Презентация "Уроки проекты в конкурсе - Антарас"

Урок математики в 11 классе

МОБУ Тумаковская СОШ

Учитель: Пичковская Галина Михайловна.

Развитие и образование ни одному человеку

не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто

желает к ним приобщиться, должен достигнуть

этого собственной деятельностью, собственными

силами, собственным напряжением. Извне он

может получить только возбуждение.

А.Дистервег.

Урок повторения, обобщения

и систематизации знаний.

Методы обучения:

Словестно-иллюстративный, частично-поисковый, исследовательский, творческий, интерактивные методы.

Формы организации деятельности: фронтальная, дифференцируемая самостоятельная работа, индивидуальная, групповая.

Оборудование:

• Компьютеры

• Медиапроектор.

• Презентация в PowerPoint - ЦОР

• Учебники, тетради, лист самооценки.

Средства мотивации:

• Создание мотивации поиска;

• Обеспечение обратной связи;

• Опора на любознательность детей;

• Опора на предыдущие знания;

• Создание презентации – проекта.

Цели урока:

• Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений;

• закрепить знания четырех способов отбора корней при решении тригонометрических уравнений: арифметический, алгебраический, геометрический и функционально-графический;

• способствовать развитию творческих способностей учеников при отборе корней в тригонометрических уравнениях различными способами;

• способствовать формированию умений применять сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию;

• обобщить, углубить знания школьников по изученной теме;

• структурировать и систематизировать большой объём материала;

• применить ЦОР на уроке как источник информации и наглядность, презентовать результаты исследовательской деятельности;

• способствовать развитию внимания;

• воспитывать учебно-познавательный интерес к математике;

• формировать коммуникативные качества и умения оценивать себя и других, побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Задачи:

Образовательные:

• совершенствовать умения решать тригонометрические уравнения и отбирать корни различными способами, организуя работу в группах, следить за работоспособностью;

• формировать навыки самостоятельной работы с учебным материалом через использование новых технологий (ЦОР);

• научить учащихся извлекать и анализировать, обрабатывать и обобщать полученную информацию в ходе исследований и сбора материала по данной теме;

• планировать и активизировать свою творческую деятельность, проверять результаты.

Развивающие:

• развивать потребность в нахождении рациональных способов отбора корней в тригонометрических уравнениях;

• развивать логическое мышление, наблюдательность, умение сравнивать и анализировать;

Воспитательные:

• воспитывать любовь к математике, трудолюбие, создавать условия для активной творческой работы;

• воспитывать умение контролировать внимание на всех этапах урока.

Учащиеся должны знать

• определение тригонометрических уравнений и решение простейших тригонометрических уравнений;

• способы отбора корней в тригонометрических уравнениях;

Учащиеся должны уметь

• применять способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и отбирать корни рациональным способом.

Объявление прогнозируемых результатов:

В ходе занятия обучающиеся смогут:

• Перечислять способы отбора корней в тригонометрических уравнениях;

• Распознавать четыре способа отбора корней в решенных уравнениях;

• Объяснять, почему они выбрали тот или иной способ отбора корней в тригонометрических уравнениях, высказывая своё мнение.

• Использовать исторические источники: фрагмент текста из дополнительной литературы;

• Применять приёмы сравнения, анализа, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию;

• Работать в группах, демонстрировать наглядно продукт исследовательской деятельности;

• Соотносить по карточкам способы отбора корней в тригонометрических уравнениях;

• Решать дома тригонометрические уравнения и отбирать корни четырьмя способами дифферкнцированно.

Методический комментарий.

• • Обратить внимание учащихся на важность темы урока.

  • Тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней, часто встречаются в тематических тестах ЕГЭ в заданииС1;
    решение таких задач позволяет закрепить и углубить ранее полученные знания учащихся.

1.Самоопределение к деятельности. Организационный момент.

2.Актуализация знаний и умений, по теме: «Тригонометрические уравнения и способы отбора корней в тригонометрических уравнениях»:

а) Вводная беседа учителя.

б) Устная работа.

в) Проверка домашнего задания (критерии у каждого обучающегося в листе самооценки).

г) Математическая эстафета (отработка формул).

д) Презентация: «История возникновения тригонометрических уравнений».

3. Работа по теме урока:

3.1. Математический диктант (на компьютере). ( Оценивается работа автоматически - самопроверка)

3.2. Групповая работа: Постановка проблемы, представление презентаций мини-проектов.

3.2. Интерактивные упражнения: Дискуссия по презентациям мини-проектов.

4. Физминутка ( Для глаз гимнастика).

5.Дифференцируемая самостоятельная работа.

6. Контроль познавательной деятельности.

7. Домашнее задание.

8. Рефлексия.

1. Организационный момент.

Добрый день!

Сегодня у нас необычный урок. Это урок-проект, к которому вы, ребята, готовились заранее. Урок пройдёт плодотворно и интересно. Данная тема: «Тригонометрические уравнения и способы отбора корней в тригонометрических уравнениях» занимает 26 часов учебного времени при подготовке к ЕГЭ на факультативных занятиях. В начале нашего знакомства с темой стоял глобальный основополагающий вопрос:

« Какова роль различных способов и методов отбора корней в тригонометрических уравнениях», на который сегодня на двухчасовом занятии мы ответим, решив проблемный вопрос: « Важно ли знать несколько способов отбора корней?».

Этап 1: Ориентировочно – мотивационный.

2.Актуализация знаний и умений.

• Вводная беседа учителя. (3мин.)

- Один начинающий волшебник, герой шуточной песенки, неумело обращался с заклинаниями, в результате вместо грозы у него получилась коза, а вместо утюга – слон. Чтобы решать уравнения, нужно совершать ряд преобразований, и делать это следует очень осмотрительно, чтобы у нас не получилось так, как у волшебника. Решив уравнение задания С1 с развернутым ответом, допускаются различные способы решения и различные способы и методы отбора корней. Главное требование – решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений выбранного метода решений. Ученик, знающий несколько приемов отбора корней, может при решении задачи выбрать более рациональный.

- Сегодня на уроке мы повторим, обобщим, приведём в систему изученные способы, методы отбора корней в тригонометрических уравнениях и решим проблему «Важно ли знать несколько способов отбора корней в тригонометрических уравнениях?».

• Проверка домашнего задания. (5мин.)

На компьютере заготовлено домашнее задание. Ученики отвечают по готовым записям. Работа ведётся фронтально, но пары обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку.

Найти ошибки:

а) Решить уравнение 4 sin²x +8siтxcosx+10 cos²x =3 и найти корни на промежутке [п;3п]

Способом алгебраическим:

Проверка на компьютере: ( верный ответ)

Таким образом, ошибка состояла при отборе корней, где в данном случае алгебраическим способом не рационально было найти все корни, и один корень потерян, а вот функционально-графическим методом все корни можно увидеть наглядно.

2). Найти ошибку:

(верный ответ):

В этом уравнении ошибка была в решении уравнения sin²x=1|2 и поэтому ответ не верный.

Результаты выполнения домашнего задания заносятся учащимися в оценочный лист. (Критерии: за 2 задания – 5 баллов, за 1 верно – 4 балла, за первую часть, верно выполненную в обоих уравнениях -3 балла).

• Устная работа:.(На компьютере).

• РАССТАВЬТЕ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ:

• РАССТАВЬТЕ В ПОРЯДКЕ ВОЗРАСТАНИЯ:

• СРАВНИТЕ ЧИСЛА:

Математическая эстафета

Повторение. Полезно вспомнить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (экран).

Значения

а

Уравнение

Формулы решения уравнений

sinx=a

sinx=a

уравнение решений не имеет

а=0

sinx=0

а=1

sinx= 1

а= -1

sinx= -1

cosx=a

cosx=a

уравнение решений не имеет

а=0

cosx=0

а=1

cosx= 1

а= -1

cosx= -1

tgx=a

ctgx=a

При отборе корней в тригонометрических уравнениях запись решений уравнений sinx=a, сosx=a в виде совокупности более оправдана. В этом мы убедимся при решении задач.

По одному ученику ребята подбегают к доске и решают уравнения по вариантам, затем проверяется правильность решения на компьютере и ребята отмечают в своих листах набранные баллы (за каждое правильно решенное задание 1 балл).

• Обучающиеся разбиты на две команды по пять человек: 1 вариант - 1 команда, 2 вариант – 2 команда.

• Исторические сведения возникновения тригонометрических уравнений. (Слайд №9, №10, №11, №12,)

Этап 2 ; Операционно-исполнительный.

3. Обобщение изучаемой темы.

3.1. Разминка – упражнения для активизации внимания и эмоциональной разрядки.

• • Математический диктант: (Проверка на компьютере).

Ответы:

Обучающиеся проверяют правильность решения и заносят баллы в оценочный лист.

• 3.2. Интерактивный метод; Словестно-информационный.

Групповая работа:

Давайте перейдём к демонстрации презентаций ваших мини-проектов, которые вы приготовили по группам за несколько уроков. Каждый проект имеет своё название. ( Заслушаем выступление одного представителя от группы), а пока один человек выступает, другие слушают и делают некоторые для себя заметки.

Арифметический способ отбора корней в процессе решения тригонометрических уравнений.

Данный способ отбора корней связан с вычислением корней при переборе значений целочисленного параметра или нахождением значений тригонометрических выражений непосредственной подстановкой при проверке корней.

Рассмотрим пример, в котором используется арифметический способ отбора корней.

а) непосредственная подстановка.

Решить уравнение:

б)учет области определения или множества значений функций.

Используем таблицу:

в) Перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

Арифметический способ не требует от обучающегося каких – то специальных умений. Требуется лишь уверенное владение таблицей значений тригонометрических функций и формулами приведения. Однако этот способ становится неэффективным в следующих случаях:

• Заданные ограничения охватывают большой промежуток, последовательный перебор значений параметров приводит к громоздким вычислениям;

• Серии решений содержат нетабличные значения обратных тригонометрических функций;

• Требуется определить количество корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям.

Алгебраический способ отбора корней.

Алгебраический способ отбора корней наиболее удобен в тех случаях, когда последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным трудностям. Промежуток для отбора корней большой, а значения обратных тригонометрический функций, входящих в серии решений, не являются табличными, поэтому проще применять отбор коней неравенством.

Решить уравнение

3sin2x = 10 cos²x – 2/

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение. В этой задаче производится отбор корней в промежуток, который задается условием задачи. Отбор корней в промежуток можно выполнять двумя способами: перебирая значения переменной для целых чисел или решая неравенство.

В данном уравнении отбор корней проведем первым способом, а в следующей задаче – путем решения неравенства.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла для синуса. Получим уравнение

6sinxcosx = 10cos²x – sin²x – cos²x, т.е. sin²x – 9cos²x+ 6sinxcosx = 0, т.к. в противном случае sinx = 0, что не может быть, так как не существует углов, для которых одновременно синус и косинус равные нулю в виду sin²x+ cos²x = 0.

Разделим обе части уравнения на cos²x. Получим tg²x+ 6tgx – 9 = 0/

Пусть tgx = t, тогда t²+ 6t – 9 = 0, t₁ = 2,t₂ = –8.

tgx = 2 или tg = –8;

Рассмотрим каждую серию отдельно, находя точки внутри промежутка, и по одной точке слева и справа от него.

1) .

Если к=0, то x=arctg2. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=1, то x=arctg2+. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=2, то . Ясно, что данный корень не принадлежит нашему промежутку.

Мы рассмотрели одну точку справа от данного промежутка, поэтому к=3,4,… не рассматриваются.

Если к = –1, получим – не принадлежит промежутку .

Значения к = –2, –3,…не рассматриваются.

Таким образом, из данной серии два корня принадлежат промежутку

Это

2)

Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при п = 0 и п = 2, а, следовательно, при п = –1, –2,…п = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку . Лишь при п=1 получим , принадлежащий этому промежутку.

Ответ:

Рассмотрим ещё один пример решения уравнения,где отбор корнейпроведем с помощью двойного неравенства:

Алгебраический способ более эффективен, когда промежуток для отбора корней достаточно большой и применение арифметического способа приводит к сложным и объемным вычислениям, геометрического – к громоздким построениям.

Геометрический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях.

Геометрический способ отбора корней сводится к изображению решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств на числовой окружности. Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2п, или в случае, когда значения обратных тригонометрических функций, входящих в серию решений, не являются табличными.

Задача. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно следующей системе

Далее имеем:

Рассмотрим окружность. Отметим на ней корни каждой системы и отметим дугой ту часть окружности, где выполняется неравенство (рис. 1)

Получаем, что не может быть решением исходного уравнения.

Ответ:

Тригонометрическую окружность использовауем в примере, где требуется выяснить общие корни:

Следующий пример связан с отбором корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям:

Когда период функции превышает 2п, то вместо тригонометрической окружности удобно использовать числовую прямую, например:

Таким образом применение единичной окружности или координатной прямой сводится в основном к правильной записи чисел, соответствующих точкам единичной окружности. Основная трудность лежит на решение тригонометрических неравенств и их изображение на числовой окружности или прямой.

Функционально-графический способ отбора корней уравнения.

При решении простейших тригонометрических неравенств иногда используют графики тригонометрических функций. При этом подходе требуется умение схематического построения графика тригонометрической функции и применение формул корней соответствующих уравнений.

• Решить уравнение: 2cosx - √2)/(√2sinx-1)

С помощью графиков удобно иллюстрировать решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Любое тригонометрическое уравнение из ЕГЭ – это-задание С1, можно решить своим способом и получить 1 балл на экзамене за правильное решение, а второй балл получить за отбор корней на заданном промежутке таким способом, который более рациональный, но какой, надо всегда подумать, чтобы выбрать более удобный для данного примера и конечно такой, который обучающийся знает лучше других, чтобы быть уверенным в правильности решения задания.

3 .3. Итерактивные упражнения - Работа в группах:

Выясняем преимущества каждого метода над остальными способами отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

1 группа и 3 группа получают следующее задание: Решить уравнение: (2sinx+1)( 2sinx-√3)=0 и найти корни, удовлетворяющие неравенству cosx>0

во время дискуссии ребята из группы 3 приходят к выводу, что это уравнение проще и быстрее решить геометрическим способом с помощью числовой окружности, а 1 группа решает непосредственной подстановкой в уравнение. (На доске представители от групп записывают своё решение и рассматривают оба способа).

1 группа:

• 3 группа:

Группе 2 и группе 4 дается следующее задание:

Решить уравнение

(1- 2 sinx) ( ctgx -1)=0 и найти корни на промежутке [п/2; 2п ].

Решение одинаково у каждой группы, проверяется на доске, а выбор корней каждая группа решает своим способом:

• Группа 4 отстаивает свою точку зрения графическим способом.

• 2группа решает алгебраическим способом путем решения двойного неравенства.

Частные вопросы по ходу обсуждения:

Доказать правильность применения каждого способа решения тригонометрических уравнений? Сопоставить способы решения уравнения? Решить удобным способом отбор корней в данном уравнение?

В чём уникальность графического способа? (Красота. Наглядность. Простота.) В каких случаях лучше использовать графический метод? (Когда необходимо определить число корней уравнения не на большом промежутке). Сформулировать идею графического способа решения уравнений? Продемонстрировать решение конкретным способом? Перечислить аналитические приёмы, с помощью которых можно решить конкретное уравнение? Что это за метод, который вы защищаете? Перенесите свои знания в другую ситуацию.

Обсуждения: Проводим сравнительный анализ рассмотренных способов решения и методов отбора корней в тригонометрических уравнениях. Отмечаем преимущества и недостатки каждого метода.

Составить схему обобщения коллективно(Слайд №26).

Правильно выбранный способ отбора корней в тригонометрических уравнениях часто позволяет существенно верно найти корни на промежутке, упростить решение, поэтому все изученные нами способы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы отбирать корни в тригонометрических уравнениях наиболее рациональным способом. Поэтому решать задания С1 из ЕГЭ нужно стараться каждому обучающимуся.

Таким образом, мы наглядно убедились, что необходимо уметь использовать способы для отбора корней в тригонометрических уравнениях. И знать их важно. Проблема, поставленная в начале урока, решена.

Этап 3: Рефлексивно-оценочный

Подведение итогов урока- проекта.

Критерии проекта учитываем для каждой группы, а также работу каждого ученика во время обсуждения. (Проставит каждый отвечающий в оценочные листы себе баллы во время групповой работы).

Предмет математики настолько

серьезен, что

полезно не упускать случаев

делать его немного

занимательным.

Паскаль.

Дифференцируемая самостоятельная работа (по выбору учащихся) в тетрадях: Решить уравнения.

1. Решить уравнение на «3» удобным способом и найдите корни

cos3x=cos5x+cosx, если

Ответ:

2. Решить уравнение и найти корни на промежутке [ п;2п] двумя способами по выбору. на «4».

Ответ: ;

Указание. При решении уравнения после возведения в квадрат и замены переменной отбор корней можно осуществить в квадратном уравнении.

3. Решить уравнение и найти корни на промежутке [ п/2; 2п] всеми четырьмя способами.

На «5».

Ответ:

Домашнее задание:

Решить уравнение.

1. на промежутке [п:4п] выбрать корни.

2.

3.

Необязательное задание.

Решить уравнение

и выбрать корни на промежутке [п/2; 3п/2]

Оценки за урок:

Шатковская Валентина–«5»,Беккер Николай – «4»,Франц Ольга –«4».

Ворсина Виктория –«4», Сухлецова Анастасия – «3», Димова Алена –«3».

Лалетина Надежда –«3», Саусин Сергей– «3»,

Мочкаева Алена – «3», Штаб Елена - «3».

Оценочный лист учащегося.

Задания

Количество баллов

Работа на уроке: мини-проект

Домашнее задание

Устная работа

Математический диктант

Итоговое количество баллов

Оценка

Критерии оценок:

«5» - 18-20 баллов.

«4» - 15-17 баллов.

«3» - 9-14 баллов.

Менее 9 баллов оценка «2».

Рефлексия.