello_html_13dc4c99.png

Тригонометрическую окружность использовауем в примере, где требуется выяснить общие корни:

hello_html_m7bc2644c.jpg

Следующий пример связан с отбором корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям:

Когда период функции превышает 2п, то вместо тригонометрической окружности удобно использовать числовую прямую, например:

hello_html_mdd40755.jpg

hello_html_be5293.gifТаким образом применение единичной окружности или координатной прямой сводится в основном к правильной записи чисел, соответствующих точкам единичной окружности. Основная трудность лежит на решение тригонометрических неравенств и их изображение на числовой окружности или прямой.




hello_html_552cacd2.gif

Функционально-графический способ отбора корней уравнения.

При решении простейших тригонометрических неравенств иногда используют графики тригонометрических функций. При этом подходе требуется умение схематического построения графика тригонометрической функции и применение формул корней соответствующих уравнений.


  • Решить уравнение: 2cosx - √2)/(√2sinx-1)

hello_html_m573c272c.jpg

hello_html_m47b3efc3.jpg



hello_html_be5293.gifС помощью графиков удобно иллюстрировать решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.


hello_html_m67630680.gifЛюбое тригонометрическое уравнение из ЕГЭ – это-задание С1, можно решить своим способом и получить 1 балл на экзамене за правильное решение, а второй балл получить за отбор корней на заданном промежутке таким способом, который более рациональный, но какой, надо всегда подумать, чтобы выбрать более удобный для данного примера и конечно такой, который обучающийся знает лучше других, чтобы быть уверенным в правильности решения задания.


3 .3. Итерактивные упражнения - Работа в группах:

Выясняем преимущества каждого метода над остальными способами отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

1 группа и 3 группа получают следующее задание: Решить уравнение: (2sinx+1)( 2sinx-√3)=0 и найти корни, удовлетворяющие неравенству cosx>0

во время дискуссии ребята из группы 3 приходят к выводу, что это уравнение проще и быстрее решить геометрическим способом с помощью числовой окружности, а 1 группа решает непосредственной подстановкой в уравнение. (На доске представители от групп записывают своё решение и рассматривают оба способа).

1 группа:

hello_html_m5faeaf2c.jpg

  • 3 группа:

hello_html_m1ff37882.jpg


Группе 2 и группе 4 дается следующее задание:


Решить уравнение

(1- 2 sinx) ( ctgx -1)=0 и найти корни на промежутке [п/2; 2п ].

Решение одинаково у каждой группы, проверяется на доске, а выбор корней каждая группа решает своим способом:


hello_html_m1361dc27.jpg


  • Группа 4 отстаивает свою точку зрения графическим способом.






hello_html_23c4f356.jpg




  • 2группа решает алгебраическим способом путем решения двойного неравенства.

hello_html_54cac9c4.jpg



Частные вопросы по ходу обсуждения:

Доказать правильность применения каждого способа решения тригонометрических уравнений? Сопоставить способы решения уравнения? Решить удобным способом отбор корней в данном уравнение?

В чём уникальность графического способа? (Красота. Наглядность. Простота.) В каких случаях лучше использовать графический метод? (Когда необходимо определить число корней уравнения не на большом промежутке). Сформулировать идею графического способа решения уравнений? Продемонстрировать решение конкретным способом? Перечислить аналитические приёмы, с помощью которых можно решить конкретное уравнение? Что это за метод, который вы защищаете? Перенесите свои знания в другую ситуацию.

Обсуждения: Проводим сравнительный анализ рассмотренных способов решения и методов отбора корней в тригонометрических уравнениях. Отмечаем преимущества и недостатки каждого метода.

Составить схему обобщения коллективно(Слайд №26).


hello_html_27a99c28.gif


hello_html_mb216cb9.gifПравильно выбранный способ отбора корней в тригонометрических уравнениях часто позволяет существенно верно найти корни на промежутке, упростить решение, поэтому все изученные нами способы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы отбирать корни в тригонометрических уравнениях наиболее рациональным способом. Поэтому решать задания С1 из ЕГЭ нужно стараться каждому обучающимуся.

Таким образом, мы наглядно убедились, что необходимо уметь использовать hello_html_m36d9a003.gifспособы для отбора корней в тригонометрических уравнениях. И знать их важно. Проблема, поставленная в начале урока, решена.




Этап 3: Рефлексивно-оценочный

Подведение итогов урока- проекта.

Критерии проекта учитываем для каждой группы, а также работу каждого ученика во время обсуждения. (Проставит каждый отвечающий в оценочные листы себе баллы во время групповой работы).




Предмет математики настолько

серьезен, что

полезно не упускать случаев

делать его немного

занимательным.

Паскаль.



Дифференцируемая самостоятельная работа (по выбору учащихся) в тетрадях: Решить уравнения.



1. Решить уравнение на «3» удобным способом и найдите корни

cos3x=cos5x+cosx, если hello_html_659ef401.png

Ответ: hello_html_m31b8759e.png



2. Решить уравнение и найти корни на промежутке [ п;2п] двумя способами по выбору. на «4».



hello_html_m443ef841.png

Ответ: hello_html_3e4c9bfc.png;

Указание. При решении уравнения после возведения в квадрат и замены переменной отбор корней можно осуществить в квадратном уравнении.





3. Решить уравнение и найти корни на промежутке [ п/2; 2п] всеми четырьмя способами.

На «5».



hello_html_m73f29d8.png

Ответ: hello_html_m1a31cd8c.png













Домашнее задание:



Решить уравнение.

1.hello_html_m951243f.png на промежутке [п:4п] выбрать корни.

2.hello_html_m479163f8.png

3.hello_html_mc46eb74.png

Необязательное задание.

Решить уравнение

hello_html_m65cbaf68.pngи выбрать корни на промежутке [п/2; 3п/2]


Оценки за урок:


Шатковская Валентина–«5»,Беккер Николай – «4»,Франц Ольга –«4».

Ворсина Виктория –«4», Сухлецова Анастасия – «3», Димова Алена –«3».

Лалетина Надежда –«3», Саусин Сергей– «3»,

Мочкаева Алена – «3», Штаб Елена - «3».




Оценочный лист учащегося.


Задания

Количество баллов

Работа на уроке: мини-проект


Домашнее задание


Устная работа


Математический диктант


Итоговое количество баллов


Оценка


Критерии оценок:

«5» - 18-20 баллов.

«4» - 15-17 баллов.

«3» - 9-14 баллов.

Менее 9 баллов оценка «2».




Рефлексия.




hello_html_m7332fe93.gif


hello_html_m659e9a30.gif




















hello_html_m77496fc3.pnghello_html_1af856ad.pnghello_html_m2ef30903.png


57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 06.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Видеоуроки
Просмотров84
Номер материала ДВ-506633
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх