Оглавление
Введение…………………………………………………………………......3
Основная часть
…………………………………………………………......4
Вычисление значения числа "пи" учеными разных
эпох......................4
Практическая работа: «Вычисление
приближенного значения пи»...10
Заключение
.…………………………………………………………….....11
Список литературы
....………………………………………………….....12
ВВЕДЕНИЕ
1. Актуальность работы.
В бесконечном
множестве чисел, так же как среди звезд Вселенной, выделяются
отдельные числа и целые их «созвездия» удивительной красоты, числа с
необыкновенными свойствами и своеобразной, только им присущей гармонией. Надо
только уметь увидеть эти числа, заметить их свойства. Всмотритесь в натуральный
ряд чисел – и вы найдете в нем много удивительного и диковинного, забавного и
серьезного, неожиданного и курьезного. Видит тот, кто смотрит. Ведь люди и в
летнюю звездную ночь не заметят сияние Полярной звезды, если не направят
свой взор в безоблачную высь.
Сегодня
я вам расскажу каким нелепым образом высчитывали π. Число
π является одним из интереснейших чисел, встречающихся при изучении математики.
Оно встречается в разных школьных дисциплинах. С числом π связано много
интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.
Услышав об этом числе много интересного, я сам решил путём
изучения дополнительной литературы и поиска в Интернете узнать как можно больше
информации о нём и ответить на проблемные вопросы:
- Как давно люди знали о числе пи?
- Для чего необходимо его изучение?
- Верно ли, что значение пи равно приближённо 3,14
Поэтому, перед собой я поставил цель: узнать как считали число
в разные времена.
Задачи:
- изучить литературу с целью получения информации о том,
как считали число π;
- практическое вычисление приближенного значения отношения
длины окружности к диаметру.
Объект исследования: Число π
Предмет исследования: Интересные факты, связанные с
числом π
Основная часть
Вычисление значения числа "пи" учеными в разные
эпохи
На
протяжении двух тысяч (!) лет удачнее всего работал до жути медленный и
утомительный способ, но потом появился Исаак Ньютон, и наконец всех спас.
Пока
мы знаем, что длина окружности в π
раз больше диаметра, так же π соотносится с площадью круга, её вычисляют с
помощью формулы πr².
Но откуда берётся такое соотношение? Давайте представим пиццу, разрежем её на
одинаковые тонкие кусочки и составим из них прямоугольник, его площадь это
длина, помноженная на ширину, длина прямоугольника это половина бывшей
окружности, ведь половина корочки осталась на одной стороне прямоугольника, а
вторая половина на противоположной.
Выходит длина π на радиус, ширина
прямоугольника это длина одного кусочка, то есть радиус круга, получается 
, или π
. Площадь единичной
окружности просто π,
пока запомните, это нам пригодится позже.
Так
что же за нелепый способ о котором я говорил? В общем, он же и самый очевидный.
Не
сложно доказать, что значение π больше трёх, но меньше четырёх. Чертим круг,
внутри него начертим шестиугольник с длиной стороны "1", правильный
шестиугольник можно разделить на 6 равносторонних треугольников. Диаметр круга
составит "2", Периметр шестиугольника 6, а длина окружности,
очевидно, больше, а значит π больше 
, то есть, трёх. Опишем
около круга квадрат, периметр квадрата "8", а значит π должно быть
меньше 
. В итоге π больше трёх,
но меньше четырёх.
Это
выяснили тысячи лет назад, а в 250-м году д. н .э Архимед сумел продвинуться
дальше. Начал он с шестиугольника как и мы, а потом заменил его на додекагон:
двенадцатиугольную равностороннюю фигуру, затем вычислил его периметр
("6.212"), соотношение которого к диаметру окружности меньше π. Потом
описал додекагон около круга, и нашёл для π верхнюю границу
("6.431"). Тут вычисление становится хитрее, Архимеду приходится искать
квадратные корни, и квадратные корни квадратных корней, переводить всё это в
дроби, но он чертит один за другим правильные многоугольники: 24 угла, 48, на
96ти углах решает остановиться. Теперь π находиться в промежутке между 3.1408 и
3.1429, учитывая что дело было 2272 года назад неплохо, да и нужны были тогда
такие точные значения? Для практических целей даже это - перебор, вычисление
чисел дальше это
уже самоутверждение и желание похвастаться математическим талантом.
Ещё
две тысячи лет все повторяли за Архимедом, к многоугольникам добавляли и
добавляли углов мыслители из Китая, Индии, Персии и Арабского мира. Все они
дополняли Древнегреческий метод. В конце XVI века Француа Виет сделал то, о чём
Архимед не мог и мечтать. Для расчётов он взял многоугольник, у которого
393,216 сторон, но его к концу века переиграл Нидерландский математик Людольф
Ван Цейлен.
Двадцать
лет он высчитывал число π, используя многоугольник с количеством сторон в 2⁶².
Это
4 квинтиллиона, 611 квадриллионов, 686 триллионов, 18 миллиардов, 427
миллионов, 387 тысяч, 904 стороны.
И
что он получил за все эти старания? 35 правильных цифр после запятой... Эти
цифры увековечили на памятнике на его могиле. Через 20 лет рекорд Цейлена побил
Кристофер Гринбергер, он Вычислил 38 знаков после запятой. Он был последним,
кто шёл этим путём, потому что совсем скоро за дело взялся сэр Исаак Ньютон.
Стоило ему приложить свой подход, как о безумных многоугольниках, сразу все
забыли.
На
дворе 1666 год, Ньютону было всего 23. Бубонная чума заставила его сидеть дома.
От скуки он игрался с выражениями вроде (1+x)²,
что можно развернуть как 
. А если взять 
то получится 
То же самое можно
провернуть с 
в 4той, в 5той и так далее.
Ньютон заметил, что можно пропустить скучные, дотошные вычисления и сразу
получить ответ, если на всех этих уравнениях посмотреть на коэффициент 
и так далее оказывается
что они все складывают треугольник Паскаля. Степень, в которую возводится
выражение в скобках соответсвует ряду чисел в треугольнике, со временем вывели
формулу для вычисления чисел в треугольнике Паскаля, мы можем высчитать их для
любого ряда, не высчитывая весь треугольник.
Для
выражения 
ряд состоит из 
и так далее. Это
биноменальная теорема. Биноменальная означает, что в теореме есть два основных
компонента, x и какое-нибудь число, Би
означает два. А теорема, потому что вы можете доказать, что всё, что у вас
написано это числа, которые встанут в ряды треугольника Паскаля. Ньютону пришло
в голову то, что никому раньше не приходило, он решил попытаться её сломать.
В
обычном виде предполагается, что формулу будут применять при условии что n
- положительное число. Звучит разумно, так ведь? У нас есть умноженное на себя
сколько-то раз. Но Ньютон думает: "А чего мелочиться? Теорема есть, значит
будем использовать!". Для математики нормально находить закономерности, а
потом искать условия, где они перестают работать. Ньютон пробует 
это 
. Что если на место n
во всей правой части уравнения поставить 
? Знаки будут меняться
туда-сюда на противоположные: 
и так далее до
бесконечности. Если n - что то помимо
натурального числа Теорема Ньютона даёт бесконечный ряд, а если число
натуральное в конце концов будет конечное число, Всё из-за того, что при
вычислении формулы 
и так далее мы рано или
поздно вычитаем из n значение равное n
и получается ноль, после которого все последующие значения равняются нулю,
поэтому ряд треугольника конечен. Но если выйти за пределы натуральных чисел,
то у нас никогда в скобках не получится n-n,
ведь n
- не натуральное число, а значит последовательность выйдет бесконечной.
Возникает вопрос: и это всё работает? Действительно ли бесконечная
последовательность Ньютона даёт ? Многие формулы при
подобных манипуляциях перестают работать. Не просто так выводятся правила, но
нужно учитывать, что в некоторых случаях правила работают, когда вроде бы и не
должны. Если умножить обе части уравнения на 
сокращается всё кроме
единицы. 
Всё это умножено на 
и сводится к единице,
иными словами всё это единица делённая на . Именно этим Ньютон
убеждал себя, что его формулу действительно можно применять там, где казалось
бы не стоит.
Итак,
Ньютон убедился, что формула работает даже при отрицательном значении n,
а значит треугольник Паскаля таит в себе какие-то тайны. Над бывшей вершиной в
виде единицы можно добавить ноль и единицу, которые составят единицу, бывший
верхний ряд, а потом ряд можно продолжить: -1... 1...
-1... 1... -1... 1... -1... 1... и так до бесконечности.
Если смотреть за границы обычного треугольника предполагается, что там будут
нули, и всё сходится: единицы и отрицательные единицы образуют ряд нулей прямо
под ними, а ещё мы можем продолжить ряды отрицательных чисел. Притом как с
помощью биноменальной теоремы, так и просто, просчитывая какие числа дадут нам
сумму в нижнем ряду. Что удивительно, если не обращать внимания на минусы, то
треугольник будет будто в отражении, как будто мы его перевернули на бок.
Но
Ньютон не остановился даже на этом: он решил поэкспериментировать с дробными
степенями, например 
. Это то же самое что 
. Он решил проверить, как
изменится правая часть уравнения, поставив n
равное ½ получился бесконечный ряд чисел: 
. Ньютона особенно
занимала n=½, потому что для
единичной окружности 
Если в левой части
оставить y 
то для верхней
полуокружности формула будет 
. Это почти то же самое
выражение что и раньше 
, только вместо x
появляется -x², у каждого x
появляется минус, а степень на каждом шагу удваивается 
Зато теперь у нас есть
уравнение для полуокружности в котором каждый множитель это рациональное число,
помноженное на x в какой-то
степени.
Мы
можем представить одно и тоже двумя способами. В таких случаях всегда
происходит волшебство, готовьтесь смотреть фейерверки.
К
счастью для нас, Ньютон тогда только изобрёл интегральное уравнение, точнее
теорию флюксий. Он понимает что можно вычислить площадь через определённый
интеграл при x от нуля до единицы 
. Тогда мы высчитаем
площадь четверти круга. Ньютон знает, что площадь единичной окружности равна 
а 
, значит площадь равна π,
нас интересует четверть и это 
. С другой стороны у него
получается вот такой ряд: 
, он знает как
интегрировать x в какой-либо степени:
просто увеличиваешь степень x
на единицу и делишь на значение этой степени. Тогда получается бесконечный ряд
множителей и простые операции с дробями 
. Ставим x
равной единице и высчитываем π
с любой нужной нам точностью. Ньютон не остановился и на этом (крутой) и
добавил ещё одну деталь. Ньютон понял, что если интегрировать не до единицы, а
от нуля до одной второй, то при 
½ ,так как слагаемые
уменьшаются пропорционально 
, то процесс пойдёт
быстрее в данном случае в 4 раза. Но если интегрировать до одной второй какова
будет площадь под кривой, которую мы пытаемся вычислить? Вот эта часть круга.
Её можно представить как сектор в 30 градусов с площадью 
и треугольник с
основанием одна вторая и высотой равной 
В
итоге должно получится вот это выражение
Если слева оставить только π, то получим это выражение
Если будем рассматривать только первые пять множителей, то получим вот это
И после вычислений мы получим π:
π=3.14161.
Мы ошиблись всего на две сто тысячных. Чтобы достичь точности Ван Цейлена с его
многоугольником в 4.6 квинтиллионов сторон нужно будет вычислить всего 50
множителей по методу Ньютона, на то, что раньше уходили годы, теперь можно
сделать за считанные дни. С тех пор, чтобы высчитать π
никто не рисует многоугольники.
Практическая работа: «Вычисление приближенного
значения π».
Я попытаюсь экспериментальным путем вычислить
значение числа π.
1. Возьмём любых предметов: тарелку, цветочный горшок и
стакан.
2. Измерим диаметр каждого предмета и длину окружности
с помощью метра и линейки.
3. Вычислим
для каждого случая значение числа π, округлив результат до сотых.
4. Составим таблицу по найденным нами данным :
|
Исследуемый
объект
|
Длина
окружности
(С)
|
Диаметр
окружности
(d)
|
Отношение
длины окр
к диаметру
|
|
тарелка
|
67
|
21,4
|
3,14
|
|
цветочный
горшок
|
51
|
16,1
|
3,17
|
|
стакан
|
22,4
|
7,1
|
3,15
|
Итак, я установил, что отношение длины окружности к
диаметру приближается к 3,14.
Заключение.
Число пи появляется в формулах, используемых во многих
сферах. Физика, электротехника, электроника, теория вероятностей, строительство
и навигация - это лишь некоторые из них. И кажется, что подобно тому как нет
конца знакам числа пи, так нет конца и возможностям практического применения
этого полезного, неуловимого числа пи.
В современной математике число пи - это не только отношение длины
окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул. Эта и
другие взаимозависимости позволили математикам ещё глубже выяснить природу
числа пи. Точное значение числа π в современном мире представляет
собой не только собственную научную ценность, но и используется для очень
точных вычислений (например, орбиты спутника, строительства гигантских мостов),
а также оценки быстродействия и мощности современных компьютеров.
В настоящее время с числом π связано
труднообозримое множество формул, математических и физических фактов. Их
количество продолжает стремительно расти. Всё это говорит о возрастающем
интересе к важнейшей математической константе, изучение которой насчитывает уже
более двадцати двух веков. Проведенная работа мне была интересна. Я хотел
узнать как считали число π, и думаю, что достиг поставленной цели.
Подводя итог работы, я прихожу к выводу, что данная тема актуальна. С
числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к
изучению.
Список литературы.
1. Глейзер Г.И. История
математики в школе IV- VI классы. – М.: Просвещение, 1982.
2. Жуков А.В.Вездесущее число
«пи». - М.: Едиториал УРСС, 2004.
3. Кымпан Ф. История числа
«пи». - М.: Наука, 1971.
4. Свечников А.А. путешествие в
историю математики – М.: Педагогика – Пресс, 1995.
5. Интернет ресурсы:
- https://www.youtube.com/watch?v=A3PL61fHzjs
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.