Проект по математике "Графики улыбаются"

• 1 слайд

  Отдел образования администрации Лежневского муниципального района
  Шилыковская муниципальная средняя общеобразовательная школа
  Проектно-исследовательская работа
  по теме
  «Графики улыбаются»
  Выполнила: ученица 9 класса
  Шилыковской МСО школы
  Попова Екатерина Алексеевна.
  Руководитель: Пухова Лариса
  Станиславовна, учитель математики.
  Шилыково 2012
  

• 2 слайд

  Цель:
  Данная исследовательская работа позволит углубить мои знания по построению графиков линейной, квадратичной функции и даст мне возможность рисовать графиками, а также раскроет новые знания о геометрических преобразованиях графиков, выходящие за рамки школьной программы.
  

• 3 слайд

  Раскрыть возможности простейших преобразований для построения довольно сложных графиков;
  Формировать умения по построению графиков с модулем;
  Закрепить умение строить графики кусочно-элементарных функций;
  Освоить метод применения графиков с модулем в простых ситуациях.
  Задачи:
  

• 4 слайд

  Использование графиков
  в жизни:
  

• 5 слайд

  Начальными графиками
  являются:
  х
  у
  0
  1
  1
  у=х²
  у=х
  у=х
  у=х²
  

• 6 слайд

  1
  -1
  1
  0
  у
  х
  у=х²
  

• 7 слайд

  у
  х
  у=х
  -1
  -1
  1
  1
  0
  

• 8 слайд

  Геометрические
  преобразования
  функций.
  

• 9 слайд

  Правило1.График функции у=f(x)+k получается параллельным переносом графика f(x) в положительном направлении оси Ох на k единиц при k>0 и в отрицательном направлении этой оси на k единиц при k<0.
  
  Правило2.График функции у=af(x) получается растяжением графика f(x) вдоль оси Оу в а раз при а>1 и сжатием вдоль этой оси в 1/a раз при 0<a<1.
  
  Правило3.График у=-f(x) получается симметричным отображением графика f(x) относительно оси Ох.
  
  Правило4.График функции у=f(-x) получается симметричным отображением графика f(x) относительно оси Оу.
  
  Правило5.График функции у=f(x+c) получается параллельным переносом графика f(x) в положительном направлении оси Ох на |с| единиц при с>0 и в отрицательном направлении этой оси на |с|при с>0.
  
  

• 10 слайд

  у
  х
  у=х
  у=х+3
  1
  1
  -1
  -1
  3
  0
  

• 11 слайд

  1
  -1
  1
  0
  у
  х
  у=х²
  у=х²+2
  2
  

• 12 слайд

  y
  x
  0
  1
  -1
  Y= 2X2
  Y= -2,5X2
  Y= 0,3X2
  Y= -0,5X2
  Y= 2X2
  Y= -2,5X2
  Y= 0,3X2
  
  Y= -0,5X2
  

• 13 слайд

  У=(х-4)²
  
  У=х²
  У=(х-4)²
  Параллель-
  ный перенос вправо на 4 единицы.
  

• 14 слайд

  У=-2(х-3)² +4
  
  
  У=х²
  У=2х²-растяжение вдоль оси Оу в 2 раза
  У=-2х²–симметрия относительно оси абцисс
  У= -2(х-3) ² сдвиг вправо на 3
  У=-2(х-3)² +4
  сдвиг вверх на 4 единицы
  

• 15 слайд

  Преобразование графиков
  содержащих модуль
  

• 16 слайд

  Правило6. График функции у=|f(x)|получается из графика функции у=f(x) так: часть графика у=f(x), лежащая над осью Ох сохраняется, часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох.
  
  
  Правило7.График функции у=f(|x|) получается из графика функции у=f(x) так: при х≥0 график у=f(x) cохраняется, и эта же часть графика симметрично отображается относительно оси Оу.
  
  
  Правило8.График зависимости |у|=f(x) получается из графика у=f(x), если все точки, для которых f(x)≥0 сохраняются и они же переносятся симметрично относительно оси абсцисс.
  

• 17 слайд

  у
  х
  у=х
  1
  1
  -1
  -1
  у =| х|
  

• 18 слайд

  1
  -1
  1
  0
  у
  х
  -1
  у=х²-2
  У=|x²-2|
  

• 19 слайд

  y
  2
  3
  1
  -1
  -2
  -2
  1
  2
  x
  0
  у=х²-2|x|
  1)Построим график функции f(x)=x²-2x
  2)Симметрично отобразим относительно
  оси ОУ
  

• 20 слайд

  | У | = | 2 | х | -3 | -1
  У1= | х |
  У2=2| х |-растяжение вдоль оси Оу в 2 раза
  У3= 2 |х |-3 – сдвиг вниз на 3 единицы
  У4= |2 |х |-3 |- симметрия точек графика, для которых у2 <0 , относительно оси Ох
  У5= | 2 | х | -3 | -1-па-раллельный перенос вдоль оси Оу на -1
  У 6=у5
  симметрия точек, для которых у5 ≥0 относительно оси Ох.
  
  
  

• 21 слайд

  Графики
  кусочно-заданных
  функций
  

• 22 слайд

  
  8/х при х≤ -4
  (х+3)²+1
  при-4≤ х ≤ -2
  | х |
  При -2≤ х ≤ 5
  (х-6)²+6
  При 5≤ х ≤ 8
  16/х
  При х>8
  
  
  y=
  

• 23 слайд

  у-=2 2/3 х+38 2/3
  При-16≤ х ≤ -13
  У=4
  при-13≤ х ≤ -3
  3≤ х ≤ 13
  У=-5х-11
  При-4 х ≤ -3
  У=9
  при-6 ≤ х ≤ -4
  4 ≤ х ≤ 6
  У=-1 1/6|х | +16
  при-6 ≤ х ≤ 6
  У=5х-11
  при3≤ х ≤ 4
  У=-2 2/3х+38 2/3
  При13 ≤ х ≤ 16
  У=3х+14
  При -6≤ х ≤ -4
  У=-1/2 | х | -1
  При-6≤ х ≤ 6
  У=-3х+14
  При 4≤ х ≤ 6
  У=-1/2 | х| +4
  При -16≤ х ≤ 6
  6≤ х ≤ 16
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 24 слайд

  Презентация проекта
  «Цыплёнок»
  

• 25 слайд

• 26 слайд

  у=1/5х²-6 -5 ≤х ≤5
  сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раз
  сдвиг вниз на 6 единиц
  у=3-(х+3)² -1≤х≤-5
  сдвиг влево на 3 единицы
  Симметрия относительно оси Ох
  Сдвиг вверх на 3 единицы
  У=1/2(х-1)²-5 -3/2≤х≤7/2
  Сжатие вдоль оси Ох в ½ раза
  Сдвиг вправо на 1 единицу
  Сдвиг вниз на 5 единиц
  

• 27 слайд

  Презентация проекта
  «Лицо»
  

• 28 слайд

• 29 слайд

  У=1/4х²-5 -6≤х≤6
  Сжатие вдоль оси Оу
  Параллельный перенос графика вдоль оси Оу на 5 единиц в отрицательном направлении
  У=1/4х²-3 -2≤х≤2
  Сжатие вдоль оси Оу в ¼ раза
  Параллельный перенос вдоль оси Оу на 3 ед. в отрицательном направлении
  У=-х²+2 -1≤х≤1
  Симметрия относительно оси абсцисс
  Сдвиг вверх на 2 единицы
  У=1/3(х+3)²+2 -5≤х≤1
  Сжатие вдоль оси Ох в 1/3 раза
  Сдвиг влево на 3 единицы
  Сдвиг вверх на 2 единицы
  У=1/5(x-3)²+2 1≤х≤5
  Сжатие вдоль оси Оу в 1/3 раза
  Сдвиг влево на 3 единицы
  Сдвиг вверх на 2 единицы
  У=1/5(х+3)²+4 -5≤х≤-1
  Сдвиг влево на 3 единицы
  Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза
  Сдвиг вверх на 4 единицы
  
  

• 30 слайд

  У=-1/5(х-3)²+4 1≤х≤5
  Симметрия относительно оси абсцисс
  Сдвиг вправо на з единицы
  Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза
  Сдвиг вверх на 4 единицы
  (х+3)²+(у-3)²=1
  Окружность(-3;3) радиус=1
  (х-3)²+(у-3)²=1
  Окружность(3;3) радиус=1
  У=-1/5(х+3)²+5 -5≤х≤-1
  Симметрия относительно оси абсцисс
  Сдвиг влево на 3единицы
  Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза
  Сдвиг вверх на 5 единиц
  У=-1/5(х-3)²+5 -1≤х≤5
  Симметрия относительно оси абсцисс
  Сдвиг вправо на 3единицы
  Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза
  Сдвиг вверх на 5 единиц
  У=-15х²+10 -6 ≤х≤6
  Симметрия относительно оси абсцисс
  Растяжение вдоль оси Оу в 15 раз
  Сдвиг вверх на 10 единиц
  
  
  
  
  

• 31 слайд

  Презентация проекта
  «Человечек»
  

• 32 слайд

• 33 слайд

  у²+х²=36
  Окружность(0;0) радиус=6
  У=3 1≤х ≤3 -3 ≤х ≤-1
  Прямая параллельная оси Ох
  У=1/2х²-4 -2 ≤х ≤2
  Сжатие вдоль оси Оу в ½ раз
  Сдвиг на 4 единицы
  |у|=1 -1 ≤х ≤1
  Прямая параллельная оси Ох
  Симметрия точек, для которых у≥0 относительно оси Ох
  |х|=1 -1 ≤у ≤1
  Прямая параллельная оси Оу
  Симметрия относительно оси Оу
  |у|=14-х 7 ≤х ≤9
  Сдвиг вверх на 14 единиц
  |у|=х 4 ≤х ≤7
  Симметрия точек, для которых у≥0 относительно оси Ох
  

• 34 слайд

  |у|=х+14 -9 ≤х ≤-7
  Сдвиг вверх на 14 единиц
  Симметрия точек,для которых у≥0 относительно оси Ох
  |у|=-х -7 ≤х ≤-4
  Симметрия точек,для которых у≥0 относительно оси Ох
  У=-х²+10 -2 ≤х ≤2
  Симметрия относительно оси абсцисс
  Сдвиг вверх на 10 единиц
  У=6 -3 ≤х ≤3
  Прямая параллельная оси Ох
  
  

• 1 слайд

  Отдел образования администрации Лежневского муниципального района
  Шилыковская муниципальная средняя общеобразовательная школа
  Проектно-исследовательская работа
  по теме
  «Графики улыбаются»
  Выполнила: ученица 9 класса
  Шилыковской МСО школы
  Попова Екатерина Алексеевна.
  Руководитель: Пухова Лариса
  Станиславовна, учитель математики.
  Шилыково 2012
  

• 2 слайд

  Цель:
  Данная исследовательская работа позволит углубить мои знания по построению графиков линейной, квадратичной функции и даст мне возможность рисовать графиками, а также раскроет новые знания о геометрических преобразованиях графиков, выходящие за рамки школьной программы.
  

• 3 слайд

  Раскрыть возможности простейших преобразований для построения довольно сложных графиков;
  Формировать умения по построению графиков с модулем;
  Закрепить умение строить графики кусочно-элементарных функций;
  Освоить метод применения графиков с модулем в простых ситуациях.
  Задачи:
  

• 4 слайд

  Использование графиков
  в жизни:
  

• 5 слайд

  Начальными графиками
  являются:
  х
  у
  0
  1
  1
  у=х²
  у=х
  у=х
  у=х²
  

• 6 слайд

  1
  -1
  1
  0
  у
  х
  у=х²
  

• 7 слайд

  у
  х
  у=х
  -1
  -1
  1
  1
  0
  

• 8 слайд

  Геометрические
  преобразования
  функций.
  

• 9 слайд

  Правило1.График функции у=f(x)+k получается параллельным переносом графика f(x) в положительном направлении оси Ох на k единиц при k>0 и в отрицательном направлении этой оси на k единиц при k<0.
  
  Правило2.График функции у=af(x) получается растяжением графика f(x) вдоль оси Оу в а раз при а>1 и сжатием вдоль этой оси в 1/a раз при 0<a<1.
  
  Правило3.График у=-f(x) получается симметричным отображением графика f(x) относительно оси Ох.
  
  Правило4.График функции у=f(-x) получается симметричным отображением графика f(x) относительно оси Оу.
  
  Правило5.График функции у=f(x+c) получается параллельным переносом графика f(x) в положительном направлении оси Ох на |с| единиц при с>0 и в отрицательном направлении этой оси на |с|при с>0.
  
  

• 10 слайд

  у
  х
  у=х
  у=х+3
  1
  1
  -1
  -1
  3
  0
  

• 11 слайд

  1
  -1
  1
  0
  у
  х
  у=х²
  у=х²+2
  2
  

• 12 слайд

  y
  x
  0
  1
  -1
  Y= 2X2
  Y= -2,5X2
  Y= 0,3X2
  Y= -0,5X2
  Y= 2X2
  Y= -2,5X2
  Y= 0,3X2
  
  Y= -0,5X2
  

• 13 слайд

  У=(х-4)²
  
  У=х²
  У=(х-4)²
  Параллель-
  ный перенос вправо на 4 единицы.
  

• 14 слайд

  У=-2(х-3)² +4
  
  
  У=х²
  У=2х²-растяжение вдоль оси Оу в 2 раза
  У=-2х²–симметрия относительно оси абцисс
  У= -2(х-3) ² сдвиг вправо на 3
  У=-2(х-3)² +4
  сдвиг вверх на 4 единицы
  

• 15 слайд

  Преобразование графиков
  содержащих модуль
  

• 16 слайд

  Правило6. График функции у=|f(x)|получается из графика функции у=f(x) так: часть графика у=f(x), лежащая над осью Ох сохраняется, часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох.
  
  
  Правило7.График функции у=f(|x|) получается из графика функции у=f(x) так: при х≥0 график у=f(x) cохраняется, и эта же часть графика симметрично отображается относительно оси Оу.
  
  
  Правило8.График зависимости |у|=f(x) получается из графика у=f(x), если все точки, для которых f(x)≥0 сохраняются и они же переносятся симметрично относительно оси абсцисс.
  

• 17 слайд

  у
  х
  у=х
  1
  1
  -1
  -1
  у =| х|
  

• 18 слайд

  1
  -1
  1
  0
  у
  х
  -1
  у=х²-2
  У=|x²-2|
  

• 19 слайд

  y
  2
  3
  1
  -1
  -2
  -2
  1
  2
  x
  0
  у=х²-2|x|
  1)Построим график функции f(x)=x²-2x
  2)Симметрично отобразим относительно
  оси ОУ
  

• 20 слайд

  | У | = | 2 | х | -3 | -1
  У1= | х |
  У2=2| х |-растяжение вдоль оси Оу в 2 раза
  У3= 2 |х |-3 – сдвиг вниз на 3 единицы
  У4= |2 |х |-3 |- симметрия точек графика, для которых у2 <0 , относительно оси Ох
  У5= | 2 | х | -3 | -1-па-раллельный перенос вдоль оси Оу на -1
  У 6=у5
  симметрия точек, для которых у5 ≥0 относительно оси Ох.
  
  
  

• 21 слайд

  Графики
  кусочно-заданных
  функций
  

• 22 слайд

  
  8/х при х≤ -4
  (х+3)²+1
  при-4≤ х ≤ -2
  | х |
  При -2≤ х ≤ 5
  (х-6)²+6
  При 5≤ х ≤ 8
  16/х
  При х>8
  
  
  y=
  

• 23 слайд

  у-=2 2/3 х+38 2/3
  При-16≤ х ≤ -13
  У=4
  при-13≤ х ≤ -3
  3≤ х ≤ 13
  У=-5х-11
  При-4 х ≤ -3
  У=9
  при-6 ≤ х ≤ -4
  4 ≤ х ≤ 6
  У=-1 1/6|х | +16
  при-6 ≤ х ≤ 6
  У=5х-11
  при3≤ х ≤ 4
  У=-2 2/3х+38 2/3
  При13 ≤ х ≤ 16
  У=3х+14
  При -6≤ х ≤ -4
  У=-1/2 | х | -1
  При-6≤ х ≤ 6
  У=-3х+14
  При 4≤ х ≤ 6
  У=-1/2 | х| +4
  При -16≤ х ≤ 6
  6≤ х ≤ 16
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 24 слайд

  Презентация проекта
  «Цыплёнок»
  

• 25 слайд

• 26 слайд

  у=1/5х²-6 -5 ≤х ≤5
  сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раз
  сдвиг вниз на 6 единиц
  у=3-(х+3)² -1≤х≤-5
  сдвиг влево на 3 единицы
  Симметрия относительно оси Ох
  Сдвиг вверх на 3 единицы
  У=1/2(х-1)²-5 -3/2≤х≤7/2
  Сжатие вдоль оси Ох в ½ раза
  Сдвиг вправо на 1 единицу
  Сдвиг вниз на 5 единиц
  

• 27 слайд

  Презентация проекта
  «Лицо»
  

• 28 слайд

• 29 слайд

  У=1/4х²-5 -6≤х≤6
  Сжатие вдоль оси Оу
  Параллельный перенос графика вдоль оси Оу на 5 единиц в отрицательном направлении
  У=1/4х²-3 -2≤х≤2
  Сжатие вдоль оси Оу в ¼ раза
  Параллельный перенос вдоль оси Оу на 3 ед. в отрицательном направлении
  У=-х²+2 -1≤х≤1
  Симметрия относительно оси абсцисс
  Сдвиг вверх на 2 единицы
  У=1/3(х+3)²+2 -5≤х≤1
  Сжатие вдоль оси Ох в 1/3 раза
  Сдвиг влево на 3 единицы
  Сдвиг вверх на 2 единицы
  У=1/5(x-3)²+2 1≤х≤5
  Сжатие вдоль оси Оу в 1/3 раза
  Сдвиг влево на 3 единицы
  Сдвиг вверх на 2 единицы
  У=1/5(х+3)²+4 -5≤х≤-1
  Сдвиг влево на 3 единицы
  Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза
  Сдвиг вверх на 4 единицы
  
  

• 30 слайд

  У=-1/5(х-3)²+4 1≤х≤5
  Симметрия относительно оси абсцисс
  Сдвиг вправо на з единицы
  Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза
  Сдвиг вверх на 4 единицы
  (х+3)²+(у-3)²=1
  Окружность(-3;3) радиус=1
  (х-3)²+(у-3)²=1
  Окружность(3;3) радиус=1
  У=-1/5(х+3)²+5 -5≤х≤-1
  Симметрия относительно оси абсцисс
  Сдвиг влево на 3единицы
  Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза
  Сдвиг вверх на 5 единиц
  У=-1/5(х-3)²+5 -1≤х≤5
  Симметрия относительно оси абсцисс
  Сдвиг вправо на 3единицы
  Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза
  Сдвиг вверх на 5 единиц
  У=-15х²+10 -6 ≤х≤6
  Симметрия относительно оси абсцисс
  Растяжение вдоль оси Оу в 15 раз
  Сдвиг вверх на 10 единиц
  
  
  
  
  

• 31 слайд

  Презентация проекта
  «Человечек»
  

• 32 слайд

• 33 слайд

  у²+х²=36
  Окружность(0;0) радиус=6
  У=3 1≤х ≤3 -3 ≤х ≤-1
  Прямая параллельная оси Ох
  У=1/2х²-4 -2 ≤х ≤2
  Сжатие вдоль оси Оу в ½ раз
  Сдвиг на 4 единицы
  |у|=1 -1 ≤х ≤1
  Прямая параллельная оси Ох
  Симметрия точек, для которых у≥0 относительно оси Ох
  |х|=1 -1 ≤у ≤1
  Прямая параллельная оси Оу
  Симметрия относительно оси Оу
  |у|=14-х 7 ≤х ≤9
  Сдвиг вверх на 14 единиц
  |у|=х 4 ≤х ≤7
  Симметрия точек, для которых у≥0 относительно оси Ох
  

• 34 слайд

  |у|=х+14 -9 ≤х ≤-7
  Сдвиг вверх на 14 единиц
  Симметрия точек,для которых у≥0 относительно оси Ох
  |у|=-х -7 ≤х ≤-4
  Симметрия точек,для которых у≥0 относительно оси Ох
  У=-х²+10 -2 ≤х ≤2
  Симметрия относительно оси абсцисс
  Сдвиг вверх на 10 единиц
  У=6 -3 ≤х ≤3
  Прямая параллельная оси Ох
  
  

Введение:

    Данная исследовательская работа позволит углубить мои знания по построению графиков линейной, квадратичной функции, а также  раскроет новые знания о геометрических преобразованиях графиков, выходящие за рамки школьной программы.

Задачи:

·         Раскрыть возможности простейших преобразований для построения довольно сложных графиков;

·         Формировать умения по построению графиков с модулем;

·         Закрепить умение строить графики кусочно-элементарных функций;

·         Освоить метод линейного сплайна для построения графиков, содержащих модуль, научиться применять его в простых ситуациях.

Оглавление:

1.      Титульный лист

2.      Оглавление

3.      Основная часть

4.      Заключение

5.      Литература

6.      Приложения

       На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами не только в математике, но и в других сферах деятельности. С  помощью графиков наиболее естественно отражаются функциональные зависимости одних величин от других.

    Графический способ - один из самых удобных и наглядных способов представления и анализа информации.

   Например, метеорологическая служба фиксирует изменения температуры, строя с помощью термографа (специального прибора, отмечающего температуру на движущейся ленте или на экране дисплея) график температуры.

     Используя показания сейсмографов (приборов, непрерывно фиксирующих колебания почвы и строящих специальные графики-сейсмограммы) геологи могут предсказывать приближение землетрясения или цунами.

    Врачи выявляют болезни сердца, изучая графики, полученные с помощью кардиографа, их называют кардиограммами.

   Широко применяются графики в экономике, в частности кривая спроса и предложения, линия производственных возможностей.

     Я поставила перед собой следующую проблему: как, используя графики некоторых функций, с помощью простейших преобразований (осевой и центральной симметрии, параллельного переноса и т.п.) научиться строить графики более сложных функций. Так как квадратичная функция дает больше возможностей для «накручивания» нескольких преобразований, поэтому  в моих проектах в большей мере присутствуют графики именно квадратичной функции, но вместе с тем я брала также преобразования линейной функции.

    Я повторила известные мне правила геометрических преобразований функций, построила несколько более сложных графиков.(см. приложение лист). Начальными графиками являлись прямая у =х и парабола у =х².

Правило1. График функции у=f(х)+к получается  параллельным переносом графика f(х)  в положительном направлении оси Ох на к единиц при к>0 и в отрицательном направлении этой оси на  |к | при к<0

Правило2. График функции аf(х) получается  растяжением графика f(х) вдоль оси Оу в  а  раз при а >1 и сжатием вдоль этой оси в 1/а раз при

0 < а <1.

Правило3. График функции у = -f(х)получается  симметричным отображением графика f(х) относительно оси Ох.

Правило4. График функции у = f(-х)получается  симметричным отображением графика f(х) относительно оси Оу.

Правило5. График функции у=f(х+с) получается  параллельным переносом графика f(х)  в положительном направлении оси Ох на |с| единиц при с<0 и в отрицательном направлении этой оси на  |с| при с > 0.

Затем, закрепив свои знания о геометрических преобразованиях, я познакомилась с правилами построения графиков, содержащих модуль и научилась применять их к построению графиков с модулем.

Правило6. График функции у= | f(х) | получается из графика функции

у=  f(х) так: часть графика у=  f(х), лежащая над осью Ох сохраняется, часть его , лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох.

Правило7. График функции у= f(| х | ) получается из графика функции

у=  f(х) так: при х ≥0 график у=  f(х)  сохраняется, и эта же часть графика симметрично отображается относительно оси Оу.

Правило 8. График зависимости | у | = f(х )  получается из графика

у=  f(х) , если все точки , для которых f(х) ≥0 сохраняются и они же переносятся симметрично относительно оси абцисс.

 Правда, то, что в итоге получается, нельзя назвать графиком некоторой функции. Так как для того, чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси Оу, пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке. Но поскольку мой проект называется «Графики улыбаются», в результате получаются оригинальные картинки .(см приложение лист)

    Одно из  основных назначений функций- описание реальных процессов, происходящих в природе. Но издавна ученые- философы и естествоиспытатели выделяли два типа протекания этих процессов: постепенное(непрерывное) и скачкообразное. Так, при падении тела на землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения, а в момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется скачкообразно, становясь равной нулю или меняя направление(знак) при «отскоке» тела от земли.

Переход от одной формулы к другой при описании реальных явлений обычно связан с нарушениями, возмущениями течения процесса в отдельные моменты. Со скачкообразным изменением тех или иных его характеристик.  Такой переход иногда может сохранить непрерывность изменения величины,но вызвать излом ее графика. В последнем случае скачком меняется не величина. А скорость ее изменения.

Но раз есть разрывные процессы, то необходимы и средства для их описаний. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие разрывы. Таковой является кусочно-заданная функция.

    Используя полученные знания, я научилась с помощью простейших геометрических преобразований строить графики кусочно- заданных функций. (см приложение лист)

    Подобная сложная конфигурация приводит к мысли, что графиками можно рисовать. Правда, фигуру в координатной плоскости уже нельзя будет называть графиком функции, но зато отдельные ее части этому определению соответствуют.

    Итогом моей работы явились презентации следующих проектов : Лицо», «Человечек»,  «Цыпленок». (см. приложение лист)

При построении графиков можно пофантазировать и достроить рисунок. Можно придумать свои формулы, чтобы картинка получилась оригинальной. Так я . рисуя цыпленка, дорисовала некоторые детали. В результате получился симпатичный цыпленок. Эта картинка построена с помощью 3 графиков, каждый из которых получен из графика у =х² и с помощью простейших геометрических преобразований.

         Проект «Лицо»  представляет собой изображение лица человека, которое построено с помощью 12 сложных графиков. Для всех их исходным также является графики у =х² и у=х. Ход построения изложен ниже.

         Проект  «Человечек»построен из 11 графиков. (см приложение лист)В основном рисунок построен с помощью графиков, которые содержат сразу несколько модулей. Начальными графиками я брала  у=х, у =х², х² +у² =r².

 Заключение:

Итогом моей исследовательской работы явились проекты «Графики улыбаются»: картинки «Лицо»,  «Человечек», «Цыпленок». Я научилась применять метод геометрических преобразований на примере линейной функции и обратной пропорциональности, строить графики, содержащие модуль, строить графики  кусочно - заданных формул.. Я сделала вывод, что графиками можно рисовать. И мои проекты  это иллюстрируют..

         Геометрические преобразования графиков, построение кусочно-заданной функции, графики, содержащие переменную под знаком модуля, позволили мне передать всю красоту математики.

Литература:

Факультативный курс  по математике 7-9  класс. Учебное пособие для средней школы  М. Просвещение, 1991.

Математика 8-9 классы Сборник элективных курсов М.Е.Козина .Волгоград.

Построение картинки «Лицо»

У=1/4 х ² -5                                                      -6≤ х ≤ 6

•         Сжатие вдоль оси Оу

•         Параллельный перенос графика вдоль оси Оу на 5 единиц в отрицательном направлении

У=1/4 х ² -3                                                     -2≤ х ≤ 2

•         Сжатие вдоль оси Оу в ¼ раза

•         Параллельный перенос вдоль оси Оу на 3 ед. в отрицательном направлении

У=-х ² +2                                                          -1≤ х ≤ 1

•         Симметрия относительно оси абцисс

•         Сдвиг вверх на 2 единицы.

У=1/3(х+3) ² +2                                                  -5≤ х ≤ 1

•         Сжатие вдоль оси Ох в 1/3 раза

•         Сдвиг влево на 3 единицы

•         Сдвиг вверх на 2 единицы

У=1/5(х-3) ² +2                                                  1≤ х ≤ 5

•         Сжатие вдоль оси Оу в 1/3 раза

•         Сдвиг влево на 3 единицы

•         Сдвиг вверх на 2 единицы

У=1/5(х+3) ² +4                                               -5≤ х ≤ -1

•         Сдвиг влево на 3 единицы

•         Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза

•         Сдвиг вверх на 4 единицы

У=-1/5(х-3) ² +4 

•         Симметрия относительно оси абцисс           1≤ х ≤ 5

•         Сдвиг вправо на 3 единицы

•         Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза

•         Сдвиг вверх на 4 единицы

(х+3) ² +(у-3) ² =1

•         Окружность(-3,3) радиус=1

(х-3) ² +(у-3) ² =1

Окружность(3,3) радиус=1

У=-1/5(х+3) ² +5

•         Симметрия относительно оси абцисс           -5≤ х ≤ -1

•         Сдвиг влево на 3 единицы

•         Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза

•         Сдвиг вверх на 5 единиц

У=-1/5(х-3) ² +5

•         Симметрия относительно оси абцисс           -1≤ х ≤ 5

•         Сдвиг вправо на 3 единицы

•         Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза

•         Сдвиг вверх на 5 единиц

У=-15х ² +10                                                          -6≤ х ≤ 6

•         Симметрия относительно оси абцисс

•         Растяжение вдоль оси Оу в 15 раз

•         Сдвиг вверх на 10 единиц.

Построение картинки «Человечек»

         У²+х ² =36                                   окружность (0,0) радиус=6

•         У=3                     1≤ х≤ 3     -3 ≤ х ≤ -1          прямая ||  

                                                                    оси 0х

•         У=1/2х²-4         -2≤ х≤ 2            сжатие вдоль оси Оу  в  1/2 р.

                                                         сдвиг вниз на 4 единицы 

•         у |=1            -1≤ х≤ 1

                                                           прямая || оси 0х

                                                           симметрия точек, для

                                                           которых   у≥0

                                                           относительно оси Ох

•         |х |=1                  -1≤у≤ 1

                                                         прямая || оси Оу

                                                         симметрия относительно

                                                                          Оу

•         у |=14-х              7≤ х≤ 9

                                                       сдвиг вверх на 14 ед.                       

•         |у |=х                                                      4 ≤ х ≤ 7

                                                                                   симметрия точек, для  

                                                                          которых  у ≥0 относительно оси Ох

•         у |=х+14                                               -9≤ х ≤ -7

                                                                                 сдвиг вверх на 14 единиц

                                                                         симметрия точек , для которых у≥0

                                                                         относительно оси Ох

•         у |= -х                                                   -7≤ х ≤ -4

                                                                        симметрия точек , для которых

                                                                                             у≥0

                                                                                  относительно оси Ох

•         У=-х²+10                                          -2≤ х ≤ 2

                                                                                            симметрия

                                                                              относительно оси абцисс

                                                                             сдвиг вверх на 10 единиц

•         У=6                                           -3≤ х ≤3

                                        прямая || оси Ох

Построение картинки «Цыпленок»

У=1/5х²-6                                              -5≤ х ≤ 5

•         Сжатие вдоль оси Оу в1/5 раз

•         Сдвиг вниз на 6 единиц

У=3-(х+3)²                                             -1≤ х ≤ -5

•         Сдвиг влево на 3 единицы

•         Симметрия относительно оси Ох

•         Сдвиг вверх на 3 единицы

У=1/2(х-1) ² - 5                                       - 3/2 ≤ х ≤ 7/2

•         Сжатие вдоль оси Ох в ½ раза

•         Сдвиг вправо на 1 единицу

•         Сдвиг вниз на 5 единиц

Введение:

    Данная исследовательская работа позволит углубить мои знания по построению графиков линейной, квадратичной функции, а также  раскроет новые знания о геометрических преобразованиях графиков, выходящие за рамки школьной программы.

Задачи:

·        Раскрыть возможности простейших преобразований для построения довольно сложных графиков;

·        Формировать умения по построению графиков с модулем;

·        Закрепить умение строить графики кусочно-элементарных функций;

·        Освоить метод линейного сплайна для построения графиков, содержащих модуль, научиться применять его в простых ситуациях.

Оглавление:

1.     Титульный лист

2.     Оглавление

3.     Основная часть

4.     Заключение

5.     Литература

6.     Приложения

       На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами не только в математике, но и в других сферах деятельности. С  помощью графиков наиболее естественно отражаются функциональные зависимости одних величин от других.

    Графический способ - один из самых удобных и наглядных способов представления и анализа информации.

   Например, метеорологическая служба фиксирует изменения температуры, строя с помощью термографа (специального прибора, отмечающего температуру на движущейся ленте или на экране дисплея) график температуры.

     Используя показания сейсмографов (приборов, непрерывно фиксирующих колебания почвы и строящих специальные графики-сейсмограммы) геологи могут предсказывать приближение землетрясения или цунами.

    Врачи выявляют болезни сердца, изучая графики, полученные с помощью кардиографа, их называют кардиограммами.

   Широко применяются графики в экономике, в частности кривая спроса и предложения, линия производственных возможностей.

     Я поставила перед собой следующую проблему: как, используя графики некоторых функций, с помощью простейших преобразований (осевой и центральной симметрии, параллельного переноса и т.п.) научиться строить графики более сложных функций. Так как квадратичная функция дает больше возможностей для «накручивания» нескольких преобразований, поэтому  в моих проектах в большей мере присутствуют графики именно квадратичной функции, но вместе с тем я брала также преобразования линейной функции.

    Я повторила известные мне правила геометрических преобразований функций, построила несколько более сложных графиков.(см. приложение лист). Начальными графиками являлись прямая у =х и парабола у =х².

Правило1. График функции у=f(х)+к получается  параллельным переносом графика f(х)  в положительном направлении оси Ох на к единиц при к>0 и в отрицательном направлении этой оси на  |к | при к<0

Правило2. График функции аf(х) получается  растяжением графика f(х) вдоль оси Оу в  а  раз при а >1 и сжатием вдоль этой оси в 1/а раз при

0 < а <1.

Правило3. График функции у = -f(х)получается  симметричным отображением графика f(х) относительно оси Ох.

Правило4. График функции у = f(-х)получается  симметричным отображением графика f(х) относительно оси Оу.

Правило5. График функции у=f(х+с) получается  параллельным переносом графика f(х)  в положительном направлении оси Ох на |с| единиц при с<0 и в отрицательном направлении этой оси на  |с| при с > 0.

Затем, закрепив свои знания о геометрических преобразованиях, я познакомилась с правилами построения графиков, содержащих модуль и научилась применять их к построению графиков с модулем.

Правило6. График функции у= | f(х) | получается из графика функции

у=  f(х) так: часть графика у=  f(х), лежащая над осью Ох сохраняется, часть его , лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох.

Правило7. График функции у= f(| х | ) получается из графика функции

у=  f(х) так: при х ≥0 график у=  f(х)  сохраняется, и эта же часть графика симметрично отображается относительно оси Оу.

Правило 8. График зависимости | у | = f(х )  получается из графика

у=  f(х) , если все точки , для которых f(х) ≥0 сохраняются и они же переносятся симметрично относительно оси абцисс.

 Правда, то, что в итоге получается, нельзя назвать графиком некоторой функции. Так как для того, чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси Оу, пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке. Но поскольку мой проект называется «Графики улыбаются», в результате получаются оригинальные картинки .(см приложение лист)

    Одно из  основных назначений функций- описание реальных процессов, происходящих в природе. Но издавна ученые- философы и естествоиспытатели выделяли два типа протекания этих процессов: постепенное(непрерывное) и скачкообразное. Так, при падении тела на землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения, а в момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется скачкообразно, становясь равной нулю или меняя направление(знак) при «отскоке» тела от земли.

Переход от одной формулы к другой при описании реальных явлений обычно связан с нарушениями, возмущениями течения процесса в отдельные моменты. Со скачкообразным изменением тех или иных его характеристик.  Такой переход иногда может сохранить непрерывность изменения величины,но вызвать излом ее графика. В последнем случае скачком меняется не величина. А скорость ее изменения.

Но раз есть разрывные процессы, то необходимы и средства для их описаний. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие разрывы. Таковой является кусочно-заданная функция.

    Используя полученные знания, я научилась с помощью простейших геометрических преобразований строить графики кусочно- заданных функций. (см приложение лист)

    Подобная сложная конфигурация приводит к мысли, что графиками можно рисовать. Правда, фигуру в координатной плоскости уже нельзя будет называть графиком функции, но зато отдельные ее части этому определению соответствуют.

    Итогом моей работы явились презентации следующих проектов : Лицо», «Человечек»,  «Цыпленок». (см. приложение лист)

При построении графиков можно пофантазировать и достроить рисунок. Можно придумать свои формулы, чтобы картинка получилась оригинальной. Так я . рисуя цыпленка, дорисовала некоторые детали. В результате получился симпатичный цыпленок. Эта картинка построена с помощью 3 графиков, каждый из которых получен из графика у =х² и с помощью простейших геометрических преобразований.

         Проект «Лицо»  представляет собой изображение лица человека, которое построено с помощью 12 сложных графиков. Для всех их исходным также является графики у =х² и у=х. Ход построения изложен ниже.

         Проект  «Человечек»построен из 11 графиков. (см приложение лист)В основном рисунок построен с помощью графиков, которые содержат сразу несколько модулей. Начальными графиками я брала  у=х, у =х², х² +у² =r².

                                              Заключение:

Итогом моей исследовательской работы явились проекты «Графики улыбаются»: картинки «Лицо»,  «Человечек», «Цыпленок». Я научилась применять метод геометрических преобразований на примере линейной функции и обратной пропорциональности, строить графики, содержащие модуль, строить графики  кусочно - заданных формул.. Я сделала вывод, что графиками можно рисовать. И мои проекты  это иллюстрируют..

         Геометрические преобразования графиков, построение кусочно-заданной функции, графики, содержащие переменную под знаком модуля, позволили мне передать всю красоту математики.

                                              Литература:

Факультативный курс  по математике 7-9  класс. Учебное пособие для средней школы  М. Просвещение, 1991.

Математика 8-9 классы Сборник элективных курсов М.Е.Козина .Волгоград.

Построение картинки «Лицо»

У=1/4 х ² -5                                                      -6≤ х ≤ 6

•         Сжатие вдоль оси Оу

•         Параллельный перенос графика вдоль оси Оу на 5 единиц в отрицательном направлении

У=1/4 х ² -3                                                     -2≤ х ≤ 2

•         Сжатие вдоль оси Оу в ¼ раза

•         Параллельный перенос вдоль оси Оу на 3 ед. в отрицательном направлении

У=-х ² +2                                                          -1≤ х ≤ 1

•         Симметрия относительно оси абцисс

•         Сдвиг вверх на 2 единицы.

У=1/3(х+3) ² +2                                                  -5≤ х ≤ 1

•         Сжатие вдоль оси Ох в 1/3 раза

•         Сдвиг влево на 3 единицы

•         Сдвиг вверх на 2 единицы

У=1/5(х-3) ² +2                                                  1≤ х ≤ 5

•         Сжатие вдоль оси Оу в 1/3 раза

•         Сдвиг влево на 3 единицы

•         Сдвиг вверх на 2 единицы

У=1/5(х+3) ² +4                                               -5≤ х ≤ -1

•         Сдвиг влево на 3 единицы

•         Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза

•         Сдвиг вверх на 4 единицы

У=-1/5(х-3) ² +4 

•         Симметрия относительно оси абцисс           1≤ х ≤ 5

•         Сдвиг вправо на 3 единицы

•         Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза

•         Сдвиг вверх на 4 единицы

(х+3) ² +(у-3) ² =1

•         Окружность(-3,3) радиус=1

(х-3) ² +(у-3) ² =1

Окружность(3,3) радиус=1

У=-1/5(х+3) ² +5

•         Симметрия относительно оси абцисс           -5≤ х ≤ -1

•         Сдвиг влево на 3 единицы

•         Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза

•         Сдвиг вверх на 5 единиц

У=-1/5(х-3) ² +5

•         Симметрия относительно оси абцисс           -1≤ х ≤ 5

•         Сдвиг вправо на 3 единицы

•         Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза

•         Сдвиг вверх на 5 единиц

У=-15х ² +10                                                          -6≤ х ≤ 6

•         Симметрия относительно оси абцисс

•         Растяжение вдоль оси Оу в 15 раз

•         Сдвиг вверх на 10 единиц.

Построение картинки «Человечек»

         У²+х ² =36                                   окружность (0,0) радиус=6

•         У=3                     1≤ х≤ 3     -3 ≤ х ≤ -1          прямая ||  

                                                                    оси 0х

•         У=1/2х²-4         -2≤ х≤ 2            сжатие вдоль оси Оу  в  1/2 р.

                                                         сдвиг вниз на 4 единицы 

•         у |=1            -1≤ х≤ 1

                                                           прямая || оси 0х

                                                           симметрия точек, для

                                                           которых   у≥0

                                                           относительно оси Ох

•         |х |=1                  -1≤у≤ 1

                                                         прямая || оси Оу

                                                         симметрия относительно

                                                                          Оу

•         у |=14-х              7≤ х≤ 9

                                                       сдвиг вверх на 14 ед.                       

•         |у |=х                                                      4 ≤ х ≤ 7

                                                                                   симметрия точек, для  

                                                                          которых  у ≥0 относительно оси Ох

•         у |=х+14                                               -9≤ х ≤ -7

                                                                                 сдвиг вверх на 14 единиц

                                                                         симметрия точек , для которых у≥0

                                                                         относительно оси Ох

•         у |= -х                                                   -7≤ х ≤ -4

                                                                        симметрия точек , для которых

                                                                                             у≥0

                                                                                  относительно оси Ох

•         У=-х²+10                                          -2≤ х ≤ 2

                                                                                            симметрия

                                                                              относительно оси абцисс

                                                                             сдвиг вверх на 10 единиц

•         У=6                                           -3≤ х ≤3

                                                                                 прямая || оси Ох

Построение картинки «Цыпленок»

У=1/5х²-6                                              -5≤ х ≤ 5

•         Сжатие вдоль оси Оу в1/5 раз

•         Сдвиг вниз на 6 единиц

У=3-(х+3)²                                             -1≤ х ≤ -5

•         Сдвиг влево на 3 единицы

•         Симметрия относительно оси Ох

•         Сдвиг вверх на 3 единицы

У=1/2(х-1) ² - 5                                       - 3/2 ≤ х ≤ 7/2

•         Сжатие вдоль оси Ох в ½ раза

•         Сдвиг вправо на 1 единицу

•         Сдвиг вниз на 5 единиц