Программа элективного курса Решение неравенств 1 и 2 степени с параметрами для 11 класса

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОНОХОЙСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №2

Утверждено:_____________________________________________________________________________________

                                        

 

для  11 класса

 

 

Автор:  Афанасьева Е.В,

учитель математики

МБОУ «ОСОШ №2»

 

 

 

 

пос. Онохой

 

Пояснительная записка

      Активное математическое знание нельзя получить как-то извне, его необходимо выработать самому, чтобы оно «вошло» в человека и действовало с силой интуиции. Школьная программа не предусматривает выработки прочных навыков решения задач, содержащих параметры, особенно решение неравенств с параметрами, поэтому такие задания  по силу лишь некоторым учащимся. Данный курс предназначен для более сильных  учащихся 11 класса, учащихся гимназий с естественно математическим профилем.

Необходимость введения данного курса обусловлена рядом причин:

-в школьном курсе алгебры решению неравенств с параметрами уделяется очень мало времени, а  решению неравенств с пара-метрами при определенном  условии совсем не рассматривается, а в КИМ ЕГЭ по математике задания из данного раздела все-таки есть;

- данный элективный курс  предусматривает плавный переход  от решения простых неравенств с параметрами  к более сложным неравенствам с параметрами при определенном условии;

- курс предполагает 6 часовое повторение – обзор по решению неравенств, совокупности неравенств и системам неравенств  в целом, для того, чтобы устранить некоторые пробелы в знаниях, подготовить почву для изучения методов решения более сложных неравенств с параметрами.

Главной целью  преподавания курса является подготовка учащихся 11 класса  к единому государственному экзамену по данному разделу  курса алгебры.

Основные задачи курса.

 Образовательные:

-  изучение основных способов решения неравенств первой и второй степени с параметрами при заданном условии;

- формирование у  учащихся  умений и навыков при решении неравенств;

-  овладение различными методами решения, используя графический;

Развивающие:

-  развитие навыков решения различных задач;

- развитие логики мышления;

-  активизация познавательной  деятельности школьника;

-  развитие интереса к математике;

Воспитательные:

- повышение уровня самоконтроля и самооценки;

-  воспитание культуры труда, активной жизненной позиции;

- воспитание понимания того, что математика является инструментом для изучения;

Элективный курс «Решение неравенств первой и второй степени с параметрами» рассчитан на 13 часов: 5 теоретических занятий, 8 практических.

Курс написан на основе анализа материалов ЕГЭ по математике за последние годы. Данная тема содержит ключевые моменты теории (определения, основные понятия, формулы и. т. д. ), описание методики решения типичных задач и некоторое количество подробно разобранных примеров.

Нельзя дать универсальных указаний по решению задач с параметрами. Но для неравенств первой и второй степени с параметрами при заданном условии можно рекомендовать использовать графический метод решения, как более наглядный. При этом учитель может рассмотреть задачи, включающие несколько возможных случаев.

Активному и сознательному усвоению учащимися методов решения неравенств первой и второй степени с параметрами способствует актуализация знаний о свойствах линейной и квадратичной функций и их графиках.

Решение задач с параметрами в школьной практике  позволяет проверить:

– знание основных разделов школьной математики;
– уровень математического и логического мышления;
– первоначальные навыки исследовательской деятельности;
– перспективы возможности успешного овладения курсом математики вуза.

 

 

 

 

 

ПРОГРАММА КУРСА

«Решение неравенств первой и второй степени с параметрами»

1. Введение. Определение и свойства неравенств с одним неизвестным. Системы и совокупности неравенств с одним неизвестным (2 часа)

Цель. Повторить основные понятия: решение неравенства, множество решений неравенства, совокупность, равносильные неравенства, область допустимых значений.  Разобрать основные принципы решения неравенств с одним неизвестным.

2. Линейные неравенства и системы линейных  неравенств с одним неизвестным (2 часа )

Цель. Повторить основные приемы решения линейных неравенств и систем линейных неравенств различной степени сложности.

3. Решение неравенств  второй степени (  2 часа )

Цель. Разбор общих методов решения неравенств  второй степени

4. Решение неравенств первой степени с параметрами ( 3 часа  )

Цель.  Изучение 2-х основных типов  решения  неравенств первой степени с параметром при заданном условии. Уметь находить совокупность решений данного неравенства.

5. Решение неравенств  второй степени с параметром ( 3 часа )

Цель. Изучить основные приемы решения. Выработать умения нахождения приемов решения  при решении неравенств  смешанных типов.

Возможные виды заданий и решений неравенств 1 степени.

Определение. Функция вида y = kx + b, где k и b – произвольные числа, называется линейной функцией.

Графиком линейной функции является прямая с углом наклона к оси абсцисс равным j, где tg j = k. Если k > 0, то угол j острый; если k < 0, то угол j тупой; если k = 0, то график либо совпадает с осью абсцисс, либо параллелен ей.

Задача 1. При каких значениях k неравенство (k – 4)x + k – 5 < 0 справедливо для всех x, удовлетворяющих условию | x | £ 3?

Решение. Пусть f(x) = (k – 4)x + k – 5.   f(x) < 0; k – ?

Задача 2. Найти все значения a, при которых для всех x, удовлетворяющих условию | x | £ 1, справедливо неравенство .

Решение.

Задача 3. При каких значениях a неравенство 2x – a² + 5 < 0 верно при всех значениях x, удовлетворяющих условию | x | < 2?

Ответ: a < – 3; a > 3.

Задача 4. При каких значениях m неравенство (m – 2)x + 2m – 16 < 0 верно при всех значениях x, удовлетворяющих условию | x | ³ 5?

Ответ: m = 2.

Задача 5. При каких значениях b неравенство верно при всех x, удовлетворяющих условию | x | £ 2?

Ответ: b < – 11, b > 1.

Возможные виды заданий и решений неравенств второй степени.

Определение. Функция, задаваемая формулой ax² + bx + c, где a ¹ 0, называется квадратичной функцией.

График квадратичной функции имеет вид, изображенный на рис. 6, и называется параболой. Точка графика с абсциссой   называется вершиной параболы, ордината этой точки равна

При a > 0 «ветви» параболы направлены вверх, а при a < 0 – вниз. Каждый из этих двух случаев разбивается на три подслучая в зависимости от числа корней уравнения.

При D = b² – 4ac > 0 уравнение ax² + bx + c = 0 имеет два действительных корня

При D = 0 уравнение имеет один корень  , задаваемый и в том числе формулой (1).

При D < 0 уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим расположение графика по отношению к оси абсцисс во всех шести случаях (рис. 7).

Задача 1. При каких значениях m неравенство mx² – 2(m + 3)x + m < 0 верно при всех x, удовлетворяющих условию – 2 £ x £ 1?

Решение. Пусть f(x) = mx² – 2(m + 3)x + m. Тогда

Задача 2. При каких a неравенство ax² + 2(3 – 2a)x – 24 > 0 верно при всех x, удовлетворяющих условию | x | < 5?

Ответ: Æ.

Задача 3. Найдите все значения a, при которых для всех x, удовлетворяющих условию | x | £ 3, справедливо неравенство

ax² – 2x – a(a² + 2) > 0.

Ответ: a < – 3.

Задача 4. При каких значениях a неравенство ax² – x – a(a² + 1) > 0 верно при всех x, удовлетворяющих условию | x | < 2?

Ответ: a < – 2.

Задача 5. При каких значениях a функция f(x) = – x³ + 4x² – ax – 8 возрастает на (1; 2)?

Решение. Напишем производную от f(x) и воспользуемся критерием возрастания:

f  '(x) = – 3x² + 8x – a > 0, т. е. 3x² – 8x + a < 0.

Пусть j(x) = 3x² – 8x + a. Тогда имеем

Задача 6. Найдите все значения a, при которых функция возрастает для всех x Î R.

Ответ: a Î (– ¥; – 3) È (1; + ¥).

КАЛЕНДАРНО-УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№ п.п	срок	Содержание курса	Теоретич. часов	Практ. часов	итого
1	сентябрь	Введение. Определение и свойства неравенств с одним неизвестным. Системы и совокупности неравенств с одним неизвестным.	1	1	2
2	сентябрь	Линейные неравенства и системы линейных  неравенств с одним неизвестным	1	1	2
3	октябрь	Решение неравенств второй степени	1	1	2
4	Ноябрь-январь	Решение неравенств первой степени с параметрами и решение неравенств с параметрами первой степени  при определенном условии	1	2	3
5	Февраль -апрель	Решение неравенств второй степени с параметрами и решение неравенств с параметрами второй степени при определенном условии	1	2	3
6	май	Контрольная работа		1	1
		итого			13

Общий цикл всего: 13 часов

( 5-теоретических, 8 - практических)

Литература для учителя:

1. Пособие по подготовке. Математика. ЕГЭ. Централизованное тестирование. Санкт-Петербург.2006 г. 2007г, 2008г, 2009 г

2. А.И. Замыслова, «Репетитор по математике». Москва .2006 г

3. В.С. Белоносов. «Задачи вступительных экзаменов по математике».2007г  .              

4.В.Ф. Осипов. « Конкурсные задачи по математике»,2005 г

5. 1С-репетитор по математике.ЕГЭ .(Диск СD-R)

Литература для учащихся:

1. А.И Замыслова , «Репетитор по математике»,Москва,2006 г

2. 1С-репетитор по математике.ЕГЭ .(Диск СD-R)

3. Л.П. Стойлова. «Математика», Москва . 2006 г

4. В.С. Белоносов. «Задачи вступительных экзаменов по математике»,2007г 

5. Пособие по подготовке. Математика. ЕГЭ. Централизованное тестирование. Санкт-Петербург.2006 г, 2007г, 2008г, 2009 г